图形的相似与位似.doc

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1、图形的相似与位似一、选择题1（2016湖北十堰）如图，以点 O 为位似中心，将ABC 缩小后得到ABC，已知 OB=3OB，则ABC与ABC 的面积比为（ ）A1：3 B1：4 C1：5 D1：9【考点】位似变换【分析】先求出位似比，根据位似比等于相似比，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可【解答】解：OB=3OB，以点 O 为位似中心，将ABC 缩小后得到ABC，ABCABC，=，故选 D【点评】此题是位似变换，主要考查了位似比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，解本题的关键是掌握位似的性质2. （2016湖北咸宁）如图，在ABC 中，中线 BE，CD 相交于点 O，连接

2、DE，下列结论：=； =； =； =.BCDE 21SSCOBDOE21 ABAD OBOESSADEODE 31其中正确的个数有（ ）A. 1 个 B. 2 个 C.3 个 D. 4 个（第 2 题）【考点】三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质【分析】DE 是ABC 的中位线，根据三角形的中位线等于第三边长度的一半可判断；利用相似三角形面积的比等于相似比的平方可判定；利用相似三角形的性质可判断；利用相似三角面积的比等于相似比的平方可判定 【解答】解：DE 是ABC 的中位线，DE=BC，即=；21 BCDE 21故正确；DE 是ABC 的中位线，DEBCDOECOB=（）2=(）2=,S

3、SCOBDOEBCDE 21 41故错误；DEBCADEABC =ABAD BCDEDOECOB =OBOE BCDE=，ABAD OBOE故正确；ABC 的中线 BE 与 CD 交于点 O。点 O 是ABC 的重心，根据重心性质，BO=2OE，ABC 的高=3BOC 的高，且ABC 与BOC 同底（BC）SABC =3SBOC，由和知，SODE=SCOB，SADE=SBOC，41 41=.SSADEODE 31故正确.综上，正确.故选 C.【点评】本题考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质要熟知：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边长度的一半；相似三角形面积的比等于相似比的平方3

4、. (2016新疆 )如图，在ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，下列说法中不正确的是（ ）ADE=BC B =CADEABC DSADE：SABC=1：2【考点】相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理【分析】根据中位线的性质定理得到 DEBC，DE=BC，再根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质即可判定【解答】解：D、E 分别是 AB、AC 的中点，DEBC，DE=BC，=，ADEABC，A，B，C 正确，D 错误；故选：D【点评】该题主要考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质即可判定；解题的关键是正确找出对应线段，准确列出比例式求解、计算、判断或证明4. (20

5、16云南 )如图，D 是ABC 的边 BC 上一点，AB=4，AD=2，DAC=B如果ABD 的面积为 15，那么ACD 的面积为（ ）A15 B10 C D5【考点】相似三角形的判定与性质【分析】首先证明ACDBCA，由相似三角形的性质可得：ACD 的面积：ABC 的面积为 1：4，因为ABD 的面积为 9，进而求出ACD 的面积【解答】解：DAC=B，C=C，ACDBCA，AB=4，AD=2，ACD 的面积：ABC 的面积为 1：4，ACD 的面积：ABD 的面积=1：3，ABD 的面积为 15，ACD 的面积ACD 的面积=5故选 D【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质：相似三角形的

6、面积比等于相似比的平方，是中考常见题型5. (2016云南 )在四边形 ABCD 中，B=90，AC=4，ABCD，DH 垂直平分 AC，点H 为垂足设 AB=x，AD=y，则 y 关于 x 的函数关系用图象大致可以表示为（ ）ABCD【考点】相似三角形的判定与性质；函数的图象；线段垂直平分线的性质【分析】由DAHCAB，得=，求出 y 与 x 关系，再确定 x 的取值范围即可解决问题【解答】解：DH 垂直平分 AC，DA=DC，AH=HC=2，DAC=DCH，CDAB，DCA=BAC，DAN=BAC，DHA=B=90，DAHCAB，=，=，y=，ABAC，x4，图象是 D故选 D【点评】本题

