2016年山东省高考数学试卷（理科）.doc

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1、第 1 页（共 25 页）2016 年山东省高考数学试卷（理科）年山东省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分，每小题给出四个选项，分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题目要求只有一个选项符合题目要求.1 （5 分）若复数 z 满足 2z+ =32i，其中 i 为虚数单位，则 z=（ ）A1+2iB12i C1+2iD12i2 （5 分）设集合 A=y|y=2x，xR，B=x|x210，则 AB=（ ）A （1，1）B （0，1）C （1，+） D （0，+）3 （5 分）某高校调查了 200 名学生每周的自

2、习时间（单位：小时） ，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30，样本数据分组为17.5，20） ，20，22.5） ，22.5，25） ，25，27.5） ，27.5，30根据直方图，这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数是（ ）A56B60C120 D1404 （5 分）若变量 x，y 满足，则 x2+y2的最大值是（ ）A4B9C10D125 （5 分）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示则该几何体的体积为（ ）第 2 页（共 25 页）A+B+ C+ D1+6 （5 分）已知直线 a，b 分别在两个不同的平面 ， 内则“直线

3、 a 和直线 b相交”是“平面 和平面 相交”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7 （5 分）函数 f（x）=（sinx+cosx） （cosxsinx）的最小正周期是（ ）ABCD28 （5 分）已知非零向量 ， 满足 4| |=3| |，cos ， =若 （t +） ，则实数 t 的值为（ ）A4B4CD9 （5 分）已知函数 f（x）的定义域为 R当 x0 时，f（x）=x31；当1x1时，f（x）=f（x） ；当 x时，f（x+）=f（x） 则 f（6）=（ ）A2B1C0D210 （5 分）若函数 y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这

4、两点处的切线互相垂直，则称 y=f（x）具有 T 性质下列函数中具有 T 性质的是（ ）Ay=sinxBy=lnxCy=exDy=x3第 3 页（共 25 页）二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分.11 （5 分）执行如图的程序框图，若输入的 a，b 的值分别为 0 和 9，则输出的i 的值为 12 （5 分）若（ax2+）5的展开式中 x5的系数是80，则实数 a= 13 （5 分）已知双曲线 E：=1（a0，b0） ，若矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上，AB，CD 的中点为 E 的两个焦点，且 2|AB|=3|BC|，则

5、E 的离心率是 14 （5 分）在1，1上随机地取一个数 k，则事件“直线 y=kx 与圆（x5）2+y2=9 相交”发生的概率为 15 （5 分）已知函数 f（x）=，其中 m0，若存在实数 b，使得关于 x 的方程 f（x）=b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是 三、解答题三、解答题,：本大题共：本大题共 6 小题，共小题，共 75 分分.16 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+第 4 页（共 25 页）（）证明：a+b=2c；（）求 cosC 的最小值17 （12 分）在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆 O 的直径，

6、EF 是上底面圆O的直径，FB 是圆台的一条母线（I）已知 G，H 分别为 EC，FB 的中点，求证：GH平面 ABC；（）已知 EF=FB=AC=2，AB=BC，求二面角 FBCA 的余弦值18 （12 分）已知数列an的前 n 项和 Sn=3n2+8n，bn是等差数列，且an=bn+bn+1（）求数列bn的通项公式；（）令 cn=，求数列cn的前 n 项和 Tn19 （12 分）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得 3 分；如果只有一个人猜对，则“星队”得 1 分；如果两人都没猜对，则“星队”得 0 分已知甲每轮猜对

7、的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响各轮结果亦互不影响假设“星队”参加两轮活动，求：（I） “星队”至少猜对 3 个成语的概率；（II） “星队”两轮得分之和为 X 的分布列和数学期望 EX20 （13 分）已知 f（x）=a（xlnx）+，aR（I）讨论 f（x）的单调性；（II）当 a=1 时，证明 f（x）f（x）+对于任意的 x1，2成立21 （14 分）平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：+=1（ab0）的离心率第 5 页（共 25 页）是，抛物线 E：x2=2y 的焦点 F 是 C 的一个顶点（I）求椭圆 C 的方程；（）设 P 是 E 上的动点，且位于

