第30届全国中学生物理竞赛复赛试题及答案.pdf

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1、1 第 30 届全国中学生物理竞赛复赛试题一、（15分）一半径为R、内侧光滑的半球面固定在地面上，开口水平且朝上.一小滑块在半球面内侧最高点处获得沿球面的水平速度，其大小为0v(00v).求滑块在整个运动过程中可能达到的最大速率.重力加速度大小为g.二、（20 分）一长为2l 的轻质刚性细杆位于水平的光滑桌面上，杆的两端分别固定一质量为m的小物块D 和一质量为m（为常数）的小物块B，杆可绕通过小物块B 所在端的竖直固定转轴无摩擦地转动.一质量为 m 的小环 C 套在细杆上（C 与杆密接），可沿杆滑动，环C 与杆之间的摩擦可忽略.一轻质弹簧原长为l，劲度系数为k，两端分别与小环C 和物块 B 相

2、连.一质量为m 的小滑块A 在桌面上以垂直于杆的速度飞向物块D，并与之发生完全弹性正碰，碰撞时间极短.碰撞时滑块 C 恰好静止在距轴为r（r l）处.1.若碰前滑块A 的速度为0v，求碰撞过程中轴受到的作用力的冲量；2.若碰后物块D、C 和杆刚好做匀速转动，求碰前滑块A 的速度0v应满足的条件.三、（25 分）一质量为m、长为 L 的匀质细杆，可绕过其一端的光滑水平轴O在竖直平面内自由转动.杆在水平状态由静止开始下摆，1.令mL表示细杆质量线密度.当杆以角速度绕过其一端的光滑水平轴O在竖直平面内转动时，其转动动能可表示为kEkL式中，k为待定的没有单位的纯常数.已知在同一单位制下，两物理量当且

3、仅当其数值和单位都相等时才相等.由此求出、和的值.2.已知系统的动能等于系统的质量全部集中在质心时随质心一起运动的动能和系统在质心系（随质心平动的参考系）中的动能之和，求常数k的值.3.试求当杆摆至与水平方向成角时在杆上距O点为r处的横截面两侧部分的相互作用力.重力加速度大小为g.0v2 提示：如果)(tX是t的函数，而)(tXY是)(tX的函数，则)(tXY对t的导数为d()dddddY X tYXtXt例如，函数cos()t对自变量t的导数为dcos()dcosddddttt四、（20 分）图中所示的静电机由一个半径为R、与环境绝缘的开口（朝上）金属球壳形的容器和一个带电液滴产生器G 组成

4、.质量为m、带电量为q的球形液滴从G 缓慢地自由掉下（所谓缓慢，意指在G 和容器口之间总是只有一滴液滴）.液滴开始下落时相对于地面的高度为h.设液滴很小，容器足够大，容器在达到最高电势之前进入容器的液体尚未充满容器.忽略G 的电荷对正在下落的液滴的影响.重力加速度大小为g.若容器初始电势为零，求容器可达到的最高电势maxV.五、（25 分）平行板电容器两极板分别位于2dz的平面内，电容器起初未被充电.整个装置处于均匀磁场中，磁感应强度大小为B，方向沿x轴负方向，如图所示.1.在电容器参考系S中只存在磁场；而在以沿y轴正方向的恒定速度(0,0)v（这里(0,0)v表示为沿 x、y、z轴正方向的速

5、度分量分别为0、v、0，以下类似）相对于电容器运动的参考系S中，可能既有电场(,)xyzEEE又有磁场(,)xyzBBB.试在非相对论情形下，从伽利略速度变换，求出在参考系S中电场(,)xyzEEE和磁场(,)xyzBBB的表达式.已知电荷量和作用在物体上的合力在伽利略变换下不变.2.现在让介电常数为的电中性液体（绝缘体）在平行板电容器两极板之间匀速流动，流速大小3 为v，方向沿y 轴正方向.在相对液体静止的参考系（即相对于电容器运动的参考系）S中，由于液体处在第1问所述的电场(,)xyzEEE中，其正负电荷会因电场力作用而发生相对移动（即所谓 极 化 效 应），使 得 液 体 中 出 现 附

