高中数学竞赛讲义(20220316221250).pdf-得力文库

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1、第 0 页数学竞赛讲义目录第一章集合2 第二章函数15 2.1函数及其性质 15 2.2二次函数 212.3函数迭代 282.4 抽象函数 32第三章数列373.1 等差数列与等比数列 373.2 递归数列通项公式的求法 44 3.3 递推法解题48 第四章三角平面向量复数51 第五章直线、圆、圆锥曲线60 第六章空间向量简单几何体68 第七章二项式定理与多项式75 第八章联赛二试选讲 82 8.1 平几名定理、名题与竞赛题828.2 数学归纳法 99 第 1 页8.3 排序不等式 103第一章集合集合是高中数学中最原始、最基础的概念，也是高中数学的起始单元，是整个高中数学的基础.它的基础

2、性体现在：集合思想、集合语言和集合的符号在高中数学的很多章节如函数、数列、方程与不等式、立体几何与解析几何中都被广泛地使用.在高考试题和数学竞赛中，很多问题可以用集合的语言加以叙述.集合不仅是中学数学的基础，也是支撑现代数学大厦的基石之一，本章主要介绍集合思想在数学竞赛中出现的问题.1.1集合的概念与运算【基础知识】一集合的有关概念1集合：具有某些共同属性的对象的全体，称为集合.组成集合的对象叫做这个集合的元素.2集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.3集合的分类：无限集、有限集、空集.4.集合间的关系：二集合的运算1交集、并集、补集和差集差集：记A、B 是两个集合，则所有属于A 且不

3、属于B 的元素构成的集合记作BA.即AxBA且Bx.2.集合的运算性质(1)AAA,AAA(幂等律);(2)ABBA,ABBA(交换律);(3)()(CBACBA,)()(CBACBA(结合律);(4)()()(CABACBA,)()()(CABACBA(分配律);(5)AABA)(,ABAA)(吸收律);(6)AACCUU)(对合律);第 2 页(7)()()(BCACBACUUU,)()()(BCACBACUUU(摩根律)(8)()()(CABACBA,)()()(CABACBA.3.集合的相等(1)两个集合中元素相同,即两个集合中各元素对应相等;(2)利用定义,证明两个集合互为子集;(3

4、)若用描述法表示集合,则两个集合的属性能够相互推出(互为充要条件),即等价;(4)对于有限个元素的集合,则元素个数相等、各元素的和相等、各元素之积相等是两集合相等的必要条件.【典例精析】【例 1】在集合,2,1n中,任意取出一个子集,计算它的各元素之和.则所有子集的元素之和是.分析已知,2,1n的所有的子集共有n2个.而对于,2,1ni,显然,2,1n中包含i的子集与集合,1,1,2,1nii的子集个数相等.这就说明i在集合,2,1n的所有子集中一共出现12n次,即对所有的i求和,可得).(211ninniS【解】集合,2,1n的所有子集的元素之和为2)1(2)21(211nnnnn=.2)1

5、(1nnn说明本题的关键在于得出,2,1n中包含i的子集与集合,1,1,2,1nii的子集个数相等.这种一一对应的方法在集合问题以及以后的组合总是中应用非常广泛.【例 2】已知集合034|,023|222aaxxxBxxxA且BA,求参数a的取值范围.分析首先确定集合A、B,再利用BA的关系进行分类讨论.【解】由已知易求得0)3)(|,12|axaxxBxxA当0a时,3|axaxB,由BA知无解;当0a时,B,显然无解;当0a时,3|axaxB,由BA解得.321a综上知,参数a的取值范围是32,1.第 3 页说明本题中,集合的定义是一个二次三项式,那么寻于集合B 要分类讨论使其取值范围数

6、字化,才能通过条件求出参数的取值范围.【例 3】已知RyRx,集合 1,2,1,12yyyBxxxxA.若BA,则22yx的值是()A.5 B.4 C.25 D.10【解】0)1(2x,xxx12,且012xx及集合中元素的互异性知xxx12,即1x,此时应有.112xxxx而Ry,从而在集合B 中,.21yyy由BA,得)3()2()1(12112yxyxyxx由(2)(3)解得2,1 yx,代入(1)式知2,1 yx也满足(1)式.5212222yx说明本题主要考查集合相等的的概念,如果两个集合中的元素个数相等,那么两个集合中对应的元素应分别相等才能保证两个集合相等.而找到这种对应关系往往

