相似形和圆(中考专题复习)..ppt

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1、 同学们同学们,当老师提问或请同当老师提问或请同学们练习时，你可以按播放器上学们练习时，你可以按播放器上的暂停键思考或练习，然后再点的暂停键思考或练习，然后再点击播放键击播放键.相似形和圆相似形和圆 单单 位位 镇江市扬中实验中学镇江市扬中实验中学主主 讲讲 陈金女陈金女课题 审稿审稿 扬中市教研室扬中市教研室 施淑琴施淑琴考点链接考点链接知识梳理知识梳理典型例题典型例题命题分析命题分析考点链接考点链接知识梳理知识梳理1.比例的基本性质及运用；比例的基本性质及运用；2.相似三角形的性质和判定；相似三角形的性质和判定；3.相似多边形及位似图形。相似多边形及位似图形。命题分析命题分析 与近几年各地

2、的中考试卷相比，与近几年各地的中考试卷相比，2009年全国年全国各地中考数学试卷对相似这个专题内容的考查总各地中考数学试卷对相似这个专题内容的考查总体上呈现出紧扣体上呈现出紧扣标准标准、考查基础、注重联系、考查基础、注重联系、学以致用等特点，其中的亮点阐释如下学以致用等特点，其中的亮点阐释如下:1、紧扣、紧扣标准标准，考查基本知识、基本技能和基本数，考查基本知识、基本技能和基本数学思想方法；学思想方法；2、与其它知识有机结合，考查综合应用知识解决问题的、与其它知识有机结合，考查综合应用知识解决问题的能力；能力；3、创设趣味情境，考查学生应用所学知识解决问题的、创设趣味情境，考查学生应用所学知识

3、解决问题的能力；能力；典型例题分析典型例题分析例例1 如图，在长为如图，在长为8 cm、宽为、宽为4 cm的的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（留下矩形的面积是（）A.2 B.4 C.8 D.16c例例2、如、如图图，在一直在一直线线上，且上，且写出写出图图中所有的相似三角形。中所有的相似三角形。解：解：例例3：如：如图图，矩形，矩形的的顶顶点点分分别别上，上，在在边边上，上，若若求矩形求矩形的的长长与与宽宽。在在解：解：设设在矩形在矩形中，中，,即即上，且且满满足足例例4

4、已知已知 为线为线段段上的上的动动点，点点，点在射在射 线线（如图（如图1所示）所示）ADPCBQ图1 （1）当）当，且点且点 与点与点 重合重合时时（如（如图图2所示），所示），的的长长；求线段求线段DAPCB（Q）图2解：解：为等腰直角三角形为等腰直角三角形根据勾股定理：根据勾股定理：（2）在图）在图1中，连结中，连结 当当，且点且点 在线段在线段 上时，设点上时，设点 之间的距离之间的距离 为为，其中其中 表示表示 的面积的面积，表示表示 的面积的面积，求求 关关 于于 的函数解析式，并写出的函数解析式，并写出x的取值范围的取值范围 32AD=ADPCBQ图1如如图图：连连接接过过点点

5、作作于点于点，于点于点,设设则则例例5、在某次活、在某次活动课动课中，甲、乙、丙三个学中，甲、乙、丙三个学习习小小组组于同于同一一时时刻在阳光下刻在阳光下对对校园中一些物体校园中一些物体进进行了行了测测量量.下面是下面是他他们们通通过测过测量得到的一些信息：量得到的一些信息：甲甲组组：如：如图图1 1，测测得一根直立于平地，得一根直立于平地，长为长为80cm80cm的竹竿的竹竿的影的影长为长为60cm.60cm.乙乙组组：如：如图图2 2，测测得学校旗杆的影得学校旗杆的影长为长为900cm.900cm.丙丙组组：如：如图图3，测测得校园景灯（灯罩得校园景灯（灯罩视为视为球体，灯杆球体，灯杆为为

6、圆圆柱体，其粗柱体，其粗细细忽略不忽略不计计）的高度）的高度为为200cm，影，影长为长为156cm.任任务务要求要求（1）请请根据甲、乙两根据甲、乙两组组得到的信息得到的信息计计算出学校旗杆的算出学校旗杆的高度；高度；（2）如）如图图3，设设太阳光太阳光线线与与相切于点相切于点.请请根根O 据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径（友情据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径（友情提示：如图提示：如图3，景灯的影长等于线段，景灯的影长等于线段D DFE900cm图图2BCA60cm80cm图图1GHNE156cmMEOE200cm图图3KE的影的影长长；需要；需要）.时可采用等式时可采用等式

