2015年北京市高考数学试卷（文科）.doc

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1、第 1 页（共 23 页）2015 年北京市高考数学试卷（文科）年北京市高考数学试卷（文科）一、选择题（每小题一、选择题（每小题 5 分分,共共 40 分）分）1 （5 分）若集合 A=x|5x2，B=x|3x3，则 AB=（ ）Ax|3x2Bx|5x2Cx|3x3Dx|5x32 （5 分）圆心为（1，1）且过原点的圆的标准方程是（ ）A （x1）2+（y1）2=1B （x+1）2+（y+1）2=1 C （x+1）2+（y+1）2=2D （x1）2+（y1）2=23 （5 分）下列函数中为偶函数的是（ ）Ay=x2sinx By=x2cosx Cy=|lnx| Dy=2x4 （5 分）某校老年

2、、中年和青年教师的人数见如表，采用分层插样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有 320 人，则该样本的老年教师人数为（ ）类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300A90B100 C180 D3005 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 k 值为（ ）第 2 页（共 23 页）A3B4C5D66 （5 分）设 ， 是非零向量， “=| | |”是“”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件7 （5 分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ）A1BCD28 （5 分）某辆汽车每次加油都把油箱加满

3、，下表记录了该车相邻两次加油时的情况加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）第 3 页（共 23 页）2015 年5 月 1 日12350002015 年5 月 15日4835600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每 100千米平均耗油量为 （ ）A6 升B8 升C10 升D12 升二、填空题二、填空题9 （5 分）复数 i（1+i）的实部为 10 （5 分）23，log25 三个数中最大数的是 11 （5 分）在ABC 中，a=3，b=，A=，则B= 12 （5 分）已知（2，0）是双曲线 x2=1（b0）的一个焦点，则 b= 13 （5 分）如图，AB

4、C 及其内部的点组成的集合记为 D，P（x，y）为 D 中任意一点，则 z=2x+3y 的最大值为 14 （5 分）高三年级 267 位学生参加期末考试，某班 37 位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生从这次考试成绩看，第 4 页（共 23 页）在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 ；在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是 三、解答题（共三、解答题（共 80 分）分）15 （13 分）已知函数 f（x）=sinx2sin2（1）求 f（x）的最小正周期；（2）求 f（x）在区间0，上的最小值16 （13 分）

5、已知等差数列an满足 a1+a2=10，a4a3=2（1）求an的通项公式；（2）设等比数列bn满足 b2=a3，b3=a7，问：b6与数列an的第几项相等？17 （13 分）某超市随机选取 1000 位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“”表示购买， “”表示未购买 甲乙丙丁100 217200 第 5 页（共 23 页）3008598（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率；（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？18 （14 分）如图，在三棱锥 VABC 中，平面

6、 VAB平面 ABC，VAB 为等边三角形，ACBC 且 AC=BC=，O，M 分别为 AB，VA 的中点（1）求证：VB平面 MOC；（2）求证：平面 MOC平面 VAB（3）求三棱锥 VABC 的体积19 （13 分）设函数 f（x）=klnx，k0（1）求 f（x）的单调区间和极值；（2）证明：若 f（x）存在零点，则 f（x）在区间（1，上仅有一个零点20 （14 分）已知椭圆 C：x2+3y2=3，过点 D（1，0）且不过点 E（2，1）的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点，直线 AE 与直线 x=3 交于点 M（1）求椭圆 C 的离心率；（2）若 AB 垂直于 x 轴，求直线 BM

7、 的斜率；第 6 页（共 23 页）（3）试判断直线 BM 与直线 DE 的位置关系，并说明理由第 7 页（共 23 页）2015 年北京市高考数学试卷（文科）年北京市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题（每小题一、选择题（每小题 5 分分,共共 40 分）分）1 （5 分）若集合 A=x|5x2，B=x|3x3，则 AB=（ ）Ax|3x2Bx|5x2Cx|3x3Dx|5x3【分析】直接利用集合的交集的运算法则求解即可【解答】解：集合 A=x|5x2，B=x|3x3，则 AB=x|3x2故选：A【点评】本题考查集合的交集的运算法则，考查计算能力2 （5 分）圆心

8、为（1，1）且过原点的圆的标准方程是（ ）A （x1）2+（y1）2=1B （x+1）2+（y+1）2=1 C （x+1）2+（y+1）2=2D （x1）2+（y1）2=2【分析】利用两点间距离公式求出半径，由此能求出圆的方程【解答】解：由题意知圆半径 r=，圆的方程为（x1）2+（y1）2=2故选：D【点评】本题考查圆的方程的求法，解题时要认真审题，注意圆的方程的求法，是基础题3 （5 分）下列函数中为偶函数的是（ ）Ay=x2sinx By=x2cosx Cy=|lnx| Dy=2x【分析】首先从定义域上排除选项 C，然后在其他选项中判断x 与 x 的函数值关系，相等的就是偶函数第 8 页

