小学三年级数学举一反三奥数教育培训教材电子讲义教案纯word453.pdf

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1、学习好资料_ _ 第 1 讲 找规律 一、知识要点 按照一定次序排列起来的一列数，叫做数列。如自然数列：1，2，3，4，双数列：2，4，6，8，我们研究数列，目的就是为了发现数列中数排列的规律，并依据这个规律来填写空缺的数。按照一定的顺序排列的一列数，只要从连续的几个数中找到规律，那么就可以知道其余所有的数。寻找数列的排列规律，除了从相邻两数的和、差考虑，有时还要从积、商考虑。善于发现数列的规律是填数的关键。二、精讲精练【例题 1】在括号内填上合适的数。（1）3，6，9，12，（），（）（2）1，2，4，7，11，（），（）（3）2，6，18，54，（），（）练习 1：在括号内填上合适的数。（

2、1）2，4，6，8，10，（），（）（2）1，2，5，10，17，（），（）（3）2，8，32，128，（），（）（4）1，5，25，125，（），（）（5）12，1，10，1，8，1，（），（）【例题 2】先找出规律，再在括号里填上合适的数。（1）15，2，12，2，9，2，（），（）（2）21，4，18，5，15，6，（），（）练习 2：按规律填数。（1）2，1，4，1，6，1，（），（）（2）3，2，9，2，27，2，（），（）（3）18，3，15，4，12，5，（），（）（4）1，15，3，13，5，11，（），（）（5）1，2，5，14，（），（）【例题 3】先找出规律，再在括号里填

3、上合适的数。（1）2，5，14，41，（）（2）252，124，60，28，（）（3）1，2，5，13，34，（）（4）1，4，9，16，25，36，（）练习 3：按规律填数。（1）2，3，5，9，17，（），（）（2）2，4，10，28，82，（），（）（3）94，46，22，10，（），（）（4）2，3，7，18，47，（），（）学习好资料_ _【例题 4】根据前面图形里的数的排列规律，填入适当的数。（1）（3）练习 4：找出排列规律，在空缺处填上适当的数。（1）（3）【例题 5】按规律填数。（1）187，286，385，（），（）（2）练习 5：根据规律，在空格内填数。（1）198，29

4、7，396，（），（）（2）（3）第 2 讲 有余除法 5 10 9 14 7 12 11 16 9 14 13 (2)94371484281649 3 27 12 4 36 36 12 3 7 5 9 8 12 10 14 12 16 14 8 4 16 16 8 32 32 16 64 5 15 12 7 21 18 9 27 (2)489276828723 31 2541 41 23 4643 35 24 32 54 3864 21 45 2665 32 57 37 25 3895 23 45 2775 34 25 学习好资料_ _ 一、知识要点 把一些书平均分给几个小朋友，要使每个小朋

5、友分得的本数最多，这些书分到最后会出现什么情况呢？一种是全部分完，还有一种是有剩余，并且剩余的本数必须比小朋友的人数少，否则还可以继续分下去。每次除得的余数必须比除数小，这就是有余数除法计算中特别要注意的。解这类题的关键是要先确定余数，如果余数已知，就可以确定除数，然后再根据被除数与除数、商和余数的关系求出被除数。在有余数的除法中，要记住：（1）余数必须小于除数；（2）被除数商除数余数。二、精讲精练【例题 1】68 ，根据余数写出被除数最大是几？最小是几？【思路导航】除数是_，根据_，余数可填_.根据_，又已知商、除数、余数，可求出最大的被除数为 68553，最小的被除数为_。列式如下：_ 答

6、：被除数最大是 53，最小是_。练习 1：(1)下面题中被除数最大可填_，最小可填_。83 (2)下面题中被除数最大可填_，最小可填_。47 (3)下题中要使除数最小，被除数应为_。124【例题 2】算式 8 中，被除数最小是几？【思路导航】题中只告诉我们商是 8，要使被除数最小，那么只要除数和余数小就行。余数最小为_，那么除数则为_。根据这些，我们就可求出被除数最小为：8_。练习 2：(1)下面算式中，被除数最小是几？4 7 9 (2)下面算式中商和余数相等，被除数最小是几？3 6 (3)算式 8 中，商和余数都相等，那么被除数最大是几？【例题 3】算式 28 4 中，除数和商分别是_和_。