7、解：（解：（1）由）由题题意可知：意可知：即即DE=1200（cm）所以，学校旗杆的高度是所以，学校旗杆的高度是12m D DFE900cm图图2BCA60cm80cm图图1图图3GHN156cmMO200cmK解：由（解：由（1）知）知:与与设设 的半径为的半径为设设 相切，相切，答：景灯灯罩的半径是答：景灯灯罩的半径是12cm连接连接中考复习建议给学生的几点建议：给学生的几点建议：1、落实基础知识是关键；、落实基础知识是关键；2、注意应用意识和能力的训练、注意应用意识和能力的训练考点链接考点链接知识梳理知识梳理2、与圆有关的位置关系、与圆有关的位置关系 （1）点与点与圆圆的位置关系；的位置

8、关系；（2）直线与圆的位置关系；）直线与圆的位置关系；（3）圆与圆的位置关系。）圆与圆的位置关系。3、圆圆中的中的计计算算（1）扇形的面扇形的面积积、弧、弧长长；（2）圆锥圆锥的的侧侧面面积积和全面和全面积积。1、圆的相关概念与基本性质、圆的相关概念与基本性质（1）弧、弦、弦心距；）弧、弦、弦心距；（2）圆周角、圆心角；）圆周角、圆心角；（3）圆的对称性。）圆的对称性。命题分析命题分析 与近几年各地的中考试卷相比，与近几年各地的中考试卷相比，2009年全国各地中年全国各地中考数学试卷对圆这个专题内容的考查总体上变化不大，考数学试卷对圆这个专题内容的考查总体上变化不大，比较平稳，仍旧注重比较平稳

9、，仍旧注重“双基双基”的考查。当然，也有一些的考查。当然，也有一些令人耳目一新的创新性题目和题型，够成了一道亮丽的令人耳目一新的创新性题目和题型，够成了一道亮丽的风景线，在这里分别结合以下几类综合题加以说明。风景线，在这里分别结合以下几类综合题加以说明。1、圆与相似三角形综合题、圆与相似三角形综合题2、圆与三角函数综合题、圆与三角函数综合题3、圆的证明与计算、圆的证明与计算4、圆的动点问题、圆的动点问题典型例题分析典型例题分析圆与相似三角形综合题圆与相似三角形综合题证明：证明：AB是是 O的直径，的直径，ACB=90，又又CDAB于于D，BCD=A，A=F，F=BCD=BCG，在，在BCG和和

10、BFC中，中，BCGBFC 例例1 （湖北（湖北黄冈卷）如图，已知黄冈卷）如图，已知AB是是 O的直径，的直径，点点C是是 O上一点，连结上一点，连结BC，AC，过点，过点C作直线作直线CDAB于于点点D，点，点E是是AB上一点，直线上一点，直线CE交交 O于点于点F，连结，连结BF，与，与直线直线CD交于点交于点G求证：求证：BC =BGBF 2解：延长解：延长CG交交 O于点于点M,例例2 已知：如已知：如图图，在，在ABC中，中，AB=AC,AE是角是角平分平分线线，BM平分平分ABC交交AE于点于点M,经过经过B,M两点两点的的 O交交BC于点于点G,交交AB于点于点F,FB恰恰为为

11、O的直径的直径.（1）求）求证证：AE与与 O相切；相切；（2）当）当BC=4,cosC=时时，求，求 O的半径的半径.，证证明：明：连结连结，则则是角平分是角平分线线，平分平分在在中，中，与与相切相切，圆与三角函数综合题OBGECMAF123OBGECMAF（2）解：在）解：在中，中，是角平分是角平分线线，在在中，中，设设的半径的半径为为，则则解得解得的半径的半径为为OBGECMAF12313、已知：如、已知：如图图，ABC中，中，AC=BC，以，以BC为为直径的直径的 O交交AB于于E，过过点点E作作EDAC于于D.（1）求）求证证：AE=BE;ED是是 O的切的切线线;（2）若）若BC=

