2014年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）.doc

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1、第 1 页（共 21 页）2014 年全国统一高考数学试卷（理科）年全国统一高考数学试卷（理科） （大纲版）（大纲版）一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分）分）1 （5 分）设 z=，则 z 的共轭复数为（ ）A1+3iB13i C1+3i D13i2 （5 分）设集合 M=x|x23x40，N=x|0x5，则 MN=（ ）A （0，4 B0，4）C1，0）D （1，03 （5 分）设 a=sin33，b=cos55，c=tan35，则（ ）Aabc Bbca Ccba Dcab4 （5 分）若向量 、 满足：| |=1， （ + ） ， （2 +

2、） ，则| |=（ ）A2BC1D5 （5 分）有 6 名男医生、5 名女医生，从中选出 2 名男医生、1 名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）A60 种B70 种C75 种D150 种6 （5 分）已知椭圆 C：+=1（ab0）的左、右焦点为 F1、F2，离心率为，过 F2的直线 l 交 C 于 A、B 两点，若AF1B 的周长为 4，则 C 的方程为（ ）A+=1B+y2=1C+=1D+=17 （5 分）曲线 y=xex1在点（1，1）处切线的斜率等于（ ）A2eBeC2D18 （5 分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）AB

3、16 C9D第 2 页（共 21 页）9 （5 分）已知双曲线 C 的离心率为 2，焦点为 F1、F2，点 A 在 C 上，若|F1A|=2|F2A|，则 cosAF2F1=（ ）ABCD10 （5 分）等比数列an中，a4=2，a5=5，则数列lgan的前 8 项和等于（ ）A6B5C4D311 （5 分）已知二面角 l 为 60，AB，ABl，A 为垂足，CD，Cl，ACD=135，则异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为（ ）ABCD12 （5 分）函数 y=f（x）的图象与函数 y=g（x）的图象关于直线 x+y=0 对称，则 y=f（x）的反函数是（ ）Ay=g（x）By=g（x

4、）Cy=g（x）Dy=g（x）二、填空题二、填空题( (本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分) )13 （5 分）的展开式中 x2y2的系数为 （用数字作答）14 （5 分）设 x、y 满足约束条件，则 z=x+4y 的最大值为 15 （5 分）直线 l1和 l2是圆 x2+y2=2 的两条切线，若 l1与 l2的交点为（1，3） ，则 l1与 l2的夹角的正切值等于 16 （5 分）若函数 f（x）=cos2x+asinx 在区间（，）是减函数，则 a 的取值范围是 三、解答题三、解答题17 （10 分）ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知3acos

5、C=2ccosA，tanA=，求 B第 3 页（共 21 页）18 （12 分）等差数列an的前 n 项和为 Sn，已知 a1=13，a2为整数，且SnS4（1）求an的通项公式；（2）设 bn=，求数列bn的前 n 项和 Tn19 （12 分）如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，点 A1在平面 ABC 内的射影 D 在 AC上，ACB=90，BC=1，AC=CC1=2（）证明：AC1A1B；（）设直线 AA1与平面 BCC1B1的距离为，求二面角 A1ABC 的大小20 （12 分）设每个工作日甲、乙、丙、丁 4 人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备

6、相互独立（）求同一工作日至少 3 人需使用设备的概率；（）X 表示同一工作日需使用设备的人数，求 X 的数学期望21 （12 分）已知抛物线 C：y2=2px（p0）的焦点为 F，直线 y=4 与 y 轴的交点为 P，与 C 的交点为 Q，且|QF|=|PQ|（）求 C 的方程；（）过 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点，若 AB 的垂直平分线 l与 C 相交于M、N 两点，且 A、M、B、N 四点在同一圆上，求 l 的方程22 （12 分）函数 f（x）=ln（x+1）（a1） （）讨论 f（x）的单调性；（）设 a1=1，an+1=ln（an+1） ，证明：an（nN*） 第 4

7、 页（共 21 页）第 5 页（共 21 页）2014 年全国统一高考数学试卷（理科）年全国统一高考数学试卷（理科） （大纲版）（大纲版）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分）分）1 （5 分）设 z=，则 z 的共轭复数为（ ）A1+3iB13i C1+3i D13i【分析】直接由复数代数形式的除法运算化简，则 z 的共轭可求【解答】解：z=，故选：D【点评】本题考查复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题2 （5 分）设集合 M=x|x23x40，N=x|0x5，则 MN=（ ）A （0，4 B0