9、（共 23 页）【解答】解：对于 A， （x）2sin（x）=x2sinx；是奇函数；对于 B， （x）2cos（x）=x2cosx；是偶函数；对于 C，定义域为（0，+） ，是非奇非偶的函数；对于 D，定义域为 R，但是 2（x）=2x2x，2x2x；是非奇非偶的函数；故选：B【点评】本题考查了函数奇偶性的判断；首先判断定义域是否关于原点对称；如果不对称，函数是非奇非偶的函数；如果对称，再判断 f（x）与 f（x） 关系，相等是偶函数，相反是奇函数4 （5 分）某校老年、中年和青年教师的人数见如表，采用分层插样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有 320 人，则该样本的老年教

10、师人数为（ ）类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300A90B100 C180 D300【分析】由题意，老年和青年教师的人数比为 900：1600=9：16，即可得出结论【解答】解：由题意，老年和青年教师的人数比为 900：1600=9：16，因为青年教师有 320 人，所以老年教师有 180 人，故选：C【点评】本题考查分层抽样，考查学生的计算能力，比较基础5 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 k 值为（ ）第 9 页（共 23 页）A3B4C5D6【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 a，k 的值，当 a=时满足条件 a，退出循环，输出 k 的

11、值为 4【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=0，a=3，q=a=，k=1不满足条件 a，a=，k=2不满足条件 a，a=，k=3不满足条件 a，a=，k=4满足条件 a，退出循环，输出 k 的值为 4故选：B【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题6 （5 分）设 ， 是非零向量， “=| | |”是“”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件第 10 页（共 23 页）C充分必要条件D既不充分也不必要条件【分析】由便可得到夹角为 0，从而得到 ，而 并不能得到 夹角为 0，从而得不到，这样根据充分条件、必要条件的概念即可找出正确选项【解答】解：（1）；时，cos=1； ；“

12、”是“ ”的充分条件；（2） 时，的夹角为 0 或 ；，或；即 得不到；“”不是“ ”的必要条件；总上可得“”是“ ”的充分不必要条件故选：A【点评】考查充分条件，必要条件，及充分不必要条件的概念，以及判断方法与过程，数量积的计算公式，向量共线的定义，向量夹角的定义7 （5 分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ）第 11 页（共 23 页）A1BCD2【分析】几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，结合直观图求相关几何量的数据，可得答案【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，底面为正方形如图：其中 PB平面 ABCD，底面 ABCD 为正

13、方形PB=1，AB=1，AD=1，BD=，PD=PC该几何体最长棱的棱长为：故选：C【点评】本题考查了由三视图求几何体的最长棱长问题，根据三视图判断几何体的结构特征是解答本题的关键8 （5 分）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时第 12 页（共 23 页）的情况加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）2015 年5 月 1 日12350002015 年5 月 15日4835600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程，在这段时间内，该车每 100千米平均耗油量为 （ ）A6 升B8 升C10 升D12 升【分析】由表格信息，得到该车加了 48 升的汽油，跑了

14、 600 千米，由此得到该车每 100 千米平均耗油量【解答】解：由表格信息，得到该车加了 48 升的汽油，跑了 600 千米，所以该车每 100 千米平均耗油量 486=8；故选：B【点评】本题考查了学生对表格的理解以及对数据信息的处理能力二、填空题二、填空题9 （5 分）复数 i（1+i）的实部为 1 【分析】直接利用复数的乘法运算法则，求解即可【解答】解：复数 i（1+i）=1+i，所求复数的实部为：1故答案为：1【点评】本题考查复数的基本运算，复数的基本概念，考查计算能力10 （5 分）23，log25 三个数中最大数的是 log25 【分析】运用指数函数和对数函数的单调性，可得第 1

15、3 页（共 23 页）0231，12，log25log24=2，即可得到最大数【解答】解：由于 0231，12，log25log24=2，则三个数中最大的数为 log25故答案为：log25【点评】本题考查数的大小比较，主要考查指数函数和对数函数的单调性的运用，属于基础题11 （5 分）在ABC 中，a=3，b=，A=，则B= 【分析】由正弦定理可得 sinB，再由三角形的边角关系，即可得到角 B【解答】解：由正弦定理可得，=，即有 sinB=，由 ba，则 BA，可得 B=故答案为：【点评】本题考查正弦定理的运用，同时考查三角形的边角关系，属于基础题12 （5 分）已知（2，0）是双曲线 x