7、【思路导航】根据“被除数商除数余数”，可以得知“商除数被除数余数”，所以本题中商除数28424。这两个数可能是 1 和 24，_和_，_和_，_和_，又因为余数为 4，因此除数可以是 24,12,8,6,商分别为_，_，_，_。_ 学习好资料_ _ 答：除数和商分别是 24，1；_，_；_，_；_，_。练习 3：(1)下面算式中，除数和商各是几？22 465 2 37 748 6(2)149除以一个两位数，余数是 5,请写出所有这样的两位数。_(3)算式 4 中，商和余数相等，被除数可以是哪些数？_【例题 4】算式 7 中，商和余数相等，被除数可以是哪些数？【思路导航】题目中告诉我们除数是 7

8、，商和余数相等，因为余数必须比除数小，所以余数和商可为1,2,3,4,5,6,这样被除数就可以求出来了。7118 72216 73324 74432 75540 76648 答：被除数可以是 8,16,24,32,40,48。练习 4：(1)下列算式中，商和余数相等，被除数可以是哪些数？6 5 4 3 (2)一个三位数除以 15，商和余数相等，请你写出五个这样的除法算式。(3)算式 9 中，商和余数相等，被除数最大是_。【例题 5】算式 4 中，除数和商相等，被除数最小是几？【思路导航】题目中告诉我们余数是 4,除数和商相等，因为余数必须比除数小，所以除数必须比 4 大，但其中要求最小的被除数

9、，因而除数应填_，商也是_。由算式_，所以被除数最小是_。练习 5：下面算式中，除数和商相等，被除数最小是几？(1)6(2)8(3)3(4)9(5)7 第 3 讲 配对求和 一、知识要点 被人称为“数学王子”的高斯在年仅 8 岁时，就以一种非常巧妙的方法又快又好地算学习好资料_ _ 出了 1+2+3+4+99+100 的结果。小高斯是用什么办法算得这么快呢？原来，他用了一种简便的方法：先配对再求和。数列的第一个数（第一项）叫首项，最后一个数（最后一项）叫末项，如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是一个不变的数，这样的数列叫做等差数列，这个不变的数则称为这个数列的公差。计算等差数列的和，可

10、以用以下关系式：等差数列的和（首项末项）项数2 末项首项公差（项数1）项数（末项首项）公差1 二、精讲精练【例题 1】你有好办法算一算吗？1+2+3+4+5+6+7+8+9+10（）练习 1：速算。(1)1+2+3+4+5+20 (2)1+2+3+4+99+100 (3)21+22+23+24+100 【例题 2】计算。(1)21+23+25+27+29+31 (2)312+315+318+321+324 练习 2：计算。(1)48+50+52+54+56+58+60+62 (2)108+128+148+168+188 【例题 3】有一堆木材叠堆在一起，一共是 10 层，第 1 层有 16 根

11、，第 2 层有 17 根，下面每层比上层多一根，这堆木材共有多少根？练习 3：(1)体育馆的东区共有30排座位，呈梯形，第1排有10个座位，第2排有11个座位，这个体育馆东区共有多少个座位？学习好资料_ _ (2)有一串数，第 1 个数是 10，以后每个数比前一个数大 4,最后一个数是 90，这串数连加的和是多少？(3)有一个钟，一点钟敲 1 下，两点钟敲 2 下，十二点钟敲 12 下，分钟指向 6 敲 1下，这个钟一昼夜敲多少下？【例题 4】计算 992+993+994+995+996+997+998+999。练习 4：计算。(1)95+96+97+98+99 (2)2006+2007+20

12、08+2009 (3)9997+9998+9999 (4)100-1-3-5-7-9-11-13-15-17-19 【例题5】计算1000-11-89-12-88-13-87-14-86-15-85-16-84-17-83-18-82-19-81 练习 5：计算。(1)1000-1-9-2-8-3-7-4-6-5-5-6-4-7-3-8-2-9-1 (2)1000-81-11-82-12-83-13-84-14-85-15-86-16-87-17-88-18-89-19 (3)2001-1+2-3+4-5+6-7+8-9+10-11+12-13+14-15+16 第 4 讲 加减巧算 学习好资

13、料_ _ 一、知识要点 在进行加减运算时，为了又快又好，除了要熟练地掌握计算法则外，还需要掌握一些巧算的方法。加减法的巧算主要是运用“凑整”的方法，把接近整十、整百、整千的数看做所接近的数进行简算。进行加减巧算时，凑整之后，对于原数与整十、整百、整千相差的数，要根据“多加要减去，少加要再加，多减要加上，少减要再减”的原则进行处理。另外，可以结合加法交换律、结合律以及减法的性质进行凑整，从而达到简算的目的。二、精讲精练【例题 1】你有好办法迅速算出结果吗？(1)502+799-298-98 (2)9999+999+99+9 练习 1：计算。(1)308+203-399-97 (2)99999+9

