初二数学总.pdf

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1、第 1 页 共 11 页初二数学知识点一、因式分解1、因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做把这个多项式因式分解；注意：因式分解与乘法是相反的两个转化.2、因式分解的方法:常用“提取公因式法”、“公式法”、“分组分解法”、“十字相乘法”。3、公因式的确定：系数的最大公约数？相同因式的最低次幂.注意公式:a+b=b+a；ab=-（ba);（ab）=(ba);（a-b)=（b-a）4、因式分解的公式：（1)平方差公式：ab=（a+b）(a-b);（2)完全平方公式:a+2ab+b=（a+b），a2ab+b=（ab）5、因式分解的注意事项：（1）选择因式分解方法的一般次序是：提取、公式、

2、分组、十字；（2）使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性；（3)因式分解的最后结果要求分解到每一个因式都不能分解为止；（4）因式分解的最后结果要求每一个因式的首项符号为正；（5)因式分解的最后结果要求加以整理；（6)因式分解的最后结果要求相同因式写成乘方的形式。6、因式分解的解题技巧：（1）换位整理，加括号或去括号整理；（2）提负号;（3)全变号;（4）换元；（5）配方；(6)把相同的式子看作整体；（7）灵活分组;（8）提取分数系数；（9）展开部分括号或全部括号；（10）拆项或补项。7、完全平方式：能化为（m+n）的多项式叫完全平方式.二、分式1、分式：一般地，用A、B 表示两个

3、整式，AB 就可以表示为的形式，如果B 中含有字母，式子叫做分式.2、有理式:整式与分式统称有理式.3、对于分式的两个重要判断：（1）若分式的分母为零,则分式无意义，反之有意义；(2)若分式的分子为零,而分母不为零，则分式的值为零;注意：若分式的分子为零，而分母也为零,则分式无意义。4、分式的基本性质与应用：（1）若分式的分子与分母都乘以(或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；(2）注意：在分式中，分子、分母、分式本身的符号改变其中任何两个，分式的值不变；（3）繁分式化简时，采用分子分母同乘小分母的最小公倍数的方法，比较简单。5、分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约

4、分;注意:分式约分前经常需要先因式分解。6、最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式，这个分式叫做最简分式；第 2 页 共 11 页注意:分式计算的最后结果要求化为最简分式.7、分式的乘除法法则：8、分式的乘方：9、负整指数计算法则:（1)公式：a=1(a0）;a=（a0)；（2)正整指数的运算法则都可用于负整指数计算;（3）公式：（-1)=1，(1）=1 10、分式的通分：根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分;注意：分式的通分前要先确定最简公分母。11、最简公分母的确定:系数的最小公倍数？相同因式的最高次幂.12、同分母与异分母的分式加

5、减法法则：13、含有字母系数的一元一次方程：在方程 ax+b=0（a0）中，x 是未知数,a 和 b 是用字母表示的已知数，对x 来说，字母a 是 x 的系数，叫做字母系数，字母b 是常数项，我们称它为含有字母系数的一元一次方程。注意：在字母方程中，一般用a、b、c 等表示已知数,用 x、y、z 等表示未知数。14、公式变形:把一个公式从一种形式变换成另一种形式,叫做公式变形;注意：公式变形的本质就是解含有字母系数的方程。特别要注意：字母方程两边同时乘以含字母的代数式时，一般需要先确认这个代数式的值不为0。15、分式方程:分母里含有未知数的方程叫做分式方程；注意：以前学过的,分母里不含未知数的

6、方程是整式方程。16、分式方程的增根:在解分式方程时，为了去分母，方程的两边同乘以了含有未知数的代数式，所以可能产生增根，故分式方程必须验增根。注意:在解方程时，方程的两边一般不要同时除以含未知数的代数式,因为可能丢17、分式方程验增根的方法：把分式方程求出的根代入最简公分母（或分式方程的每个分母），若值为零，求出的根是增根，这时原方程无解；若值不为零,求出的根是原方程的解。注意：由此可判断，使分母的值为零的未知数的值可能是原方程的增根。18、分式方程的应用：列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的方法一样，但需要增加“验增根”的程序.三、数的开方1、平方根的定义：若x=a，那么 x 叫 a