7、是解决此类题目的关键.【例 4】已知集合|,|,0),lg(,yxBxyyxA.若BA,求)1()1(22yxyx+)1(20082008yx的值.分析从集合A=B 的关系入手,则易于解决.【解】BA,0)lg(|)lg(xyxyxyxxyxyx,根据元素的互异性,由 B 知0,0 yx.B0且BA,A0,故只有0)lg(xy,从而.1xy又由A1及BA,得.1B第 4 页所以1|1xxy或11yxy,其中1yx与元素的互异性矛盾!所以,1yx代入得:)1()1(22yxyx+)1(20082008yx=(2)+2+(2)+2+(2)+2=0.说明本题是例4 的拓展,也是考查集合相等的概念,所

8、不同的是本题利用的是集合相等的必要条件,即两个集合相等,则两个集合中,各元素之和、各元素之积及元素个数相等.这是解决本题的关键.【例 5】已知 A 为有限集,且*NA,满足集合A 中的所有元素之和与所有元素之积相等,写出所有这样的集合A.【解】设集合 A=)1(,21naaan且naaa211,由naaa21naaa21,*)(Nnnan,得nnanaaa21naaa21)!1(nan,即)!1(nn2n或3n(事实上,当3n时,有)2)1()2)(1()!1(nnnnn.当2n时,1,2,21122121aaaaaaa,而.2,1122naa当3n时,3,3213321321aaaaaaaa

9、a,.2,121aa由3332aa,解得.33a综上可知,.3,2,1A说明本题根据集合中元素之间的关系找到等式,从而求得集合A.在解决问题时,应注意分析题设条件中所给出的信息,根据条件建立方程或不等式进行求解.【例 6】已知集合02|,023|22aaxxxSxxxP,若PS,求实数a的取值组成的集合A.【解】21|xxP,设aaxxxf2)(2.当04)2(2aa,即10a时,S,满足PS;当04)2(2aa,即0a或1a时,第 5 页若0a,则0S,不满足PS,故舍去;若1a时,则 1S,满足PS.当04)2(2aa时,满足PS等价于方程022aaxx的根介于1 和 2 之间.即034

11、,得2420 xx，解出得26x 所以，当26116a时,MN令2y，代入方程22|1|2()xyxy,得2610 xx.解出得310 x所以，当310a时,MN因此,综合与可知，当16310a，即16,310a时,MN故填16,310.【例 8】已知集合,4321aaaaA,24232221aaaaB,其中4321aaaa,-2-146-357-1yx123123O第 6 页Naaaa4321,.若,41aaBA,1041aa.且BA中的所有元素之和为124,求集合 A、B.【解】4321aaaa,且,41aaBA,211aa,又Na1,所以.11a又1041aa,可得94a,并且422

12、aa或.423aa若922a,即32a,则有,12481931233aa解得53a或63a(舍)此时有.81,25,9,1,9,5,3,1BA若923a,即33a,此时应有22a,则BA中的所有元素之和为100124.不合题意.综上可得,.81,25,9,1,9,5,3,1BA说明本题的难点在于依据已知条件推断集合A、B 中元素的特征.同时上述解答中使用发分类讨论的思想.分类讨论是我们解决问题的基本手段之一,将问题分为多个部分,每一部分的难度比整体都要低,这样就使问题变得简单明了.【例9】满足条件|4|)()(|2121xxxgxg的函数)(xg形成了一个集合M,其中Rxx21,并且1,2

13、221xx,求函数)(23)(2Rxxxxfy与集合 M 的关系.分析求函数23)(2xxxf集合 M 的关系,即求该函数是否属于集合M,也就是判断该函数是否满足集合M 的属性.【解】|3|)23()23(|)()(|212122212121xxxxxxxxxfxf取65,6421xx时,.|4|29|)()(|212121xxxxxfxf由此可见,.)(Mxf说明本题中M 是一个关于函数的集合.判断一个函数)(xf是否属于M,只要找至一个或几个特殊的ix使得)(ixf不符合 M 中的条件即可证明.)(Mxf【例 10】对集合2008,2,1及每一个非空子集定义唯一“交替和”如下:把子集中的数