8、第一象限，E 在点 P 处的切线 l 与 C 交于不同的两点 A，B，线段 AB 的中点为 D，直线 OD 与过 P 且垂直于 x 轴的直线交于点M（i）求证：点 M 在定直线上；（ii）直线 l 与 y 轴交于点 G，记PFG 的面积为 S1，PDM 的面积为 S2，求的最大值及取得最大值时点 P 的坐标第 6 页（共 25 页）2016 年山东省高考数学试卷（理科）年山东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分，每小题给出四个选项，分，每小题给出四个选项，只有一个选项符合题

9、目要求只有一个选项符合题目要求.1 （5 分）若复数 z 满足 2z+ =32i，其中 i 为虚数单位，则 z=（ ）A1+2iB12i C1+2iD12i【分析】设出复数 z，通过复数方程求解即可【解答】解：复数 z 满足 2z+ =32i，设 z=a+bi，可得：2a+2bi+abi=32i解得 a=1，b=2z=12i故选：B【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力2 （5 分）设集合 A=y|y=2x，xR，B=x|x210，则 AB=（ ）A （1，1）B （0，1）C （1，+） D （0，+）【分析】求解指数函数的值域化简 A，求解一元二次不等式化简 B，再由并集运算

10、得答案【解答】解：A=y|y=2x，xR=（0，+） ，B=x|x210=（1，1） ，AB=（0，+）（1，1）=（1，+） 故选：C【点评】本题考查并集及其运算，考查了指数函数的值域，考查一元二次不等式的解法，是基础题第 7 页（共 25 页）3 （5 分）某高校调查了 200 名学生每周的自习时间（单位：小时） ，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30，样本数据分组为17.5，20） ，20，22.5） ，22.5，25） ，25，27.5） ，27.5，30根据直方图，这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数是（ ）A56B60C120

11、 D140【分析】根据已知中的频率分布直方图，先计算出自习时间不少于 22.5 小时的频率，进而可得自习时间不少于 22.5 小时的频数【解答】解：自习时间不少于 22.5 小时的频率为：（0.16+0.08+0.04）2.5=0.7，故自习时间不少于 22.5 小时的频率为：0.7200=140，故选：D【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图，难度不大，属于基础题目4 （5 分）若变量 x，y 满足，则 x2+y2的最大值是（ ）A4B9C10D12【分析】由约束条件作出可行域，然后结合 x2+y2的几何意义，即可行域内的动点与原点距离的平方求得 x2+y2的最大值【解答】解：由约束条件作

12、出可行域如图，A（0，3） ，C（0，2） ，|OA|OC|，第 8 页（共 25 页）联立，解得 B（3，1） ，x2+y2的最大值是 10故选：C【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题5 （5 分）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示则该几何体的体积为（ ）A+B+ C+ D1+【分析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，进而可得答案【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，第 9 页（共 25 页）半球的直径为棱锥的底面对角线，由棱锥的底底面棱长为 1，可得 2R=

13、故 R=，故半球的体积为：=，棱锥的底面面积为：1，高为 1，故棱锥的体积 V=，故组合体的体积为：+，故选：C【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键6 （5 分）已知直线 a，b 分别在两个不同的平面 ， 内则“直线 a 和直线 b相交”是“平面 和平面 相交”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】直线 a，b 分别在两个不同的平面 ， 内，则“直线 a 和直线 b 相交”“平面 和平面 相交”，反之不成立【解答】解：直线 a，b 分别在两个不同的平面 ， 内，则“直线 a 和直线 b 相交

14、”“平面 和平面 相交”，反之不成立“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 和平面 相交”的充分不必要条件故选：A【点评】本题考查了空间位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题7 （5 分）函数 f（x）=（sinx+cosx） （cosxsinx）的最小正周期是（ ）ABCD2第 10 页（共 25 页）【分析】利用和差角及二倍角公式，化简函数的解析式，进而可得函数的周期【解答】解：函数 f（x）=（sinx+cosx） （cosxsinx）=2sin（x+）2cos（x+）=2sin（2x+） ，T=，故选：B【点评】本题考查的知识点是和差角及二倍角公式，三角函数的周期，难