6、 加 的 静 电 感 应 电 场，因 而 液 体 中 总 电 场 强 度 不 再 是(,)xyzEEE，而是0(,)xyzEEE，这里0是真空的介电常数.这将导致在电容器参考系S中电场不再为零.试求电容器参考系S中电场的强度以及电容器上、下极板之间的电势差.（结果用0、v、B 或（和）d表出.）六、（15 分）温度开关用厚度均为0.20 mm的钢片和青铜片作感温元件；在温度为20 C时，将它们紧贴，两端焊接在一起，成为等长的平直双金属片.若钢和青铜的线膨胀系数分别为51.010/度和52.010/度.当温度升高到120 C时，双金属片将自动弯成圆弧形，如图所示.试求双金属片弯曲的曲率半径.(忽

7、略加热时金属片厚度的变化.)七、（20分）一斜劈形透明介质劈尖，尖角为，高为 h.今以尖角顶点为坐标原点，建立坐标系如图(a)所示；劈尖斜面实际上是由一系列微小台阶组成的，在图(a)中看来，每一个小台阶的前侧面与 xz平面平行，上表面与yz平面平行.劈尖介质的折射率n随x而变化，()1n xbx，其中常数0b.一束波长为的单色平行光沿x轴正方向照射劈尖；劈尖后放置一薄凸透镜，在劈尖与薄凸透镜之间放一档板，在档板上刻有一系列与z方向平行、沿y方向排列的透光狭缝，如图(b)所示.入射光的波面（即与平行入射光线垂直的平面）、劈尖底面、档板平面都与x轴垂直，透镜主光轴为x轴.要求通过各狭缝的透射光彼此

8、在透镜焦点处得到加强而形成亮纹.已知第一条4 狭缝位于y=0处；物和像之间各光线的光程相等.1.求其余各狭缝的y坐标；2.试说明各狭缝彼此等距排列能否仍然满足上述要求.图(a)图(b)八、（20分）光子被电子散射时，如果初态电子具有足够的动能，以至于在散射过程中有能量从电子转移到光子，则该散射被称为逆康普顿散射.当低能光子与高能电子发生对头碰撞时，就会出现逆康普顿散射.已知电子静止质量为em，真空中的光速为c.若能量为eE 的电子与能量为E的光子相向对碰，1.求散射后光子的能量；2.求逆康普顿散射能够发生的条件；3.如果 入射光子能量为2.00 eV，电子能量为1.00 109 eV，求散射后

9、光子的能量.已知me=0.511 106 eV/c2.计算中有必要时可利用近似：如果1x，有1-x?1-12x.hxyzOhxyO5 第 30 届全国中学生物理竞赛复赛解答与评分标准一参考解答：以滑块和地球为系统，它在整个运动过程中机械能守恒.滑块沿半球面内侧运动时，可将其速度v分解成纬线切向(水平方向)分量v及经线切向分量v.设滑块质量为m，在某中间状态时，滑块位于半球面内侧P 处，P 和球心O的连线与水平方向的夹角为.由机械能守恒得2220111sin222mmgRmmvvv(1)这里已取球心O处为重力势能零点.以过O的竖直线为轴.球面对滑块的支持力通过该轴，力矩为零；重力相对于该轴的力矩

10、也为零.所以在整个运动过程中，滑块相对于轴的角动量守恒，故0cosmRmRvv.(2)由(1)式，最大速率应与的最大值相对应maxmax()vv.(3)而由 (2)式，q不可能达到 2.由(1)和(2)式，q的最大值应与0v相对应，即max()0v.(4)(4)式也可用下述方法得到：由(1)、(2)式得22202sintan0gRvv.若sin0，由上式得220sin2cosgRv.实际上，sin=0也满足上式。由上式可知max22max0sin2cosgRv.由(3)式有222maxmax0max()2sintan0gRvv.(4)将max()0v代入式(1)，并与式(2)联立，得2220m