7、科学相似三角形的判定和性质、相等垂直平分线性质、反比例函数等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，构建函数关系，注意自变量的取值范围的确定，属于中考常考题型6. （2016四川达州3 分）如图，在ABC 中，BF 平分ABC，AFBF 于点 F，D 为AB 的中点，连接 DF 延长交 AC 于点 E若 AB=10，BC=16，则线段 EF 的长为（ ）A2B3C4D5【考点】相似三角形的判定与性质；平行线的判定；直角三角形斜边上的中线【分析】根据直角三角形斜边上中线是斜边的一半可得 DF=AB=AD=BD=5 且ABF=BFD，结合角平分线可得CBF=DFB，即 DEBC，进而可得 DE=8，

8、由EF=DEDF 可得答案【解答】解：AFBF，AFB=90，AB=10，D 为 AB 中点，DF=AB=AD=BD=5，ABF=BFD，又BF 平分ABC，ABF=CBF，CBF=DFB，DEBC，ADEABC，=，即，解得：DE=8，EF=DEDF=3，故选：B7（2016山东烟台）如图，在平面直角坐标中，正方形 ABCD 与正方形 BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为，点 A，B，E 在 x 轴上，若正方形 BEFG 的边长为 6，则 C 点坐标为（ ）A （3，2） B （3，1）C （2，2）D （4，2）【考点】位似变换；坐标与图形性质；正方形的性质【分析】直接利

9、用位似图形的性质结合相似比得出 AD 的长，进而得出OADOBG，进而得出 AO 的长，即可得出答案【解答】解：正方形 ABCD 与正方形 BEFG 是以原点 O 为位似中心的位似图形，且相似比为，=，BG=6，AD=BC=2，ADBG，OADOBG，=，=，解得：OA=1，OB=3，C 点坐标为：（3，2） ，故选：A8（2016山西）宽与长的比是（约为 0618）的矩形叫做黄金矩形黄金矩形蕴21-5藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形 ABCD，分别取 AD，BC 的中点 E，F，连接 EF；以点 F 为圆心，以 FD 为半径画弧，交 BC

10、 的延长线与点 G；作，交 AD 的延长线于点 H则图中下列矩形是黄金矩形ADGH 的是（ D ）A矩形 ABFE B矩形 EFCD C矩形 EFGH D矩形 DCGH考点：黄金分割的识别分析：由作图方法可知 DF=CF，所以 CG=，且 GH=CD=2CF5CF) 15(从而得出黄金矩形解答：CG=，GH=2CFCF) 15(215 2) 15(CFCF GHCG矩形 DCGH 是黄金矩形 选 D9（2016四川巴中）如图，点 D、E 分别为ABC 的边 AB、AC 上的中点，则ADE 的面积与四边形 BCED 的面积的比为（ ）A1：2 B1：3 C1：4 D1：1【考点】相似三角形的判定

11、与性质【分析】证明 DE 是ABC 的中位线，由三角形中位线定理得出 DEBC，DE=BC，证出ADEABC，由相似三角形的性质得出ADE 的面积：ABC 的面积=1：4，即可得出结果【解答】解：D、E 分别为ABC 的边 AB、AC 上的中点，DE 是ABC 的中位线，DEBC，DE=BC，ADEABC，ADE 的面积：ABC 的面积=（）2=1：4，ADE 的面积：四边形 BCED 的面积=1：3；故选：B10 （2016.山东省泰安市，3 分）如图，正ABC 的边长为 4，点 P 为 BC 边上的任意一点（不与点 B、C 重合） ，且APD=60，PD 交 AB 于点 D设 BP=x，B

12、D=y，则 y 关于 x 的函数图象大致是（ ）ABCD【分析】由ABC 是正三角形，APD=60，可证得BPDCAP，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案【解答】解：ABC 是正三角形，B=C=60，BPD+APD=C+CAP，APD=60，BPD=CAP，BPDCAP，BP：AC=BD：PC，正ABC 的边长为 4，BP=x，BD=y，x：4=y：（4x） ，y=x2+x故选 C【点评】此题考查了动点问题、二次函数的图象以及相似三角形的判定与性质注意证得BPDCAP 是关键11 （2016.山东省威海市，3 分）如图，在ABC 中，B=C=36，AB 的垂直平分线交BC 于点 D，