15、度中档8 （5 分）已知非零向量 ， 满足 4| |=3| |，cos ， =若 （t +） ，则实数 t 的值为（ ）A4B4CD【分析】若 （t + ） ，则 （t + ）=0，进而可得实数 t 的值【解答】解：4| |=3| |，cos ， =， （t + ） ， （t + ）=t +2=t| | |+| |2=（）| |2=0，解得：t=4，故选：B【点评】本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，向量垂直的充要条件，难度不大，属于基础题9 （5 分）已知函数 f（x）的定义域为 R当 x0 时，f（x）=x31；当1x1时，f（x）=f（x） ；当 x时，f（x+）=f（x） 则 f（

16、6）=（ ）A2B1C0D2【分析】求得函数的周期为 1，再利用当1x1 时，f（x）=f（x） ，得到f（1）=f（1） ，当 x0 时，f（x）=x31，得到 f（1）=2，即可得出结论第 11 页（共 25 页）【解答】解：当 x时，f（x+）=f（x） ，当 x时，f（x+1）=f（x） ，即周期为 1f（6）=f（1） ，当1x1 时，f（x）=f（x） ，f（1）=f（1） ，当 x0 时，f（x）=x31，f（1）=2，f（1）=f（1）=2，f（6）=2故选：D【点评】本题考查函数值的计算，考查函数的周期性，考查学生的计算能力，属于中档题10 （5 分）若函数 y=f（x）的图

17、象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称 y=f（x）具有 T 性质下列函数中具有 T 性质的是（ ）Ay=sinxBy=lnxCy=exDy=x3【分析】若函数 y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数 y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为1，进而可得答案【解答】解：函数 y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数 y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为1，当 y=sinx 时，y=cosx，满足条件；当 y=lnx 时，y=0 恒成立，不满足条件；第 12 页（共 25

18、 页）当 y=ex时，y=ex0 恒成立，不满足条件；当 y=x3时，y=3x20 恒成立，不满足条件；故选：A【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，转化思想，难度中档二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分.11 （5 分）执行如图的程序框图，若输入的 a，b 的值分别为 0 和 9，则输出的i 的值为 3 【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 i 的值，模拟程序的运行过程，可得答案【解答】解：输入的 a，b 的值分别为 0 和 9，i=1第一次执行循环体后：a=1，b=8，不

19、满足条件 ab，故 i=2；第二次执行循环体后：a=3，b=6，不满足条件 ab，故 i=3；第三次执行循环体后：a=6，b=3，满足条件 ab，故输出的 i 值为：3，故答案为：3【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答第 13 页（共 25 页）12 （5 分）若（ax2+）5的展开式中 x5的系数是80，则实数 a= 2 【分析】利用二项展开式的通项公式 Tr+1=（ax2）5r，化简可得求的x5的系数【解答】解：（ax2+）5的展开式的通项公式 Tr+1=（ax2）5r=a5r，令 10=5，解得 r=2（ax2+）5的展开式中 x5

20、的系数是80a3=80，得 a=2【点评】考查了利用二项式定理的性质求二项式展开式的系数，属常规题型13 （5 分）已知双曲线 E：=1（a0，b0） ，若矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上，AB，CD 的中点为 E 的两个焦点，且 2|AB|=3|BC|，则 E 的离心率是 2 【分析】可令 x=c，代入双曲线的方程，求得 y=，再由题意设出A，B，C，D 的坐标，由 2|AB|=3|BC|，可得 a，b，c 的方程，运用离心率公式计算即可得到所求值【解答】解：令 x=c，代入双曲线的方程可得 y=b=，由题意可设 A（c，） ，B（c，） ，C（c，） ，D（c，） ，由 2|AB|=3

