AZ第二十五讲 不等式选讲(选考部分).doc

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1、 高考数学一轮第二十五讲 第 1 页共 14 页第二十五讲 不等式选讲(选修 4-5) 考点解读【基础性考点知识突破基础性考点知识突破】一、含绝对值的不等式1绝对值不等式的解法形如的不等式，可以利用两边平方的方法转化为二次不等式来求| |axbcxd解绝对值不等式与的解集|xa|xa不等式0a 0a 0a |xaaxa |xa或xaxa 0x R形如和型不等式的解集：|axbc(0)c |axbc,|axbccaxbc(0)c 或.|axbcaxbc axbc(0)c 2绝对值三角不等式定理 1：如果，是实数，那么当且仅当时，等号成ab| |abab0ab立定理 2：如果，是实数，那么当且仅当

2、abc| |acabbc时，等号成立()()0ab bc上述定理还可以推广得到以下几个不等式：；1212| |nnaaaaaa；| | |ababab| | |ababab二、几个重要的不等式高考数学一轮第二十五讲 第 2 页共 14 页1柯西不等式二维形式的柯西不等式：若，都是实数，则abcd，当且仅当时取等号22222()()()abcdacbdadbc一般形式的柯西不等式：若，都是实数，1a2a3ana1b2b3bnb则，当且仅当2222222 12121 122()()()nnnnaaabbbaba ba b（ =1，2，）或时取等号0ib in1212nnaaa bbb2柯西不等式的

3、向量形式及平面三角不等式柯西不等式的向量形式：设，是两个向量，则，当且仅当 | | | 或存在实数，使时取等号 kk 平面三角不等式：设， ()，那么1x1y2x2y, x yR222222 11221212()()xyxyxxyy3排序不等式设，为两组实数，为，12naaa12nbbb1c2cnc1b，的任一排列，那么2bnb1213211 122nnnnnnaba ba ba ba ca ca c1 1ab ，即反序和不大于乱序和，乱序和不大于顺序和当且仅当22nna ba b12aa，或时取等号na12nbbb【培优性方法技巧综合培优性方法技巧综合】一、含绝对值的不等式1含绝对值不等式的

4、证明，除了综合运用前面所讲的不等式的证明方法之外，还要注意“绝对值”这一特殊属性的处理方法，常用思路有二：(1)去掉绝对值符号，转化为一般不等式的证明，常用的去掉绝对值的方法有定义法、平方法、等价转化法等(2)利用性质“”来证明，这时常要对绝对值内的式子进| | |ababab高考数学一轮第二十五讲 第 3 页共 14 页行分析、组合、添项、减项，使要证明的式子与已知联系起来，从而完成证明2形如型不等式的解法：由绝对值的几何意义可知，|maxbn(0,0)mn，而求不等式组的解集，就是先分别求每一个不等|maxbn| |axbm axbn 式的解集，再求它们的交集即可3型不等式|( )|( )

5、f xg x|( )|( )f xg x与型的不等式的解法：把这里的“”看做基本类型|( )|( )f xg x|( )|( )f xg x( )g x和中的“” ，去掉其绝对值符号，但要注意的是这里的不一定大|xa|xaa( )g x于零，因此有或|( )|( )f xg x( )0 ( )0g x f x( )0 ( )( )( )( )g x f xg xf xg x 或|( )|( )f xg x( )0 ( )( )( )g x g xf xg x ( )( )( )g xf xg x4含有多个绝对值的不等式含有多个绝对值（两个或两个以上）的不等式的解法：(1)基本思想是：含绝对值的

6、不等式不含绝对值的不等式去掉绝对值符号 化归(2)常用去掉绝对值符号的方法有：平方法，零点分段讨论法（即把每个绝对值为零的零点标在数轴上，则这些零点把数轴分成若干段，再对各段所对应的范围分别进行讨论即可） 二、重要不等式1对于柯西不等式，要特别注意其向量形式的几何意义，从柯西不等式的几何意义出发，就得到了三角不等式，柯西不等式的一般形式也可以写成向量形式2对于排序不等式，要抓住它的本质含义：两实数序列同方向单调（同时增或同时减）时，所得两两乘积之和最大；反方向单调（一增一减）时，所得两两乘积之和最小注意等号成立的条件是其中一序列为常数序列3数学建模是数学学习中的一种新形式，它为学生提供了自己学