11、axmaxmaxsin2sin1sin0gRv.(5)OP6 以maxsin为未知量，方程(5)的一个根是sinq=0，即q=0，这表示初态，其速率为最小值，不是所求的解.于是maxsin0.约去maxsin，方程(5)变为22max0max2sinsin20gRgRv.(6)其解为2220max40sin11614g RgRvv.(7)注意到本题中sin0，方程(6)的另一解不合题意，舍去.将(7)式代入(1)式得，当max时，22422001162g Rvvv,(8)考虑到(4)式有22422max001162g Rvvvv.(9)评分标准：本题 15 分.(1)式 3 分，(2)式 3

12、分，(3)式 1分，(4)式 3 分，(5)式 1 分，(6)式 1分，(7)式 1 分，(9)式 2 分.二、参考解答：1.由于碰撞时间t很小，弹簧来不及伸缩碰撞已结束.设碰后 A、C、D 的速度分别为Av、Cv、Dv，显然有DC2lrvv.(1)以 A、B、C、D 为系统，在碰撞过程中，系统相对于轴不受外力矩作用，其相对于轴的角动量守恒DCA0222mlmrmlmlvvvv.(2)由于轴对系统的作用力不做功，系统内仅有弹力起作用，所以系统机械能守恒.又由于碰撞时间t很小，弹簧来不及伸缩碰撞已结束，所以不必考虑弹性势能的变化.故2222DCA011112222mmmmvvvv.(3)由(1)

13、、(2)、(3)式解得7 2200022222248,888CDAlrlrlrlrlrvvvvvv (4)代替 (3)式，可利用弹性碰撞特点0DAvvv.(3)同样可解出(4).设碰撞过程中D 对 A 的作用力为1F，对 A 用动量定理有221A0022428lrFtmmmlrvvv,(5)方向与0v 方向相反.于是，A 对 D 的作用力为1F 的冲量为221022428lrFtmlrv (6)方向与0v 方向相同.以 B、C、D 为系统，设其质心离转轴的距离为x，则22(2)2mrm llrxm.(7)质心在碰后瞬间的速度为C0224(2)(2)(8)llrxrlrvvv.(8)轴与杆的作用

14、时间也为t，设轴对杆的作用力为2F，由质心运动定理有210224(2)28llrFtFtmmlrvv.(9)由此得2022(2)28rlrF tmlrv.(10)方向与0v 方向相同.因而，轴受到杆的作用力的冲量为2022(2)28rlrFtmlrv,(11)方向与0v 方向相反.注意：因弹簧处在拉伸状态，碰前轴已受到沿杆方向的作用力；在碰撞过程中还有与向心力有关的力作用于轴.但有限大小的力在无限小的碰撞时间内的冲量趋于零，已忽略.代替 (7)-(9)式，可利用对于系统的动量定理21CDFtFtmmvv.也可由对质心的角动量定理代替(7)-(9)式.8 2.值得注意的是，(1)、(2)、(3)

15、式是当碰撞时间极短、以至于弹簧来不及伸缩的条件下才成立的.如果弹簧的弹力恰好提供滑块C 以速度02248Clrlrvv 绕过 B 的轴做匀速圆周运动的向心力，即222C022216(8)l rk rmmrlrvv(12)则弹簧总保持其长度不变，(1)、(2)、(3)式是成立的.由(12)式得碰前滑块A 的速度0v应满足的条件220(8)4k rlrlmrv (13)可见，为了使碰撞后系统能保持匀速转动，碰前滑块A 的速度大小0v 应满足(13)式.评分标准：本题 20 分.第 1 问 16 分，(1)式 1 分，(2)式 2 分，(3)式 2 分，(4)式 2 分，(5)式 2 分，(6)式