16、2=1（b0）的一个焦点，则 b= 【分析】求得双曲线 x2=1（b0）的焦点为（，0） ， （，0） ，可得 b 的方程，即可得到 b 的值【解答】解：双曲线 x2=1（b0）的焦点为（，0） ， （，0） ，第 14 页（共 23 页）由题意可得=2，解得 b=故答案为：【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的焦点的求法，属于基础题13 （5 分）如图，ABC 及其内部的点组成的集合记为 D，P（x，y）为 D 中任意一点，则 z=2x+3y 的最大值为 7 【分析】利用线性规划的知识，通过平移即可求 z 的最大值【解答】解：由 z=2x+3y，得 y=，平移直线 y=，由图象

17、可知当直线 y=经过点 A 时，直线 y=的截距最大，此时 z 最大即 A（2，1） 此时 z 的最大值为 z=22+31=7，故答案为：7【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的第 15 页（共 23 页）常用方法14 （5 分）高三年级 267 位学生参加期末考试，某班 37 位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示，甲、乙、丙为该班三位学生从这次考试成绩看，在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 乙 ；在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是 数学 【分析】 （1）根据散点图 1 分析甲乙两人所在的位置的纵坐

18、标确定总成绩名次；（2）根据散点图 2，观察丙的对应的坐标，如果横坐标大于纵坐标，说明总成绩名次大于数学成绩名次，反之小于【解答】解：由高三年级 267 位学生参加期末考试，某班 37 位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级的排名情况的散点图可知，两个图中，同一个人的总成绩是不会变的从第二个图看，丙是从右往左数第 5 个点，即丙的总成绩在班里倒数第 5在左边的图中，找到倒数第 5 个点，它表示的就是丙，发现这个点的位置比右边图中丙的位置高，所以语文名次更“大”在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 乙；观察散点图，作出对角线 y=x，发现丙的坐标横坐标大于纵坐标，说明数学

19、成绩的名次小于总成绩名次，所以在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是数学；故答案为：乙；数学【点评】本题考查了对散点图的认识；属于基础题第 16 页（共 23 页）三、解答题（共三、解答题（共 80 分）分）15 （13 分）已知函数 f（x）=sinx2sin2（1）求 f（x）的最小正周期；（2）求 f（x）在区间0，上的最小值【分析】 （1）由三角函数恒等变换化简函数解析式可得 f（x）=2sin（x+），由三角函数的周期性及其求法即可得解；（2）由 x0，可求范围 x+，即可求得 f（x）的取值范围，即可得解【解答】解：（1）f（x）=sinx2sin2=sinx2=s

20、inx+cosx=2sin（x+）f（x）的最小正周期 T=2；（2）x0，x+，sin（x+）0，1，即有：f（x）=2sin（x+），2，可解得 f（x）在区间0，上的最小值为：【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值的应用，属于基本知识的考查16 （13 分）已知等差数列an满足 a1+a2=10，a4a3=2（1）求an的通项公式；（2）设等比数列bn满足 b2=a3，b3=a7，问：b6与数列an的第几项相等？【分析】 （I）由 a4a3=2，可求公差 d，然后由 a1+a2=10，可求 a1，结合等差数列第 17 页（共 23 页）的通

21、项公式可求（II）由 b2=a3=8，b3=a7=16，可求等比数列的首项及公比，代入等比数列的通项公式可求 b6，结合（I）可求【解答】解：（I）设等差数列an的公差为 da4a3=2，所以 d=2a1+a2=10，所以 2a1+d=10a1=4，an=4+2（n1）=2n+2（n=1，2，）（II）设等比数列bn的公比为 q，b2=a3=8，b3=a7=16，q=2，b1=4=128，而 128=2n+2n=63b6与数列an中的第 63 项相等【点评】本题主要考查了等差数列与等比数列通项公式的简单应用，属于对基本公式应用的考查，试题比较容易17 （13 分）某超市随机选取 1000 位顾

22、客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“”表示购买， “”表示未购买 甲乙丙丁100 2第 18 页（共 23 页）17200 3008598（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率；（2）估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率；（3）如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？【分析】 （1）从统计表可得，在这 1000 名顾客中，同时购买乙和丙的有 200 人，从而求得顾客同时购买乙和丙的概率（2）根据在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的有 300 人，求得顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率（3）在这 1

23、000 名顾客中，求出同时购买甲和乙的概率、同时购买甲和丙的概率、同时购买甲和丁的概率，从而得出结论【解答】解：（1）从统计表可得，在这 1000 名顾客中，同时购买乙和丙的有200 人，故顾客同时购买乙和丙的概率为=0.2（2）在这 1000 名顾客中，在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的有100+200=300（人） ，第 19 页（共 23 页）故顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率为=0.3（3）在这 1000 名顾客中，同时购买甲和乙的概率为=0.2，同时购买甲和丙的概率为=0.6，同时购买甲和丁的概率为=0.1，故同时购买甲和丙的概率最大【点评】本题主要考查古典

