2018年江苏省高考数学试卷.doc

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1、第 1 页（共 29 页）2018 年江苏省高考数学试卷年江苏省高考数学试卷一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 70 分分.请把答案填写在答题请把答案填写在答题卡相应位置上卡相应位置上.1 （5.00 分）已知集合 A=0，1，2，8，B=1，1，6，8，那么 AB= 2 （5.00 分）若复数 z 满足 iz=1+2i，其中 i 是虚数单位，则 z 的实部为 3 （5.00 分）已知 5 位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5 位裁判打出的分数的平均数为 4 （5.00 分）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输

2、出的 S 的值为 5 （5.00 分）函数 f（x）=的定义域为 6 （5.00 分）某兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生，现从中任选 2 名学生去参加活动，则恰好选中 2 名女生的概率为 7 （5.00 分）已知函数 y=sin（2x+） （）的图象关于直线 x=对称，则 的值为 8 （5.00 分）在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线=1（a0，b0）的右焦点 F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为 第 2 页（共 29 页）9 （5.00 分）函数 f（x）满足 f（x+4）=f（x） （xR） ，且在区间（2，2上，f（x）=，则 f（f（15） ）的值为 10 （5

3、.00 分）如图所示，正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 11 （5.00 分）若函数 f（x）=2x3ax2+1（aR）在（0，+）内有且只有一个零点，则 f（x）在1，1上的最大值与最小值的和为 12 （5.00 分）在平面直角坐标系 xOy 中，A 为直线 l：y=2x 上在第一象限内的点，B（5，0） ，以 AB 为直径的圆 C 与直线 l 交于另一点 D若=0，则点A 的横坐标为 13 （5.00 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，ABC=120，ABC 的平分线交 AC 于点 D，且 BD=1，则 4a+c 的最小值为 14 （5

4、.00 分）已知集合 A=x|x=2n1，nN*，B=x|x=2n，nN*将 AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列an，记 Sn为数列an的前 n 项和，则使得 Sn12an+1成立的 n 的最小值为 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分分.请在答题卡指定区域内作答，解答请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15 （14.00 分）在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，AA1=AB，AB1B1C1求证：（1）AB平面 A1B1C；（2）平面 ABB1A1平面 A1BC第 3 页

5、（共 29 页）16 （14.00 分）已知 ， 为锐角，tan=，cos（+）=（1）求 cos2 的值；（2）求 tan（）的值17 （14.00 分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆 O 的一段圆弧（P 为此圆弧的中点）和线段 MN 构成已知圆 O 的半径为 40 米，点 P 到MN 的距离为 50 米现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚内的地块形状为矩形 ABCD，大棚内的地块形状为CDP，要求 A，B 均在线段 MN 上，C，D 均在圆弧上设 OC 与 MN 所成的角为 （1）用 分别表示矩形 ABCD 和CDP 的面积，并确定 sin 的取值范围；（2）若大棚 I 内种植

6、甲种蔬菜，大棚内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4：3求当 为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大18 （16.00 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 过点（） ，焦点 F1（，0） ，F2（，0） ，圆 O 的直径为 F1F2（1）求椭圆 C 及圆 O 的方程；（2）设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标；直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点若OAB 的面积为，求直线 l 的方程第 4 页（共 29 页）19 （16.00 分）记 f（x） ，g（x）分别为函数 f（x） ，g（

7、x）的导函数若存在x0R，满足 f（x0）=g（x0）且 f（x0）=g（x0） ，则称 x0为函数 f（x）与 g（x）的一个“S 点”（1）证明：函数 f（x）=x 与 g（x）=x2+2x2 不存在“S 点”；（2）若函数 f（x）=ax21 与 g（x）=lnx 存在“S 点”，求实数 a 的值；（3）已知函数 f（x）=x2+a，g（x）=对任意 a0，判断是否存在b0，使函数 f（x）与 g（x）在区间（0，+）内存在“S 点”，并说明理由20 （16.00 分）设an是首项为 a1，公差为 d 的等差数列，bn是首项为 b1，公比为 q 的等比数列（1）设 a1=0，b1=1，q

