2023届福建省福州市高三普通高中毕业班质量检测（二检）数学试卷含答案.pdf

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1、数学试卷 第1页 共4页 准考证号准考证号_ 姓名姓名_（在此卷上答题无效）2023 年福州市普通高中毕业班质量检测 数 学 试 卷（完卷时间 120 分钟；满分 150 分）友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！友情提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！第第 卷卷 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.已知集合12Ax x=，22xBx=，则AB=A112xx B12xx C12x

2、x D3x x 2.已知()1i24iz+=，则z=A2 B10 C4 D10 3.若二项式2413nxx+展开式中存在常数项，则正整数n可以是 A4 B5 C6 D7 4.为培养学生“爱读书、读好书、善读书”的良好习惯，某校创建了人文社科类、文学类、自然科学类三个读书社团.甲、乙两位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则这两位同学恰好参加同一个社团的概率为 A13 B12 C23 D34 5.已知2=|b|a|，若a与b的夹角为120，则2 ab在b上的投影向量为 A3 b B32b C12b D3b 6.已知()()221:234Oxy+=，1O关于直线210axy

3、+=对称的圆记为2O，点,E F分别为1O，2O上的动点，EF长度的最小值为4，则a=A32或56 B56或32 C32或56 D56或32 7.已知三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上，6PAPBPCAB=，23ACB=，则球O的体积为 A3 B278 C92 D9 8.已知函数()f x，()g x的定义域均为R，()1f x+是奇函数，且()()12fxg x+=，()()32f xg x+=，则 A()f x为奇函数 B()g x为奇函数 C()20140kf k=D()20140kg k=数学试卷 第2页 共4页 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题

4、，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有分在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求全部选对的得多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9.已知函数()2sin 23f xx=+，则 A()f x在区间,02单调递增 B()f x在区间0,有两个零点 C直线12x=是曲线()yf x=的对称轴 D.直线43yx=+是曲线()yf x=的切线 10.已知曲线222:1424xyCm+=.A若2m，则C是椭圆 B若22m，则C是双曲线 C当C是椭圆时，若m越大，则C越接近于圆 D当C是双曲线时，若m

5、越小，则C的张口越大 11.在棱长为2的正方体1111ABCDABC D中，E，F分别为棱BC，1CC的中点，P为线段EF上的动点，则 A线段DP长度的最小值为2 B三棱锥1DA AP的体积为定值 C平面AEF截正方体所得截面为梯形 D直线DP与1AA所成角的大小可能为3 12.若,x y满足223xxyy+=，则 A.22 3xy+B.21xy+C.228xyxy+D.221yxyx+第第卷卷 注意事项：用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答在试题卷上作答，答案无效 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在题中的横线上分把

6、答案填在题中的横线上 13.若3cos5=，是第三象限角，则tan2=_.14.利率变化是影响某金融产品价格的重要因素.经分析师分析，最近利率下调的概率为60%，利率不变的概率为 40%.根据经验，在利率下调的情况下该金融产品价格上涨的概率为 80%，在利率不变的情况下该金融产品价格上涨的概率为 40%.则该金融产品价格上涨的概率为_.15.已知曲线32362yxxx=+在点P处的切线与在点Q处的切线平行，若点P的纵坐标为1，则点Q的纵坐标为_.16.已知椭圆22:1126yxC+=，直线l与C在第二象限交于A，B两点（A在B的左下方），与x轴，y轴分别交于点M，N，且|:|:|1:2:3MA

7、ABBN=，则l的方程为_.数学试卷 第3页 共4页 四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.（本小题满分 10 分）记ABC的内角,A B C的对边分别为,a b c.已知2222bac=.（1）求tantanBA的值；（2）求C的最大值.18.（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是梯形，ABCD，ADCD，24CDAB=，PAD是正三角形，E是棱PC的中点.（1）证明：BE平面PAD；（2）若2 3AD=，平面PAD 平面ABCD，求直线AB与平