7、的平方根，(即 a的平方根是x）；注意：(1）a 叫 x 的平方数（2)已知 x 求 a 叫乘方，已知a 求 x 叫开方,乘方与开方互为逆运算.2、平方根的性质：（1)正数的平方根是一对相反数；（2)0 的平方根还是0;（3)负数没有平方根.第 3 页 共 11 页3、平方根的表示方法：a 的平方根表示为和-.注意：可以看作是一个数,也可以认为是一个数开二次方的运算。4、算术平方根：正数a 的正的平方根叫a的算术平方根，表示为。注意：0 的算术平方根还是0。5、三个重要非负数：a0，a0，0.注意：非负数之和为0，说明它们都是0.6、立方根的定义：若x3=a，那么 x 叫 a 的立方根，（即

8、a 的立方根是x）。注意：（1)a 叫 x 的立方数；（2)a 的立方根表示为；即把 a 开三次方.7、立方根的性质:（1)正数的立方根是一个正数；（2）0 的立方根还是0；（3）负数的立方根是一个负数.8、立方根的特性:9、无理数：无限不循环小数叫做无理数。注意：开方开不尽的数是无理数。10、实数：有理数和无理数统称实数。11、数轴的性质：数轴上的点与实数一一对应。12、无理数的近似值：实数计算的结果中若含有无理数且题目无近似要求,则结果应该用无理数表示;如果题目有近似要求，则结果应该用无理数的近似值表示.注意:(1)近似计算时，中间过程要多保留一位；（2）要求记忆。四、三角形几何 A 级概

9、念：（要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明)1、三角形的角平分线定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。2、三角形的中线定义：在三角形中，连结一个顶点和它的对边的中点的线段叫做三角形的中线.3、三角形的高线定义:从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线.4、三角形的三边关系定理:三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边。5、等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.6、等边三角形的定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形。7、三角形的内角和定理及推论：(1）三角形的内角和180

10、；（2）直角三角形的两个锐角互余；（3）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；（4）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。8、直角三角形的定义:有一个角是直角的三角形叫直角三角形。第 4 页 共 11 页9、等腰直角三角形的定义：两条直角边相等的直角三角形叫等腰直角三角形。10、全等三角形的性质：(1）全等三角形的对应边相等;(2)全等三角形的对应角相等。11、全等三角形的判定：“SAS、“ASA、“AAS”、“SSS、“HL”（直角三角形）12、角平分线的性质定理及逆定理：（1）在角平分线上的点到角的两边距离相等;（2)到角的两边距离相等的点在角平分线上。13、线段垂直平分线

11、的定义:垂直于一条线段且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。14、线段垂直平分线的性质定理及逆定理:(1)线段垂直平分线上的点和这条线段的两个端点的距离相等；（2)和一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。15、等腰三角形的性质定理及推论:（1）等腰三角形的两个底角相等；(即等边对等角）(2)等腰三角形的“顶角平分线、底边中线、底边上的高三线合一；（3）等边三角形的各角都相等,并且都是60。16、等腰三角形的判定定理及推论：(1）如果一个三角形有两个角都相等，那么这两个角所对边也相等；（即等角对等边）（2）三个角都相等的三角形是等边三角形;（3)有一个角等于60

12、的等腰三角形是等边三角形；（4）在直角三角形中,如果有一个角等于30，那么它所对的直角边是斜边的一半。17、关于轴对称的定理（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形；(2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。18、勾股定理及逆定理：(1）直角三角形的两直角边a、b 的平方和等于斜边c 的平方，即a+b=c；(2）如果三角形的三边长有下面关系：a+b=c，那么这个三角形是直角三角形。19、直角三角形斜边中线定理及逆定理：（1）直角三角形中，斜边上的中线是斜边的一半；(2）如果三角形一边上的中线是这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.几何 B 级概念:(要求理解、会