8、=2，若|anbn|b1对 n=1，2，3，4 均成立，求 d 的取值范围；（2）若 a1=b10，mN*，q（1，证明：存在 dR，使得|anbn|b1对 n=2，3，m+1 均成立，并求 d 的取值范围（用 b1，m，q 表示） 数学数学（附加题）（附加题） 【选做题选做题】本题包括本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两小题，四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤字说明、证明过程或演算步骤.A. 选修选修 4-1：几何证明选讲：几

9、何证明选讲 （本小题满分（本小题满分 10 分）分）21 （10.00 分）如图，圆 O 的半径为 2，AB 为圆 O 的直径，P 为 AB 延长线上一点，过 P 作圆 O 的切线，切点为 C若 PC=2，求 BC 的长第 5 页（共 29 页）B. 选修选修 4-2：矩阵与变换：矩阵与变换 （本小题满分（本小题满分 10 分）分）22 （10.00 分）已知矩阵 A=（1）求 A 的逆矩阵 A1；（2）若点 P 在矩阵 A 对应的变换作用下得到点 P（3，1） ，求点 P 的坐标C. 选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 （本小题满分（本小题满分 0 分）分）23在极坐标系中

10、，直线 l 的方程为 sin（）=2，曲线 C 的方程为=4cos，求直线 l 被曲线 C 截得的弦长D. 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 （本小题满分（本小题满分 0 分）分）24若 x，y，z 为实数，且 x+2y+2z=6，求 x2+y2+z2的最小值【必做题必做题】第第 25 题、第题、第 26 题，每题题，每题 10 分，共计分，共计 20 分分.请在答题卡指定区域内请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.25如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，AB=AA1=2，点 P，Q 分别为 A1B1，BC

11、 的中点（1）求异面直线 BP 与 AC1所成角的余弦值；（2）求直线 CC1与平面 AQC1所成角的正弦值第 6 页（共 29 页）26设 nN*，对 1，2，n 的一个排列 i1i2in，如果当 st 时，有 isit，则称（is，it）是排列 i1i2in的一个逆序，排列 i1i2in的所有逆序的总个数称为其逆序数例如：对 1，2，3 的一个排列 231，只有两个逆序（2，1） ，（3，1） ，则排列 231 的逆序数为 2记 fn（k）为 1，2，n 的所有排列中逆序数为 k 的全部排列的个数（1）求 f3（2） ，f4（2）的值；（2）求 fn（2） （n5）的表达式（用 n 表示）

12、 第 7 页（共 29 页）2018 年江苏省高考数学试卷年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 70 分分.请把答案填写在答题请把答案填写在答题卡相应位置上卡相应位置上.1 （5.00 分）已知集合 A=0，1，2，8，B=1，1，6，8，那么 AB= 1，8 【分析】直接利用交集运算得答案【解答】解：A=0，1，2，8，B=1，1，6，8，AB=0，1，2，81，1，6，8=1，8，故答案为：1，8【点评】本题考查交集及其运算，是基础的计算题2 （5.00 分）若复数 z 满足

13、iz=1+2i，其中 i 是虚数单位，则 z 的实部为 2 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：由 iz=1+2i，得 z=，z 的实部为 2故答案为：2【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3 （5.00 分）已知 5 位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5 位裁判打出的分数的平均数为 90 第 8 页（共 29 页）【分析】根据茎叶图中的数据计算它们的平均数即可【解答】解：根据茎叶图中的数据知，这 5 位裁判打出的分数为 89、89、90、91、91，它们的平均数为（89+89+90+91+91）=90故答案为

14、：90【点评】本题考查了利用茎叶图计算平均数的问题，是基础题4 （5.00 分）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的 S 的值为 8 【分析】模拟程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的 S 值【解答】解：模拟程序的运行过程如下；I=1，S=1，I=3，S=2，I=5，S=4，I=7，S=8，此时不满足循环条件，则输出 S=8故答案为：8【点评】本题考查了程序语言的应用问题，模拟程序的运行过程是解题的常用方法5 （5.00 分）函数 f（x）=的定义域为 2，+） 【分析】解关于对数函数的不等式，求出 x 的范围即可第 9 页（共 29 页）【解答】解：由题意得：1，解得：x2，函