14、按递减顺序排列,然后从最大数开始,交替地加减相继各数,如9,6,4,2,1的“交替和”是612469,集合10,7的“交替和”是107=3,集合5的“交替和”是5 等等.第 7 页试求 A 的所有的“交替和”的总和.并针对于集合,2,1n求出所有的“交替和”.分析集合A 的非空子集共有122008个,显然,要想逐个计算“交替和”然后相加是不可能的.必须分析“交替和”的特点,故可采用从一般到特殊的方法.如1,2,3,4 的非空子集共有15个,共“交替和”分别为:1 1;2 2;3 3;4 4;1,2 2-1;1,3 3-1;1,4 4-1;2,3 3-2;2,4 4-2;3,4 4-3;1,2,

15、3 3-2+1;1,2,4 4-2+1;1,3,4 4-3=1;2,3,4 4-3+2;1,2,3,4 4-3+2-1.从以上写出的“交替和”可以发现,除4 以外,可以把 1,2,3,4 的子集分为两类:一类中包含4,另一类不包含4,并且构成这样的对应:设iA是1,2,3,4 中一个不含有的子集,令iA与iA4相对应,显然这两个集合的“交替和”的和为 4,由于这样的对应应有7 对,再加上 4的“交替和”为4,即1,2,3.4 的所有子集的“交替和”为 32.【解】集合2008,2,1的子集中,除了集合2008,还有222008个非空子集.将其分为两类:第一类是含2008的子集,第二类是不含20

16、08的子集,这两类所含的子集个数相同.因为如果iA是第二类的,则必有2008iA是第一类的集合;如果jB是第一类中的集合,则jB中除2008 外,还应用 1,2,2007 中的数做其元素,即jB中去掉2008 后不是空集,且是第二类中的.于是把“成对的”集合的“交替和”求出来,都有 2008,从而可得A 的所有子集的“交替和”为.2008220082008)22(2120072008同样可以分析,2,1n,因为n个元素集合的子集总数为n2个(含,定义其“交替和”为 0),其中包括最大元素n的子集有12n个,不包括n的子集的个数也是12n个,将两类子集一一对应(相对应的子集只差一个元素n),设不

17、含n的子集“交替和”为 S,则对应的含n子集的“交替和”为Sn,两者相加和为n.故所有子集的“交替和”为.21nn说明本题中退到最简,从特殊到一般的思想及分类讨论思想、对应思想都有所体现,这种方法在数学竞赛中是常用的方法,在学习的过程中应注意强化.【例 11】一支人数是5 的倍数的且不少于1000 人的游行队伍，若按每横排4 人编队，最后差 3 人；若按每横排3 人编队，最后差2 人；若按每横排2 人编队，最后差1 人，求这支游行队伍的人数最少是多少？第 8 页分析已知游行队伍的总人数是5 的倍数，那么可设总人数为n5.“按每横排 4 人编队，最后差 3 人”，从它的反面去考虑，可理解为多1

18、人，同样按3 人、2 人编队都可理解为“多1 人”，显然问题转化为同余问题.n5被 4、3、2 除时都余地，即15n是 12 的倍数，再由总人数不少于1000 人的条件，即可求得问题的解.【解】设游行队伍的总人数为)(5Nnn，则由题意知n5分别被 4、3、2 除时均余1，即15n是 4、3、2 的公倍数，于是可令)(1215Nmmn，由此可得：5112mn要使游行队伍人数最少，则式中的m应为最少正整数且112m为 5 的倍数，应为 2.于是可令)(25Npqm，由此可得：512 1)25(1251ppn，25605pn所以10002560p，4116p.取17p代入式，得1045251760

19、5n故游行队伍的人数最少是1045 人.说明本题利用了补集思想进行求解，对于题目中含有“至少”、“至多”、“最少”、“不都”、“都”等词语，可以根据补集思想方法，从词义气反面（反义词）考虑，对原命题做部分或全部的否定，用这种方法转化命题，常常能起到化繁为简、化难为易的作用，使之寻求到解题思想或方法，实现解题的目的.【例 12】设nN且n15，BA,都是 1，2，3，n 真子集，AB，且AB=1，2，3，n.证明：A或者B中必有两个不同数的和为完全平方数.【证明】由题设，1，2，3，n的任何元素必属于且只属于它的真子集BA,之一.假设结论不真，则存在如题设的1，2，3，n 的真子集BA,，使得