14、999+999+99+9 (3)1999+199+19 (4)375+483+525+617 【例题 2】计算。(1)487+321+113+279 (2)736-567+264 (3)877+345-677 (4)528-248-152 练习 2：计算。(1)321+127+73+279 (2)235-125+365 (3)987-733-167 (4)487+(413-89)【例题 3】计算下面各题。学习好资料_ _(1)962-(284+262)(2)432-(154-168)练习 3：计算。(1)421+(279-125)(2)812+(168-112)(3)823-(175+323)

15、(4)538-(283-162)【例题 4】2000-111-89-112-88-113-87-114-86-115-85-116-84 练习 4：计算。(1)800-99-1-98-2-97-3-96-4-95-5 (2)1000-10-20-30-40-50-60-70-80-90 【例题 5】计算:98+97-96-95+94+93-92-91+90+89-88-87-4-3+2+1 练习 5：计算。(1)2009+1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+13+14+2006 (2)1+2-3+4+5-6+7+8-9+97+98-99 第 5 讲 图形个数 一、知识要点 同

16、学们，你想学会数图形的方法吗？要想不重复也不遗漏地数出线段、角、三角形、长方形那就必须要有次序、有条理地数，从中发现规律，以便得到正确的结果。要正确数出图形的个数，关键是要从基本图形入手。首先要弄清图形中包含的基本图学习好资料_ _ 形是什么，有多少个，然后再数出由基本图形组成的新的图形，并求出它们的和。二、精讲精练【例题 1】数出下图中有多少条线段？【思路导航】方法一：我们可以采用以线段左端点分类数的方法。以 A 点为左端点的线段有：AB、AC、AD 3 条；以 B 点为左端点的线段有：BC、BD 2 条；以 C 点为左端点的线段有：CD 1 条。所以，图中共有线段 3+2+1=6（条）。方

17、法二：把图中线段 AB、BC、CD 看做基本线段来数，那么，由 1 条基本线段构成的线段有：AB、BC、CD 3 条；由 2 条基本线段构成的线段有:AC、BD 2 条；由 3 条基本线段构成的线段有：AD 1 条。所以，图中一共有 3+2+1=6（条）线段。练习 1：（1）数出下图中有多少条线段？（2）数出下图中有几个长方形？【例题 2】数出图中有几个角？【思路导航】数角的个数可以采用与数线段相同的方法来数。方法一：以 OA 为一边的角有：AOB、AOC、AOD 3 个；以 OB 为一边的角还有：BOC、BOD 2 个；以 OC 为一边的角还有：COD 1 个。所以，图中共有角 3+2+1=

18、6（个）。方法二：把图中AOB、BOC、COD 看做基本角来数，那么，由 1 个基本角构成的角有：AOB、BOC、COD 3 个；由 2 个基本角构成的角有:AOC、BOD 2 个；由 3 个基本角构成的角有：AOD 1 个。所以，图中一共有 3+2+1=6（个）角。练习 2：数出图中有几个角？（1）（2）【例题 3】数出右图中共有多少个三角形？【思路导航】方法一：我们可以采用按边分类数的方法。以 PA 为边的三角形有：PAB、PAC、PAD、3 个；以 PB 为边的三角形还有：PBC、PBD 2 个；以 PC 为边的三角形还有：PCD 1 个。所以，图中共有三角形 3+2+1=6（个）。方法

19、二：把图中三角形 PAB、PBC、PCD 看做基本三角形来数，那么，由1 个基本三角形构成的三角形有：EABCDDABCODCBAOCBAEDOCBAPDCBA学习好资料_ _ PAB、PBC、PCD 3 个；由 2 个基本三角形构成的三角形有:PAC、PBD 2 个；由 3个基本三角形构成的三角形有：PAD 1 个。所以，图中一共有 3+2+1=6（个）三角形。方法三：我们发现，要数出图中三角形的个数，只需数出线段 AD 中包含几条线段就可以了，即 3+2+1=6（个）。所以图中共有 6 个三角形。练习 3：数出图中共有多少个三角形？（1）（2）【例题 4】数出下图中有多少个长方形？【思路导