15、数 f（x）的定义域是2，+） 故答案为：2，+） 【点评】本题考查了对数函数的性质，考查求函数的定义域问题，是一道基础题6 （5.00 分）某兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生，现从中任选 2 名学生去参加活动，则恰好选中 2 名女生的概率为 0.3 【分析】 （适合理科生）从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务，共有 C52=10 种，其中全是女生的有 C32=3 种，根据概率公式计算即可，（适合文科生） ，设 2 名男生为 a，b，3 名女生为 A，B，C，则任选 2 人的种数为 ab，aA，aB，aC，bA，bB，Bc，AB，AC，BC 共 10 种，其中全是女生

16、为AB，AC，BC 共 3 种，根据概率公式计算即可【解答】解：（适合理科生）从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务，共有 C52=10 种，其中全是女生的有 C32=3 种，故选中的 2 人都是女同学的概率 P=0.3，（适合文科生） ，设 2 名男生为 a，b，3 名女生为 A，B，C，则任选 2 人的种数为 ab，aA，aB，aC，bA，bB，Bc，AB，AC，BC 共 10 种，其中全是女生为 AB，AC，BC 共 3 种，故选中的 2 人都是女同学的概率 P=0.3，故答案为：0.3【点评】本题考查了古典概率的问题，采用排列组合或一一列举法，属于基础题7 （5.0

17、0 分）已知函数 y=sin（2x+） （）的图象关于直线 x=对称，则 的值为 第 10 页（共 29 页）【分析】根据正弦函数的对称性建立方程关系进行求解即可【解答】解：y=sin（2x+） （）的图象关于直线 x=对称，2+=k+，kZ，即 =k，当 k=0 时，=，故答案为：【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用正弦函数的对称性建立方程关系是解决本题的关键8 （5.00 分）在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线=1（a0，b0）的右焦点 F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为 2 【分析】利用双曲线的简单性质，以及点到直线的距离列出方程，转化求解即可【解答】解：

18、双曲线=1（a0，b0）的右焦点 F（c，0）到一条渐近线 y=x 的距离为c，可得：=b=，可得，即 c=2a，所以双曲线的离心率为：e=故答案为：2【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力第 11 页（共 29 页）9 （5.00 分）函数 f（x）满足 f（x+4）=f（x） （xR） ，且在区间（2，2上，f（x）=，则 f（f（15） ）的值为 【分析】根据函数的周期性，进行转化求解即可【解答】解：由 f（x+4）=f（x）得函数是周期为 4 的周期函数，则 f（15）=f（161）=f（1）=|1+|=，f（）=cos（）=cos=，即 f（f（15） ）=

19、，故答案为：【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数的周期性结合分段函数的表达式利用转化法是解决本题的关键10 （5.00 分）如图所示，正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 【分析】求出多面体中的四边形的面积，然后利用体积公式求解即可【解答】解：正方体的棱长为 2，中间四边形的边长为：，八面体看做两个正四棱锥，棱锥的高为 1，多面体的中心为顶点的多面体的体积为：2=故答案为：第 12 页（共 29 页）【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力11 （5.00 分）若函数 f（x）=2x3ax2+1（aR）在（0，+）内有且只有一个零点，则 f（

20、x）在1，1上的最大值与最小值的和为 3 【分析】推导出 f（x）=2x（3xa） ，x（0，+） ，当 a0 时，f（x）=2x（3xa）0，f（0）=1，f（x）在（0，+）上没有零点；当 a0 时，f（x）=2x（3xa）0 的解为 x，f（x）在（0，）上递减，在（，+）递增，由 f（x）只有一个零点，解得 a=3，从而 f（x）=2x33x2+1，f（x）=6x（x1） ，x1，1，利用导数性质能求出 f（x）在1，1上的最大值与最小值的和【解答】解：函数 f（x）=2x3ax2+1（aR）在（0，+）内有且只有一个零点，f（x）=2x（3xa） ，x（0，+） ，当 a0 时，f（

21、x）=2x（3xa）0，函数 f（x）在（0，+）上单调递增，f（0）=1，f（x）在（0，+）上没有零点，舍去；当 a0 时，f（x）=2x（3xa）0 的解为 x，f（x）在（0，）上递减，在（，+）递增，又 f（x）只有一个零点，f（）=+1=0，解得 a=3，第 13 页（共 29 页）f（x）=2x33x2+1，f（x）=6x（x1） ，x1，1，f（x）0 的解集为（1，0） ，f（x）在（1，0）上递增，在（0，1）上递减，f（1）=4，f（0）=1，f（1）=0，f（x）min=f（1）=4，f（x）max=f（0）=1，f（x）在1，1上的最大值与最小值的和为：f（x）max