13、讲、会用,主要用于填空和选择题）一、基本概念：三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分线的集合定义、原命题、逆命题、逆定理、尺规作图、辅助线、线段垂直平分线的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义、勾股数。二、常识:1、三角形中,第三边长的判断:另两边之差第三边另两边之和2、三角形中，有三条角平分线、三条中线、三条高线,它们都分别交于一点,其中前两个交点都在三角形内,而第三个交点可在三角形内,三角形上,三角形外。注意：三角形的角平分线、中线、高线都是线段。第 5 页 共 11 页3、三角形能否成立的条件是：最长边另两边之和.4、直角三角形能否成立的条件是

14、:最长边的平方等于另两边的平方和.5、分别含30、45、60 的直角三角形是特殊的直角三角形.6、三角形中，最多有一个内角是钝角,但最少有两个外角是钝角。7、全等三角形中，重合的点是对应顶点,对应顶点所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边.8、等边三角形是特殊的等腰三角形.9、几何习题中，“文字叙述题”需要自己画图,写已知、求证、证明.10、符合“AAA”“SSA”条件的三角形不能判定全等。11、几何习题经常用四种方法进行分析：(1）分析综合法;（2）方程分析法；（3)代入分析法;（4)图形观察法12、几何基本作图分为：(1)作线段等于已知线段;（2）作角等于已知角；(3)作已知角的平分线；

15、（4）过已知点作已知直线的垂线；(5）作线段中垂线；（6）过已知点作已知直线的平行线13、会用尺规完成“SAS、“ASA”、“AAS、“SSS、“HL”、“等腰三角形、“等边三角形”、“等腰直角三角形的作图。14、作图题在分析过程中，首先要画出草图并标出字母，然后确定先画什么,后画什么；注意：每步作图都应该是几何基本作图。15、几何画图的类型：(1）估画图；(2)工具画图;(3）尺规画图1、二次根式：一般地，式子叫做二次根式.注意:（1）若这个条件不成立，则不是二次根式;（2)是一个重要的非负数，即：0。2、重要公式:（1）（2）注意使用3、积的算术平方根：，积的算术平方根等于积中各因式的算术

16、平方根的积。注意：本章中的公式，对字母的取值范围一般都有要求。4、二次根式的乘法法则：。5、二次根式比较大小的方法：(1)利用近似值比大小;(2）把二次根式的系数移入二次根号内,然后比大小；（3)分别平方，然后比大小。6、商的算术平方根:商的算术平方根=被除式的算术平方根除式的算术平方根。7、二次根式的除法法则:（1）;（2）；（3)分母有理化:化去分母中的根号叫做分母有理化；具体方法是：分式的分子与分母同乘分母的有理化因式，使分母变为整式。8、常用分母有理化因式：；;,它们也互为有理化因式。9、最简二次根式：（1)满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式:被开方数的因数是整数,因式是整式

17、；第 6 页 共 11 页 被开方数中不含能开的尽的因数或因式；（2）最简二次根式中,被开方数不能含有小数、分数，字母因式次数低于2,且不含分母；（3）化简二次根式时，往往需要把被开方数先分解因数或分解因式;（4）二次根式计算的最后结果必须化为最简二次根式。10、二次根式化简题的几种类型：(1）明显条件题；(2）隐含条件题；（3）讨论条件题.11、同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。12、二次根式的混合运算：（1)二次根式的混合运算包括加、减、乘、除、乘方、开方六种代数运算,以前学过的，在有理数范围内的一切公式和运算律在二次根式的混合

18、运算中都适用；（2）二次根式的运算一般要先把二次根式进行适当化简,例如:化为同类二次根式才能合并；除法运算有时转化为分母有理化或约分更为简便；使用乘法公式等。二、四边形几何 A级概念：(要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明）1四边形的内角和与外角和定理：（1)四边形的内角和等于360；(2）四边形的外角和等于360.几何表达式举例:（1）A+B+C+D=360（2）1+2+3+4=3602多边形的内角和与外角和定理:（1）n 边形的内角和等于(n2）180；(2）任意多边形的外角和等于360.几何表达式举例：略3平行四边形的性质：因为 ABCD 是平行四边形几何表达式举例：（1)ABCD是

