191_勾股定理(沪科版).ppt

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1、勾勾股股弦弦勾股定理勾股定理 受台风麦莎影响，一棵树在离地面受台风麦莎影响，一棵树在离地面4米处米处断裂，树的顶部落在离树跟底部断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这米处，这棵树棵树折断前折断前有多高？有多高？4米米3米米 毕达哥拉斯毕达哥拉斯(公元前公元前572-前前492年年),古希腊著名古希腊著名的哲学家、数学家、的哲学家、数学家、天文学家。天文学家。相传相传25002500年前，一次，毕年前，一次，毕达哥拉斯去朋友家作客在宴达哥拉斯去朋友家作客在宴席上他看着朋友家的方砖地面席上他看着朋友家的方砖地面发起呆来主人觉得非常奇怪，发起呆来主人觉得非常奇怪，就想过去问他谁知毕达哥拉就想过去问他

2、谁知毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子，站起斯突然恍然大悟的样子，站起来，大笑着跑回家去了来，大笑着跑回家去了.后来知后来知道是因为他从中发现了直角三道是因为他从中发现了直角三角形三边的数量关系，赶着回角形三边的数量关系，赶着回家证明去了。家证明去了。那么，他朋友家的地板到底那么，他朋友家的地板到底是怎样呢？我们也观察一下看看是怎样呢？我们也观察一下看看能发现什么？能发现什么？A、B、C的面积有什么关系的面积有什么关系？如果用三角形的边长表示如果用三角形的边长表示正方形面积，你会发现等腰直正方形面积，你会发现等腰直角三角形三边有什么关系？角三角形三边有什么关系？SA+SB=SC 等腰直角三角形两直角

3、边的平方和等于斜边的平方等腰直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 将等腰直角三角形变换为一个一般直角三角形，上将等腰直角三角形变换为一个一般直角三角形，上述结论是否依然成立？述结论是否依然成立？ab bc ca2+b2=c2AC CB BABCABCA的面的面积积B的面的面积积C的面的面积积图图1图图2A、B、C面积关系面积关系直角三角直角三角形三边关形三边关系系图图1图图2491392534sA+sB=sC两直角边的平方和两直角边的平方和等于斜边的平方等于斜边的平方分别算出图中各正方形的面积，看看能得出什么结论？分别算出图中各正方形的面积，看看能得出什么结论？设：直角三角形的设：直角三角

4、形的三边长分别是三边长分别是a、b b、c c，猜想猜想:两直角边两直角边a、b b与斜边与斜边c c 之间的关系？之间的关系？ab ba2 2+b+b2 2=c=c2 2每个小方格的面积均为每个小方格的面积均为1c c(1)(2)(3)(4)bCa 利用准备好的四个全等的直利用准备好的四个全等的直角三角形，角三角形，a、b b表示两条直角边，表示两条直角边，c c表示斜边。表示斜边。动手实践动手实践：这四个全等的直这四个全等的直角三角形可以拼成一个正方角三角形可以拼成一个正方形吗？有些什么不同的方法形吗？有些什么不同的方法？思考：拼出的正方形面思考：拼出的正方形面积用含积用含a、b、c的式子

5、可以的式子可以怎么表示？怎么表示？能得到我们要证明的结论吗能得到我们要证明的结论吗？cabcabcabcab方方法法一一a2+b2=c2(1)(2)(3)(4)bCa 大正方形的面积可以大正方形的面积可以如何表示？如何表示？ccccba方方 法法 二二a(1)(2)(3)(4)abca2+b2=c2b 大正方形的面积可以大正方形的面积可以如何表示？如何表示？这个图案公元这个图案公元 3 3 世纪我世纪我国汉代的赵爽在注解国汉代的赵爽在注解周髀周髀算经算经时就已经给出，人们时就已经给出，人们称它为称它为“赵爽弦图赵爽弦图”赵爽赵爽根据此图指出：四个全等的根据此图指出：四个全等的直角三角形（红色）