12、4，B=30，求，求.圆的证明与计算解：（解：（1）连连接接 ED是是 O的切线的切线;由勾股定理得：由勾股定理得：例例4.如如图图1：在矩形：在矩形中中,点点 从从开始开始,沿折沿折线线以以/s/s的速度移的速度移从从 开始开始,沿沿边边以以的速度移的速度移动动,点点 和点和点同同时时出出发发,当其中一点到达当其中一点到达时时,另一点也随之停止另一点也随之停止(单单位位:s),:s),问问 为为何何值时值时,四四边边形形为为矩形矩形?动动,点点运动运动.(1)设运动时间设运动时间为为(2)(2)如如图图2,2,如果如果 和和 的半径都是的半径都是,那么那么为为何何值时值时,和和 外切外切?图

13、图 1图图 2动点问题解解:(1):(1)当当时时,为为矩形矩形.,解得解得 四边形四边形 为为为为矩形矩形.时时,四边形四边形(2)(2)当当时时,两两圆圆相切相切,应应分三种情况分三种情况讨论讨论.在在上上.只有当四只有当四边边形形为为矩形矩形时时,对对于于这这种情况由种情况由(1)(1)得得点点在在上运上运动动.点点令令 当点当点在点在点的右的右侧时侧时,综综上所述上所述,当当、时时，两，两圆圆外切外切.点点在在上上.此此时时 5,5,5,5,故故5 54,4,故两故两圆圆不可能外切不可能外切.当点当点在点在点的左的左侧时侧时,令令和和 的半径分的半径分别为别为和和,那么那么为为何何值时

14、值时,和和 外切外切?(2)如果如果 解解题题反思反思:和和外切的可能性外切的可能性进进行探究行探究;情况对情况对(1)点点 有三种情况有三种情况,应应根据不同的根据不同的 中考复习建议给学生的几点建议：给学生的几点建议：1、加强圆部分的数形结合思想的训练；、加强圆部分的数形结合思想的训练；2、注意圆与各部分知识综合题型的训练；、注意圆与各部分知识综合题型的训练；3、注意动点问题的训练；、注意动点问题的训练；4、注意结合实际生活背景的探究题的训练。、注意结合实际生活背景的探究题的训练。结结 束束（2）在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的

15、比，那么这四条线段叫做成比例线段。简两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段。简称比例线段。已知四条线段称比例线段。已知四条线段 如果如果 或者或者 那么叫做成比例的项。比例两端的两项那么叫做成比例的项。比例两端的两项 叫做比例外项，中间的两项叫做比例外项，中间的两项 叫做比例内项，线段叫做比例内项，线段 叫做叫做 的第四比例项。当线段内项相同时，即的第四比例项。当线段内项相同时，即 或或那么线段那么线段 叫做线段叫做线段 和和 的比例的比例中项。中项。（1）如果选用如果选用同一长度单位同一长度单位的两条线段的两条线段 的长度分的长度分。，那么就那么就说这说这两条两条线线段的比是段的比是：别

16、为别为（3）比例的性质）比例的性质基本性质：基本性质：合比性质：合比性质：等比性质等比性质：（4）在线段）在线段 上有一点上有一点 若若，则点，则点 就是就是 的黄金分割点。的黄金分割点。与与的比叫做黄金比。的比叫做黄金比。（1）相似三角形定义：三个角对应相等，三条边对应成）相似三角形定义：三个角对应相等，三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形；相似三角形对应边比例的两个三角形叫做相似三角形；相似三角形对应边的比叫做相似比。的比叫做相似比。（2）相似三角形判定相似三角形判定一般三角形一般三角形直角三角形直角三角形两角两角对应对应相等相等一个一个锐锐角相等角相等两两边对应边对应成比例，成比例

17、，相相应应的的夹夹角角相等相等两两边边对应对应成比例成比例三三边对应边对应成比例成比例相似三角形性相似三角形性质质1、对应对应角相等；角相等；2、对应对应高、高、对应对应角平分角平分线线和和对应对应中中线线的比都等于相似比；的比都等于相似比；3、周周长长的比等于相似比，的比等于相似比，面面积积的比等于相似比的平方的比等于相似比的平方。（3）（1）定义：各角对应相等、各边对应成比例的两个多边）定义：各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形；相似多边形对应边的比叫做相似比。形叫做相似多边形；相似多边形对应边的比叫做相似比。（2）相似多边形的性质：相似多边形周长的比等于相似）相似多边形