8、面PBC所成角的正弦值.19.（本小题满分 12 分）欧拉函数()n（*nN）的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数，例如：()11=，()42=.（1）求()23，()33；（2）令()132nna=，求数列3lognnaa的前n项和 20.（本小题满分 12 分）脂肪含量（单位：%）指的是脂肪重量占人体总重量的比例.某运动生理学家在对某项健身活动参与人群的脂肪含量调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男性 120 位，其平均数和方差分别为 14 和 6，抽取了女性 90 位，其平均数和方差分别为 21 和 17.（1）试由这些数据计算出

9、总样本的均值与方差，并对该项健身活动的全体参与者的脂肪含量的均值与方差作出估计.（结果保留整数）（2）假设全体参与者的脂肪含量为随机变量X，且()217,XN，其中2近似为（1）中计算的总样本方差.现从全体参与者中随机抽取 3 位，求 3 位参与者的脂肪含量均小于12.2%的概率.附：若随机变量X服从正态分布()2,N，则()0.6827PX+，()220.9545PX+，224.7，234.8，30.158650.004.EBDCAP数学试卷 第4页 共4页 21.（本小题满分 12 分）已知抛物线2:2(0)E ypx p=，过点(2,0)的两条直线12,l l分别交E于,A B两点和,C

10、 D两点.当1l的斜率为23时，|13AB=.（1）求E的标准方程；（2）设G为直线AD与BC的交点，证明：点G必在定直线上.22.（本小题满分 12 分）已知函数()()1 lnf xxxaxa=+.（1）若2a=，试判断()f x的单调性，并证明你的结论；（2）若1x，()0f x 恒成立.（）求a的取值范围；（）设11111232nannnn=+，x表示不超过x的最大整数.求10na.（参考数据：ln20.69）数学参考答案 第1页 共12页 2023 年福州市普通高中毕业班质量检测 数学试题参考答案与评分细则 一、单项选择题：单项选择题：1-8 D B C A B D C D 8【解析

11、】因为()()32f xg x+=，所以()()32+=f xg x，又()()12fxg x+=，则 有()()31+=f xfx，因 为()1f x+是 奇 函 数，所 以()()11+=f xfx，可 得()()31+=+f xf x，即有()()2+=f xf x与()()42+=+f xf x，即()()4+=f xf x，所以()f x是周期为4的周期函数，故()g x也是周期为4的周期函数.因为()()2=+fxf x，所以()()fxf x=，所以()f x为偶函数.故 A 错误；由()1f x+是奇函数，则()10f=，所以()30f=，又()()()()24200+=+=f

12、fff，所以()()()()()201512340kf kffff=+=，所以 C 选项错误；由()10f=得()02g=，所以 B 选项错误；因为()()()225212gff=，()()()()()(1)324264424ggffff+=+=+=，所以()()()()01238gggg+=，所以()()()()()2015012340kg kgggg=+=，所以 D 选项正确.二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得

13、 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9.BCD 10.BD 11.11.BC 12.12.AD 12【解析一】由2213324xyy+=，令13cos,233sin,2xyy+=可得3cossin,2sin,xy=故22 3cos2sin2sin2 3cos2 3,2 3xy+=+=，故 A 正确；B 错误；()2232323cossin2sin54sin 21,96xyxyxy+=+，故 C 错误；D正确，故选 AD.12【解析二】令2xyt+=，则2ytx=代入223xxyy+=，整理可得，223330 xtxt+=，因为xR，所以()()2

14、2291233120ttt=，解得2 32 3t，故 A 正确；B 错数学参考答案 第2页 共12页 误；由222233xxyyxyxy+=，因为222xyxy+，所以32xyxy，所以 31xy，又2232xxyyxy+=，从而1 329xy，故 C 错误；D 正确，故选 AD.12【解析三】令xuv=+，yuv=，代入223xxyy+=，得2213vu+=，令cos,3sinuv=（0,2）.s23cos3sin2 3 in2 3,3323xyuv+=+=+=，故 A 正确，B 错误；22222223scos9 in18sin1,9xyxyuv+=+=+，故 D 正确，C 错误；故选 AD

15、.三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13.247 14.0.64 15.11 16.40 xy+=15【解析一】：令32()362f xxxx=+，则()2366fxxx=+，设(),1P m，()(),Q n f n，依题意()()fmfn=，所以22366366mmnn+=+，则()222mnmn=，显然mn，则2mn+=，因为()()()31316f xxx=+，所以()f x的图象关于点()1,6中心对称，所以点P与点Q关于点()1,6对称，所以()162f n+=，则()11.f n=15【解析二】：令32()362