22、+f（x）min=4+1=3【点评】本题考查函数的单调性、最值，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力，是中档题12 （5.00 分）在平面直角坐标系 xOy 中，A 为直线 l：y=2x 上在第一象限内的点，B（5，0） ，以 AB 为直径的圆 C 与直线 l 交于另一点 D若=0，则点A 的横坐标为 3 【分析】设 A（a，2a） ，a0，求出 C 的坐标，得到圆 C 的方程，联立直线方程与圆的方程，求得 D 的坐标，结合=0 求得 a 值得答案【解答】解：设 A（a，2a） ，a0，B（5，0） ，C（，a） ，则圆 C 的方程为（x5） （xa）+y（y2a）=0联立，

23、解得 D（1，2） =解得：a=3 或 a=1又 a0，a=3即 A 的横坐标为 3故答案为：3【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查圆的方程的求法，是中档题第 14 页（共 29 页）13 （5.00 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，ABC=120，ABC 的平分线交 AC 于点 D，且 BD=1，则 4a+c 的最小值为 9 【分析】根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式 1 的代换进行求解即可【解答】解：由题意得acsin120=asin60+csin60，即 ac=a+c，得+=1，得 4a+c=（4a+c） （+）=+52+5=4+5=9，当且仅当

24、=，即 c=2a 时，取等号，故答案为：9【点评】本题主要考查基本不等式的应用，利用 1 的代换结合基本不等式是解决本题的关键14 （5.00 分）已知集合 A=x|x=2n1，nN*，B=x|x=2n，nN*将 AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列an，记 Sn为数列an的前 n 项和，则使得 Sn12an+1成立的 n 的最小值为 27 【分析】采用列举法，验证 n=26，n=27 即可【解答】解：利用列举法可得：当 n=26 时，AB 中的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列an，所以数列an的前 26 项分别1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23.25，

25、41，2，4，8，16，32S26=，a27=43，12a27=516，不符合题意当 n=27 时，AB 中的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列an，所以数列an的前 26 项分别1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23.25，41，43，2，4，8，16，32S27=546，a28=4512a28=540，符合题意，第 15 页（共 29 页）故答案为：27【点评】本题考查了集合、数列的求和，属于中档题二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分分.请在答题卡指定区域内作答，解答请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或

26、演算步骤时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15 （14.00 分）在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，AA1=AB，AB1B1C1求证：（1）AB平面 A1B1C；（2）平面 ABB1A1平面 A1BC【分析】 （1）由 AB平面 A1B1C；（2）可得四边形 ABB1A1是菱形，AB1A1B，由 AB1B1C1AB1BCAB1面 A1BC，平面 ABB1A1平面 A1BC【解答】证明：（1）平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，ABA1B1，ABA1B1，AB平面 A1B1C，A1B1平面 A1B1CAB平面 A1B1C；（2）在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，AA1=A

27、B，四边形 ABB1A1是菱形，AB1A1B在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，AA1=AB，AB1B1C1AB1BCAB1面 A1BC，且 AB1平面 ABB1A1平面 ABB1A1平面 A1BC第 16 页（共 29 页）【点评】本题考查了平行六面体的性质，及空间线面平行、面面垂直的判定，属于中档题16 （14.00 分）已知 ， 为锐角，tan=，cos（+）=（1）求 cos2 的值；（2）求 tan（）的值【分析】 （1）由已知结合平方关系求得 sin，cos 的值，再由倍角公式得cos2 的值；（2）由（1）求得 tan2，再由 cos（+）=求得 tan（+） ，利用tan

28、（）=tan2（+），展开两角差的正切求解【解答】解：（1）由，解得，cos2=；（2）由（1）得，sin2，则 tan2=，（0，） ，+（0，） ，sin（+）=则 tan（+）=tan（）=tan2（+）=【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是中档题17 （14.00 分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆 O 的一段圆弧（P 为此圆弧的中点）和线段 MN 构成已知圆 O 的半径为 40 米，点 P 到MN 的距离为 50 米现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚内的地块形状为矩形 ABCD，大棚内的地块形状为CDP，要求 A，B 均在线