18、的性质：相似多边形周长的比等于相似比；面积比等于相似比的平方。比；面积比等于相似比的平方。（3）位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，）位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。相似比又称为位似比。圆的有关概念圆的有关概念（1）圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的所）圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中，定点为圆心，定长有点组成的图形叫做圆，其中

19、，定点为圆心，定长为半径。为半径。（2）弦：连接圆上两点的线段叫做弦，直径是过圆）弦：连接圆上两点的线段叫做弦，直径是过圆心的弦，也是圆中最长的弦。心的弦，也是圆中最长的弦。（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。（4）弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。）弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。（5）圆心角：顶点在圆心，角两边与圆相交的角叫）圆心角：顶点在圆心，角两边与圆相交的角叫做圆心角。做圆心角。（6）圆周角：顶点在圆上，角两边与圆相交的角叫）圆周角：顶点在

20、圆上，角两边与圆相交的角叫做圆周角做圆周角 圆圆的有关性的有关性质质（1）圆圆是是轴对轴对称称图图形，其形，其对对称称轴轴是任意一条是任意一条过圆过圆心的心的直直线线；圆圆也是中心也是中心对对称称图图形，形，对对称中心是称中心是圆圆心。心。（2）垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分：垂直于弦的直径平分这这条弦，并且平条弦，并且平分弦所分弦所对对的弧。的弧。推推论论：平分弦（不是直径）的直：平分弦（不是直径）的直经经垂直于弦，并且平垂直于弦，并且平分弦所分弦所对对的弧。的弧。（3）在同在同圆圆或等或等圆圆中中，如果两个，如果两个圆圆心角、两条弧、两心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中的一条弦、

21、两条弦的弦心距中的一组组量相等，其余各量相等，其余各组组量都量都分分别别相等。相等。（4）圆圆周角定理及其推周角定理及其推论论：定理：一条弧所定理：一条弧所对对的的圆圆周角等于它所周角等于它所对对的的圆圆心角的一半。心角的一半。推推论论：同弧或等弧所：同弧或等弧所对对的的圆圆周角相等；周角相等；直径所直径所对对的的圆圆周周角是直角；角是直角；的的圆圆周角所周角所对对的弦是直径。的弦是直径。三角形的内心和外心三角形的内心和外心（1）确定圆的条件：过）确定圆的条件：过不在同一直线上不在同一直线上的三点确的三点确定一个圆。定一个圆。（2）三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，）三角形的外心：三角

22、形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心是三角形这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心是三角形的三边中垂线的交点，叫做三角形的外心。的三边中垂线的交点，叫做三角形的外心。（3）三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫）三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆。内切圆的圆心是三角形三条角平做三角形的内切圆。内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。分线的交点，叫做三角形的内心。点与点与圆圆的位置关系的位置关系 设设点与点与圆圆心距离是心距离是，圆圆的半径是的半径是点在点在圆圆内内点在点在圆圆上上点在点在圆圆外外直直线线与与圆圆的位置关系及切的

23、位置关系及切线线性性质质与判定与判定（1）直）直线线与与圆圆的位置关系：的位置关系：设设 半径半径为为，点，点到直到直线线的距离是的距离是直直线线与与圆圆相交相交直直线线与与圆圆相切相切直直线线与与圆圆相离相离（2）切）切线线的性的性质质定理与判定定理定理与判定定理切切线线定定义义：直：直线线和和圆圆有唯一公共点有唯一公共点时时，这这条条直直线线叫做叫做圆圆的切的切线线；性性质质定理：定理：圆圆的切的切线线垂直于垂直于经过经过切点的直径；切点的直径；判定定理：判定定理：经过经过半径的外端，并且垂直于半径的外端，并且垂直于这这条半条半径的直径的直线线是是圆圆的切的切线线。圆圆与与圆圆的位置关系的位置关系设设 的半径分的半径分别别是是、（），），相离：两相离：两圆圆外离外离+两两圆圆内含内含-相交：两相交：两圆圆相交相交相切：两相切：两圆圆外切外切两两圆圆内切内切（注：两（注：两圆圆内含内含时时，如果，如果为为0，则则两两圆为圆为同心同心圆圆）弧弧长长设设 半径半径为为，圆圆心角是心角是，则则弧弧长长扇形面扇形面积积半径半径为为，圆圆心角是心角是，则则圆锥圆锥的的侧侧面面积积与全面与全面积积圆锥圆锥的底面的底面圆圆的半径的半径为为，母，母线长线长，则则