8、，4）C1，0）D （1，0【分析】求解一元二次不等式化简集合 M，然后直接利用交集运算求解【解答】解：由 x23x40，得1x4M=x|x23x40=x|1x4，又 N=x|0x5，MN=x|1x4x|0x5=0，4） 故选：B【点评】本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题3 （5 分）设 a=sin33，b=cos55，c=tan35，则（ ）第 6 页（共 21 页）Aabc Bbca Ccba Dcab【分析】可得 b=sin35，易得 ba，c=tan35=sin35，综合可得【解答】解：由诱导公式可得 b=cos55=cos（9035）=sin35，由正弦函数

9、的单调性可知 ba，而 c=tan35=sin35=b，cba故选：C【点评】本题考查三角函数值大小的比较，涉及诱导公式和三角函数的单调性，属基础题4 （5 分）若向量 、 满足：| |=1， （ + ） ， （2 + ） ，则| |=（ ）A2BC1D【分析】由条件利用两个向量垂直的性质，可得（ + ） =0， （2 + ） =0，由此求得| |【解答】解：由题意可得， （ + ） =+=1+=0，=1；（2 + ） =2+=2+=0，b2=2，则| |=，故选：B【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量垂直，则它们的数量积等于零，属于基础题5 （5 分）有 6 名男医生、5 名女医

10、生，从中选出 2 名男医生、1 名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）A60 种B70 种C75 种D150 种【分析】根据题意，分 2 步分析，先从 6 名男医生中选 2 人，再从 5 名女医生中选出 1 人，由组合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算第 7 页（共 21 页）可得答案【解答】解：根据题意，先从 6 名男医生中选 2 人，有 C62=15 种选法，再从 5 名女医生中选出 1 人，有 C51=5 种选法，则不同的选法共有 155=75 种；故选：C【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同6 （5 分）已知椭圆 C：+=1（ab0）的

11、左、右焦点为 F1、F2，离心率为，过 F2的直线 l 交 C 于 A、B 两点，若AF1B 的周长为 4，则 C 的方程为（ ）A+=1B+y2=1C+=1D+=1【分析】利用AF1B 的周长为 4，求出 a=，根据离心率为，可得c=1，求出 b，即可得出椭圆的方程【解答】解：AF1B 的周长为 4，AF1B 的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，4a=4，a=，离心率为，c=1，b=，椭圆 C 的方程为+=1故选：A【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题第 8 页（共 21 页）7 （5 分）曲线 y=xex

12、1在点（1，1）处切线的斜率等于（ ）A2eBeC2D1【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率【解答】解：函数的导数为 f（x）=ex1+xex1=（1+x）ex1，当 x=1 时，f（1）=2，即曲线 y=xex1在点（1，1）处切线的斜率 k=f（1）=2，故选：C【点评】本题主要考查导数的几何意义，直接求函数的导数是解决本题的关键，比较基础8 （5 分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）AB16 C9D【分析】正四棱锥 PABCD 的外接球的球心在它的高 PO1上，记为 O，求出PO1，OO1，解出球的半径，求出

13、球的表面积【解答】解：设球的半径为 R，则棱锥的高为 4，底面边长为 2，R2=（4R）2+（）2，R=，球的表面积为 4（）2=故选：A第 9 页（共 21 页）【点评】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题9 （5 分）已知双曲线 C 的离心率为 2，焦点为 F1、F2，点 A 在 C 上，若|F1A|=2|F2A|，则 cosAF2F1=（ ）ABCD【分析】根据双曲线的定义，以及余弦定理建立方程关系即可得到结论【解答】解：双曲线 C 的离心率为 2，e=，即 c=2a，点 A 在双曲线上，则|F1A|F2A|=2a，又|F1A|=2|F2A|，解得|F1A|=4

14、a，|F2A|=2a，|F1F2|=2c，则由余弦定理得 cosAF2F1=故选：A【点评】本题主要考查双曲线的定义和运算，利用离心率的定义和余弦定理是解决本题的关键，考查学生的计算能力10 （5 分）等比数列an中，a4=2，a5=5，则数列lgan的前 8 项和等于（ ）A6B5C4D3【分析】利用等比数列的性质可得 a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10再利用对数的运算性质即可得出【解答】解：数列an是等比数列，a4=2，a5=5，a1a8=a2a7=a3a6=a4a5=10第 10 页（共 21 页）lga1+lga2+lga8=lg（a1a2a8）=4lg10=4故选：C【点评