16、1 分，(7)式 1分，(8)式 1 分，(9)式 2 分，(10)式 1分，(11)式 1 分；第 2 问 4 分，(12)式 2 分，(13)式 2分.三、参考解答：1.当杆以角速度绕过其一端的光滑水平轴O在竖直平面内转动时，其动能是独立变量、和L的函数，按题意可表示为kEkL(1)式中，k为待定常数（单位为1）.令长度、质量和时间的单位分别为 L、M 和 T（它们可视为相互独立的基本单位），则、L 和kE 的单位分别为1122,kMLTLLEMLT (2)在一般情形下，若 q 表示物理量q 的单位，则物理量q 可写为()qq q (3)式中，()q 表示物理量q在取单位 q 时的数值.这

17、样，(1)式可写为()()()()kkEEkLL(4)在由(2)表示的同一单位制下，上式即9()()()()kEkL(5)kEL(6)将(2)中第四式代入 (6)式得22 MLTMLT(7)(2)式并未规定基本单位L、M和 T 的绝对大小，因而(7)式对于任意大小的 L、M和 T均成立，于是1,2,3(8)所以23kEkL(9)2.由题意，杆的动能为,c,rkkkEEE(10)其中，22,cc11()222kLEmLv (11)注意到，杆在质心系中的运动可视为两根长度为2L的杆过其公共端（即质心）的光滑水平轴在铅直平面内转动，因而，杆在质心系中的动能,rkE为32,r2(,)222kkLLEE

18、k(12)将(9)、(11)、(12)式代入(10)式得2323212222LLkLLk (13)由此解得16k (14)于是Ek=16lw2L3.(15)3.以细杆与地球为系统，下摆过程中机械能守恒sin2kLEmg (16)由(15)、(16)式得10 w=3gsinqL.(17)以 在 杆 上 距O点 为r处 的 横截 面 外 侧 长 为Lr的 那 一 段为 研 究 对 象，该段 质 量为Lr，其质心速度为22cLrLrrv.(18)设另一段对该段的切向力为T(以增大的方向为正方向)，法向(即与截面相垂直的方向)力为N(以指向O点方向为正向)，由质心运动定理得costTLr gLr a

19、(19)sinnNLr gLr a (20)式中，ta为质心的切向加速度的大小3cosddddd2d2ddt4ctLr gLrLrattLv (21)而na 为质心的法向加速度的大小23sin22nLrgLraL.(22)由(19)、(20)、(21)、(22)式解得23cos4LrrLTmgL (23)253sin2LrLrNmgL (24)评分标准：本题 25 分.第 1 问 5 分，(2)式 1 分，(6)式 2 分，(7)式 1 分，(8)式 1 分；第 2 问 7 分，(10)式 1 分，(11)式 2 分，(12)式 2 分，(14)式 2 分；不依赖第1问的结果，用其他方法正确得

20、出此问结果的，同样给分；第 3 问 13 分，(16)式 1 分，(17)式 1 分，(18)式 1 分，(19)式 2 分，(20)式 2 分，(21)式 2 分，(22)式 2 分，(23)式 1 分，(24)式 1 分；不依赖第1、2 问的结果，用其他方法正确得出此问结果的，同样给分.四、参考解答：11 设在某一时刻球壳形容器的电量为Q.以液滴和容器为体系，考虑从一滴液滴从带电液滴产生器G出口自由下落到容器口的过程.根据能量守恒有2122QqQqmghkmmgRkhRRv.(1)式中，v为液滴在容器口的速率，k是静电力常量.由此得液滴的动能为21(2)(2)2()Qq hRmmg hRk

21、hR Rv.(2)从上式可以看出，随着容器电量Q 的增加，落下的液滴在容器口的速率v不断变小；当液滴在容器口的速率为零时，不能进入容器，容器的电量停止增加，容器达到最高电势.设容器的最大电量为maxQ，则有max(2)(2)0()Qq hRmg hRkhR R.(3)由此得max()mg hR RQkq.(4)容器的最高电势为maxmaxQVkR (5)由(4)和(5)式得max()mg hRVq(6)评分标准：本题 20 分.(1)式 6 分，(2)式 2 分，(3)式 4分，(4)式 2分，(5)式 3 分，(6)式 3 分.五、参考解答：1.一个带电量为q 的点电荷在电容器参考系S中的速