16、f xxxx=+，因为()()23130fxx=+，故()f x在R上单调递增，令323621xxx+=，设其根为Px，得32361PPPxxx+=.由于()f x在点P处的切线与在点Q处的切线平行，得()fxk=存在两实根，其中一个为Px，设另一个为Qx.即2366xxk+=两根为Px，Qx，由韦达定理得2PQxx+=，则2QPxx=，从而()3232362(2)3(2)6(2)2QQQQPPPf xxxxxxx=+=+322326128312121262(36)1011PPPPPPPPPxxxxxxxxx=+=+=.16【解析一】：由条件得B点为线段MN中点，设B点坐标为00(,)xy，得

17、0(2,0)Mx、0(0,2)Ny，由|:|1:2MAAB=得A坐标为005(,)33xyA，将A、B坐标分别代入221126yx+=中，得220022001,126251,12969xyxy+=+=解得002,2,xy=则M、N坐标分别为(4,0)、(0,4)，直线l的方程为40 xy+=.BANMOxy数学参考答案 第3页 共12页 16【解析二】：设直线l方程为ykxm=+（,0k m），可得,0mMk，()0,Nm，根据|:|:|1:2:3MAABBN=得A,B坐标分别为5,66m mk,22m mk.将A,B坐标代入C方程中，可得 222222251,63612361,64124mm

18、kmmk+=+=即2222222225212 36,2124,mm kkmm kk+=+=两式相减得4mk=，将其代入22222124mm kk+=，得1k=，从而直线l的方程为40 xy+=.四、解答题：本大题共四、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.（本小题满分 10 分）【命题意图】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换、基本不等式等基础知识；考查运算求解能力；考查化归与转化思想、函数与方程思想等；导向对发展逻辑推理、数学运算等核心素养的关注；体现基础性和综合性.满分 10 分.【解

19、析一】（1）由余弦定理可得2222cos=+bcaacB，代入2222bac=，得到2222(2cos)2+=caacBac，1 分 化简得22cos0+=cacB，即2 cos0caB+=，2 分 由正弦定理可得sin2sincos0CAB+=，即()sin2sincos0+=ABAB，3 分 sincoscossin2sincos0ABABAB+=，3sincoscossinABAB=，4 分 可得tan3tanBA=.5 分（2）由（1）可知tan3tanBA=，所以tan A与tan B异号，又22220bac=，故ba，则有BA，因为,(0,)A B，故A为锐角，B为钝角，则C为锐角

20、，6 分 所以()22tantantan3tan2tantantantantan13tan13tan1ABAAACABABAA+=+=+7 分 223132 33tantanAA=+，8 分 等号当且仅当3tan3A=，即6A=时成立，9 分 所以C的最大值为6.10 分 数学参考答案 第4页 共12页【解析二】（1）由正弦定理可得：sinsinBbAa=，1 分 由余弦定理可得：222222cos2cos2bcaAbcacbBac+=+，2 分 则222222222222tansincos2tansincos2bcaBBAbbcabcacbAABaacbac+=+，3 分 因为2222bac

21、=，所以2222tan23tan2BccAcc+=.5 分（2）222cos2+=abcCab 6 分 222222+=baabab 7 分 2234+=abab344=+abba 3216 32=.8 分 所以6C，等号当且仅当223=ba时，即3=ba时成立，9 分 所以C的最大值为6 10 分【解析三】（1）由2222bac=，由正弦定理可得，222sinsin2sinBAC=，1 分 因为22222222sinsinsinsinsinsinsinsinBABBABAA=+22222222sin(1sin)sin(1sin)sincossincosBAABBAAB=()()(sincos

22、cossin)(sincoscossin)sinsinBABABABAABBA=+=+，3 分 又因为ABC+=，所以()sinsinCAB=+，所以()()()2sinsin2sin+=+ABBAAB，因为0AB+，所以()sin0AB+，所以()()sin2sinBAAB=+，化简得3sincossincosABBA=，4 分 可得tan3tanBA=.5 分（2）同解析一.10 分 数学参考答案 第5页 共12页 FEBDCAPxGOFEBDCAPyz18.（本小题满分 12 分）【命题意图】本小题主要考查空间几何体点、线、面位置关系、直线与平面所成角等基础知识；考查空间想象能力、逻辑推

