锐角三角函数与特殊角.doc

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1、锐角三角函数与特殊角一、选择题1. （2016四川达州3 分）如图，半径为 3 的A 经过原点 O 和点 C（0，2） ，B 是 y 轴左侧A 优弧上一点，则 tanOBC 为（ ）A B2CD【考点】圆周角定理；锐角三角函数的定义【分析】作直径 CD，根据勾股定理求出 OD，根据正切的定义求出 tanCDO，根据圆周角定理得到OBC=CDO，等量代换即可【解答】解：作直径 CD，在 RtOCD 中，CD=6，OC=2，则 OD=4，tanCDO=，由圆周角定理得，OBC=CDO，则 tanOBC=，故选：C2. （2016四川乐山3 分）如图，在中，于点，3Rt ABC90BACADBCD则

2、下列结论不正确的是( )AsinADBAB( )BsinACBBC( )CsinADBAC()DsinCDBAC答案：C解析：考查正弦函数的概念。由正弦函数的定义，知：A、B 正确，又CADB，所以，D 也正确，故不正确的是 C。sinsinCDBCADAC3.(2016 广东，8,3 分)如图，在平面直角坐标系中，点 A 坐标为（4,3） ，那么 cos的值是（ ）A、 B、 C、 D、3 44 33 54 5答案：D考点：三角函数，勾股定理。解析：过点 A 作 AB 垂直 x 轴与 B，则 AB3，OB4，由勾股定理，得 OA5，所以，选 D。4cos5OB OA4. （2016 年浙江省

3、衢州市）如图，AB 是O 的直径，C 是O 上的点，过点 C 作O 的切线交 AB 的延长线于点 E，若A=30，则 sinE 的值为（ ）A BCD【考点】切线的性质【分析】首先连接 OC，由 CE 是O 切线，可证得 OCCE，又由圆周角定理，求得BOC 的度数，继而求得E 的度数，然后由特殊角的三角函数值，求得答案【解答】解：连接 OC，CE 是O 切线，OCCE，A=30，BOC=2A=60，E=90BOC=30，sinE=sin30=oxyA故选 A5（2016山东烟台）如图，是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算cos55，按键顺序正确的是（ ）ABCD【考点】

4、计算器三角函数；计算器数的开方【分析】简单的电子计算器工作顺序是先输入者先算，其中 RCM 表示存储、读出键，M+为存储加键，M为存储减键，根据按键顺序写出式子，再根据开方运算即可求出显示的结果【解答】解：利用该型号计算器计算cos55，按键顺序正确的是故选：C6（2016山东烟台）如图，O 的半径为 1，AD，BC 是O 的两条互相垂直的直径，点P 从点 O 出发（P 点与 O 点不重合） ，沿 OCD 的路线运动，设 AP=x，sinAPB=y，那么 y 与 x 之间的关系图象大致是（ ）ABCD【考点】动点问题的函数图象【分析】根据题意确定出 y 与 x 的关系式，即可确定出图象【解答】

5、解：根据题意得：sinAPB=，OA=1，AP=x，sinAPB=y，xy=1，即 y=（1x2） ，图象为：，故选 B7（2016辽宁沈阳）如图，在 RtABC 中，C=90，B=30，AB=8，则 BC 的长是（ ）A B4 C8D4【考点】解直角三角形【分析】根据 cosB=及特殊角的三角函数值解题即可【解答】解：在 RtABC 中，C=90，B=30，AB=8，cosB=，即 cos30=，BC=8=4；故选：D8. (2016 兰州，4,4 分)在 Rt ABC 中，C90 ，sinA35，BC6，则 AB（） 。（A）4 （B）6 （C）8 （D）10【答案】D【解析】在 Rt A

6、BC 中，sinABCAB6AB35，解得 AB10，所以答案选 D。【考点】三角函数的运用【点评】本题考查了三角函数的定义及特殊角的三角函数值，是基础知识，需要熟练掌握9 （2016江苏无锡）sin30的值为（ ）A BCD【考点】特殊角的三角函数值【分析】根据特殊角的三角函数值，可以求得 sin30的值【解答】解：sin30=，故选 A二、填空题1（2016黑龙江大庆）一艘轮船在小岛 A 的北偏东 60方向距小岛 80 海里的 B 处，沿正西方向航行 3 小时后到达小岛的北偏西 45的 C 处，则该船行驶的速度为 海里/小时【考点】解直角三角形的应用、锐角三角函数【分析】设该船行驶的速度为

7、 x 海里/时，由已知可得 BC=3x，AQBC，BAQ=60，CAQ=45，AB=80 海里，在直角三角形 ABQ 中求出 AQ、BQ，再在直角三角形 AQC 中求出CQ，得出 BC=40+40=3x，解方程即可【解答】解：如图所示：设该船行驶的速度为 x 海里/时，3 小时后到达小岛的北偏西 45的 C 处，由题意得：AB=80 海里，BC=3x 海里，在直角三角形 ABQ 中，BAQ=60，B=9060=30，AQ=AB=40，BQ=AQ=40，在直角三角形 AQC 中，CAQ=45，CQ=AQ=40，BC=40+40=3x，解得：x=即该船行驶的速度为海里/时；故答案为：【点评】本题考