6、可以如直角三角形（红色）可以如图围成一个大正方形，中间图围成一个大正方形，中间的部分是一个小正方形的部分是一个小正方形 （黄色）（黄色）赵爽弦图赵爽弦图aabbcc有趣的总统证法有趣的总统证法:美国第二十任总统伽菲尔德的证法在美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话数学史上被传为佳话 a2+b2=c2 在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为勾，下半部分称为股。我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.勾勾股股勾股勾股定理定理 如果如果直角三角形直角三角形两直角边分别为两直角边分别为a、b,斜边为斜边为c，那么，那么 即即:直角三

7、角形两直角边的平方和等于直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。斜边的平方。在西方又称在西方又称毕达哥拉毕达哥拉斯定理斯定理！a2+b2=c2勾股定理给出了直角三角形三边之间的关勾股定理给出了直角三角形三边之间的关系，即两直角边的平方和等于斜边的平方系，即两直角边的平方和等于斜边的平方cba公式变形公式变形c2=a2+b2a2=c2b2b2=c2-a2 受台风麦莎影响，一棵树在离地面受台风麦莎影响，一棵树在离地面4米处米处断裂，树的顶部落在离树跟底部断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这米处，这棵树棵树折断前折断前有多高？有多高？4米米3米米 已知直角三角形任意两边求第三边已知直角三角形任意

8、两边求第三边勾股定理有什么作用呢？勾股定理有什么作用呢？一定要在一定要在直角三角形直角三角形中哦！中哦！1.1.在在ABCABC中中,C=90,C=90，a=6,c=10,=6,c=10,则则b=_b=_82、ABC中，C=90若a=3cm,b=4cm,则c=_cm若a=12cm,c=13cm,则b=_ cm若c=17cm,a=8cm,则b=_ cm5515C CB BA A1 1、勾股定理是几何中最重要的定理之一，勾股定理是几何中最重要的定理之一，它揭示了它揭示了直角三角形直角三角形三边之间三边之间的数量关系的数量关系.2 2、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边直角三角形两直角边a、b b

9、的的平方和，平方和，等于斜边等于斜边c c的平方的平方:。3 3、勾股定理的勾股定理的主要作用主要作用是是 ：在直角三角形：在直角三角形中中,已知任意两边求第三边的长。已知任意两边求第三边的长。a2+b2=c2 4 4、我们利用、我们利用“面积法面积法”证明勾股定理，这体证明勾股定理，这体现了数学中现了数学中数形结合数形结合的思想。的思想。判断题：判断题：直角三角形三边分别为直角三角形三边分别为 a,b,c，则一，则一定满足下面的式子：定满足下面的式子：a2+b2=c2 ().直角三角形的两边长分别是直角三角形的两边长分别是3和和4，则，则第三边长是第三边长是5.()学以致用学以致用cab1、

10、如图已知、如图已知a3，b4 求求c=?2、如图已知：、如图已知：c 10，a6，求求b=?3、如图已知：、如图已知：c 13，a5，求阴影部分面积？求阴影部分面积？l运用勾股定理时应注意：在直角三角形中，认准直角边和斜边；在直角三角形中，认准直角边和斜边；两直角边的平方和等于两直角边的平方和等于斜边斜边的平方。的平方。ac4 4、在、在 ABCABC中中,C=90,C=90,若若AC=6,CB=8,AC=6,CB=8,则则 ABCABC面积为面积为_,_,斜边为上的高为斜边为上的高为_._.244.8151205 5、已知：、已知：ABCABC，ABABACAC1717，BCBC1616，则

11、高，则高ADAD，S SABCABC.BCAD学以致用学以致用 小明的妈妈买了一部小明的妈妈买了一部29英寸（英寸（74厘米）的厘米）的电视机。小明量了电视机的屏幕后，发现屏电视机。小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有幕只有58厘米长和厘米长和46厘米宽，他觉得一定是厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了。你能解释这是为什么吗？售货员搞错了。你能解释这是为什么吗？我们通常所说的我们通常所说的29英寸或英寸或74厘米的电视厘米的电视机，是指其荧屏对角机，是指其荧屏对角线的长度线的长度售货员没搞错售货员没搞错想想一一想想荧屏对角线大约为荧屏对角线大约为74厘米厘米582+462=5480即即 742=5