23、理能力、运算求解能力；考查化归与转化思想，数形结合思想等；导向对发展直观想象、逻辑推理和数学运算等核心素养的关注；体现基础性与综合性.满分 12 分.【解析】（1）取PD中点F，连接AF、EF.EFCD，12EFCD=，ABCD，12ABCD=，EFAB，EFAB=，1 分 四边形ABEF为平行四边形，BEAF，3 分 又BE 平面PAD，AF 平面PAD，BE平面PAD.4 分（2）取AD中点O，BC中点G，连接,PO OG，可得POAD，OGCD.平面PAD 平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD=，POAD，PO 平面PAD，PO 平面ABCD.5 分 ADCD，OGCD，OGOA.6

24、 分 以O为原点，以AD OG OP,所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系.7 分 因为2,4,2 3ABCDAD=，PAD是等边三角形，所以2 3PDAD=，132OAAD=，223POPDOD=，所以()3,0,0A，()3,2,0B，()3,4,0C，()0,0,3P.则()0,2,0AB=，()2 3,2,0BC=，()3,2,3BP=.9 分 设平面PBC的法向量为(),x y z=n，由0BC=n，0BP=n，可得2 320,3230,xyxyz+=+=令1x=，可得3,3yz=，从而()1,3,3=n是平面PBC的一个法向量.10 分 则2 321cos,727

25、|ABABAB=nnn，11 分 所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为217.12 分 数学参考答案 第6页 共12页 19.（本小题满分 12 分）【命题意图】本小题主要考查数列通项，数列求和等基础知识；考查欧拉函数概念的理解和应用；考查逻辑推理能力、运算求解能力等；考查化归与转化思想、特殊与一般思想等；导向对发展数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养的关注；体现基础性、应用性与创新性.满分 12 分.【解析】（1）不超过9，且与其互质的数即为1,9中排除掉3,6,9剩下的正整数，则()223336=；2 分 不超过27，且与其互质的数即为1,27中排除掉3,6,9,12,15,18,2

26、1,24,27剩下的正整数，则()3333918=.4 分（2）因为32,3kk（11,2,3nk=）中与3n互质的正整数只有32k 与31k 两个，所以1,3n中与3n互质的正整数个数为12 3n，所以()132 3nn=，()1111323322nnnna=，7 分 所以31log13nnnana=.8 分 设数列3lognnaa的前n项和为nT.1211210333nnnT=+，23112103333nnnT=+，9 分 11211111111113331133333313nnnnnnnT=+=10 分 11112233nnn=121223nn+=，11 分 则13 1213212 22

27、 344 3nnnnnT+=.12 分 说明：不超过3n，且与其互质的正整数即为排除掉3的倍数的数，在每相邻的三个正整数中排除掉是3的倍数的数即可，可得()11113(33)322nnnnna=，学生若这样写，同样可以给 3 分.20.（本小题满分 12 分）【命题意图】本小题主要考查分层抽样得到样本的均值与方差、正态分布和二项分布等基础数学参考答案 第7页 共12页 知识；考查数据处理能力、应用意识和创新意识等，考查统计与概率思想；导向对发展逻辑推理、数学运算、数学建模、数据分析等核心素养的关注；体现综合性、应用性与创新性.满分 12 分.【解析一】（1）把男性样本记为12120,x xx，

28、其平均数记为x，方差记为2xs；把女性样本记为1290,y yy，其平均数记为y，方差记为2ys.则214,6xxs=；221,17yys=.记总样本数据的平均数为z，方差为2s.由14x=，21y=，根据按比例分配的分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，可得总样本平均数为120901209012090=+zxy 2 分 120 149021210+=17=，3 分 根据方差的定义，总样本方差为()()12090222111210iiiisxzyz=+4 分()()1209022111210iiiixxxzyyyz=+，由()120120111200iiiixxxx=，可得()()(