21、|BC|，可得2=32c，即为 2b2=3ac，由 b2=c2a2，e=，可得 2e23e2=0，解得 e=2（负的舍去） 第 14 页（共 25 页）故答案为：2【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用方程的思想，正确设出A，B，C，D 的坐标是解题的关键，考查运算能力，属于中档题14 （5 分）在1，1上随机地取一个数 k，则事件“直线 y=kx 与圆（x5）2+y2=9 相交”发生的概率为 【分析】利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交，可求出满足条件的 k，最后根据几何概型的概率公式可求出所求【解答】解：圆（x5）2+y2=9 的圆心为（5，0） ，半径为 3圆心到直线

22、y=kx 的距离为，要使直线 y=kx 与圆（x5）2+y2=9 相交，则3，解得k在区间1，1上随机取一个数 k，使直线 y=kx 与圆（x5）2+y2=9 相交相交的概率为=故答案为：【点评】本题主要考查了几何概型的概率，以及直线与圆相交的性质，解题的关键弄清概率类型，同时考查了计算能力，属于基础题第 15 页（共 25 页）15 （5 分）已知函数 f（x）=，其中 m0，若存在实数 b，使得关于 x 的方程 f（x）=b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是 （3，+） 【分析】作出函数 f（x）=的图象，依题意，可得4mm2m（m0） ，解之即可【解答】解：当 m0 时，函数 f（x

23、）=的图象如下：xm 时，f（x）=x22mx+4m=（xm）2+4mm24mm2，y 要使得关于 x 的方程 f（x）=b 有三个不同的根，必须 4mm2m（m0） ，即 m23m（m0） ，解得 m3，m 的取值范围是（3，+） ，故答案为：（3，+） 【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，数形结合思想的运用是关键，分析得到 4mm2m 是难点，属于中档题第 16 页（共 25 页）三、解答题三、解答题,：本大题共：本大题共 6 小题，共小题，共 75 分分.16 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+（）证明：a+b=2c

24、；（）求 cosC 的最小值【分析】 （）由切化弦公式，带入并整理可得 2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+cosB，这样根据两角和的正弦公式即可得到 sinA+sinB=2sinC，从而根据正弦定理便可得出 a+b=2c；（）根据 a+b=2c，两边平方便可得出 a2+b2+2ab=4c2，从而得出a2+b2=4c22ab，并由不等式 a2+b22ab 得出 c2ab，也就得到了，这样由余弦定理便可得出，从而得出 cosC 的范围，进而便可得出 cosC的最小值【解答】解：（）证明：由得：；两边同乘以 cosAcosB 得，2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+

25、sinB；2sin（A+B）=sinA+sinB；即 sinA+sinB=2sinC（1） ；根据正弦定理，；，带入（1）得：；a+b=2c；（）a+b=2c；（a+b）2=a2+b2+2ab=4c2；a2+b2=4c22ab，且 4c24ab，当且仅当 a=b 时取等号；又 a，b0；第 17 页（共 25 页）；由余弦定理，=；cosC 的最小值为【点评】考查切化弦公式，两角和的正弦公式，三角形的内角和为 ，以及三角函数的诱导公式，正余弦定理，不等式 a2+b22ab 的应用，不等式的性质17 （12 分）在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆 O 的直径，EF 是上底面圆O的直径，FB 是

26、圆台的一条母线（I）已知 G，H 分别为 EC，FB 的中点，求证：GH平面 ABC；（）已知 EF=FB=AC=2，AB=BC，求二面角 FBCA 的余弦值【分析】 （）取 FC 中点 Q，连结 GQ、QH，推导出平面 GQH平面 ABC，由此能证明 GH平面 ABC（）由 AB=BC，知 BOAC，以 O 为原点，OA 为 x 轴，OB 为 y 轴，OO为 z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 FBCA 的余弦值【解答】证明：（）取 FC 中点 Q，连结 GQ、QH，G、H 为 EC、FB 的中点，GQ，QH，又EFBO，GQBO，QHGQ=Q，BCBO=B，平面 GQH平面