20、航】数图中有多少个长方形和数三角形的方法一样，长方形是由长、宽两对线段围成，线段 CD 上有 3+2+1=6（条）线段，其中每一条与 AC 中一条线段对应，分别作为长方形的长和宽，这里共有 61=6（个）长方形，而 AC 上共有 2+1=3（条）线段也就有 63=18（个）长方形。它的计算公式为：长方形的总数=长边线段的总数宽边线段的总数（3+2+1）（2+1）=18（个）答：图中共有 18 个长方形。练习 4：（1）数出下图中有多少个长方形？（2）数出下图中有多少个正方形？【例题 5】有 5 个同学，每两个人握手一次，一共要握手多少次？【思路导航】这道题可以用数线段的方法来解答。根据题意，画

21、出线段图，每一个端点代表一个同学。从图上可以看出，第 1 个同学要与其余 4 个同学握手共握手 4 次；第 2 个同学还要与其余 3 个同学握手共握手 3 次，第 3 个同学要与其余 2 个同学握手共握手 2 次；第 4 个同学还要与最后 1 个同学握手共握手 1 次。所以，一共要握手 4+3+2+1=10（次）练习 5：（1）银海学校三年级有 9 个班，每两个班要比赛拔河一次，这样一共要拔河几次？（2）有 1，2，3，4，5，6，7，8 等 8 个数字，能组成多少个不同的两位数？第 6 讲 植树问题 一、知识要点 爸爸给晶晶出了一道题：“小朋友们在路的一边植树，先植一棵树，以后每隔 3 米植

22、一FEDCBAKGIHGFEDCBADCBADCBA54321学习好资料_ _ 棵，已经植了 9 棵，问第一棵和第九棵树相距多少米？”晶晶一看，随口答题：“27 米。”同学们，晶晶答对了吗？这一类应用题我们通常称为“植树问题”。解答这类问题的关键是要弄清总距离、间隔长和棵数三者之间的关系。解答植树问题先要考虑植树的方式，一般在不封闭的线路上植树，棵数总距离间隔长1；在封闭的线路上植树，棵数总距离间隔长。另外，生活中还有一些问题，可以用植树问题的方法来解答。比如锯木头、爬楼梯问题等等，这时解题的关键是要将题目中的条件和问题与植树问题中的“总距离”、“间隔长”、“棵数”对应起来。二、精讲精练【例题

23、 1】小朋友们在路的一边植树，先植一棵树，以后每隔 3 米植一棵，已经植了 9棵，问第一棵和第九棵树相距多少米？【思路导航】要得出正确的结果，我们可以画出如下的示意图：根据“已经植了 9 棵”，从图中可以看出，第一棵树和第九棵树之间的间隔是 9-1=8（个），每个间隔是 3 米，所以第一棵和第九棵相距 38=24（米），具体列式如下：3（9-1）=38=24（米）答：第一棵和第九棵树相距 24 米。练习 1：（1）在路的一侧插彩旗，每隔 5 米插一面，从起点到终点共插了 20 面，这条道路有多长？（2）在学校的走廊两边，每隔 4 米放一盆菊花，从起点到终点一共放了 20 盆，这条走廊长多少米？

24、【例题 2】在一条长 42 米的大路两侧栽树，从起点到终点一共栽了14 棵，已知相邻两棵树之间的距离都相等，问相邻两棵树之间的距离是多少米？【思路导航】根据“在路的两侧共栽了 14 棵树”这个条件，我们可以先求出每一侧栽了 142=7（棵）树，那么从第 1 棵树到第 7 棵树之间的间隔是 7-1=6（个）。42 米长的大路平均分成 6 段，每段是 426=7（米）。列式如下：42（142-1）=42（7-1）=426=7（米）答：相邻两棵树之间的距离是 7 米。练习 2：在公园一条长 30 米的路的两侧放椅子，从起点到终点共放了12 把椅子，相邻两把椅子的距离相等，相邻两把椅子之间相距多少米？

25、【例题 3】把一根钢管锯成小段，一共花了 28 分钟，已知每锯开一段需要 4 分钟，这根钢管被锯成了多少段？【思路导航】我们先求出钢管被锯开了 284=7（处），因而被锯开的段数有 7+1=803米6米9米12米 15米 18米 21米 24米9棵8棵7棵6棵5棵4棵3棵2棵1棵学习好资料_ _（段）。列式如下：284+1=7+1=8（段）答：这根钢管被锯成了 8 段。练习 3：一根圆木锯成 2 米长的小段，一共花了 12 分钟。已知每锯下一段要 3 分钟，这根圆木长多少米？【例题 4】甲、乙两人比赛爬楼梯，甲跑到 4 楼时，乙恰好跑到 3 楼，照这样计算，甲跑到 16 楼时，乙跑到了多少楼？