8、查了解直角三角形的应用中的方向角问题、等腰直角三角形的性质、含30角的直角三角形的性质等知识；通过解直角三角形得出方程是解决问题的关键2. (2016四川自贡 )如图，在边长相同的小正方形网格中，点 A、B、C、D 都在这些小正方形的顶点上，AB，CD 相交于点 P，则的值= 3 ，tanAPD 的值= 2 【考点】锐角三角函数的定义；相似三角形的判定与性质【专题】网格型【分析】首先连接 BE，由题意易得 BF=CF，ACPBDP，然后由相似三角形的对应边成比例，易得 DP：CP=1：3，即可得 PF：CF=PF：BF=1：2，在 RtPBF 中，即可求得tanBPF 的值，继而求得答案【解答

9、】解：四边形 BCED 是正方形，DBAC，DBPCAP，=3，连接 BE，四边形 BCED 是正方形，DF=CF=CD，BF=BE，CD=BE，BECD，BF=CF，根据题意得：ACBD，ACPBDP，DP：CP=BD：AC=1：3，DP：DF=1：2，DP=PF=CF=BF，在 RtPBF 中，tanBPF=2，APD=BPF，tanAPD=2，故答案为：3，2【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的定义此题难度适中，解题的关键准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用3. (2016新疆 )计算：（2）2+|1|2sin60【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数

10、值【专题】计算题【分析】根据实数的运算顺序，首先计算乘方，然后从左向右依次计算，求出算式（2）0+|1|2sin60的值是多少即可【解答】解：（2）2+|1|2sin60=4+12=【点评】（1）此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用（2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：a0=1（a0）；001（3）此题还考查了特殊角的三角函数值，要牢记 30、45、

11、60角的各种三角函数值4（2016上海）如图，矩形 ABCD 中，BC=2，将矩形 ABCD 绕点 D 顺时针旋转 90，点 A、C 分别落在点 A、C处如果点 A、C、B 在同一条直线上，那么 tanABA的值为 【考点】旋转的性质；矩形的性质；锐角三角函数的定义【分析】设 AB=x，根据平行线的性质列出比例式求出 x 的值，根据正切的定义求出tanBAC，根据ABA=BAC 解答即可【解答】解：设 AB=x，则 CD=x，AC=x+2，ADBC，=，即=，解得，x1=1，x2=1（舍去），ABCD，ABA=BAC，tanBAC=，tanABA=，故答案为：【点评】本题考查的是旋转的性质、矩

12、形的性质以及锐角三角函数的定义，掌握旋转前、后的图形全等以及锐角三角函数的定义是解题的关键三、解答题1. (2016四川自贡 )计算：（）1+（sin601）02cos30+|1|【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值【分析】根据负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值的定义化简即可【解答】解：原式=2+1+1=2【点评】本题考查负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值等知识，熟练掌握这些知识是解决问题的关键，记住 ap=（a0），a0=1（a0），|a|=，属于中考常考题型2. (2016云南 )计算：（1）20163tan60+（2016）0【考

13、点】实数的运算【分析】首先利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质分别化简求出答案【解答】解：原式=313+1=0【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键3. （2016四川成都9 分）（1）计算：（2）3+2sin30+0（2）已知关于 x 的方程 3x2+2xm=0 没有实数解，求实数 m 的取值范围【考点】实数的运算；根的判别式；特殊角的三角函数值【分析】 （1）直接利用有理数的乘方运算法则以及特殊角的三角函数值和零指数幂的性质分别化简求出答案；（2）直接利用根的判别式进而求出 m 的取值范围【解答】解：（1） （2）3+2sin30+0=8+41+1=4；

14、（2）3x2+2xm=0 没有实数解，b24ac=443（m）0，解得：m，故实数 m 的取值范围是：m4. （2016四川达州6 分）计算：（2016）0+|3|4cos45【考点】平方根；绝对值；零指数幂；特殊角的三角函数值【分析】原式利用二次根式性质，零指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果【解答】解：原式=21+34=25. （2016四川达州8 分）如图，已知 AB 为半圆 O 的直径，C 为半圆 O 上一点，连接AC，BC，过点 O 作 ODAC 于点 D，过点 A 作半圆 O 的切线交 OD 的延长线于点 E，连接 BD 并延长交 AE 于点 F（1

15、）求证：AEBC=ADAB；（2）若半圆 O 的直径为 10，sinBAC=，求 AF 的长【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；切线的性质；锐角三角函数的定义【分析】 （1）只要证明EADABC 即可解决问题（2）作 DMAB 于 M，利用 DMAE，得=，求出 DM、BM 即可解决问题【解答】 （1）证明：AB 为半圆 O 的直径，C=90，ODAC，CAB+AOE=90，ADE=C=90，AE 是切线，OAAE，E+AOE=90，E=CAB，EADABC，AE：AB=AD：BC，AEBC=ADAB（2）解：作 DMAB 于 M，半圆 O 的直径为 10，sinBAC=，BC=ABsi