27、ABC，GH面 GQH，GH平面 ABC解：（）AB=BC，BOAC，第 18 页（共 25 页）又OO面 ABC，以 O 为原点，OA 为 x 轴，OB 为 y 轴，OO为 z 轴，建立空间直角坐标系，则 A（，0，0） ，C（2，0，0） ，B（0，2，0） ，O（0，0，3） ，F（0，3） ，=（2，3） ，=（2，2，0） ，由题意可知面 ABC 的法向量为=（0，0，3） ，设 =（x0，y0，z0）为面 FCB 的法向量，则，即，取 x0=1，则 =（1，1，） ，cos， =二面角 FBCA 的平面角是锐角，二面角 FBCA 的余弦值为【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角

28、的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用18 （12 分）已知数列an的前 n 项和 Sn=3n2+8n，bn是等差数列，且an=bn+bn+1（）求数列bn的通项公式；（）令 cn=，求数列cn的前 n 项和 Tn第 19 页（共 25 页）【分析】 （）求出数列an的通项公式，再求数列bn的通项公式；（）求出数列cn的通项，利用错位相减法求数列cn的前 n 项和 Tn【解答】解：（）Sn=3n2+8n，n2 时，an=SnSn1=6n+5，n=1 时，a1=S1=11，an=6n+5；an=bn+bn+1，an1=bn1+bn，anan1=bn+1bn12d=6，d

29、=3，a1=b1+b2，11=2b1+3，b1=4，bn=4+3（n1）=3n+1；（）cn=6（n+1）2n，Tn=622+322+（n+1）2n，2Tn=6222+323+n2n+（n+1）2n+1，可得Tn=622+22+23+2n（n+1）2n+1=12+66（n+1）2n+1=（6n）2n+1=3n2n+2，第 20 页（共 25 页）Tn=3n2n+2【点评】本题考查数列的通项与求和，着重考查等差数列的通项与错位相减法的运用，考查分析与运算能力，属于中档题19 （12 分）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得

30、 3 分；如果只有一个人猜对，则“星队”得 1 分；如果两人都没猜对，则“星队”得 0 分已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响各轮结果亦互不影响假设“星队”参加两轮活动，求：（I） “星队”至少猜对 3 个成语的概率；（II） “星队”两轮得分之和为 X 的分布列和数学期望 EX【分析】 （I） “星队”至少猜对 3 个成语包含“甲猜对 1 个，乙猜对 2 个”， “甲猜对2 个，乙猜对 1 个”， “甲猜对 2 个，乙猜对 2 个”三个基本事件，进而可得答案；（II）由已知可得：“星队”两轮得分之和为 X 可能为：0，1，2，3，4，6，进而得到 X

31、的分布列和数学期望【解答】解：（I） “星队”至少猜对 3 个成语包含“甲猜对 1 个，乙猜对 2 个”， “甲猜对 2 个，乙猜对 1 个”， “甲猜对 2 个，乙猜对 2 个”三个基本事件，故概率 P=+=+=，（II） “星队”两轮得分之和为 X 可能为：0，1，2，3，4，6，则 P（X=0）=，P（X=1）=2+=，P（X=2）=+=，P（X=3）=2=，第 21 页（共 25 页）P（X=4）=2+=P（X=6）=故 X 的分布列如下图所示：X 012 3 4 6P数学期望 EX=0+1+2+3+4+6=【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，属中档题20 （13 分）已

32、知 f（x）=a（xlnx）+，aR（I）讨论 f（x）的单调性；（II）当 a=1 时，证明 f（x）f（x）+对于任意的 x1，2成立【分析】 （）求出原函数的导函数，然后对 a 分类分析导函数的符号，由导函数的符号确定原函数的单调性；（）构造函数 F（x）=f（x）f（x） ，令 g（x）=xlnx，h（x）=则 F（x）=f（x）f（x）=g（x）+h（x） ，利用导数分别求g（x）与 h（x）的最小值得到 F（x）恒成立由此可得 f（x）f（x）+对于任意的 x1，2成立【解答】 （）解：由 f（x）=a（xlnx）+，得 f（x）=a（1）+=（x0） 若 a0，则 ax220 恒