26、【思路导航】解答爬楼梯问题时，不能以楼层进行计算，而要用楼梯段数进行计算，因为第一层楼是不用爬的，“楼层数-1”才是要走的“楼梯段数”，根据题意“甲跑到 4 楼时，乙恰好跑到 3 楼”，实际上是说“甲跑 3 段楼梯与乙跑 2 段楼梯所用的时间相同。”照这样计算，甲跑到 16 楼，也就是跑了 15 段楼梯，应是甲跑 3 段楼梯所用的时间的 5 倍，在同一时间里，乙跑的楼梯段数也是他跑 2 段楼梯的 5 倍，也就是这时乙跑了 10 段楼梯，即他跑到了第 10+1=11（楼）。列式如下：（3-1）（16-1）（4-1）+1=25+1=11（楼）答：甲跑到 16 楼时，乙跑到了 11 楼。练习 4：小

27、明和小红两人爬楼梯比赛，小明跑到第 4 层时，小红跑到第 5 层，照这样计算，当小明跑到第 16 层时，小红跑到了第几层？【例题 5】一个圆形跑道长 300 米，沿跑道周围每隔 6 米插一面红旗，每两面红旗中间插一面黄旗，跑道周围各插了多少面红旗和黄旗？【思路导航】在圆周上插旗，插的面数正好等于分成的段数，所以插了红旗 3006=50（面），由于每两面红旗中间插一面黄旗，所以黄旗的面数就等于红旗的面数，也是 50 面。3006=50（面）答：跑道周围插了 50 面红旗和 50 面黄旗。练习 5：（1）有一个正方形水池，周长是 200 米。如果沿着水池周围每隔 10 米装一盏红灯，再在相邻的两盏

28、红灯中间等距离地装 4 盏黄灯。问水池周围一共装了几盏红灯？几盏黄灯？（2）一条公路长 480 米，在两旁植树，两端都植。每隔 12 米植一棵樟树，两棵樟树中间又等距离地栽了 3 棵柳树。问樟树和柳树各栽了多少棵？第 7 讲 简单推理 一、知识要点 数学课上，老师布置了一道题：=28 =（）=（）要得出正确的结论，就要进行分析、推理。学会了推理，能使你变得更聪明，头脑更学习好资料_ _ 灵活。数学上有许多重大的发现和疑难问题的解决都离不开推理。解答这类推理题时，要求小朋友仔细观察，认真分析等式中几个图形之间的关系，寻找解题的突破口，然后再利用等量代换、消去等方法来进行解答。二、精讲精练【例题

29、1】下式中，和各代表几？=28 =（）=（）【思路导航】根据=28，我们可以得出=28；由=得到 28=，4 个等于 28，一个等于 284=7；由=可求出=777=21。练习 1：1=18 =（）=（）2=25 =（）=（）3=36 =（）=（）【例题 2】下式中，和各代表几？=36 =4=（）=（）【思路导航】根据=4 可知为一份，是这样的 4 份，即=4；又根据=36，可以得到 4=36，即=9，进一步得到=3，=4=43=12。练习 2：1和各表示几？=16 =4=（）=（）2想想，填填。=20 =（）=（）3和各代表几？=16=（）=（）【例题 3】下式中，和各代表几？=16 =14

30、=（）=（）【思路导航】16 里面有 2 个，1 个；14 里面有 1 个，2 个，16 减去 14 等于 2，即=2，那么如果把换成了，则 16 需要加上 2，即=162，那么=（162）3=6，=1662=4。练习 3：1=38=22=（）=（）2=52=48=（）=（）3=10=12=12=（）=（）=（）学习好资料_ _【例题 4】下式中，和各代表几？=34=48=（）=（）【思路导航】34 里面有 2 个、3 个，48 里面有 3 个、4 个，用 48 减去 34 得到=14，34 中有 2 个（）及 1 个。所以，=34142=6，=（3463）2=8。练习 4：1=24=36=（