13、交 AB 于点 H，AC 的垂直平分线交 BC 于点 E，交 AC 于点 G，连接AD，AE，则下列结论错误的是（ ）A =BAD，AE 将BAC 三等分CABEACDDSADH=SCEG【考点】黄金分割；全等三角形的判定；线段垂直平分线的性质【分析】由题意知 AB=AC、BAC=108，根据中垂线性质得B=DAB=C=CAE=36，从而知BDABAC，得=，由ADC=DAC=72得 CD=CA=BA，进而根据黄金分割定义知=，可判断 A；根据DAB=CAE=36知DAE=36可判断 B；根据BAD+DAE=CAE+DAE=72可得BAE=CAD，可证BAECAD，即可判断 C；由BAECAD

14、 知 SBAD=SCAE，根据 DH 垂直平分 AB，EG 垂直平分 AC 可得 SADH=SCEG，可判断 D【解答】解：B=C=36，AB=AC，BAC=108，DH 垂直平分 AB，EG 垂直平分 AC，DB=DA，EA=EC，B=DAB=C=CAE=36，BDABAC，=，又ADC=B+BAD=72，DAC=BACBAD=72，ADC=DAC，CD=CA=BA，BD=BCCD=BCAB，则=，即=，故 A 错误；BAC=108，B=DAB=C=CAE=36，DAE=BACDABCAE=36，即DAB=DAE=CAE=36，AD，AE 将BAC 三等分，故 B 正确；BAE=BAD+DA

15、E=72，CAD=CAE+DAE=72，BAE=CAD，在BAE 和CAD 中，BAECAD，故 C 正确；由BAECAD 可得 SBAE=SCAD，即 SBAD+SADE=SCAE+SADE，SBAD=SCAE，又DH 垂直平分 AB，EG 垂直平分 AC，SADH=SABD，SCEG=SCAE，SADH=SCEG，故 D 正确故选：A12(2016 安徽，安徽，8，4 分分)如图，ABC 中，AD 是中线，BC=8，B=DAC，则线段 AC的长为（ ）A4B4C6D4【考点】相似三角形的判定与性质【分析】根据 AD 是中线，得出 CD=4，再根据 AA 证出CBACAD，得出=，求出 AC

16、 即可【解答】解：BC=8，CD=4，在CBA 和CAD 中，B=DAC，C=C，CBACAD，=，AC2=CDBC=48=32，AC=4；13(2016 兰州，3,4 分).已知ABC DEF，若 ABC 与DEF 的相似比为 34，则 ABC 与DEF 对应中线的比为（） 。（A）34（B）43（C）916（D）169【答案】A【解析】根据相似三角形的性质，相似三角形的对应高线的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比，本题中相似三角形的相似比为 34，即对应中线的比为 34，所以答案选 A。【考点】相似三角形的性质14.(2016 兰州，6,4 分)如图，在 ABC 中，DEBC，

17、若 ADDB23，则 AEEC（） 。（A）13（B）25（C）23（D）35【答案】C【解析】根据三角形一边的平行线行性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例， AEECADDB23，所以答案选 C。【来源：21cnj*y.co*m】【考点】三角形一边的平行线性质定理二、填空题1. （2016湖北黄冈）如图，已知ABC, DCE, FEG, HGI 是 4 个全等的等腰三角形，底边 BC，CE，EG，GI 在同一条直线上，且 AB=2，BC=1. 连接 AI，交 FG 于点 Q，则QI=_.A D F HQB C E G I（第 1 题）【考点】相似三角形的

18、判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质.【分析】过点 A 作 AMBC. 根据等腰三角形的性质，得到 MC=BC=，从而21 21MI=MC+CE+EG+GI=.再根据勾股定理，计算出 AM 和 AI 的值；根据等腰三角形的性质得出27角相等，从而证明 ACGQ，则IACIQG，故=，可计算出 QI=.AIQI CIGI 34A D F HQB M C E G I【解答】解：过点 A 作 AMBC.根据等腰三角形的性质，得 MC=BC=.21 21MI=MC+CE+EG+GI=.27在 RtAMC 中，AM2=AC2-MC2= 22-（）2=.21 415AI=4.MIAM22)(272415

19、易证 ACGQ，则IACIQG=AIQI CIGI即=4QI 31QI=.34故答案为：.342. (2016四川自贡 )如图，在边长相同的小正方形网格中，点 A、B、C、D 都在这些小正方形的顶点上，AB，CD 相交于点 P，则的值= 3 ，tanAPD 的值= 2 【考点】锐角三角函数的定义；相似三角形的判定与性质【专题】网格型【分析】首先连接 BE，由题意易得 BF=CF，ACPBDP，然后由相似三角形的对应边成比例，易得 DP：CP=1：3，即可得 PF：CF=PF：BF=1：2，在 RtPBF 中，即可求得tanBPF 的值，继而求得答案【解答】解：四边形 BCED 是正方形，DBA