29、)()12012011220iiiixxxzxzxx=，同理，()()()()909011220iiiiyyyzyzyy=，5 分 因此，()()()()12012090902222211111210iiiiiisxxxzyyyz=+()()2222112090210 xysxzsyz=+，6 分 所以()()222112061417901721 1723210s=+，所以总样本的均值为17，方差为 23，并据此估计该项健身活动全体参与者的脂肪含量的总体均值为17，方差为 23.7 分（2）由（1）知223=，所以()17,23XN，又因为234.8，所以()()12.221.8174.817

30、4.80.6827PXPX=+，8 分()()112.210.68270.158652P X=，9 分 数学参考答案 第8页 共12页 因为()3,0.15865XB，10 分 所以()3333C0.158650.004P X=.11 分 所以 3 位参与者的脂肪含量均小于 12.2%的概率为 0.004.12 分【解析二】（1）把男性样本记为12120,x xx，其平均数记为x，方差记为2xs；把女性样本记为1290,y yy，其平均数记为y，方差记为2ys.则214,6xxs=；221,17yys=.记总样本数据的平均数为z，方差为2s.由14x=，21y=，根据按比例分配的分层随机抽样总

31、样本平均数与各层样本平均数的关系，可得总样本平均数为120901209012090=+zxy 2 分 120 149021210+=17=，3 分 根据方差的定义，总样本方差为()()12090222111210iiiisxzyz=+4 分 221201201209022111112120290210iiiiiiiixzxzyzyz=+()12090222111212090210210iiiixyzxyz=+120902221112210210210iiiixyzzz=+12090222111210210iiiixyz=+12090222111210iiiixyz=+，5 分 由()12012

32、022221111120120 xiiiisxxxx=，可得()1202221120ixixsx=+，同理()90222190iyiysy=+，将代入得()()222222112090210 xyssxsyz=+6 分()()22211206149017211723210=+，所以总样本的均值为17，方差为 23，数学参考答案 第9页 共12页 并据此估计该项健身活动全体参与者的脂肪含量的总体均值为17，方差为 23.7 分（2）同解析一.12 分 21.（本小题满分 12 分）【命题意图】本小题主要考查抛物线的标准方程及简单几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推

33、理能力，直观想象能力和创新能力等；考查数形结合思想，函数与方程思想，化归与转化思想等；导向对发展直观想象，逻辑推理，数学运算等核心素养的关注；体现综合性与创新性.满分 12 分.【解析一】（1）当1l的斜率为23时，得1l方程为2(2)3yx=+，1 分 由22,2(2),3ypxyx=+消元得2340ypyp+=，2 分 由弦长公式得223|1()(3)16132ABpp=+=，3 分 即29162pp=，解得2p=或29p=（舍去），从而E的标准方程为24yx=.4 分（2）设211(,)4yAy，222(,)4yBy，得21222112444AByykyyyy=+，直线AB方程为2111

34、24()4yyxyyy=+，即12124()0 xyyyy y+=，5 分 又直线AB过点(2,0)，将该点坐标代入直线方程，得128y y=.6 分 设233(,)4yCy，244(,)4yDy，同理可得348y y=，7 分 直线AD方程为14144()0 xyyyy y+=，8 分 直线BC方程为23234()0 xyyyy y+=，9 分 因为(2,0)在抛物线的对称轴上，由对称性可知，交点G必在垂直于x轴的直线上，所以只需证G的横坐标为定值即可.由141423234()0,4()0,xyyyy yxyyyy y+=+=消去y，因为直线AD与BC相交，所以2314yyyy+，解得231

35、414232314()()4()()y yyyy yyyxyyyy+=+，10 分 xyGCABD数学参考答案 第10页 共12页 12323412413423144()()y y yy y yy y yy y yyyyy+=+3241231488884()()yyyyyyyy+=+2=，11 分 所以点G的横坐标为2，即直线AD与BC的交点G在定直线2x=上.12 分【解析二】（1）同解析一.4 分（2）设直线AB的方程为1(2)yk x=+，由12(2),4,yk xyx=+=消去x得211480k yyk+=，5 分 设211(,)4yAy，222(,)4yBy，则128y y=.6 分