31、）=（）2=54=76=（）=（）3=96=123=（）=（）【例题 5】下式中，、和各代表几？=80=（）=（）=（）【思路导航】因为 2 个等于 3 个，3 个又等于 4 个，所以 2 个等于 4 个，那么 1 个等于 2 个。在=80 中，2 个可以用 1 个替代，就变为=80，而 2 个又可以用 3 个替代，也就是=80，所以=20，=2032=30，=2034=15。练习 5：1=100=（）=（）=（）2=40=（）=（）=（）3=320=（）=（）=（）第 8 讲 算式谜 一、知识要点 一个完整的算式，缺少几个数字，那就成了一道算式谜。解算式谜，就是要将算式中缺少的数字补齐，使它

32、成为一道完整的算式。解算式谜的思考方法是推理加上尝试，首先要仔细观察算式特征，由推理能确定的数先填上；不能确定的，要分几种情况，逐一尝试。分析时要认真分析已知数字与所缺数字学习好资料_ _ 的关系，抓准解题的突破口。二、精讲精练【例题 1】在下面算式的内，填上适当的数字，使算式成立。答案：【思路导航】已知被乘数个位是 8，积的个位是 2，可推出乘数可能是 4 或 9，但积的百位上是 7，因而乘数只能是 4，被乘数百位是 1，那么十位上只能是 9。（算式见右上）练习 1：在里填上适当的数，使算式成立。【例题 2】里填哪些数字，可使这道除法算式成为一道完整的算式？【思路导航】已知除数和商的某些位上

33、的数，求被除数，可以从商的末位上的数与除数相乘的积想起，5 6 30，可知被除数个位为 0，再想商十位上的数与 6 的乘积为一位数，这个数只能是 1，这样确定商的十位为 1，最后被除数十位上的数为3 6 9。练习 2：在里填上适当的数，使算式成立。【例题 3】在下面竖式的里，各填入一个合适的数字，使算式成立。答案：【思路导航】要求里填哪些数，我们可以先想被除数的十位上的数是多少。容易知道，被除数的十位数字比 7 大，只可能是 8 或 9。如果十位数字是 8，那么商的个位只能是 2；如果十位数字是 9，那么商的个位是 3 或 4。所以，这道题有三种填法（见上页）。练习 3：里可以填哪些数字？【例

34、题 4】在下面竖式的里，各填入一个合适的数字，使算式成立。06593 0030560611606503 0033 0030解题思路：560750（2）（1）0487170071749 82 882071739 12 1121 4414827170（2）0428180（1）44244300686 42 7823233 23 2372428200344学习好资料_ _ 答案：【思路导航】通过观察，我们发现，由于余数是 7，则除数必须比 7 大，且被除数个位上应填 7；由于商是 4 时是除尽的，所以被除数十位上应为 2，同时3 4 12,8 4=32，因而除数可能是 3 或 8，可是除数必须比 7

35、大，因而除数只能是 8，因而被除数百位上是3，而商的百位上为 0，商的千位是 8 或 3，所以一共有两种填法（见上）。练习 4：在下面竖式的里，各填入一个合适的数字，使算式成立。【例题 5】在下面中填入适当的数，使算式成立。答案：【思路导航】通过观察，我们发现，商的个位 8 与除数的乘积是 48，由此可求出除数为 6。再根据商的千位与 6 的乘积是二十几，于是可求出商的千位是 4，因而被除数的万位是 2，千位是 4，然后可求出商的百位是 0，十位是 2，被除数的百位是 1，十位是 6，个位是 8。（填法见上）练习 5：在下面中填入适当的数，使算式成立。第 9 讲 乘法速算 一、知识要点 我们已

36、经学会了整数乘法的计算方法，但计算多位数乘法要一位一位地乘，运算起来比较麻烦。其实，多位数与一些特殊的数相乘，也可以用简便的方法来计算。计算乘法时，如果一个因数是 25，另一个因数考虑可拆成 4几，这样可“先拆数再扩整”。两位数、三位数及更高位数乘以 11，可采用“两头一拉，中间相加”的办法，但要注意相邻两位相加作积的中间数时，哪一位上满十要向前一位进一。比如两位数乘以 11，我们有“两位数与 11 相乘，首尾不变中间变，左右相加放中间，满十进一头就变。”（2）52962504（1）4 8802212044 81 646861424 88022153 54152（2）（1）2 110936学习

37、好资料_ _ 二、精讲精练【例题 1】试着计算下列各题，你发现了什么规律？（1）2611 （2）5711 （3）25311 （4）46711 【思路导航】通过计算、观察可以发现，一个数与 11 相乘，所得的结果就是将这个数的首位和末位拉开分别作为积的最高位和最低位，再依次将这个数相邻两位由个位加起，和写在十位、百位，哪一位上满十就向前一位进一。（1）2611=286 （2）5711=627 （3）25311=2783 （4）24711=2717 练习 1：很快算出下面各题的结果。（1）1211 （2）3411 （3）2511 （4）1144 （5）4811 （6）6511 （7）1175 （8