20、C，DBPCAP，=3，连接 BE，四边形 BCED 是正方形，DF=CF=CD，BF=BE，CD=BE，BECD，BF=CF，根据题意得：ACBD，ACPBDP，DP：CP=BD：AC=1：3，DP：DF=1：2，DP=PF=CF=BF，在 RtPBF 中，tanBPF=2，APD=BPF，tanAPD=2，故答案为：3，2【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的定义此题难度适中，解题的关键准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用3. （2016四川乐山3 分）如图 6，在中，、分别是边、上的点，ABCDEABAC且，DEBC若与的周长之比为，则_.ADEABC2:34A

21、D DB 答案答案：2解析解析：依题意，有ADEABC，因为与的周长之比为，ADEABC2:3所以，由 AD4，得：AB6，所以，DB6422 3AD AB4. （2016 江苏淮安，18，3 分）如图，在 RtABC 中，C=90，AC=6，BC=8，点 F 在边 AC 上，并且 CF=2，点 E 为边 BC 上的动点，将CEF 沿直线 EF 翻折，点 C 落在点 P处，则点 P 到边 AB 距离的最小值是 1.2 【考点】翻折变换（折叠问题）E图 6DCBA【分析】如图，延长 FP 交 AB 于 M，当 FPAB 时，点 P 到 AB 的距离最小，利用AFMABC，得到=求出 FM 即可解

22、决问题【解答】解：如图，延长 FP 交 AB 于 M，当 FPAB 时，点 P 到 AB 的距离最小A=A，AMF=C=90，AFMABC，=，CF=2，AC=6，BC=8，AF=4，AB=10，=，FM=3.2，PF=CF=2，PM=1.2点 P 到边 AB 距离的最小值是 1.2故答案为 1.2【点评】本题考查翻折变换、最短问题、相似三角形的判定和性质、勾股定理垂线段最短等知识，解题的关键是正确找到点 P 位置，属于中考常考题型5.（2016广东梅州）如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 是边 AD 的中点，EC 交对角线BD 于点 F，若，则_3DECSBCFS答案：答案：4考点考点

23、：平行四边形的性质，三角形的面积，三角形的相似的判定与性质。解析解析：因为 E 为 AD 中点，ADBC，所以，DFEBFC，所以，所以，1，1 2EFDE FCBC1 2DEFDCFSEF SFC1 3DEFDECSS又，所以，4。1 4DEFBCFS SBCFS6.（2016广西贺州）如图，在ABC 中，分别以 AC、BC 为边作等边三角形 ACD 和等边三角形 BCE，连接 AE、BD 交于点 O，则AOB 的度数为 120 【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质【分析】先证明DCBACE，再利用“8 字型”证明AOH=DCH=60即可解决问题【解答】解：如图：AC 与 BD

24、交于点 HACD，BCE 都是等边三角形，CD=CA，CB=CE，ACD=BCE=60，DCB=ACE，在DCB 和ACE 中，DCBACE，CAE=CDB，DCH+CHD+BDC=180，AOH+AHO+CAE=180，DHC=OHA，AOH=DCH=60，AOB=180AOH=120故答案为 120【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，学会利用“8 字型”证明角相等，属于中考常考题型7（2016山西）如图，已知点 C 为线段 AB 的中点，CDAB 且 CD=AB=4，连接AD，BEAB，AE 是的平分线，与 DC 相交于点 F，E

25、HDC 于点 G，交 AD 于点 H，DAB则 HG 的长为 ）（或152525-3考点：勾股定理，相似，平行线的性质，角平分线；分析：由勾股定理求出 DA，由平行得出，由角平分得出2132从而得出，所以 HE=HA31再利用DGHDCA 即可求出 HE，从而求出 HG解答：如图（1）由勾股定理可得DA=52422222CDAC由 AE 是的平分线可知DAB21由 CDAB，BEAB，EHDC 可知四边形 GEBC 为矩形，HEAB，3231故 EH=HA设 EH=HA=x则 GH=x-2，DH=x52HEAC DGHDCA即ACHG DADH2252-52xx解得 x= 故 HG=EH-EG