20、无论是A还是B中的任两个不同的数的和都不是完全平方数.不妨设 1A，则 3A，否则 1+3=22，与假设矛盾，所以3B.同样 6B，所以6A，这时 10A，即 10B.因n 15，而 15 或者在A中，或者在B中，但当 15A时，因 1A，1+15=24，矛盾；当15B时，因 10B，于是有10+15=25，仍然矛盾.因此假设不真,即结论成立.【赛向点拨】1.高中数学的第一个内容就是集合，而集合又是数学的基础.因此，深刻理解集合的概念,熟第 9 页练地进行集合运算是非常重要的.由于本节中涉及的内容较多,所以抓好概念的理解和应用尤其重要.2.集合内容几乎是每年的高考与竞赛的必考内容.一般而言,一

21、是考查集合本身的知识;二是考查集合语言和集合思想的应用.3.对于给定的集合,要正确理解其含义,弄清元素是什么,具有怎样的性质?这是解决集合问题的前提.4.集合语言涉及数学的各个领域,所以在竞赛中,集合题是普遍而又基本的题型之一.【针对练习】(A 组)1.(2006年江苏预赛)设在xOy平面上，20 xy，10 x所围成图形的面积为31，则集合,1),(xyyxM 1),(2xyyxN的交集NM所表示的图形面积为()A.31B.32C.1D.342.(2006 年陕西预赛)ba,为实数,集合 M=xxfaPab:,0,1,表示把集合M 中的元素x映射到集合P 中仍为x,则ba的值等于()A.1B

22、.0 C.1 D.13.(2004 年全国联赛)已知 M=32|),(22yxyx，N=bmxyyx|),(，若对于所有的Rm，均有,NM则b的取值范围是A26,26 B.（26,26）C.（332,332）D.332,332 4.(2005 年全国联赛)记集合,6,5,4,3,2,1,0T,4,3,2,1,|77774433221iTaaaaaMi将 M 中的元素按从大到小的顺序排列，则第2005 个数是（）A43273767575B43272767575C43274707171D432737071715.集合 A,B 的并集 AB=a1,a2,a3，当且仅当AB 时，(A,B)与(B,A)

23、视为不同的对，则这样的(A,B)对的个数有()A.27 B.28.C.26 D.25 第 10 页6.设 A=n|100n 600,nN，则集合A 中被7 除余 2 且不能被57 整除的数的个数为_.7.已知2430,Ax xxxR,1220,2(7)50,xBxaxaxxR且.若AB,则实数a的取值范围是.8.设 M=1,2,3,1995，A 是 M 的子集且满足条件:当 xA 时,15xA，则 A 中元素的个数最多是 _.9.(2006 年集训试题)设 n 是正整数，集合M=1，2，2n求最小的正整数k，使得对于 M 的任何一个k 元子集，其中必有4 个互不相同的元素之和等于10.设Aa|

24、a22xy,x yZ，求证：21kA(kZ)；42 ()kAkZ.11.（2006 年江苏）设集合12log32Axx，21aBxxa若AB，求实数a的取值范围12.以某些整数为元素的集合P具有下列性质：P中的元素有正数，有负数；P中的元素有奇数,有偶数；1P；若x，yP,则xyP试判断实数0 和 2 与集合P的关系.(B 组)1.设S为满足下列条件的有理数的集合：若aS，bS，则a+bS，Sab；对任一个有理数r，三个关系rS，rS，r 0 有且仅有一个成立.证明：S是由全体正有理数组成的集合.2321,SSS为非空集合，对于 1，2，3的任意一个排列kji,，若jiSySx,，则kSyx（

25、1）证明：三个集合中至少有两个相等.（2）三个集合中是否可能有两个集无公共元素？3已知集合：1|),(,1|),(,1|),(22yxyxCayxyxByaxyxA问（1）当a取何值时，CBA)(为含有两个元素的集合？（2）当a取何值时，CBA)(为含有三个元素的集合？4已知22(,)4470,Ax y xyxyx yR,(,)10,Bx y xyx yR.请根据自己对点到直线的距离,两条异面直线的距离中“距离”的认识,给集合 A与 B的距离定义;依据中的定义求出A与B的距离.5.设集合P不小于的正整数，定义上的函数如下：若Pn，定义)(nf为不是n的约数的最小正整数，例如5