38、）8711（9）12411 （10）30511 （11）43911 （12）87211【例题 2】下面的乘法计算有规律吗？（1）2524 （2）2125 （3）25427 （4）199825【思路导航】因为 254=100，因此，一个数与 25 相乘，我们就看这个数里有几个 4，有几个 4 就有几个 100，余 1 就加 25，余 2 就加 50，余 3 就加 75。（1）2524=1006=600 （2）2125=1005+25=525 （3）25427=100106+75=10600+75=10675（4）199825=100499+50=49900+50=49950 练习 2：速算。（1

39、）1225 （2）3425 （3）25121 （4）2546 （5）14825 （6）64325 （7）257252 （8）567825【例题 3】很快算出下面各题的结果。（1）2415 （2）24815 （3）567815 【思路导航】因为 15=10+5，那么 2415 就可以写成 24（10+5），也就是用 24加上它的一半再乘以 10，24+12=36，再用 3610=360。一个因数乘以 15，也就是用这个数加上它的一半再乘以 10。具体过程如下：（1）2415 （2）24815 （3）567815 =（24+12）10 =（248+124）10 =（5678+2839）10 =36

40、10=360 =37210=3720 =851710=85170 练习 3：很快算出下面各题的结果。（1）3415 （2）43615 （3）847215【例题 4】很快算出下面各题的结果。（1）459 （2）3299 （3）78999【思路导航】（1）我们可以先用 4510=450，这样就多加了一个 45，因此我们还要从 450 中减去 1 个 45，即 450-45=405。学习好资料_ _（2）我们可以先用 32100=3200，这样就多加了一个 32，因此我们还要从 3200中减去 1 个 32，即 3200-32=3168。（3）我们可以先用 781000=78000，这样就多加了一个

41、 78，因此我们还要从 78000中减去 1 个 78，即 78000-78=77922。从上面几题可以看出，一个数与 9 相乘，就用这个数乘以 10，再减去这个数；一个数与 99 相乘，就用这个数乘以 100，再减去这个数；一个数与 999 相乘，就用这个数乘以 1000，再减去这个数。（1）459 （2）3299 （3）78999 =4510-45 =32100-32 =781000-78 =450-45=405 =3200-32=3168 =78000-78=77922 练习 4：计算。（1）329 （2）4619 （3）12349（4）4599 （5）8599 （6）72899（7）2

42、4999 （8）3999 （9）56999【例题 5】下面的乘法计算有规律吗？（1）1515 （2）2525 （3）3535（4）4545 （5）6565 （6）9595【思路导航】通过计算我们发现，个位是 5 的两个相同的两位数相乘，积的末尾两位都是 25，25 前面的数是这个两位数首位数与首位数加 1 的积，例如：我们还可以发现，这种方法还适用于个位是 5 的两个相同的多位数相乘的计算。练习 5：速算。（1）5555 （2）7575 （3）8585（4）105105 （5）125125 （6）995995 第 10 讲 添运算符号 一、知识要点 根据题目给定的条件和要求，添运算符号和括号，

43、使等式成立，这是一种很有趣的游戏。这种游戏需要动脑筋找规律，讲究方法，一旦掌握方法，就有取得成功的把握。添运算符号问题，通常采用尝试探索法。主要尝试方法有两种：1如果题目中的数字比较简单，可以从等式的结果入手，推想哪些算式能得到这个结果，然后拼凑出所求的1(1+1)(1)15 15=2252(2+1)(2)25 25=625(3)35 35=12253(3+1)4(4+1)(4)45 45=20256(6+1)(5)65 65=4225(6)95 95=90259(9+1)学习好资料_ _ 式子；2如果题目中的数字多，结果也较大，可以考虑先用几个数字凑出比较接近于等式结果的数，然后再进行调整，

44、使等式成立。通常情况下，要根据题目的特点，选择方法，有时将以上两种方法组合起来使用，更有助于问题的解决。二、精讲精练【例题 1】在下面各题中添上、（），使等式成立。1 2 3 4 5=10 1 2 3 4 5=10 1 2 3 4 5=10 1 2 3 4 5=10【思路导航】对于这种问题，我们也可以用倒推法来分析。从结果 10 想起，最后一个数是 5，可以从下面几种情况中想：5=10，5=10，5=10，5=10。（1）从5=10 考虑，=5，前 4 个数必须组成得数是 5 的算式有：（12）345=10 （12）345=10（2）从5=10 考虑，=15，前 4 个数必须组成得数是 15