15、】本题考查了等比数列的性质、对数的运算性质，属于基础题11 （5 分）已知二面角 l 为 60，AB，ABl，A 为垂足，CD，Cl，ACD=135，则异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为（ ）ABCD【分析】首先作出二面角的平面角，然后再构造出异面直线 AB 与 CD 所成角，利用解直角三角形和余弦定理，求出问题的答案【解答】解：如图，过 A 点做 AEl，使 BE，垂足为 E，过点 A 做AFCD，过点 E 做 EFAE，连接 BF，AEl EAC=90CDAF又ACD=135FAC=45EAF=45在 RtBEA 中，设 AE=a，则 AB=2a，BE=a，在 RtAEF 中，则

16、EF=a，AF=a，在 RtBEF 中，则 BF=2a，异面直线 AB 与 CD 所成的角即是BAF，第 11 页（共 21 页）cosBAF=故选：B【点评】本题主要考查了二面角和异面直线所成的角，关键是构造二面角的平面角和异面直线所成的角，考查了学生的空间想象能力和作图能力，属于难题12 （5 分）函数 y=f（x）的图象与函数 y=g（x）的图象关于直线 x+y=0 对称，则 y=f（x）的反函数是（ ）Ay=g（x）By=g（x）Cy=g（x）Dy=g（x）【分析】设 P（x，y）为 y=f（x）的反函数图象上的任意一点，则 P 关于 y=x 的对称点 P（y，x）一点在 y=f（x）

17、的图象上，P（y，x）关于直线 x+y=0 的对称点 P（x，y）在 y=g（x）图象上，代入解析式变形可得【解答】解：设 P（x，y）为 y=f（x）的反函数图象上的任意一点，则 P 关于 y=x 的对称点 P（y，x）一点在 y=f（x）的图象上，又函数 y=f（x）的图象与函数 y=g（x）的图象关于直线 x+y=0 对称，P（y，x）关于直线 x+y=0 的对称点 P（x，y）在 y=g（x）图象上，必有y=g（x） ，即 y=g（x）y=f（x）的反函数为：y=g（x）故选：D【点评】本题考查反函数的性质和对称性，属中档题第 12 页（共 21 页）二、填空题二、填空题( (本大题共

18、本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分) )13 （5 分）的展开式中 x2y2的系数为 70 （用数字作答）【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令 x、y 的幂指数都等于 2，求得r 的值，即可求得展开式中 x2y2的系数【解答】解：的展开式的通项公式为 Tr+1=（1）r=（1）r，令 8=4=2，求得 r=4，故展开式中 x2y2的系数为 =70，故答案为：70【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题14 （5 分）设 x、y 满足约束条件，则 z=x+4y 的最大值为 5 【分析】由约束条件作出可行域

19、，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得 C（1，1） 第 13 页（共 21 页）化目标函数 z=x+4y 为直线方程的斜截式，得由图可知，当直线过 C 点时，直线在 y 轴上的截距最大，z 最大此时 zmax=1+41=5故答案为：5【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题15 （5 分）直线 l1和 l2是圆 x2+y2=2 的两条切线，若 l1与 l2的交点为（1，3） ，则 l1与 l2的夹角的正切值等于 【分析】设 l1与 l2的夹角为 2，由于 l1

20、与 l2的交点 A（1，3）在圆的外部，由直角三角形中的边角关系求得 sin= 的值，可得 cos、tan 的值，再根据tan2=，计算求得结果【解答】解：设 l1与 l2的夹角为 2，由于 l1与 l2的交点 A（1，3）在圆的外部，且点 A 与圆心 O 之间的距离为 OA=，圆的半径为 r=，sin=，cos=，tan=，tan2=，故答案为：【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，直角三角形中的变角关系，同角三角函数的基本关系、二倍角的正切公式的应用，属于中档题16 （5 分）若函数 f（x）=cos2x+asinx 在区间（，）是减函数，则 a 的取值范围是 （，2 第 14 页（共

21、21 页）【分析】利用二倍角的余弦公式化为正弦，然后令 t=sinx 换元，根据给出的 x的范围求出 t 的范围，结合二次函数的图象的开口方向及对称轴的位置列式求解 a 的范围【解答】解：由 f（x）=cos2x+asinx=2sin2x+asinx+1，令 t=sinx，则原函数化为 y=2t2+at+1x（，）时 f（x）为减函数，则 y=2t2+at+1 在 t（，1）上为减函数，y=2t2+at+1 的图象开口向下，且对称轴方程为 t=，解得：a2a 的取值范围是（，2故答案为：（，2【点评】本题考查复合函数的单调性，考查了换元法，关键是由换元后函数为减函数求得二次函数的对称轴的位置，

