高一数学集合、函数知识点总结、相应试题及答.pdf

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1、第一章 集合与函数概念一、集合有关概念1.集合的含义2.集合的中元素的三个特性：1)元素的确定性如：世界上最高的山2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合H,A,P,Y 3)元素的无序性:如：a,b,c和a,c,b是表示同一个集合3.集合的表示：,如：我校的篮球队员，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋 (1)用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5(2)集合的表示方法：列举法与描述法。注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+整数集 Z 有理数集Q 实数集 R 1）列举法：a,b,c,2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，

2、写在大括号内表示集合的方法。xR|x-32,x|x-32 3）语言描述法：例：不是直角三角形的三角形 4）Venn图:4、集合的分类：(1)有限集含有有限个元素的集合(2)无限集含有无限个元素的集合(3)空集不含任何元素的集合例：x|x2=5二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集注意：BA有两种可能（1）A是 B的一部分，；（2）A与 B是同一集合。反之:集合 A 不包含于集合B,或集合 B不包含集合 A,记作 A B或 B A 2“相等”关系：A=B (5 5，且 55，则 5=5)实例：设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同则两集合相等”即：任何一个集合是它本身的子集。A A

3、 真子集:如果 A B,且 A B 那就说集合 A是集合B的真子集，记作AB(或 BA)如果 AB,BC,那么 AC 如果 A B 同时 BA 那么 A=B 3.不含任何元素的集合叫做空集，记为规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。有 n 个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集三、集合的运算运算类型交集并集补集定义由所有属于A且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B的交 集 记 作AB（读作 A交 B），即AB=x|xA，且 xB由 所 有 属 于 集合 A或属于集合B 的元素所组成的 集 合，叫 做A,B 的并集记作：AB（读作A 并 B），即AB=x|xA，或

4、设 S是一个集合，A 是 S 的一个子集，由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集合，叫做 S 中子集 A 的补集（或余集）记作ACS，即CSA=,|AxSxx且x B)韦恩图示AB图 1AB图 2性质AA=A A=AB=B A AB A ABB A A=A A=A A B=B A A BA BB(CuA)(CuB)=Cu(AB)(CuA)(CuB)=Cu(AB)A (CuA)=U A (CuA)=例题：1.下列四组对象，能构成集合的是（）A某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数2.集合a，b，c 的真子集共有个3.若集合 M=y|y=x2-2x+1

5、,xR,N=x|x 0，则 M与 N的关系是 .4.设集合 A=12xx，B=x xa，若 A B，则a的取值范围是5.50 名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有 40 人，化学实验做得正确得有31S A 人，两种实验都做错得有4 人，则这两种实验都做对的有人。6.用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M=.7.已知集合 A=x|x2+2x-8=0,B=x|x2-5x+6=0,C=x|x2-mx+m2-19=0,若 BC，AC=，求 m的值(1)已知 A=x -3x5,B=x xa,若满足 A B,则实数 a的取值范围是 ;(2)已知集合=x x2+x-6=0

6、,集合=y ay+1=0,若满足B A,则实数 a 所能取的一切值为 .（3）已知集合 5|xaxA，xxB|2，且满足BA，求实数a的取值范围。二、函数的有关概念1函数的概念：设 A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合 A中的任意一个数 x，在集合 B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称 f：AB为从集合 A到集合 B的一个函数记作：y=f(x)，xA其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A叫做函数的定义域；与x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA 叫做函数的值域注意：1定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。求函数的定义

7、域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零，(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.相同函数的判断方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；定义域一致(两点必须同时具备)(见课本 21 页相关例 2)2值域 :先考虑其定义域(1)观察法(2)配方法(3)代换法3.函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y

8、=f(x),(xA)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合 C，叫做函数y=f(x),(x A)的图象 C 上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在 C上.(2)画法A、描点法：B、图象变换法常用变换方法有三种1)平移变换2)伸缩变换3)对称变换4区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间（3）区间的数轴表示5映射一般地，设 A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合 A中的任意一个元素 x，在集合 B中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就

9、称对应 f：AB为从集合 A到集合B的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）B（象）”对于映射f：AB来说，则应满足：(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。6.分段函数(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。(2)各部分的自变量的取值情况(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集补充：复合函数如果y=f(u)(uM),u=g(x)(xA),则y=fg(x)=F(x)(xA)称为 f、g 的复合函数。二函数的性质1.函数的单调性

10、(局部性质)（1）增函数设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域I 内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说 f(x)在区间D上是增函数.区间 D称为 y=f(x)的单调增区间.如果对于区间 D上的任意两个自变量的值x1，x2，当 x1x2 时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间 D称为 y=f(x)的单调减区间.注意：函数的单调性是函数的局部性质；（2）图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左