24、概率、互斥事件的概率加法公式的应用，属于基础题18 （14 分）如图，在三棱锥 VABC 中，平面 VAB平面 ABC，VAB 为等边三角形，ACBC 且 AC=BC=，O，M 分别为 AB，VA 的中点（1）求证：VB平面 MOC；（2）求证：平面 MOC平面 VAB（3）求三棱锥 VABC 的体积【分析】 （1）利用三角形的中位线得出 OMVB，利用线面平行的判定定理证明 VB平面 MOC；（2）证明：OC平面 VAB，即可证明平面 MOC平面 VAB（3）利用等体积法求三棱锥 VABC 的体积【解答】 （1）证明：O，M 分别为 AB，VA 的中点，OMVB，VB平面 MOC，OM平面

25、MOC，VB平面 MOC；第 20 页（共 23 页）（2）AC=BC，O 为 AB 的中点，OCAB，平面 VAB平面 ABC，OC平面 ABC，OC平面 VAB，OC平面 MOC，平面 MOC平面 VAB（3）在等腰直角三角形 ACB 中，AC=BC=，AB=2，OC=1，SVAB=，OC平面 VAB，VCVAB=SVAB=，VVABC=VCVAB=【点评】本题考查线面平行的判定，考查平面与平面垂直的判定，考查体积的计算，正确运用线面平行、平面与平面垂直的判定定理是关键19 （13 分）设函数 f（x）=klnx，k0（1）求 f（x）的单调区间和极值；（2）证明：若 f（x）存在零点，则

26、 f（x）在区间（1，上仅有一个零点【分析】 （1）利用 f（x）0 或 f（x）0 求得函数的单调区间并能求出极值；（2）利用函数的导数的极值求出最值，利用最值讨论存在零点的情况【解答】解：（1）由 f（x）=f（x）=x由 f（x）=0 解得 x=f（x）与 f（x）在区间（0，+）上的情况如下：X （0，） （）f（x）0+第 21 页（共 23 页）f（x）所以，f（x）的单调递增区间为（） ，单调递减区间为（0，） ；f（x）在 x=处的极小值为 f（）=，无极大值（2）证明：由（1）知，f（x）在区间（0，+）上的最小值为 f（）=因为 f（x）存在零点，所以，从而 ke当 k=e

27、 时，f（x）在区间（1，）上单调递减，且 f（）=0所以 x=是 f（x）在区间（1，）上唯一零点当 ke 时，f（x）在区间（0，）上单调递减，且，所以 f（x）在区间（1，）上仅有一个零点综上所述，若 f（x）存在零点，则 f（x）在区间（1，上仅有一个零点【点评】本题考查利用函数的导数求单调区间和导数的综合应用，在高考中属于常见题型20 （14 分）已知椭圆 C：x2+3y2=3，过点 D（1，0）且不过点 E（2，1）的直线与椭圆 C 交于 A，B 两点，直线 AE 与直线 x=3 交于点 M（1）求椭圆 C 的离心率；（2）若 AB 垂直于 x 轴，求直线 BM 的斜率；（3）试判

28、断直线 BM 与直线 DE 的位置关系，并说明理由【分析】 （1）通过将椭圆 C 的方程化成标准方程，利用离心率计算公式即得结论；（2）通过令直线 AE 的方程中 x=3，得点 M 坐标，即得直线 BM 的斜率；（3）分直线 AB 的斜率不存在与存在两种情况讨论，利用韦达定理，计算即可【解答】解：（1）椭圆 C：x2+3y2=3，椭圆 C 的标准方程为：+y2=1，第 22 页（共 23 页）a=，b=1，c=，椭圆 C 的离心率 e=；（2）AB 过点 D（1，0）且垂直于 x 轴，可设 A（1，y1） ，B（1，y1） ，E（2，1） ，直线 AE 的方程为：y1=（1y1） （x2） ，

29、令 x=3，得 M（3，2y1） ，直线 BM 的斜率 kBM=1；（3）结论：直线 BM 与直线 DE 平行证明如下：当直线 AB 的斜率不存在时，由（2）知 kBM=1，又直线 DE 的斜率 kDE=1，BMDE；当直线 AB 的斜率存在时，设其方程为 y=k（x1） （k1） ，设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则直线 AE 的方程为 y1=（x2） ，令 x=3，则点 M（3，） ，直线 BM 的斜率 kBM=，联立，得（1+3k2）x26k2x+3k23=0，由韦达定理，得 x1+x2=，x1x2=，kBM1=第 23 页（共 23 页）=0，kBM=1=kDE，即 BMDE；综上所述，直线 BM 与直线 DE 平行【点评】本题是一道直线与椭圆的综合题，涉及到韦达定理等知识，考查计算能力，注意解题方法的积累，属于中档题