26、=-2= 5-55-5538（2016上海）在ABC 中，点 D、E 分别是边 AB、AC 的中点，那么ADE 的面积与ABC 的面积的比是 【考点】三角形中位线定理【分析】构建三角形中位线定理得 DEBC，推出ADEABC，所以=（）2，由此即可证明【解答】解：如图，AD=DB，AE=EC，DEBCDE=BC，ADEABC，=（）2=，故答案为【点评】本题考查三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是记住相似三角形的面积比等于相似比的平方，属于中考常考题型9（2016辽宁沈阳）如图，在 RtABC 中，A=90，AB=AC，BC=20，DE 是ABC的中位线，点 M 是边 BC

27、上一点，BM=3，点 N 是线段 MC 上的一个动点，连接DN，ME，DN 与 ME 相交于点 O若OMN 是直角三角形，则 DO 的长是 或 【考点】三角形中位线定理【分析】分两种情形讨论即可MNO=90，根据=计算即可MON=90，利用DOEEFM，得=计算即可【解答】解：如图作 EFBC 于 F，DNBC 于 N交 EM 于点 O，此时MNO=90，DE 是ABC 中位线，DEBC，DE=BC=10，DNEF，四边形 DEFN是平行四边形，EFN=90，四边形 DEFN是矩形，EF=DN，DE=FN=10，AB=AC，A=90，B=C=45，BN=DN=EF=FC=5，=，=，DO=当M

28、ON=90时，DOEEFM，=，EM=13，DO=，故答案为或【点评】本题考查三角形中位线定理、矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会分类讨论，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型10 （2016.山东省威海市，3 分）如图，直线 y=x+1 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，BOC 与BOC是以点 A 为位似中心的位似图形，且相似比为 1：3，则点 B 的对应点 B的坐标为 （8，3）或（4，3） 【考点】位似变换；一次函数图象上点的坐标特征【分析】首先解得点 A 和点 B 的坐标，再利用位似变换可得结果【解答】解：直线 y=x+1 与 x 轴交

29、于点 A，与 y 轴交于点 B，令 x=0 可得 y=1；令 y=0 可得 x=2，点 A 和点 B 的坐标分别为（2，0） ；（0，1） ，BOC 与BOC是以点 A 为位似中心的位似图形，且相似比为 1：3，=，OB=3，AO=6，B的坐标为（8，3）或（4，3） 故答案为：（8，3）或（4，3） 11. （2016江苏南京）如图，AB、CD 相交于点 O，OC=2，OD=3，ACBD.EF 是ODB 的中位线，且 EF=2，则 AC 的长为_.答案答案：8 3考点考点：三角形的中位线，三角形相似的性质。解析解析：因为 EF 是ODB 的中位线，EF2，所以，DB4，又 ACBD，所以，所

30、以，AC.2 3ACOC DBOD8 312 （2016江苏苏州）如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B 的坐标分别为（ 8，0） 、 （0，2） ，C 是 AB 的中点，过点C 作 y 轴的垂线，垂足为D，动点 P 从点 D 出发，沿 DC 向点 C 匀速运动，过点P 作 x 轴的垂线，垂足为 E，连接 BP、EC当 BP 所在直线与EC 所在直线第一次垂直时，点P的坐标为 （1，） 【考点 】坐标与图形性质；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质【分析 】先根据题意求得CD 和 PE 的长，再判定 EPCPDB，列出相关的比例式，求得DP 的长，最后根据PE、DP 的长得到点P 的坐标

31、【解答 】解： 点 A、B 的坐标分别为（ 8，0） ， （0，2）BO=，AO=8由 CDBO，C 是 AB 的中点，可得BD=DO=BO=PE，CD=AO=4设 DP=a，则 CP=4a当 BP 所在直线与EC 所在直线第一次垂直时，FCP=DBP又EPCP，PDBDEPC=PDB=90EPCPDB，即解得 a1=1，a2=3（舍去）DP=1又PE=P（1，）故答案为：（ 1，）13 （2016江苏泰州）如图，ABC 中，D、E 分别在 AB、AC 上，DEBC，AD：AB=1：3，则ADE 与ABC 的面积之比为 1：9 【考点】相似三角形的判定与性质【分析】由 DE 与 BC 平行，得