22、是中档题三、解答题三、解答题17 （10 分）ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求 B【分析】由 3acosC=2ccosA，利用正弦定理可得 3sinAcosC=2sinCcosA，再利用同角的三角函数基本关系式可得 tanC，利用 tanB=tan（A+C）=tan（A+C）即可得出【解答】解：3acosC=2ccosA，由正弦定理可得 3sinAcosC=2sinCcosA，3tanA=2tanC，第 15 页（共 21 页）tanA=，2tanC=3=1，解得 tanC=tanB=tan（A+C）=tan（A+C）=1，B

23、（0，） ，B=【点评】本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题18 （12 分）等差数列an的前 n 项和为 Sn，已知 a1=13，a2为整数，且SnS4（1）求an的通项公式；（2）设 bn=，求数列bn的前 n 项和 Tn【分析】 （1）通过 SnS4得 a40，a50，利用 a1=13、a2为整数可得 d=4，进而可得结论；（2）通过 an=133n，分离分母可得 bn=（） ，并项相加即可【解答】解：（1）在等差数列an中，由 SnS4得：a40，a50，又a1=13，解得d，a2为整数

24、，d=4，an的通项为：an=174n；（2）an=174n，第 16 页（共 21 页）bn=（） ，于是 Tn=b1+b2+bn=（）+（）+（）=（）=【点评】本题考查求数列的通项及求和，考查并项相加法，注意解题方法的积累，属于中档题19 （12 分）如图，三棱柱 ABCA1B1C1中，点 A1在平面 ABC 内的射影 D 在 AC上，ACB=90，BC=1，AC=CC1=2（）证明：AC1A1B；（）设直线 AA1与平面 BCC1B1的距离为，求二面角 A1ABC 的大小【分析】 （）由已知数据结合线面垂直的判定和性质可得；（）作辅助线可证A1FD 为二面角 A1ABC 的平面角，解三

25、角形由反三角函数可得【解答】解：（）A1D平面 ABC，A1D平面 AA1C1C，平面 AA1C1C平面 ABC，又 BCACBC平面 AA1C1C，连结 A1C，由侧面 AA1C1C 为菱形可得 AC1A1C，又 AC1BC，A1CBC=C，AC1平面 A1BC，AB1平面 A1BC，第 17 页（共 21 页）AC1A1B；（）BC平面 AA1C1C，BC平面 BCC1B1，平面 AA1C1C平面 BCC1B1，作 A1ECC1，E 为垂足，可得 A1E平面 BCC1B1，又直线 AA1平面 BCC1B1，A1E 为直线 AA1与平面 BCC1B1的距离，即 A1E=，A1C 为ACC1的

26、平分线，A1D=A1E=，作 DFAB，F 为垂足，连结 A1F，又可得 ABA1D，A1FA1D=A1，AB平面 A1DF，A1F平面 A1DFA1FAB，A1FD 为二面角 A1ABC 的平面角，由 AD=1 可知 D 为 AC 中点，DF=，tanA1FD=，二面角 A1ABC 的大小为 arctan【点评】本题考查二面角的求解，作出并证明二面角的平面角是解决问题的关键，属中档题第 18 页（共 21 页）20 （12 分）设每个工作日甲、乙、丙、丁 4 人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需使用设备相互独立（）求同一工作日至少 3 人需使用设备的概率；（

27、）X 表示同一工作日需使用设备的人数，求 X 的数学期望【分析】记 Ai表示事件：同一工作日乙丙需要使用设备，i=0，1，2，B 表示事件：甲需要设备，C 表示事件，丁需要设备，D 表示事件：同一工作日至少 3人需使用设备（）把 4 个人都需使用设备的概率、4 个人中有 3 个人使用设备的概率相加，即得所求（）X 的可能取值为 0，1，2，3，4，分别求出 PXi，再利用数学期望公式计算即可【解答】解：由题意可得“同一工作日至少 3 人需使用设备”的概率为0.60.50.50.4+（10.6）0.50.50.4+0.6（10.5）0.50.4+0.60.5（10.5）0.4+0.60.50.5

28、（10.4）=0.31（）X 的可能取值为 0，1，2，3，4P（X=0）=（10.6）0.52（10.4）=0.06P（X=1）=0.60.52（10.4）+（10.6）0.520.4+（10.6）20.52（10.4）=0.25P（X=4）=P（A2BC）=0.520.60.4=0.06，P（X=3）=P（D）P（X=4）=0.25，P（X=2）=1P（X=0）P（X=1）P（X=3）P（X=4）=10.060.250.250.06=0.38故数学期望 EX=00.06+10.25+20.38+30.25+40.06=2【点评】本题主要考查了独立事件的概率和数学期望，关键是找到独立的事件，