19、平行四边形AB CD ADBC(2)ABCD 是平行四边形AB=CD AD=BC(3）ABCD是平行四边形 ABC=ADC DAB=BCD（4）ABCD 是平行四边形OA=OC OB=OD(5）ABCD是平行四边形 CDA+BAD=180 第 7 页 共 11 页4。平行四边形的判定:。几何表达式举例:(1)AB CD ADBC 四边形ABCD 是平行四边形（2)AB=CD AD=BC 四边形ABCD 是平行四边形（3)5.矩形的性质：因为 ABCD 是矩形（2）(1）（3）几何表达式举例：（1）(2）ABCD是矩形 A=B=C=D=90（3)ABCD是矩形AC=BD 6。矩形的判定：四边形

20、ABCD是矩形.（1）(2）（3)几何表达式举例：（1）ABCD 是平行四边形又 A=90四边形ABCD 是矩形(2)A=B=C=D=90 四边形ABCD 是矩形（3）7菱形的性质：因为 ABCD 是菱形几何表达式举例：(1）(2）ABCD是菱形AB=BC=CD=DA(3)ABCD 是菱形AC BD ADB=CDB 8菱形的判定:四边形四边形ABCD 是菱形.几何表达式举例：(1）ABCD是平行四边形DA=DC 四边形ABCD 是菱形(2）AB=BC=CD=DA 四边形ABCD 是菱形（3）ABCD 是平行四边形AC BD 四边形ABCD 是菱形9正方形的性质：因为 ABCD 是正方形（1)(

21、2)（3）几何表达式举例：（1)（2）ABCD 是正方形AB=BC=CD=DA 第 8 页 共 11 页A=B=C=D=90（3）ABCD 是正方形AC=BD ACBD 10正方形的判定：四边形 ABCD是正方形。几何表达式举例：(1)ABCD 是平行四边形又 AD=AB ABC=90 四边形ABCD 是正方形(2）ABCD是菱形又 ABC=90 四边形ABCD 是正方形(3）ABCD 是矩形又 AD=AB 四边形ABCD 是正方形11等腰梯形的性质：因为 ABCD 是等腰梯形几何表达式举例：（1)ABCD是等腰梯形AD BC AB=CD(2）ABCD是等腰梯形 ABC=DCB BAD=CDA

22、（3）ABCD 是等腰梯形AC=BD 12等腰梯形的判定：四边形 ABCD是等腰梯形(3）ABCD 是梯形且AD BC AC=BD ABCD四边形是等腰梯形几何表达式举例：(1)ABCD 是梯形且AD BC 又 AB=CD 四边形ABCD 是等腰梯形（2）ABCD 是梯形且AD BC 又 ABC=DCB 四边形ABCD 是等腰梯形13平行线等分线段定理与推论：(1）如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等;（2）经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰；(如图)(3)经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。（如图）（2）（3)几何表达式举例：(

23、1)(2）ABCD是梯形且AB CD 又 DE=EA EFAB CF=FB（3)AD=DB 又 DE BC AE=EC 第 9 页 共 11 页14三角形中位线定理：三角形的中位线平行第三边，并且等于它的一半。几何表达式举例：AD=DB AE=EC DE BC且 DE=BC 15梯形中位线定理:梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。几何表达式举例:ABCD 是梯形且AB CD 又 DE=EA CF=FB EFAB CD 且 EF=（AB+CD)几何 B级概念:（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）一、基本概念：四边形，四边形的内角，四边形的外角，多边形,平行线间的距离，平行四边

24、形,矩形，菱形，正方形,中心对称，中心对称图形，梯形，等腰梯形，直角梯形,三角形中位线,梯形中位线。二、定理:中心对称的有关定理1、关于中心对称的两个图形是全等形。2、关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分。3、如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点对称.三、公式:1、S菱形 =ab=ch。（a、b为菱形的对角线，c 为菱形的边长，h 为 c 边上的高）2、S平行四边形 =ah。a 为平行四边形的边，h 为 a 上的高)3、S梯形 =(a+b）h=Lh。（a、b 为梯形的底，h 为梯形的高，L 为梯形的中位线）四 常识：1