26、)12(,2)7(ff.记函数f的值域为 .证明：第 11 页.99,19MM6为了搞好学校的工作，全校各班级一共提了P)(NP条建议.已知有些班级提出了相同的建议，且任何两个班级都至少有一条建议相同，但没有两个班提出全部相同的建议.求证该校的班级数不多于12P个.【参考答案】A 组1.解：NM在 xOy 平面上的图形关于x 轴与 y 轴均对称，由此NM的图形面积只要算出在第一象限的图形面积乘以4 即得.为此，只要考虑在第一象限的面积就可以了.由题意可得，NM的图形在第一象限的面积为A613121.因此NM的图形面积为32.所以选 B.2.解:由 M=P,从而1,0 aab,即0,

27、1 ba,故.1ba从而选 C.3.解：MN相当于点（0，b）在椭圆2223xy上或它的内部22661,322bb.故选 A.4.解:用pkaaa21表示 k 位 p 进制数，将集合M 中的每个数乘以47，得32123412347777|,1,2,3,4|,1,2,3,4.iiMaaaaaT ia a a aaT iM中的最大数为10724006666.在十进制数中，从2400 起从大到小顺序排列的第2005 个数是2400 2004=396.而1039671104将此数除以47，便得M中的数.74707171432故选 C.5.解：A=时，有 1 种可能

28、；A 为一元集时，B 必须含有其余2 元，共有 6 种可能；A 为二元集时，B 必须含有另一元.共有 12 种可能；A 为三元集时，B 可为其任一子集.共 8 种可能.故共有 1+6+12+8=27 个.从而选 A.6解：被7 除余 2 的数可写为7k+2.由 100 7k+2600.知 14k85.又若某个k 使 7k+2 能被 57 整除，则可设7k+2=57n.即57256227778nnnnkn.即 n2 应为 7 的倍数.设 n=7m+2 代入，得 k=57m+16.1457m+1685.m=0,1.于是所求的个数为85(141)2=70解：依题意可得13Axx,设1()2xf xa

29、,2()2(7)5g xxax要使AB,只需()f x,()g x在(1,3)上的图象均在x轴的下方,则(1)0f,(3)0f,(1)0g,(3)0g,由此可解得结果.第 12 页8解：由于1995=15 133，所以，只要n133，就有 15n1995.故取出所有大于133 而不超过 1995 的整数.由于这时己取出了15 9=135,15133=1995.故 9 至 133 的整数都不能再取，还可取1 至 8 这 8 个数，即共取出1995133+8=1870 个数,这说明所求数1870.另一方面，把 k 与 15k 配对，（k 不是 15 的倍数，且 1k 133）共得 1338=125

30、对，每对数中至多能取1 个数为 A 的元素，这说明所求数1870，综上可知应填1870.9.解：考虑M 的 n+2 元子集 P=nl，n，n+1，2n P 中任何 4 个不同元素之和不小于(n1)+n+(n+1)+(n+2)=4 n+2，所以 k n+3将 M 的元配为n 对，Bi=(i，2 n+1i)，1 i n对 M 的任一 n+3 元子集 A，必有三对123,iiiBBB同属于 A(i1、I 2、I3两两不同)又将 M 的元配为n 1 对，C I(i，2ni)，1 i n 1对 M 的任一 n+3 元子集 A，必有一对4iC同属于 A，这一对4iC必与123,iiiBBB中至少一个无公

31、共元素，这4 个元素互不相同，且和为 2 n+1+2 n=4 n+1,最小的正整数k=n+31010.解:k,1kZ且21k22(1)kk,21kA；假设42()kA k Z,则存在,x y Z,使42k22xy即()()2(21)xyxyk(*)由于xy与xy具有相同的奇偶性，所以（*）式左边有且仅有两种可能：奇数或4 的倍数，另一方面，（*）式右边只能被4 除余2 的数，故（*）式不能成立.由此，42()kA kZ.11.解：13Axx，30Bxxaxa当0a时，03Bxaxa，由AB得03a；当0a时，30Bx axa，由AB得1a；当0a时，20Bx x，与AB不符综上所述，1,00,

32、3a12解：由若x，yP,则xyP可知，若xP，则)(NkPkx（1）由可设x，yP，且x0，y0，则yx|y|x(|y|N)故xy,yxP,由,0(yx)+xyP.（2）2P.若 2P，则P中的负数全为偶数，不然的话，当（12k）P（Nk）时，1（12k）k2P，与矛盾.于是，由知P中必有正奇数.设),(12,2NnmPnm，我们取适当正整数q，使12|2|nmq，则负奇数Pnqm)12(2.前后矛盾B 组1证明：设任意的rQ，r0,由知rS，或rS之一成立.再由，若rS，第 13 页则Sr2；若rS，则Srrr)()(2.总之，Sr2.取r=1，则 1S.再由，2=1+1