12、4763 1 1、如如图图，学学校校有有一一块块长长方方形形花花园园，有有极极少少数数人人为为了了避避开开拐拐角角走走“捷捷径径”，在在花花园园内内走走出出了了一一条条“路路”，仅仅仅仅少少走走了了_步步路路,却却踩踩伤了花草。伤了花草。（假设（假设1 1米为米为2 2步）步）45ABC“路路”4 2、如图，要登上、如图，要登上8米高的建筑物米高的建筑物BC，为了，为了安全需要，需使梯子底端离建筑物距离安全需要，需使梯子底端离建筑物距离AB为为6米，问至少需要多长的梯子？米，问至少需要多长的梯子？8mBCA6m解：根据勾股定理得：解：根据勾股定理得：AC2=62+82 =36+64 =100即

13、：即：AC=10（不合题意，舍去）（不合题意，舍去）答：梯子至少长答：梯子至少长10米。米。古代笑话一则古代笑话一则 有一人拿着一根杆子进屋门，横着拿，不能进，竖着拿，也不能进，干脆将其折断，才解决了问题。请问同学们这样是真正解决了问题了吗？让你做的话，你感觉怎么办合适？一个门框的尺寸如图所示，一块长一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽，宽2.2m的薄木板能否从门框内通过的薄木板能否从门框内通过?为什为什么么?2mDCAB1mC CB BA Acbac2=a2+b2a2=c2b2b2=c2-a2勾股定理：勾股定理：直角三角形两直角边的平方直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方和等于斜边的平

14、方 若直角三角形的两条边长为若直角三角形的两条边长为6cm、8cm8cm，则第三边长一定为，则第三边长一定为10cm.()10cm.()判断正误判断正误:6868 一个直角三角形的两边长分别为一个直角三角形的两边长分别为5cm和和12cm,则第三边的长为则第三边的长为 。复习：复习：1.1.一个直角三角形的两边长分别为一个直角三角形的两边长分别为3 3和和4,4,则第则第三边长为三边长为2 2直角三角形一直角边长为直角三角形一直角边长为6cm6cm，斜边长为，斜边长为10cm10cm，则这个直角三角形的面积为，则这个直角三角形的面积为，斜边上的高为斜边上的高为等腰等腰ABCABC的腰长为的腰长

15、为10cm10cm，底边长为，底边长为16cm16cm，则底边上的高为，面积为，则底边上的高为，面积为_5 5等腰直角等腰直角ABCABC中，中，C=90C=90，AC=2cmAC=2cm，那么它的斜边上的高为，那么它的斜边上的高为6cm6cmcmcm练一练练一练 一个3m长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO的距离为2.5m,如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗?ACOBD 一个3m长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO的距离为2.5m,如果梯子的顶梯子的顶端端A沿墙下滑沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗?ACOBD 一个3m长的梯子

16、AB,斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO的距离为2.5m,如果梯子的顶梯子的顶端端A沿墙下滑沿墙下滑0.5m,那么梯子底端梯子底端B也外移也外移0.5m吗吗?ACOBD 从题目和图形中，你能得到哪些信息？分析:DBODOB 求BD,可以先求OB、OD.解：设旗杆高解：设旗杆高AC=x米，则绳子长米，则绳子长AB=(x+1)米，在米，在Rt ABC中，由勾股定理得：中，由勾股定理得：阿满想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端阿满想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来米后，发现下

17、端刚好接触地面，你能帮他算出来旗杆的高度吗？旗杆的高度吗？ABC5米(x+1)米x米 如如图图，某某公公园园有有这这样样两两棵棵树树，一一棵棵树树高高8m8m，另另一一棵棵树树高高2m2m，两两树树相相距距8m8m，一一只只小小鸟鸟从从一一棵棵树树的的 树树 梢梢 飞飞 到到 另另 一一 棵棵 树树 的的 树树 梢梢，至至 少少 飞飞 了了 多少米？多少米？8m2m8mABCy=0探究3C CB BA A试一试：试一试：在我国古代数学著作在我国古代数学著作九九章算术章算术中记载了一道有趣的中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为一个水池，