7、习的空间，有助于学生了解数学在实际生活中的应用，体会数学与日常生活及其他学科的联系三、不等式的证明方法高考数学一轮第二十五讲 第 4 页共 14 页1利用“综合法”证明不等式的常用结论：(1)； (2)； (3)，20a |0a 222abab222|abab，222abab2()4abab2221()2abab22 2()22abab(4),，2abab(0,0)ab2ab ba(0)ab 2ab ba(0)ab 2分析法由果索因，便于分析，但在叙述时，不是由结论直接推到条件，而是强调要使结论成立，必须具备什么条件（或要证，即证） 3分析法与综合法相互转换、互相渗透、互为前提，充分利用这一辩

8、证关系，可以拓宽解题思路，开阔视野；放缩法和换元法的合理运用，可以摆脱习惯性思维方法的局限，转换解题途径；反证法是逆向思维的结晶，它能增大思维的发散量，克服思维定式的影响【提示】证明不等式时除了上述最基本的方法之外，还要注意换元法、判别式法、构造法、单调性法、数形结合法等方法的运用考点分类精讲考点考点 1 含绝对值的不等式及其综合问题含绝对值的不等式及其综合问题1证明含绝对值的不等式2解含绝对值的不等式【例 1】解不等式|23|2xx【解析】原不等式可化为或3 2 32xx 3 2 332xx 解得或5x 1 3x 综上，原不等式的解集是153x xx或 【例 2】已知函数|2|)(xaxxf

9、(1)当时，求不等式的解集；|3a( )3f x 高考数学一轮第二十五讲 第 5 页共 14 页(2)若的解集包含，求的取值范围( )|4|f xx2 , 1 a【解析】(1)当时，3a ( )3323f xxx或或2 323x xx 23 323x xx3 323x xx 或1x4x(2)原命题在上恒成立( )4f xx1,2在上恒成立24xaxx1,2在上恒成立22xax 1,230a 【例 3】已知函数，为不等式的解集 11 22f xxx M 2f x (1)求；M(2)证明：当 a，时，bM1abab【解析】(1)当时，若；1 2x 11222f xxxx 112x 当时，恒成立；1

10、1 22x 111222f xxx 当时，若，1 2x 2f xx 2f x 112x abcd若，则，abcd2()ab2()cd即22ababcdcd因为，所以abcdabcd于是2222()()4()4()abababcdcdcd因此| |abcd综上，是的充要条件abcd| |abcd点拨：分析法一定要注意书写格式【例 14】已知，求证：0a 0b 0c abc111abc abc【解析】本例先通分取分母，运算量较大，考虑到，可先试试分式的放缩0a 0b ，0a 0b 11aa aab11bb bab，只需证11ab ab1ab ab1ab ab 1c c而函数在上递增，且，1( )1

11、11xf xxx (0,)abc()( )f abf c即，原不等式成立1ab ab 1c c点拨：放缩法是不等式证明中的重要方法之一放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论进行推导常用的放缩技巧有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质等【例 15】已知数列，记 na0na 01a)(12 12 1 Nnaaannn1nSa2naa)1 ()1)(1 (1 )1)(1 (1 1121211nnaaaaaaT求证：当时 Nn(1)；1nnaa高考数学一轮第二十五讲 第 13 页共 14 页(2)；2 nSn(3)3nT【解析】(1)证明：用数学

12、归纳法证明当时，因为是方程的正根，所以1n 2a210xx 12aa假设当时，*()nk kN1kkaa因为22 1kkaa22 2211(1)(1)kkkkaaaa，2121()(1)kkkkaaaa所以12kkaa即当时，也成立1nk1nnaa根据和，可知对任何都成立1nnaa*nN(2)证明：由，（） ，22 111kkkaaa 121kn，2n得22 231()(1)nnaaaana因为，所以10a 21nnSna 由及得，1nnaa22 11121nnnaaa 1na 所以2nSn(3)证明：由，22 1112kkkkaaaa 得111(2 313)12kkkaknnaa，所以，2 3421(3)(1)(1)(1)2n n naaaaaa于是，2222 232211(3)(1)(1)(1)2()22nn nnn naanaaaaa故当时，3n2111 1322nnT 又因为，所以123TTT3nT 高考数学一轮第二十五讲 第 14 页共 14 页点拨：用数学归纳法证明不等式常常要用到放缩法，即在归纳假设的基础上，通过放大或缩小等技巧，得到要证明的目标不等式本专题试题训练详见试题精练