29、段 MN 上，第 17 页（共 29 页）C，D 均在圆弧上设 OC 与 MN 所成的角为 （1）用 分别表示矩形 ABCD 和CDP 的面积，并确定 sin 的取值范围；（2）若大棚 I 内种植甲种蔬菜，大棚内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4：3求当 为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大【分析】 （1）根据图形计算矩形 ABCD 和CDP 的面积，求出 sin 的取值范围；（2）根据题意求出年总产值 y 的解析式，构造函数 f（） ，利用导数求 f（）的最大值，即可得出 为何值时年总产值最大【解答】解：（1）S矩形 ABCD=（40sin+10）80cos=80

30、0（4sincos+cos） ，SCDP=80cos（4040sin）=1600（coscossin） ，当 B、N 重合时， 最小，此时 sin=；当 C、P 重合时， 最大，此时 sin=1，sin 的取值范围是，1） ；（2）设年总产值为 y，甲种蔬菜单位面积年产值为 4t，乙种蔬菜单位面积年产值为 3t，则 y=3200t（4sincos+cos）+4800t（coscossin）=8000t（sincos+cos） ，其中 sin，1） ；设 f（）=sincos+cos，则 f（）=cos2sin2sin=2sin2sin+1；第 18 页（共 29 页）令 f（）=0，解得 si

31、n=，此时 =，cos=；当 sin，）时，f（）0，f（）单调递增；当 sin，1）时，f（）0，f（）单调递减；=时，f（）取得最大值，即总产值 y 最大答：（1）S矩形 ABCD=800（4sincos+cos） ，SCDP=1600（coscossin） ，sin，1） ；=时总产值 y 最大【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了构造函数以及利用导数求函数的最值问题，是中档题18 （16.00 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C 过点（） ，焦点 F1（，0） ，F2（，0） ，圆 O 的直径为 F1F2（1）求椭圆 C 及圆 O 的方程；（2）设直线 l 与圆

32、O 相切于第一象限内的点 P若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标；直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点若OAB 的面积为，求直线 l 的方程【分析】 （1）由题意可得，又 a2b2=c2=3，解得 a=2，b=1 即可第 19 页（共 29 页）（2）可设直线 l 的方程为 y=kx+m， （k0，m0） 可得由，可得（4k2+1）x2+8kmx+4m24=0，=（8km）24（4k2+1）（4m24）=0，解得 k=，m=3即可设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，联立直线与椭圆方程得（4k2+1）x2+8kmx+4m24=0，O 到直线 l 的距离 d=，

33、|AB|=|x2x1|=，OAB 的面积为 S=，解得 k=， （正值舍去） ，m=3即可【解答】解：（1）由题意可设椭圆方程为，焦点 F1（，0） ，F2（，0） ，又 a2b2=c2=3，解得 a=2，b=1椭圆 C 的方程为：，圆 O 的方程为：x2+y2=3（2）可知直线 l 与圆 O 相切，也与椭圆 C，且切点在第一象限，可设直线 l 的方程为 y=kx+m， （k0，m0） 由圆心（0，0）到直线 l 的距离等于圆半径，可得由，可得（4k2+1）x2+8kmx+4m24=0，第 20 页（共 29 页）=（8km）24（4k2+1） （4m24）=0，可得 m2=4k2+1，3k2

34、+3=4k2+1，结合 k0，m0，解得 k=，m=3将 k=，m=3 代入可得，解得 x=，y=1，故点 P 的坐标为（设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，由k联立直线与椭圆方程得（4k2+1）x2+8kmx+4m24=0，|x2x1|=，O 到直线 l 的距离 d=，|AB|=|x2x1|=，OAB 的面积为 S=，解得 k=， （正值舍去） ，m=3y=为所求【点评】本题考查了椭圆的方程，直线与圆、椭圆的位置关系，属于中档题19 （16.00 分）记 f（x） ，g（x）分别为函数 f（x） ，g（x）的导函数若存在x0R，满足 f（x0）=g（x0）且 f（x0）=g（x0）