33、S，3=1+2S，可知全体正整数都属于S.设Sqp,，由Spq，又由前证知Sq21，所以21qpqqpS.因此，S含有全体正有理数.再由知，0 及全体负有理数不属于S.即S是由全体正有理数组成的集合.2证明：（1）若jiSySx,，则ikSxyxySxy)(,，所以每个集合中均有非负元素.当三个集合中的元素都为零时，命题显然成立.否则，设321,SSS中的最小正元素为a，不妨设1Sa，设b为32,SS中最小的非负元素，不妨设,2Sb则ba3S.若b0,则 0bab，与b的取法矛盾.所以b=0.任取,1Sx因 02S,故x0 x3S.所以1S3S，同理3S1S.所以1S=3S.（）可能.例如1S

34、=2S=奇数，3S=偶数显然满足条件，1S和2S与3S都无公共元素.3解：CBA)(=)()(CBCA.CA与CB分别为方程组（）1122yxyax（）1122yxayx的解集.由（）解得（yx,）=（0，1）=（212aa，2211aa）；由（）解得（yx,）=（1，0），（2211aa，212aa）（1）使CBA)(恰有两个元素的情况只有两种可能：111012222aaaa011112222aaaa由解得a=0；由解得a=1.故a=0 或 1 时，CBA)(恰有两个元素.第 14 页（2）使CBA)(恰有三个元素的情况是：212aa=2211aa解得21a，故当21a时，CBA)(恰有三

35、个元素.4解:(1)设1212,minPA PBdP P(即集合 A 中的点与集合B 中的点的距离的最小值),则称d为 A 与 B 的距离.解法一：A中点的集合为圆22(2)(2)1,xy圆心为(2,2)M,令(,)P x y是双曲线上的任一点,则2MP22(2)(2)xy=224()8xyxy=2()24()xyxyxy+8=2()4()28xyxy令txy,则2MP=22428(2)24ttt当2t时,即102xyxy有解，min2 6MP2 61d解法二：如图,P是双曲线上的任一点,Q为圆22(2)(2)1xy上任一点,圆心为M.显然,PMMPQQ(当PM、Q、三点共线时取等号)min1

36、dMP.5解：记!18n时，由于1，2，18 都是n的约数，故此时.19)(nf从而.19M若存在Pn，使99)(nf，则对于小于99 的正整数k，均有nk|，从而nn|11,|9，但是1)11,9(，由整数理论中的性质911=99 是n的一个约数，这是一个矛盾！从而.99M6证明：假设该校共有m个班级，他们的建议分别组成集合mAAA,21。这些集合中没有两个相同（因为没有两个班级提出全部相同的建议），而任何两个集合都有相同的元素，因此任何一个集合都不是另外一个集合的补集。这样在mAAA,21中至多有A（所有P条建议所组成的集合）的12221PP个子集，所以.21Pm第 15 页第二章函数2.

37、1函数及其性质一、函数的基本性质：1.函数图像的对称性（1）奇函数与偶函数：奇函数图像关于坐标原点对称，对于任意xD，都有()()fxf x成立；偶函数的图像关于y轴对称，对于任意xD，都有()()fxf x成立。（2）原函数与其反函数：原函数与其反函数的图像关于直线yx对称。若某一函数与其反函数表示同一函数时，那么此函数的图像就关于直线yx对称。（3）若函数满足()(2)f xfax，则()f x的图像就关于直线xa对称；若函数满足()(2)f xfax，则()f x的图像就关于点(,0)a对称。（4）互对称知识：函数()()yf xayf ax与的图像关于直

38、线xa对称。2函数的单调性函数的单调性是针对其定义域的某个子区间而言的。判断一个函数的单调性一般采用定义法、导数法或借助其他函数结合单调性的性质（如复合函数的单调性）特别提示：函数(0)ayxax的图像和单调区间。3函数的周期性对于函数()yf x，若存在一个非零常数T，使得当x为定义域中的每一个值时，都有()()f xTf x成立，则称()yf x是周期函数，T称为该函数的一个周期。若在所有的周期中存在一个最小的正数，就称其为最小正周期。（1）若T是()yf x的周期，那么()nT nZ也是它的周期。（2）若()yf x是周期为T的函数，则()(0)yf axba是周期为Ta的周期函数。（3