32、到两对同位角相等，利用两对角相等的三角形相似得到三角形 ADE 与三角形 ABC 相似，利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得到结果【解答】解：DEBC，ADE=B，AED=C，ADEABC，SADE：SABC=（AD：AB）2=1：9，故答案为：1：914(2016江苏省宿迁）若两个相似三角形的面积比为 1：4，则这两个相似三角形的周长比是 1：2 【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，根据似三角形周长的比等于相似比得到答案【解答】解：两个相似三角形的面积比为 1：4，这两个相似三角形的相似比为 1：2，这两个相似三角形的周长比是 1：2，故答案为：1：2【点评】

33、本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键三、解答题1 （2016黑龙江大庆）如图，在菱形 ABCD 中，G 是 BD 上一点，连接 CG 并延长交 BA 的延长线于点 F，交 AD 于点 E（1）求证：AG=CG（2）求证：AG2=GEGF【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；菱形的性质【专题】证明题【分析】根据菱形的性质得到 ABCD，AD=CD，ADB=CDB，推出ADGCDG，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）由全等三角形的性质得到EAG=DCG，等量代换得到EAG=F，求得AEGFGA，即可得

34、到结论【解答】解：（1）四边形 ABCD 是菱形，ABCD，AD=CD，ADB=CDB，FFCD，在ADG 与CDG 中，ADGCDG，EAG=DCG，AG=CG；（2）ADGCDG，EAG=F，AGE=AGE，AEGFGA，AG2=GEGF【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各定理是解题的关键2. （2016湖北黄冈）（满分 8 分）如图，AB 是半圆 O 的直径，点 P 是 BA 延长线上一点，PC 是O 的切线，切点为 C. 过点 B 作 BDPC 交 PC 的延长线于点 D，连接 BC. 求证： （1）PBC =CBD; （2）BC2=

35、ABBD DCP A O B（第 2 题）【考点】切线的性质，相似三角形的判定和性质.【分析】（1）连接 OC，运用切线的性质，可得出OCD=90，从而证明 OCBD，得到CBD=OCB，再根据半径相等得出OCB=PBC，等量代换得到PBC =CBD.（2）连接 AC. 要得到 BC2=ABBD，需证明ABCCBD，故从证明ACB=BDC，PBC=CBD 入手.【解答】证明：（1）连接 OC，PC 是O 的切线，OCD=90. 1 分又BDPCBDP=90OCBD.CBD=OCB.OB=OC .OCB=PBC.PBC=CBD. .4 分DCP A O B（2）连接 AC.AB 是直径，BDP=

36、90.又BDC=90，ACB=BDC.PBC=CBD,ABCCBD. 6 分=.BCAB BDBCBC2=ABBD. .8 分DCP A O B3（2016湖北十堰）如图 1，AB 为半圆 O 的直径，D 为 BA 的延长线上一点，DC 为半圆O 的切线，切点为 C（1）求证：ACD=B；（2）如图 2，BDC 的平分线分别交 AC，BC 于点 E，F；求 tanCFE 的值；若 AC=3，BC=4，求 CE 的长【考点】切线的性质【分析】（1）利用等角的余角相等即可证明（2）只要证明CEF=CFE 即可由DCADBC，得=，设 DC=3k，DB=4k，由 CD2=DADB，得9k2=（4k5

37、）4k，由此求出 DC，DB，再由DCEDBF，得=，设 EC=CF=x，列出方程即可解决问题【解答】（1）证明：如图 1 中，连接 OCOA=OC，1=2，CD 是O 切线，OCCD，DCO=90，3+2=90，AB 是直径，1+B=90，3=B（2）解：CEF=ECD+CDE，CFE=B+FDB，CDE=FDB，ECD=B，CEF=CFE，ECF=90，CEF=CFE=45，tanCFE=tan45=1在 RTABC 中，AC=3，BC=4，AB=5，CDA=BDC，DCA=B，DCADBC，=，设 DC=3k，DB=4k，CD2=DADB，9k2=（4k5）4k，k=，CD=，DB=，C