22、度为(,)xyzuuu，在运动的参考系S中的速度为(,)xyzuuu.在参考系S中只存在磁场(,)(,0,0)xyzBBBB，因此这个点电荷在参考系S中所受磁场的作用力为0,xyzzyFFqu BFqu B(1)在参考系S中可能既有电场(,)xyzEEE又有磁场(,)xyzBBB，因此点电荷q 在S参考系中所12 受电场和磁场的作用力的合力为(),(),()xxyzzyyyxzzxzzxyyxFq Eu Bu BFq Eu Bu BFq Eu Bu B(2)两参考系中电荷、合力和速度的变换关系为,(,)(,),(,)(,)(0,0)xyzxyzxyzxyzqqFFFFFFuuuuuuv (3)

23、由(1)、(2)、(3)式可知电磁场在两参考系中的电场强度和磁感应强度满足()0,()xyzzyyxzzxzzxyyxyEuBu BEu Bu Bu BEu BuBu Bvv(4)它们对于任意的(,)xyzu uu都成立，故(,)(0,0,),(,)(,0,0)xyzxyzEEEBBBBBv(5)可见两参考系中的磁场相同，但在运动的参考系S中却出现了沿z方向的匀强电场.2.现在，电中性液体在平行板电容器两极板之间以速度(0,0)v匀速运动.电容器参考系S中的磁场会在液体参考系S中产生由(5)式中第一个方程给出的电场.这个电场会把液体极化，使得液体中的电场为0(,)(0,0,)xyzEEEBv.

24、(6)为了求出电容器参考系S中的电场，我们再次考虑电磁场的电场强度和磁感应强度在两个参考系之间的变换，从液体参考系S中的电场和磁场来确定电容器参考系S中的电场和磁场.考虑一带电量为q 的点电荷在两参考系中所受的电场和磁场的作用力.在液体参考系S中，这力(,)xyzFFF如(2)式所示.它在电容器参考系S中的形式为(),(),()xxyzzyyyxzzxzzxyyxFq Eu Bu BFq Eu Bu BFq Eu Bu B(7)利用两参考系中电荷、合力和速度的变换关系(3)以及(6)式，可得13 00,()xyzzyyxzzxzzxyyxyEu Bu BEu Bu Bu BBEu Bu BuB

25、vv(8)对于任意的(,)xyzuuu都成立，故0(,)(0,0,(1),(,)(,0,0)xyzxyzEEEBBBBBv(9)可见，在电容器参考系S中的磁场仍为原来的磁场，现由于运动液体的极化，也存在电场，电场强度如(9)中第一式所示.注意到(9)式所示的电场为均匀电场，由它产生的电容器上、下极板之间的电势差为zVE d.(10)由(9)式中第一式和(10)式得01VBdv.(11)评分标准：本题 25 分.第 1 问 12 分，(1)式 1 分，(2)式 3分，(3)式 3 分，(4)式 3 分，(5)式 2 分；第 2 问 13 分，(6)式 1 分，(7)式 3 分，(8)式 3 分，

26、(9)式 2 分，(10)式 2 分，(11)式 2分.六、参考解答：设弯成的圆弧半径为r，金属片原长为l，圆弧所对的圆心角为，钢和青铜的线膨胀系数分别为1和2，钢片和青铜片温度由120 CT升高到2120 CT时的伸长量分别为1l和2l.对于钢片1()2drll (1)1121()llTT (2)式中，0.20 mmd.对于青铜片2()2drll(3)2221()llTT(4)14 联立以上各式得2122121212()()2.0 10 mm2()()TTrdTT (5)评分标准：本题 15 分.(1)式 3 分，(2)式 3分，(3)式 3 分，(4)式 3 分，(5)式 3 分.七、参考