35、，则称 x0为函数 f（x）与 g（x）的一个“S 点”（1）证明：函数 f（x）=x 与 g（x）=x2+2x2 不存在“S 点”；第 21 页（共 29 页）（2）若函数 f（x）=ax21 与 g（x）=lnx 存在“S 点”，求实数 a 的值；（3）已知函数 f（x）=x2+a，g（x）=对任意 a0，判断是否存在b0，使函数 f（x）与 g（x）在区间（0，+）内存在“S 点”，并说明理由【分析】 （1）根据“S 点”的定义解两个方程，判断方程是否有解即可；（2）根据“S 点”的定义解两个方程即可；（3）分别求出两个函数的导数，结合两个方程之间的关系进行求解判断即可【解答】解：（1）

36、证明：f（x）=1，g（x）=2x+2，则由定义得，得方程无解，则 f（x）=x 与 g（x）=x2+2x2 不存在“S点”；（2）f（x）=2ax，g（x）=，x0，由 f（x）=g（x）得=2ax，得 x=，f（）=g（）=lna2，得 a=；（3）f（x）=2x，g（x）=， （x0） ，由 f（x0）=g（x0） ，假设 b0，得 b=0，得 0x01，由 f（x0）=g（x0） ，得x02+a=，得 a=x02，令 h（x）=x2a=， （a0，0x1） ，设 m（x）=x3+3x2+axa， （a0，0x1） ，则 m（0）=a0，m（1）=20，得 m（0）m（1）0，又 m（x

37、）的图象在（0，1）上连续不断，则 m（x）在（0，1）上有零点，则 h（x）在（0，1）上有零点，则存在 b0，使 f（x）与 g（x）在区间（0，+）内存在“S”点【点评】本题主要考查导数的应用，根据条件建立两个方程组，判断方程组是第 22 页（共 29 页）否有解是解决本题的关键20 （16.00 分）设an是首项为 a1，公差为 d 的等差数列，bn是首项为 b1，公比为 q 的等比数列（1）设 a1=0，b1=1，q=2，若|anbn|b1对 n=1，2，3，4 均成立，求 d 的取值范围；（2）若 a1=b10，mN*，q（1，证明：存在 dR，使得|anbn|b1对 n=2，3，

38、m+1 均成立，并求 d 的取值范围（用 b1，m，q 表示） 【分析】 （1）根据等比数列和等差数列的通项公式，解不等式组即可；（2）根据数列和不等式的关系，利用不等式的关系构造新数列和函数，判断数列和函数的单调性和性质进行求解即可【解答】解：（1）由题意可知|anbn|1 对任意 n=1，2，3，4 均成立，a1=0，q=2，解得即d证明：（2）an=a1+（n1）d，bn=b1qn1，若存在 dR，使得|anbn|b1对 n=2，3，m+1 均成立，则|b1+（n1）db1qn1|b1， （n=2，3，m+1） ，即b1d， （n=2，3，m+1） ，q（1，则 1qn1qm2， （n=

39、2，3，m+1） ，b10，0，因此取 d=0 时，|anbn|b1对 n=2，3，m+1 均成立，第 23 页（共 29 页）下面讨论数列的最大值和数列的最小值，当 2nm 时，=，当 1q时，有 qnqm2，从而 n（qnqn1）qn+20，因此当 2nm+1 时，数列单调递增，故数列的最大值为设 f（x）=2x（1x） ，当 x0 时，f（x）=（ln21xln2）2x0，f（x）单调递减，从而 f（x）f（0）=1，当 2nm 时，=（1）=f（）1，因此当 2nm+1 时，数列单调递递减，故数列的最小值为，d 的取值范围是 d，【点评】本题主要考查等比数列和等差数列以及不等式的综合应

40、用，考查学生的运算能力，综合性较强，难度较大数学数学（附加题）（附加题） 【选做题选做题】本题包括本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两小题，四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤字说明、证明过程或演算步骤.A. 选修选修 4-1：几何证明选讲：几何证明选讲 （本小题满分（本小题满分 10 分）分）第 24 页（共 29 页）21 （10.00 分）如图，圆 O 的半径为 2，AB 为圆 O 的直径，P 为 AB 延长线上一点，过 P