18、水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水有一根新生的芦苇，它高出水面面1尺，如果把这根芦苇垂直拉尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少度和这根芦苇的长度各是多少？DABC解：设水池的水深解：设水池的水深AC为为x尺，则这根芦苇尺，则这根芦苇长长AD=AB=（x+1）尺，尺，在直角三角形在直角三角形ABC中，中，BC=5尺尺由勾股定理得：由勾股定理得：BC2+AC2=AB2即即 52+x2=(x+1)225+x2=x2+2x+1

19、2x=24 x=12，x+1=13答：水池的水深答：水池的水深12尺，这根芦苇长尺，这根芦苇长13尺。尺。ADCBDBA说明说明：在直角三角形中，利用勾股定理计算在直角三角形中，利用勾股定理计算线段的长，是勾股定理的一个重要的应用在线段的长，是勾股定理的一个重要的应用在有直角三角形时，可直接应用；在没有直角三有直角三角形时，可直接应用；在没有直角三角形时，常作角形时，常作垂线垂线构造构造直角三角形直角三角形，为能应用，为能应用勾股定理创造重要条件勾股定理创造重要条件如图，在如图，在ABCABC中，中，AB=15AB=15，BC=14BC=14，AC=13.AC=13.求求S SABCABCCA

20、DB 如图，已知：在如图，已知：在中，中，D于，交于，交于，求于，求的周长的周长ECA111 如图，小颍同学折叠一个直角三角形如图，小颍同学折叠一个直角三角形的纸片，使的纸片，使A与与B重合，折痕为重合，折痕为DE，若已知，若已知AC=10cm，BC=6cm,你能求出你能求出CE的长吗？的长吗？CABDE解：连结解：连结BE DE是是AB的中垂线的中垂线 AE=BE 在在RtABC 中中 根据勾股定理：根据勾股定理：设设AE=x，则，则EC=(10 x)BE2=BC2+EC2x2=62(10 x)2解得解得 x=6.8EC=106.8=3.2cm折叠问题折叠问题:C CB BA A 如图如图,

21、把长方形纸片把长方形纸片ABCD折叠折叠,使使顶点顶点A与顶点与顶点C重合在一起重合在一起,EF为折痕为折痕,若若AB=9,BC=3,求求FC的长的长?ABCDFE解：由已知解：由已知AF=FC设设AF=x，则，则FB=9x 在在R t FBC中，根中，根据勾股定理据勾股定理:FC2=FB2BC2即即 x2=(9x)232解得解得 x=5即即 FC=5折叠问题折叠问题:D x 矩形矩形ABCD如图折叠，使点如图折叠，使点D落在落在BC边上的点边上的点F处，已知处，已知AB=8，BC=10，求折，求折痕痕EF的长。的长。ABCDFEx1010864(8x)折叠问题折叠问题:设设EF=x 如图，盒

22、内长，宽，高分别是如图，盒内长，宽，高分别是3030米，米，2424米和米和1818米，盒内可放的棍子最长是多米，盒内可放的棍子最长是多少少米米？183024 在在一棵树的一棵树的10米高的米高的D处有两只猴子处有两只猴子,其中其中一只猴子爬下树走到离树一只猴子爬下树走到离树20米的池塘米的池塘A处处,另一另一只爬到树顶后直接跃向池塘只爬到树顶后直接跃向池塘A处处,如果两只猴子如果两只猴子所经过的直线距离相等所经过的直线距离相等,试问这棵树有多高试问这棵树有多高?DABC10米米20米米x x 2、在在直角三角形中，只直角三角形中，只知道一边的长知道一边的长度，另外两边只知道它们的关系时，运用

23、度，另外两边只知道它们的关系时，运用勾股定理勾股定理列方程列方程方法求解。方法求解。应用勾股定理解决实际问题的一般思路：应用勾股定理解决实际问题的一般思路：方程思想是解决数学问题常用的重要思想方程思想是解决数学问题常用的重要思想 1、在解决实际问题时，首先要、在解决实际问题时，首先要画出适画出适当的示意图当的示意图，将实际问题抽象为数学问题，将实际问题抽象为数学问题，并并构建直角三角形模型构建直角三角形模型，再运用勾股定理，再运用勾股定理解决实际问题。解决实际问题。感悟与收获感悟与收获作业：习题作业：习题作业：习题作业：习题18 118 1第第第第6 8 6 8 10 11 1210 11 12