36、 设直线CD的方程为2(2)ykx=+，233(,)4yCy，244(,)4yDy，同理可得348y y=.7 分 直线AD方程为241112241()444yyyyyxyy=，即1441414y yyxyyyy=+，化简得14144()0 xyyyy y+=，8 分 同理，直线BC方程为23234()0 xyyyy y+=，9 分 因为(2,0)在抛物线的对称轴上，由对称性可知，交点G必在垂直于x轴的直线上，所以只需证G的横坐标为定值即可.由141423234()0,4()0,xyyyy yxyyyy y+=+=消去y，因为直线AD与BC相交，所以2314yyyy+，解得2314142323

37、14()()4()()y yyyy yyyxyyyy+=+，10 分 12323412413423144()()y y yy y yy y yy y yyyyy+=+3241231488884()()yyyyyyyy+=+2=，11 分 所以点G的横坐标为2，即直线AD与BC的交点G在定直线2x=上.12 分【解析三】（1）同解析一.4 分 数学参考答案 第11页 共12页（2）设直线AB方程为2xmy=，由22,4,xmyyx=消去x得2480ymy+=，5 分 设211(,)4yAy，222(,)4yBy，则128y y=.6 分 设直线CD的方程为2xny=，233(,)4yCy，244

38、(,)4yDy，同理可得348y y=.7 分 直线AD方程为241112241()444yyyyyxyy=，即1441414y yyxyyyy=+，化简得14144()0 xyyyy y+=，8 分 同理，直线BC方程为23234()0 xyyyy y+=，9 分 因为(2,0)在抛物线的对称轴上，由对称性可知，交点G必在垂直于x轴的直线上，所以只需证G的横坐标为定值即可.由141423234()0,4()0 xyyyy yxyyyy y+=+=，消去y，因为直线AD与BC相交，所以2314yyyy+，解得231414232314()()4()()y yyyy yyyxyyyy+=+，10

39、分 12323412413423144()()y y yy y yy y yy y yyyyy+=+3241231488884()()yyyyyyyy+=+2=，11 分 所以点G的横坐标为2，即直线AD与BC的交点G在定直线2x=上.12 分 22.（本小题满分 12 分）【命题意图】本小题主要考查函数的单调性、最值，不等式等基础知识；考查逻辑推理能力，运算求解能力和创新能力等；考查函数与方程思想，化归与转化思想，数形结合思想，分类与整合思想，特殊与一般思想等；导向对数学抽象，数学建模，数学运算核心素养的关注；体现综合性和创新性.满分 12 分.【解析】（1）()1ln1fxxx=+，1 分

40、 记1()ln1g xxx=+，则()22111xgxxxx=，数学参考答案 第12页 共12页 所以()0,1x，()0gx，所以()g x单调递减；()1,x+，()0gx，所以()g x单调递增；2 分 所以()()min10g xg=，所以()0g x，即()0fx，且仅有()10f=，所以()f x为()0,+上的增函数.3 分（2）（）由（1）得()1ln1fxxax=+，()21xgxx=，因为()1,x+，所以()0gx，所以()fx单调递增，所以()()12fxfa=，4 分 当2a时，()0fx，所以()f x为递增函数，所以()()10f xf=，满足题意；5 分 当2a

41、 时，()20fxa=，1(e)10eaaf=+，又由()fx单调递增，所以()fx有唯一零点0 x，6 分 则()00,xx时，()0fx，()f x单调递减，所以()()010f xf=，不合题意，舍去.综上，(,2a.7 分（）经计算：10.5a=，()270.5,0.612a=，()3370.6,0.760a=.8 分 因为1111110212212122nnaannnnn+=+=+，所以数列 na单调递增，所以，当1n=或2时，0.50.6na；当3n时，30.6naa.9 分 当2a=时，由（）可知，此时()0f x，即()()21ln11xxxx+，令()2111xxk=+，则2121kxk+=，则有121ln21kkk+，10 分 令1,2,2knnn=+，则有 11123254141lnlnlnln12221234121nnnnnnnnnnn+=+，11 分 因为411lnln 2ln20.72121nnn+=+，所以当3n时，0.60.7na.所以，当1n=或2时，105na=；当3n时，106.na=12 分