38、DE=BDF，DCE=B，DCEDBF，=，设 EC=CF=x，=，x=CE=【点评】本题考查切线的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，利用相似三角形的性质解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型4. (2016四川自贡 )已知矩形 ABCD 的一条边 AD=8，将矩形 ABCD 折叠，使得顶点B 落在 CD 边上的 P 点处（）如图 1，已知折痕与边 BC 交于点 O，连接 AP、OP、OA若OCP 与PDA 的面积比为 1：4，求边 CD 的长（）如图 2，在（）的条件下，擦去折痕 AO、线段 OP，连接 BP动点 M 在线段 AP上（

39、点 M 与点 P、A 不重合），动点 N 在线段 AB 的延长线上，且 BN=PM，连接 MN 交PB 于点 F，作 MEBP 于点 E试问当动点 M、N 在移动的过程中，线段 EF 的长度是否发生变化？若变化，说明变化规律若不变，求出线段 EF 的长度【考点】几何变换综合题【分析】（1）先证出C=D=90，再根据1+3=90，1+2=90，得出2=3，即可证出OCPPDA；根据OCP 与PDA 的面积比为 1：4，得出 CP=AD=4，设 OP=x，则 CO=8x，由勾股定理得 x2=（8x）2+42，求出 x，最后根据 AB=2OP 即可求出边 AB 的长；（2）作 MQAN，交 PB 于

40、点 Q，求出 MP=MQ，BN=QM，得出 MP=MQ，根据MEPQ，得出 EQ=PQ，根据QMF=BNF，证出MFQNFB，得出 QF=QB，再求出 EF=PB，由（1）中的结论求出 PB=，最后代入 EF=PB 即可得出线段 EF 的长度不变【解答】解：（1）如图 1，四边形 ABCD 是矩形，C=D=90，1+3=90，由折叠可得APO=B=90，1+2=90，2=3，又D=C，OCPPDA；OCP 与PDA 的面积比为 1：4，CP=AD=4，设 OP=x，则 CO=8x，在 RtPCO 中，C=90，由勾股定理得 x2=（8x）2+42，解得：x=5，AB=AP=2OP=10，边 C

41、D 的长为 10；（2）作 MQAN，交 PB 于点 Q，如图 2，AP=AB，MQAN，APB=ABP=MQPMP=MQ，BN=PM，BN=QMMP=MQ，MEPQ，EQ=PQMQAN，QMF=BNF，在MFQ 和NFB 中，MFQNFB（AAS）QF=QB，EF=EQ+QF=PQ+QB=PB，由（1）中的结论可得：PC=4，BC=8，C=90，PB=，EF=PB=2，在（1）的条件下，当点 M、N 在移动过程中，线段 EF 的长度不变，它的长度为 2【点评】此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质，关键是做出辅助线，找出

42、全等和相似的三角形5. （2016四川达州8 分）如图，已知 AB 为半圆 O 的直径，C 为半圆 O 上一点，连接AC，BC，过点 O 作 ODAC 于点 D，过点 A 作半圆 O 的切线交 OD 的延长线于点 E，连接 BD 并延长交 AE 于点 F（1）求证：AEBC=ADAB；（2）若半圆 O 的直径为 10，sinBAC=，求 AF 的长【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；切线的性质；锐角三角函数的定义【分析】 （1）只要证明EADABC 即可解决问题（2）作 DMAB 于 M，利用 DMAE，得=，求出 DM、BM 即可解决问题【解答】 （1）证明：AB 为半圆 O 的直径，

43、C=90，ODAC，CAB+AOE=90，ADE=C=90，AE 是切线，OAAE，E+AOE=90，E=CAB，EADABC，AE：AB=AD：BC，AEBC=ADAB（2）解：作 DMAB 于 M，半圆 O 的直径为 10，sinBAC=，BC=ABsinBAC=6，AC=8，OEAC，AD=AC=4，OD=BC=3，sinMAD=，DM=，AM=，BM=ABAM=，DMAE，=，AF=6. （2016四川广安8 分）在数学活动课上，老师要求学生在 55 的正方形 ABCD 网格中（小正方形的边长为 1）画直角三角形，要求三个顶点都在格点上，而且三边与 AB 或AD 都不平行画四种图形，并直接写出其周长（所画图象相似的只算一种） 【考点】作图相似变换【分析】在图 1 中画等腰直角三角形；在图 2、3、4 中画有一条直角边为，另一条直角边分别为 3，4，2的直角三角形，然后计算