11、到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.(3).函数单调区间与单调性的判定方法(A)定义法：1 任取 x1，x2D，且 x1)252(2aafB)23(f)252(2aafC)23(f)252(2aafD)23(f)252(2aaf3已知5)2(22xaxy在区间(4,)上是增函数，则a的范围是（）A.2aB.2aC.6aD.6a4设()f x是奇函数，且在(0,)内是增函数，又(3)0f，则()0 x f x的解集是（）A|303xxx或B|303x xx或C|33x xx或D|3003xxx或5已知3()4f xaxbx其中,a b为常数，若(2)2f，则(2)f的值等于()A2B4C

12、6D106函数33()11f xxx,则下列坐标表示的点一定在函数f(x)图象上的是（）A(,()af aB(,()a faC(,()af aD(,()afa二、填空题1设()f x是R上的奇函数，且当0,x时，3()(1)f xxx，则当(,0)x时()f x_。2若函数()2f xa xb在0,x上为增函数,则实数,a b的取值范围是。3已知221)(xxxf，那么)41()4()31()3()21()2()1(fffffff_。4若1()2axf xx在区间(2,)上是增函数，则a的取值范围是。5函数4()(3,6)2f xxx的值域为 _。三、解答题1已知函数()fx的定义域是),0(

13、，且满足()()()f xyf xfy,1()12f,如果对于0 xy,都有()()f xfy,（1）求(1)f；（2）解不等式2)3()(xfxf。2当 1,0 x时，求函数223)62()(axaxxf的最小值。3已知22()444f xxaxaa在区间0,1内有一最大值5，求a的值.4已知函数223)(xaxxf的最大值不大于61，又当1 11,()4 28xfx时，求a的值。（数学 1 必修）第一章（上）提高训练 C组 一、选择题1.D01,0,0XX1.B全班分4类人：设两项测验成绩都及格的人数为x人；仅跳远及格的人数为40 x人；仅铅球及格的人数为31x人；既不爱好体育又不爱好音乐

14、的人数为4人。4031450 xxx，25x。3.C由ARA得，2()40,4,0,mmm而04m；4.D选项 A：仅有一个子集，选项B：仅说明集合,A B无公共元素，选项 C：无真子集，选项D的证明：(),ABASAAS即而，AS；同理BS，ABS；5.D（1）()()()UUUUC AC BCABCU；（2）()()()UUUUC AC BCABC U；（3）证明：(),AABA即A而，A；同理B，AB；6.B21:,44kM奇数；2:,44kN整数，整数的范围大于奇数的范围7B 0,1,1,0AB二、填空题1.|19xx22|43,|211My yxxxRy yx（）22|28,|199

15、Ny yxxxRy yx（）2.9,4,1,0,2,3,6,11110,5,2,1m或（10的约数）3.11IN，1IC N4.12 34，12AB，5.2,2:4(2)Myxx，M代表直线4yx上，但是挖掉点(2,2)，UC M代表直线4yx外，但是包含点(2,2)；N代表直线4yx外，UC N代表直线4yx上，()()(2,2)UUC MC N。三、解答题1.解：,xAxaba b则或，,Baba b,BC Mab2.解：|123Bxxa，当20a时，2|4Cx ax，而CB则1234,20,2aaa即而这是矛盾的；当02a时，|04Cxx，而CB，则1234,22aaa1即即2；当2a时

16、，2|0Cxxa，而CB，则223,3aaa即 2；132a3.解：由0SC A得0S，即1,3,0S，1,3A，32213320 xxxx，1x4.解：含有1的子集有92个；含有2的子集有92个；含有3的子集有92个；，含有10的子集有92个，9(1 23.10)228160。（数学 1 必修）第一章（中）提高训练 C组 一、选择题1.B,1,SR TTS2.D 设2x，则20 x，而图象关于1x对称，得1()(2)2f xfxx，所以1()2f xx。3.D1,01,0 xxyxx4.C作出图象m的移动必须使图象到达最低点5.A作出图象图象分三种：直线型，例如一次函数的图象：向上弯曲型，例

17、如二次函数2()f xx的图象；向下弯曲型，例如二次函数2()f xx的图象；6.C作出图象也可以分段求出部分值域，再合并，即求并集二、填空题1.2当2()4,0af x时，其值域为-4当2202()0,24(2)16(2)0aaf xaaa时，则2.4,9021,3,49xx得2x即3.12.naaan22221212()2(.)(.)nnfxnxaaaxaaa当12.naaaxn时，()fx取得最小值4.21yxx设3(1)(2)ya xx把1 3(,)2 4A代入得1a5.3由100得2()110,0,3f xxxx且得三、解答题1.解：令12,(0)xtt，则2221111,2222t

18、txyttt21(1)12yt，当1t时，m a x1,1yy所以2.解：222(1)223,(2)(2)30,(*)y xxxxyxyxy显然2y，而（*）方程必有实数解，则2(2)4(2)(3)0yyy，10(2,3y3.解：22()()4()31024,f axbaxbaxbxx2222(24)431 02 4,a xa ba xbbxx221241 0432 4aa babb得13ab，或17ab52ab。4.解：显然50a，即5a，则50364(5)(5)0aa a得25160aa,44a.（数学 1 必修）第一章（下）综合训练 B组 一、选择题1.C选项 A中的2,x而2x有意义，