25、、若 n 是多边形的边数，则对角线条数公式是：.2、规则图形折叠一般“出一对全等,一对相似.3、如图：平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系。4、常见图形中，仅是轴对称图形的有:角、等腰三角形、等边三角形、正奇边形、等腰梯形；仅是中心对称图形的有：平行四边形；是双对称图形的有：线段、矩形、菱形、正方形、正偶边形、圆。注意：线段有两条对称轴。5、梯形中常见的辅助线:6、几个常见的面积等式和关于面积的真命题:如图：若 ABCD 是平行四边形，且 AE BC，AFCD那么：AE BC=AF CD。如图:若 ABC 中,ACB=90，且CD AB，那么：AC BC=CD AB。如图:若 ABCD 是

26、菱形，且 BE AD，那么:AC BD=2BE AD。如图:若 ABC 中，且BE AC，AD BC，那么：AD BC=BE AC。如图：若 ABCD 是梯形，E、F 是两腰的中点，且AG BC，那么:EFAG=(AD+BC)AG.如图：.如图：若AD BC,那么：(1）SABC=SBDC；(2)S ABD=SACD.三、相似形第 10 页 共 11 页几何 A级概念：（要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明）1“平行出比例”定理及逆定理：（1）平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线）所得的对应线段成比例;(2）如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例,那么

27、这条直线平行于三角形的第三边.（1）（3）(2)几何表达式举例：(1)DE BC（2)DE BC(3）DE BC 2比例的性质：（1)比例的基本性质：a:b=c：d ad=bc；（2)合比性质：如果那么；（3）等比性质：如果那么.3定理：“平行”出相似平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。几何表达式举例：DEBC ADE ABC 4定理:“AA”出相似如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.几何表达式举例：A=A 又 AED=ACB ADE ABC 5定理：“SAS出相似如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两

28、条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.几何表达式举例:又 A=A ADE ABC 6“双垂 出相似及射影定理:(1）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似；(2）双垂图形中,两条直角边是它在斜边上的射影和斜边的比例中项，斜边上的高是它分斜边所成两条线段的比例中项.几何表达式举例：(1)AC CB 又 CD AB ACD CBD ABC（2)AC CB CDAB AC2=AD AB BC2=BD BA DC2=DA DB 第 11 页 共 11 页7相似三角形性质:(1）相似三角形对应角相等，对应边成比例;（2）相似三角形对应高的比,对应中线的比，对应角平分线、周

29、长的比都等于相似比；（3）相似三角形面积的比，等于相似比的平方.（1)ABC EFG BAC=FEG （2)ABC EFG 又 AD、EH是对应中线(3）ABC EFG 几何 B级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）一、基本概念：成比例线段、第四比例项、比例中项、黄金分割、相似三角形、相似比。二、定理:1、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.2、“平行”出比例定理：平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.3、“SSS出相似定理:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个

30、三角形相似。4、“HL”出相似定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.三、常识:1、三角形中，作平行线构造相似形和已知中点构造中位线是常用辅助线。2、证线段成比例的题中，常用的分析方法有：(1)直接法：由所要求证的比例式出发，找对应的三角形（一对或两对),判断并证明找到的三角形相似，从而使比例式得证；（2）等线段代换法:由所证的比例式出发，但找不到对应的三角形，可利用图形中的相等线段对所证比例式中的线段（一条或几条）进行代换，再利用新的比例式找对应的三角形证相似或转化；(3)等比代换法（即中间比法)：用上述的直接法或间接法都无法解决的证比例线段的问题，且题目中有两对或两对以上的相似形，可考虑用等比代换法,两对相似形的公共边或图形中的相等线段往往是中间比，即要证时，可证且从而推出；（4）线段分析法：利用相似形的对应边成比例列方程,并求线段长是常见题目,这类题目中如没有现成的比例式，可由题目中的已知线段和所求线段出发，找它们所围成的三角形，若能证相似，即可利用对应边成比例列方程求出线段长.3、相似形有传递性，即:1223，13