39、）若函数()yf x的图像关于直线xaxb和对称，则()yf x是周期为2()ab的函数。（4）若函数()yf x满足()()(0)f xaf xa，则()yf x是周期为2a的函数。4.函数的最值：常规求法：配方法、判别式法、不等式法、换元法、构造法5Gauss(高斯)函数对于任意实数x，我们记不超过x的最大整数为 x，通常称函数 yx为取整函数。又称高斯函数。又记 xxx，则函数 yx称为小数部分函数，它表示的是x的小数部分。高斯函数的常用性质：（1）对任意,1 1xRxxxx均有（2）对任意xR，函数 yx的值域为0,1)（3）高斯函数是一个不减函数，即对于任意121212,xxRxxx

40、x若则第 16 页（4）若,nZ xRxnnxnxx则有，后一个式子表明 yx是周期为 1 的函数。（5）若,1x yRxyxyxy则（6）若*,nNxRnxn x则二、应用举例：例 1已知)(xf是一次函数，且10231024)(10 xxf求)(xf的解析式例 2已知.,2)1()2(;)1.()1()(),2,(21)(bakffkkxfxfabbaaxbxxf求若求且是常数，例 3函数1000),5(10003)(nnffnnnf，求)84(f函数迭代中的”穿脱”技巧设函数y=f(x),并记fn(x)=f(f(f(fx),其中n是正整数,fn(x)叫做函数f(x)的n次迭代,函数迭代是

41、一种特殊的函数复合形式,在现代数学中占有很重要的地位,尤其是近年来在国内外数学竞赛屡次出现,成为热点问题之一,以引起广在数学爱好者的关注.由f(x)(或fn(x)的表达式”穿上”或”脱去”n-1个函数符号得出fn(x)(或f(x)的函数迭代问题,这里我们对数学竞赛中穿脱问题的解题技巧作简单介绍和粗浅的探索.1程序化穿脱“穿”,”脱”函数符号是一种有序的过程,由内至外一层层穿上f,或从外至内一层层脱去f,往往是一种程序化的模式,例已知f(x)=21xx,求fn(x).2实验法穿脱许多情况下,求解穿脱问题并非只是一种程序化的操作,还需要用敏锐的思维和眼光去发现穿脱过程所蕴含的规律性,实验是发现的源

42、泉,是发现规律的金钥匙.例函数定义在整数集上,且满足f(n)=n-3(n1000)ff(n+5)(n1000求f(84)例21 对任意的正整数k,令f1(k)定义为k的各位数字和的平方.对于n2令fn(k)=f1(fn-1(k),求f1988(11).3周期性穿脱第 17 页在求解函数迭代问题时我们经常要借助于函数的周期性,利用周期性穿脱要能达到进退自如,做到需穿插则穿,需脱则脱,从而优化解题过程.例定义域为正整数的函数,满足:f(n)=n-3(n1000)ff(n+7)(n1000.试求f(90)练习1.设n是自然数,f(n)为n2+1(十进制)的数字之和,f1(n)=f(n),求的f100

43、(1990)值.2.已知f(x)=112xx.设f35(x)=f5(x),求f28(x).例 4求函数232xxxy的值域。0232322xyxxxxxy两边平方得2)32(2yxy，从而23y且3222yyx。由23103223032222yyyyyyyxy或y2。任取y2，由3222yyx，易知x2，于是0232xx。任取231y，同样由3222yyx，易知x1。于是0232xx。因此，所求函数的值域为),2)23,1。例 5（1）设 x,y 是实数，且满足1)1(2004)1(1)1(2004)1(33yyxx，求 x+y 的值（2）若方程0)sin(cos222axax有唯一解，求a

44、例 6：解方程、不等式：（1）2log(231)5xx（2）(x8)2007x20072x80（3）2323(2038)415284xxxxx第 18 页Ex1.求22(31)(9651)(23)(412131)yxxxxxx的图象与x轴交点坐标。解：22(31)(31)41)(23)(23)41)yxxxx令2()(41)f ttt，可知()f t是奇函数，且严格单调，所以(31)(23)yfxfx，当0y时，(31)(23)(32)fxfxfx，所以3132xx，故45x，即图象和x轴交点坐标为4(,0)5若函数()f x为单调的奇函数，且12()()0f xf x，则120 xx。若遇两