19、非关于原点对称，选项B中的1,x而1x有意义，非关于原点对称，选项D中的函数仅为偶函数；2.C对称轴8kx，则58k，或88k，得40k，或64k3.B2,111yxxx,y是x的减函数，当1,2,02xyy4.A对称轴1,14,3xaaa1.A（1）反例1()f xx；（2）不一定0a，开口向下也可；（3）画出图象可知，递增区间有1,0和1,；（4）对应法则不同6.B刚刚开始时，离学校最远，取最大值，先跑步，图象下降得快！二、填空题111(,0,22画出图象2.21xx设0 x，则0 x，2()1fxxx，()()fxf x2()1f xxx,2()1f xxx3.2()1xf xx()()

20、fxf x(0)(0),(0)0,0,01afffa即211(),(1)(1),0122xf xffbxbxbb4.15()f x在区间3,6上也为递增函数，即(6)8,(3)1ff2(6)(3)2(6)(3)ffff5.(1,2)2320,12kkk三、解答题1解：（1）定义域为1,00,1，则22xx，21(),xf xx()()fxf x21()xf xx为奇函数。（2）()()fxf x且()()fxfx()f x既是奇函数又是偶函数。2证明：(1)设12xx，则120 xx，而()()()f abf af b1122122()()()()()fxfxxxfxxfxfx函数()yf x

21、是R上的减函数;(2)由()()()f abf af b得()()()f xxf xfx即()()(0)f xfxf，而(0)0f()()fxf x，即函数()yfx是奇函数。3解：()f x是偶函数,()g x是奇函数，()()fxf x，且()()gxg x而1()()1f xg xx,得1()()1fxgxx,即11()()11f xg xxx，21()1f xx，2()1xg xx。4解：（1）当0a时，2()|1f xxx为偶函数，当0a时，2()|1fxxxa为非奇非偶函数；（2）当xa时，2213()1(),24f xxxaxa当12a时，m i n13()()24f xfa，当

22、12a时，m i n()f x不存在；当xa时，2213()1(),24f xxxaxa当12a时，2m i n()()1fxfaa，当12a时，m i n13()()24f xfa。（数学 1 必修）第一章（下）提高训练 C组 一、选择题1.D()fxxaxaxaxaf x，画出()h x的图象可观察到它关于原点对称或当0 x时，0 x，则22()()();hxxxxxh x当0 x时，0 x，则22()()();hxxxxxh x()()hxh x2.C225332(1)222aaa，2335()()(2)222fff aa3.B对称轴2,24,2xaaa4.D由()0 x f x得0()

23、0 xf x或0()0 xf x而(3)0,(3)0ff即0()(3)xf xf或0()(3)xf xf5.D令3()()4F xf xaxbx，则3()F xaxbx为奇函数(2)(2)46,(2)(2)46,(2)10FfFff6.B3333()1111()fxxxxxf x为偶函数(,()afa一定在图象上，而()()fafa，(,()afa一定在图象上二、填空题13(1)xx设0 x，则0 x，33()(1)(1)fxxxxx()()fxf x3()(1)f xxx2.0a且0b画出图象，考虑开口向上向下和左右平移3.72221)(xxxf，2111(),()()11ff xfxxx1

24、111(1),(2)()1,(3)()1,(4)()12234fffffff4.1(,)2设122,xx则12()()f xf x，而12()()f xf x121221121212121122()(21)022(2)(2)(2)(2)axaxaxxaxxxxaxxxxxx，则210a5.1,4区间3,6是函数4()2f xx的递减区间，把3,6分别代入得最大、小值三、解答题1 解：（1）令1xy，则(1)(1)(1),(1)0ffff（2）1()(3)2()2fxfxf11()()(3)()0(1)22fxffxff3()()(1)22xxfff，3()(1)22xxff则0230,1023

25、122xxxxx。2 解：对称轴31,xa当310a，即13a时，0,1是()f x的递增区间，2min()(0)3f xfa；当311a，即23a时，0,1是()f x的递减区间，2min()(1)363f xfaa；当0311a，即1233a时，2min()(31)661f xfaaa。3解：对称轴2ax，当0,2a即0a时，0,1是()f x的递减区间，则2max()(0)45f xfaa，得1a或5a，而0a，即5a；当1,2a即2a时，0,1是()f x的递增区间，则2max()(1)45f xfa，得1a或1a，而2a，即a不存在；当01,2a即02a时，则max5()()45,24af xfaa，即54a；5a或54。4解：2223111()(),(),1123666af xxaf xaa得，对称轴3ax，当314a时，1 1,4 2是()f x的递减区间，而1()8f x，即min131()(),12288af xfa与314a矛盾，即不存在；当314a时，对称轴3ax，而11433a，且111342328即min131()(),12288af xfa，而314a，即1a1a