16、nBAC=6，AC=8，OEAC，AD=AC=4，OD=BC=3，sinMAD=，DM=，AM=，BM=ABAM=，DMAE，=，AF=6. （2016四川广安5 分）计算：（）1+tan60+|32|【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值【分析】本题涉及负整数指数幂、二次根式化简、特殊角的三角函数值、绝对值 4 个考点在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果【解答】解：（）1+tan60+|32|=33+3+2=07. （2016四川乐山9 分）计算：.0112016sin4532解析：原式.2211223 2 38. （2016四川乐山10

17、分）如图 11，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在处接到指挥部通知，在他们东北方向距离海里的处有一艘捕鱼船，A12B正在沿南偏东方向以每小时海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小7510时海里的速度沿北偏东某一方向出发，在处成功拦截捕鱼船，求巡逻船从出发到14C成功拦截捕鱼船所用的时间.解析：设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为小时.x如图 1 所示，由题得，（1 分）4575120ABC，12AB 10BCx14ACx过点作的延长线于点，AADCBD在中，Rt ABD12,60ABABDD7545图 1CBA.6,6 3BDAD.（3 分）106CDx在中，由勾股定理

18、得：（7 分）Rt ACD222141066 3xx解此方程得（不合题意舍去）.1232,4xx 答：巡逻船从出发到成功拦截所用时间为 2 小时（10 分） 9. （2016四川乐山10 分）如图 13，在中，,以边为直径作ABCABACAC交边于点,过点作于点，、的延长线交于点.OBCDDDEABEEDACF（1）求证：是的切线；EFO（2）若,且,求的半径与线段的长. 3 2EB 3sin5CFDOAE解析：（1）证明：如图 2 所示，连结，OD，.ABACBACD ，.OCODODCOCD ，.（2 分）BODC ODAB，.DEABODEF是的切线（5 分）EFO（2）在和中，Rt O

19、DFRt AEF， . 3sin5CFD3 5ODAE OFAF图 2EDOCFBA图13OFEDCBA图13OFEDCBA设，则.，.（6 分）3ODx5OFx6ABACx8AFx，.（7 分）3 2EB 362AEx，解得=，（9 分）3632 85xx x5 4的半径长为 ，=（10 分）O15 4AE610. （2016四川凉山州6 分）计算：【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值【分析】直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值和零指数幂的性质、二次根式的性质分别化简求出答案【解答】解：=13+2+1+1=111. (2016 年浙江省丽水市)数学拓展课程玩转学具课堂中，小

20、陆同学发现：一副三角板中，含 45的三角板的斜边与含 30的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点 B，C，E 在同一直线上，若BC=2，求 AF 的长请你运用所学的数学知识解决这个问题【考点】特殊角的三角函数值【分析】根据正切的定义求出 AC，根据正弦的定义求出 CF，计算即可【解答】解：在 RtABC 中，BC=2，A=30，AC=2，则 EF=AC=2，E=45，FC=EFsinE=，AF=ACFC=212（2016江苏连云港）如图，在ABC 中，C=150，AC=4，tanB=（1）求 BC 的长；（2）利用此图形求 tan15的

21、值（精确到 0.1，参考数据： =1.4， =1.7， =2.2）【分析】（1）过 A 作 ADBC，交 BC 的延长线于点 D，由含 30的直角三角形性质得AD=AC=2，由三角函数求出 CD=2，在 RtABD 中，由三角函数求出 BD=16，即可得出结果；（2）在 BC 边上取一点 M，使得 CM=AC，连接 AM，求出AMC=MAC=15，tan15=tanAMD=即可得出结果【解答】解：（1）过 A 作 ADBC，交 BC 的延长线于点 D，如图 1 所示：在 RtADC 中，AC=4，C=150，ACD=30，AD=AC=2，CD=ACcos30=4=2，在 RtABD 中，tan

22、B=，BD=16，BC=BDCD=162；（2）在 BC 边上取一点 M，使得 CM=AC，连接 AM，如图 2 所示：ACB=150，AMC=MAC=15，tan15=tanAMD=0.270.3【点评】本题考查了锐角三角函数、含 30的直角三角形性质、三角形的内角和、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握三角函数运算是解决问题的关键13. (2016 兰州，24,7 分）如图，一垂直于地面的灯柱， AB 被一钢缆 CD 固定，CD 与地面成 45夹角（CDB=45 ） ，在 C 点上方 2 米处加固另一条钢缆 ED， ED 与地面成 53 夹角（EDB=53 ） ，那么钢缆 ED 的长度约为多少米？（结果精确到 1 米。参考数据：sin530.80，cos530.60，tan531.33）