29、计算要有耐心，属于难题21 （12 分）已知抛物线 C：y2=2px（p0）的焦点为 F，直线 y=4 与 y 轴的交点为 P，与 C 的交点为 Q，且|QF|=|PQ|第 19 页（共 21 页）（）求 C 的方程；（）过 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点，若 AB 的垂直平分线 l与 C 相交于M、N 两点，且 A、M、B、N 四点在同一圆上，求 l 的方程【分析】 （）设点 Q 的坐标为（x0，4） ，把点 Q 的坐标代入抛物线 C 的方程，求得 x0=，根据|QF|=|PQ|求得 p 的值，可得 C 的方程（）设 l 的方程为 x=my+1 （m0） ，代入抛物线方程化简，

30、利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|把直线 l的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得|MN|由于 MN 垂直平分线段 AB，故 AMBN 四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，由此求得 m 的值，可得直线 l 的方程【解答】解：（）设点 Q 的坐标为（x0，4） ，把点 Q 的坐标代入抛物线C：y2=2px（p0） ，可得 x0=，点 P（0，4） ，|PQ|=又|QF|=x0+=+，|QF|=|PQ|，+=，求得 p=2，或 p=2（舍去） 故 C 的方程为 y2=4x（）由题意可得，直线 l 和坐标轴不垂直，y2=4x 的焦点 F（1，0） ，设 l 的方程

31、为 x=my+1（m0） ，代入抛物线方程可得 y24my4=0，显然判别式=16m2+160，y1+y2=4m，y1y2=4AB 的中点坐标为 D（2m2+1，2m） ，弦长|AB|=|y1y2|=4（m2+1） 又直线 l的斜率为m，直线 l的方程为 x=y+2m2+3过 F 的直线 l 与 C 相交于 A、B 两点，若 AB 的垂直平分线 l与 C 相交于 M、N两点，把线 l的方程代入抛物线方程可得 y2+y4（2m2+3）第 20 页（共 21 页）=0，y3+y4=，y3y4=4（2m2+3） 故线段 MN 的中点 E 的坐标为（+2m2+3，） ，|MN|=|y3y4|=，MN

32、垂直平分线段 AB，故 AMBN 四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，+DE2=MN2，4（m2+1）2 +=，化简可得 m21=0，m=1，直线 l 的方程为 xy1=0，或 x+y1=0【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理、弦长公式的应用，体现了转化的数学思想，属于难题22 （12 分）函数 f（x）=ln（x+1）（a1） （）讨论 f（x）的单调性；（）设 a1=1，an+1=ln（an+1） ，证明：an（nN*） 【分析】 （）求函数的导数，通过讨论 a 的取值范围，即可得到 f（x）的单调性；（）利用数学归纳法即可证明不等式【解

33、答】解：（）函数 f（x）的定义域为（1，+） ，f（x）=，当 1a2 时，若 x（1，a22a） ，则 f（x）0，此时函数 f（x）在（1，a22a）上是增函数，若 x（a22a，0） ，则 f（x）0，此时函数 f（x）在（a22a，0）上是减函数，第 21 页（共 21 页）若 x（0，+） ，则 f（x）0，此时函数 f（x）在（0，+）上是增函数当 a=2 时，f（x）0，此时函数 f（x）在（1，+）上是增函数，当 a2 时，若 x（1，0） ，则 f（x）0，此时函数 f（x）在（1，0）上是增函数，若 x（0，a22a） ，则 f（x）0，此时函数 f（x）在（0，a22a

34、）上是减函数，若 x（a22a，+） ，则 f（x）0，此时函数 f（x）在（a22a，+）上是增函数（）由（）知，当 a=2 时，此时函数 f（x）在（1，+）上是增函数，当 x（0，+）时，f（x）f（0）=0，即 ln（x+1）， （x0） ，又由（）知，当 a=3 时，f（x）在（0，3）上是减函数，当 x（0，3）时，f（x）f（0）=0，ln（x+1），下面用数学归纳法进行证明an成立，当 n=1 时，由已知，故结论成立假设当 n=k 时结论成立，即，则当 n=k+1 时，an+1=ln（an+1）ln（），ak+1=ln（ak+1）ln（），即当 n=k+1 时，成立，综上由可知，对任何 nN结论都成立【点评】本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及利用数学归纳法证明不等式，综合性较强，难度较大