33、成立，当 x（0，1）时，f（x）0，f（x）为增函数，当 x（1，+）时，f（x）0，f（x）为减函数；第 22 页（共 25 页）当 a0，若 0a2，当 x（0，1）和（，+）时，f（x）0，f（x）为增函数，当 x（1，）时，f（x）0，f（x）为减函数；若 a=2，f（x）0 恒成立，f（x）在（0，+）上为增函数；若 a2，当 x（0，）和（1，+）时，f（x）0，f（x）为增函数，当 x（，1）时，f（x）0，f（x）为减函数；（）解：a=1，令 F（x）=f（x）f（x）=xlnx1=xlnx+令 g（x）=xlnx，h（x）=则 F（x）=f（x）f（x）=g（x）+h（x）

34、 ，由，可得 g（x）g（1）=1，当且仅当 x=1 时取等号；又，设 （x）=3x22x+6，则 （x）在1，2上单调递减，且 （1）=1，（2）=10，在1，2上存在 x0，使得 x（1，x0） 时 （x0）0，x（x0，2）时，（x0）0，函数 h（x）在（1，x0）上单调递增；在（x0，2）上单调递减，由于 h（1）=1，h（2）=，因此 h（x）h（2）=，当且仅当 x=2 取等号，f（x）f（x）=g（x）+h（x）g（1）+h（2）=，F（x）恒成立即 f（x）f（x）+对于任意的 x1，2成立【点评】本题考查利用导数加以函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，考查了分类讨论的

35、数学思想方法和数学转化思想方法，是压轴题第 23 页（共 25 页）21 （14 分）平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：+=1（ab0）的离心率是，抛物线 E：x2=2y 的焦点 F 是 C 的一个顶点（I）求椭圆 C 的方程；（）设 P 是 E 上的动点，且位于第一象限，E 在点 P 处的切线 l 与 C 交于不同的两点 A，B，线段 AB 的中点为 D，直线 OD 与过 P 且垂直于 x 轴的直线交于点M（i）求证：点 M 在定直线上；（ii）直线 l 与 y 轴交于点 G，记PFG 的面积为 S1，PDM 的面积为 S2，求的最大值及取得最大值时点 P 的坐标【分析】 （I）运用椭圆

36、的离心率公式和抛物线的焦点坐标，以及椭圆的a，b，c 的关系，解得 a，b，进而得到椭圆的方程；（） （i）设 P（x0，y0） ，运用导数求得切线的斜率和方程，代入椭圆方程，运用韦达定理，可得中点 D 的坐标，求得 OD 的方程，再令 x=x0，可得 y=进而得到定直线；（ii）由直线 l 的方程为 y=x0xy0，令 x=0，可得 G（0，y0） ，运用三角形的面积公式，可得 S1=|FG|x0|=x0（+y0） ，S2=|PM|x0|，化简整理，再 1+2x02=t（t1） ，整理可得 t 的二次方程，进而得到最大值及此时 P 的坐标【解答】解：（I）由题意可得 e=，抛物线 E：x2=

37、2y 的焦点 F 为（0，） ，即有 b=，a2c2=，第 24 页（共 25 页）解得 a=1，c=，可得椭圆的方程为 x2+4y2=1；（） （i）证明：设 P（x0，y0） ，可得 x02=2y0，由 y=x2的导数为 y=x，即有切线的斜率为 x0，则切线的方程为 yy0=x0（xx0） ，可化为 y=x0xy0，代入椭圆方程，可得（1+4x02）x28x0y0x+4y021=0，=64x02y024（1+4x02） （4y021）0，可得 1+4x024y02设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，可得 x1+x2=，即有中点 D（，） ，直线 OD 的方程为 y=x，可令 x=x0，可得 y=即有点 M 在定直线 y=上；（ii）直线 l 的方程为 y=x0xy0，令 x=0，可得 G（0，y0） ，则 S1=|FG|x0|=x0（+y0）=x0（1+x02） ；S2=|PM|x0|=（y0+）=x0，则=，令 1+2x02=t（t1） ，则=2+=（）2+，则当 t=2，即 x0=时，取得最大值，此时点 P 的坐标为（，） 第 25 页（共 25 页）【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率和抛物线的焦点坐标，考查直线和抛物线斜的条件，以及直线方程的运用，考查三角形的面积的计算，以及化简整理的运算能力，属于难题