27、解答：1.考虑射到劈尖上某y 值处的光线，计算该光线由0 x到 xh 之间的光程y.将该光线在介质中的光程记为1，在空气中的光程记为2.介质的折射率是不均匀的，光入射到介质表面时，在0 x处，该处介质的折射率01n；射到x处时，该处介质的折射率1n xbx.因折射率随 x 线性增加，光线从0 x处射到1xh（1h 是劈尖上y 值处光线在劈尖中传播的距离）处的光程1与光通过折射率等于平均折射率1111110111222nnn hbhbh (1)的均匀介质的光程相同，即2111112nhhbh(2)忽略透过劈尖斜面相邻小台阶连接处的光线（事实上，可通过选择台阶的尺度和档板上狭缝的位置来避开这些光线

28、的影响），光线透过劈尖后其传播方向保持不变，因而有21hh (3)于是212112yhbh.(4)由几何关系有1tanhy.(5)故22tan2byhy.(6)从介质出来的光经过狭缝后仍平行于x轴，狭缝的y 值应与对应介质的y值相同，这些平行光线会聚在透镜焦点处.对于0y处，由上式得15 d0()=h.(7)y 处与0y处的光线的光程差为220tan2byy.(8)由于物像之间各光线的光程相等，故平行光线之间的光程差在通过透镜前和会聚在透镜焦点处时保持不变；因而(8)式在透镜焦点处也成立.为使光线经透镜会聚后在焦点处彼此加强，要求两束光的光程差为波长的整数倍，即22tan,1,2,3,2byk

29、k.(9)由此得22cot,cotkyA kAbb.(10)除了位于y=0处的狭缝外，其余各狭缝对应的y坐标依次为,2,3,4,AAAA.(11)2.各束光在焦点处彼此加强，并不要求(11)中各项都存在.将各狭缝彼此等距排列仍可能满足上述要求.事实上，若依次取,4,9,kmmm，其中m为任意正整数，则49,2,3,mmmymA ymA ymA.(12)这些狭缝显然彼此等间距，且相邻狭缝的间距均为mA，光线在焦点处依然相互加强而形成亮纹.评分标准：本题 20 分.第 1 问 16 分，(1)式 2 分，(2)式 2分，(3)式 1 分，(4)式 1 分，(5)式 2 分，(6)式 1 分，(7)

30、式 1分，(8)式 1 分，(9)式 2 分，(10)式 1 分，(11)式 2 分；第 2 问 4 分，(12)式 4 分（只要给出任意一种正确的答案，就给这4 分）.八、参考解答：1.设碰撞前电子、光子的动量分别为ep（0ep）、p（0p），碰撞后电子、光子的能量、动量分别为,eeEpEp.由能量守恒有Ee+Eg=Ee+Eg.(1)由动量守恒有pe+pg=pe+pg.(2)光子的能量和动量满足16 Eg=pgc,Eg=pgc.(3)电子的能量和动量满足22224eeeEp cm c，22224eeeEp cm c(4)由(1)、(2)、(3)、(4)式解得2242242eeeeeeEEEm

31、 cEEEm cE(5)2.由(5)式可见，为使Eg Eg,需有2242242()02eeeeeEEm cEEEEEm cE即224eeEm cE 或epp(6)注意已设pe0、pg 0.3.由于2eeEm c,因此有242242eeeeem cEm cEE.(7)将(7)式代入(5)式得Eg?2EeEg2Eg+me2c42Ee.(8)代入数据，得Eg?29.7 106eV.(9)评分标准：本题 20 分.第 1 问 10 分，(1)式 2 分，(2)式 2分，(3)式 2 分，(4)式 2 分，(5)式 2 分；第 2 问 5 分，(6)式 5 分；第 3 问 5 分，(7)式 2 分，(8)式 1分，(9)式 2 分.