45、的算式有：12345=10（3）从5=10 考虑，=2，前 4 个数必须组成得数是 2 的算式有：（1234）5=10 （1234）5=10（4）从5=10 考虑，=50，前面 4 个数必须组成得数是 50 的算式，而前面 4 个数无法组成得数是 50 的算式。练习 1：1你能在下面的各数中添上运算符号，使算式成立吗？（1）4 1 2 5=10 （2）4 1 2 5=10 2在下面各数中添上适当的运算符号，使等式成立。（1）3 4 5 6 8=8 （2）3 4 5 6 8=8 3巧添运算符号，使等式成立。学习好资料_ _（1）3 3 3 3=1（2）3 3 3 3=2（3）3 3 3 3=3【

46、例题 2】拿出都是 8 的四张牌，添上、或（），使等式成立。你能试一试吗？8 8 8 8=0 8 8 8 8=18 8 8 8=2 8 8 8 8=3【思路导航】这道题除了可以用倒推法来分析，还可以这样想：（1）等于 0 的思考方法：假设最后一步运算是减法，那么这四个数可以分成两组，这两组的和、差、积、商应该相等，有：88（88）=0 8888=088（88）=0 8888=0（2）等于 1 的思考方法：假设最后一步是除法，那么四个数分成两组，这两组的和、积、商分别相等，相同的数相除也可得到 1，有：（88）（88）=1 88（88）=188（88）=1 8888=18888=1 8（888）

47、=1（3）等于 2 的思考方法：假设最后一步是加法，那么两组数各为 1，有：8888=2（4）等于 3 的思考方法：假设最后一步是除法，那么前三个数凑为 3 个 8，有：（888）8=3 练习 2：1.在各数中添上、或（），使算式相等。4 4 4 4=0 4 4 4 4=14 4 4 4=2 4 4 4 4=34 4 4 4=4 4 4 4 4=5 2.巧添各种运算符号和括号，使等式成立。5 5 5 5 5=0 5 5 5 5 5=1 5 5 5 5 5=2 5 5 5 5 5=3 3.用 8 个 8 组成 5 个数，再添上适当的运算符号，使它们的和是1000。学习好资料_ _ 8 8 8 8

48、 8 8 8 8=1000【例题 3】在 4 个 4 之间添上、或括号，使组成的得数是 8。4 4 4 4=8【思路导航】这类问题，我们可以用倒推方法来分析。这道题最后得数是 8，而最后一个数是 4，我们可以想4=8，4=8，4=8，4=8，然后再进行解答。（1）从4=8 考虑，=4，前面 3 个 4 必须组成得数是 4 的算式有：4444=8 4444=8 4（44）4=8（2）从4=8 考虑，=12，前 3 个 4 必须组成得数是 12 的算式有：4444=8 4444=8（3）从4=8 考虑，=2，前面 3 个 4 必须组成得数是 2 的算式有：（44）44=8（4）从4=8 考虑，=3

49、2，前 3 个 4 必须组成得数是 32 的算式有：（44）44=8 4（44）4=8 练习 3：1你能在下面数中填上、，使结果等于已知数吗？答（1）9 9 9 9=18 （2）5 5 5 5=10 2在下面数中填上、或（），使算式成立。答（1）4 4 4 4 4=8（2）33 3 3 3=9 3在下面几个数中填上、或（），使等式成立。答（1）2 3 5 6=6 （2）2 3 5 6=6【例题 4】在下面 12 个 5 之间添上、，使算式成立。5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5=1000【思路导航】这道题的结果比较大，那我们就要尽量想出一些大的数来，使它与 1000比较接近，如：5

50、55555=1110 这个数比 1000 大了 110，然后我们在剩下的 6 个 5 中凑出 110 减掉就可以了。555555555555=1000 学习好资料_ _ 练习 4：1.用 12 个 3 组成 8 个数，它们的结果等于 2000。3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3=2000 2.在 9 个 2 之间添上运算符号，使结果等于 1000。2 2 2 2 2 2 2 2 2=1000 3.用 7 个 6 组成 4 个数，使下面的算式成立。6 6 6 6 6 6 6=600【例题 5】在下面式子中适当的地方添上、号，使等式成立。9 8 7 6 5 4 3 2 1=21【思路导