41、 作圆 O 的切线，切点为 C若 PC=2，求 BC 的长【分析】连接 OC，由题意，CP 为圆 O 的切线，得到垂直关系，由线段长度及勾股定理，可以得到 PO 的长，即可判断COB 是等边三角形，BC 的长【解答】解：连接 OC，因为 PC 为切线且切点为 C，所以 OCCP因为圆 O 的半径为 2，所以 BO=OC=2，所以，所以COP=60，所以COB 为等边三角形，所以 BC=BO=2【点评】本题主要考查圆与直线的位置关系，切线的应用，考查发现问题解决问题的能力B. 选修选修 4-2：矩阵与变换：矩阵与变换 （本小题满分（本小题满分 10 分）分）22 （10.00 分）已知矩阵 A=

42、（1）求 A 的逆矩阵 A1；（2）若点 P 在矩阵 A 对应的变换作用下得到点 P（3，1） ，求点 P 的坐标【分析】 （1）矩阵 A=，求出 det（A）=10，A 可逆，然后求解 A 的逆矩阵 A1第 25 页（共 29 页）（2）设 P（x，y） ，通过=，求出=，即可得到点 P 的坐标【解答】解：（1）矩阵 A=，det（A）=2213=10，所以 A 可逆，从而：A 的逆矩阵 A1=（2）设 P（x，y） ，则=，所以=A1=，因此点 P 的坐标为（3，1） 【点评】本题矩阵与逆矩阵的关系，逆矩阵的求法，考查转化思想的应用，是基本知识的考查C. 选修选修 4-4：坐标系与参数方程

43、：坐标系与参数方程 （本小题满分（本小题满分 0 分）分）23在极坐标系中，直线 l 的方程为 sin（）=2，曲线 C 的方程为=4cos，求直线 l 被曲线 C 截得的弦长【分析】将直线 l、曲线 C 的极坐标方程利用互化公式可得直角坐标方程，利用直线与圆的相交弦长公式即可求解【解答】解：曲线 C 的方程为 =4cos，2=4cos，x2+y2=4x，曲线 C 是圆心为 C（2，0） ，半径为 r=2 得圆直线 l 的方程为 sin（）=2，=2，直线 l 的普通方程为：xy=4圆心 C 到直线 l 的距离为 d=，直线 l 被曲线 C 截得的弦长为 2【点评】本题考查了极坐标方程化为直角

44、坐标方程、直线与圆的相交弦长关系、点到直线的距离公式，属于中档题D. 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 （本小题满分（本小题满分 0 分）分）24若 x，y，z 为实数，且 x+2y+2z=6，求 x2+y2+z2的最小值第 26 页（共 29 页）【分析】根据柯西不等式进行证明即可【解答】解：由柯西不等式得（x2+y2+z2） （12+22+22）（x+2y+2z）2，x+2y+2z=6，x2+y2+z24是当且仅当时，不等式取等号，此时 x=，y=，z=，x2+y2+z2的最小值为 4【点评】本题主要考查不等式的证明，利用柯西不等式是解决本题的关键 ，【必做题必做题】第第 25 题

45、、第题、第 26 题，每题题，每题 10 分，共计分，共计 20 分分.请在答题卡指定区域内请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.25如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，AB=AA1=2，点 P，Q 分别为 A1B1，BC 的中点（1）求异面直线 BP 与 AC1所成角的余弦值；（2）求直线 CC1与平面 AQC1所成角的正弦值【分析】设 AC，A1C1的中点分别为 O，O1，以为基底，建立空间直角坐标系 Oxyz，（1）由|cos|=可得异面直线 BP 与 AC1所成角的余弦值；（2）求得平面 AQC1的一个法向

46、量为 ，设直线 CC1与平面 AQC1所成角的正弦值为 ，第 27 页（共 29 页）可得 sin=|cos|=，即可得直线 CC1与平面 AQC1所成角的正弦值【解答】解：如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，设 AC，A1C1的中点分别为 O，O1，则，OBOC，OO1OC，OO1OB，故以为基底，建立空间直角坐标系 Oxyz，AB=AA1=2，A（0，1，0） ，B（，0，0） ，C（0，1，0） ，A1（0，1，2） ，B1（，0，2） ，C1（0，1，2） （1）点 P 为 A1B1的中点，|cos|=异面直线 BP 与 AC1所成角的余弦值为：；（2）Q 为 BC 的中点Q（），设平面 AQC1的一个法向量为