45、个式子结构相同，不妨依此构造函数，若刚好函数能满足上述性质，则可解之。Ex2.设函数)1(log)(223xxxxf，则对任意实数a,b,0ba是0)()(bfaf的（）A充分必要条件 B充分不必要条件C必要不充分条件 D既不充分又不必要条件探求讨论函数的有关性质，历年来都是数学竞赛的命题热点之一，例如探求函数的周期性，函数的不等式证明，以及解反函数的不等式等问题。而解决这类问题的办法就是要“穿脱”函数符号“f”，下面我们从具体的例子谈一谈“穿脱”的技巧与方法.1.单调性穿脱法对于特殊函数的单调性,我们可以根据函数值相等或函数的单调性对函数“f”进行“穿脱”,进而达到化简的目的,

46、由此使问题获得解答.已知函数f(x)在区间(-,+)上是增函数,a和b是实数.试证:证明命题:如果a+b0那么f(a)+f(b)f(-a)+f(-b).判断中的逆命题是否正确,并证明你的结论.2 反函数穿脱法灵活自如地处理原函数f(x)与反函数f-1(x),并能熟练地运用f-1(f(x)=x,f(f-1(x)=x进行穿脱函数符号“f”，这是极为常用而又重要的方法.引理若f(x),g(x)互为反函数,且f(a+b)=f(a)f(b),则g(mn)=g(m)+g(n)例已知函数f(x)满足:f(21)=1;函数的值域为-1,1;严格递减;f(xy)=f(x)+f(y).试求:求证:41不在f(

47、x)的定义域内求不等式f-1(x)f-1(x11)21的解集3定义探求法在求解有关函数方程的问题时,我们经常会遇到要证明某函数为周期性函数,此时我们一第 19 页般采用周期函数的定义来求解,探求函数的有关性质.例设a0,f(x)是定义在实数集上的一个实值函数,且对每一实数x,有f(x+a)=21+2)()(xfxf证明:f(x)是周期函数;对a=1,具体给出一个这样的非常数的函数f(x)例 7设1a，,a均为实数，试求当变化时，函数sin1)sin4)(sin(ay的最小值。例 8 设()f x 是定义在 Z 上的一个实值函数，()f x 满足()()2()()(1)0f xyf xyf x

48、 fyf，求证：()f x 是周期为4 的周期函数。例 9已知函数f(x)对任意实数x,都有 f(x m)x(f1)x(f1,求证 f(x)是周期函数三、练习1 集合M由满足如下条件的函数fx组成：当12,1,1 xx时，有12124fxfxxx，对于两个函数2125,fxxx2fxx，以下关系中成立的是（）12.,;AfMfM12.,;BfMfM12.,;CfMfM12.,;DfMfM2设xxxf11)(，记1fxfx，若，xffxfnn)()(1则xf)(2006（）A、xB、-x1C、xx11D、11xx第 20 页3若(log23)x(log53)x(log23)

49、y(log53)y，则()(A)x y 0(B)x+y0(C)x y0(D)x+y0 4定义在实数集上的函数f(x)，对一切实数x 都有 f(x1)f(2 x)成立，若f(x)0 仅有101 个不同的实数根，那么所有实数根的和为()A.150 B.2303C.152 D.23055 已知4sin)(3xbxaxf（a、b；实数）且5)10log(lg3f，则)3lg(lgf的值是（）（A）5（B）3（C）3（D）随 a、b 取不同值而取不同值6函数2|2|)1lg()(2xxxf的奇偶性是:A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.不是奇函数又不是偶函数7 已知函数21l og2x

50、axxfa在 1,2 上恒正，则实数a的取值范围是()（A）85,21（B）,23（C）,2385,21（D）,218函数3123fxxx的值域为（）3.1,2.1,3 C.1,D.1,22AB9给定实数x，定义 x为不大于x 的最大整数，则下列结论中不正确的序号是（）0 1()()xxxxf xxxf xxx是周期函数是偶函数10函数)10,10(,3sin10)(3xxxxxf，则)()(maxminxfxf11。实数 x，y 满足 x22xsin(xy)1，则 x20066sin5y_ 12方程 ln(12xx)ln(142x 2x)3x0 的解集是13.已知Rayx,

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