复合材料层合板的热应力分析.pdf

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1、第 4 1卷第 6期 2 0 0 5年 1 2月 兰州大学学报(自然科 学版)J o u r n a l o f L a n z h o u U n i v e r s i t y(N a t u r al S c ie n c e s)Vl0 1 41 No 6 De c 2 0 0 5 文章编号：0 4 5 5 2 0 5 9(2 0 0 5)0 6 0 0 9 4-0 6 复合材料层合板 的热应力分析 冯跃 中，何 录武(华东理工大学 机械与动力工程学院 上海 2 0 0 2 3 7)摘要：基于R e i s s n e r Mi n d l i n 型全局位移场模型和有限元预测 一修正

2、 分析过程，数值计算和分析了复 合材料层合板受热载荷作 用下 的横 向剪应力 计算结果 与三维弹性解 比较表 明横 向剪应力的计 算精 度是满意的 关键词：复合材料层合板；有限元；预测 一修 正法；横向剪应力；三维弹性解 中图分类号：03 4 3；T B3 3 0 1 文献标识码：A 对 于复合 材料层合 板壳结构，考虑到 剪切变 形效应(特别是在中等厚度 的情况)，在理论分析和 数值计算 中通常采用剪切变形理论 有关层合板壳结构的剪切 变形理论模 型大致 可分为两类：一类为全局理论模型【1 即位移场 形 式与单层板壳结构 的情况类似，仅在 内力(或应 力)的计算时考虑层 的材料参数；另一类为

3、片段光 滑理论模 型【2 4】，即在 每一层 上建立位移场，根据 层之 间 的位 移 和应力 的连续 条件 获得 统一 的表 示形式，在 内力(或应力)的计算时仍要考虑层的材 料参数全局 理论模型 的特点是 未知变量个数不 随层数 的变化而变化，但基于本构关 系而 计算 出 的横 向剪应 力在 层之 间是不 连续 且也 是相 当不 准确 的利用 层合板壳上下表 面剪应力为零 的条 件 可 以缩减 高 阶全局 理论模 型 中未知 变 量 的个 数【1 但所获得位移场形式在有限元分析中将遇 到 单元的要 求对于片段 光滑理论模 型，通过 一些附加假设也可实现未知变量的个数不随层数 的变化而变化【2

4、，4 l，但所获得位移场形式较复杂且 在有限元分析中同样将遇到C 单元的要求 目前 已有 的研究工作表 明：1)片段光 滑理论 模 型尽 管满足(或部分满 足)了层之间横 向剪应力 的连续条件，但 基于本构关系而获得 的横 向剪应 力仍有较大误差；2)相对一 阶剪切变形理论模型，高阶剪切变形理论模型在预测结构的全局响应f 如 挠度、振动频率、屈 曲载荷 等)方面有着明显 的改 善(特别是对 中等厚度 的层合板壳结构)；3)无论是 采用全局理论模 型还是片段光滑理论模 型，横 向 剪应力和法 向应力的计算均需要其他辅助方法来 收 稿 日期：2 0 0 5-0 6-2 8 作者简介：冯跃(1 9

5、7 9-)，男，硕士研究生 解 决 从 三维应力平衡方程 出发来解决是 比较理想 的途径【5 9 l，有关该方 面 目前研究情况的综 述和展 望见文献 1 0 1 对于大多数 实际 问题，由于层合板 壳结构呈 层 性 和各 向异性 的特点 以及 载荷形式 的复杂性，基 于三维线 弹性理论 或剪切变形理论 模型(二维 模 型)的解析解 一般是难 以获得 的，目前通 常采用 有 限元方法进行数值 计算 分析对于复合材料层 合板受热载荷作用下的应力分析，文献 1 1,-1 5】分 别采用不同的方法给出了层合板 的三维热弹性解 尽 管所研究 的问题在 几何形状、边界条件 以及铺 层上均为较特殊 的情

6、况，但 其结果 为剪 切变形理 论模 型和数值计算方法的正确性和精确性提供了 重要 的判断依据 文献 1，1 6 1 基于一阶和高阶剪切变形理论(全 局理论模型)，用 有限元法 和解 析法对层合板承受 热 和机械 载荷 下的力学行为进行 了研究，在横 向 剪应 力和法 向应 力的计算 方法 上主要采用 拟3 D 有 限元文献 5 基 于一 阶剪切 变形理论，通过对 平衡 方程(合 力形 式)的简化，然后 采用积 分方法 研究了层合板承受热和机械 载荷下的横 向剪应力 文献【1 7 基于高阶剪切变形理论，结合解析解 的结 果解释了文献 5 中部分结果 不合理的原 因 本 文 主要 根据 文献【6

7、，9 1 所 给 出的 有 限元预 测一修 正法，研究 了层合板 受热载荷作 用下 的横 向剪应力 对不 同情 况的数值 计算结果，通过与相 应 问题 的三维线 弹性解 的详细 比较，表 明其 横向 剪应力的计算精度是 比较满 意的 维普资讯 http:/ 第 6期 冯跃中等：复合材料层合板的热应力分析 1 有 限元预测 一修 正分析 过程 1 1位移场模 型及有 限元分析 考虑 由层组成的层合板，总厚度为h，层 合板 的中面为直角坐标系(，Y，)的 Y 平面 假 设 层 合 板 的 全 局 位 移 模 型 为(M 阶Re i s s n e r-Mi n d l i n 型位移场)u(，Y，

8、)v(x，Y，)w(x，Y，)u o(x，Y)+U l(X，y)z+U M(X，y)z M v o(x，Y)+V l(X，y)z+V M(X，y)z M w o(x，Y)(1)根据线弹性 力学理论，相应的几何方程为 E。T z y 0u 00 0 石宅，尝+梨 口 宅，d 0 其 中=。，：=，y：。，y ：=，y：，E =0 对于位移场模 型(1)，层合板的有限元分析步 骤一般可描述为：(I)对模型(1)通过选择合适 的单元和单元形 函数获得 t =Nq,其 中 为单元形 函数矩阵，q为 单元上所有节点参数组成的向量；()由方程(2)和应力应变关系求得单元上的 应力和应变 E。E 宅，=Be

9、 q，口=O z O y ：=g 【：=口，r=：=c 口，其中矩阵(，)与坐标 有关，刚度矩阵(，)与每层的材料参数有关；(m)由(3)式计算单元的应变能。=-4 (+)g 其中=|C B d z)d x d y，j r；。(q 出)d 为单元的面积，(，)分别为层合板的面内 和横 向剪切单元刚度矩 阵：(I V)经过组装和整理获得总体刚度矩 阵、节 点矢量 和节点 载荷矢量，最后通 过边界 条件处 理 获得求解节点矢量的线性代数方程组 通过有 限元分析步骤(I)一()计算获得 的全 局响应(如挠度、频率 和屈曲载荷等)称为预测值 1 2 横 向剪应力的计算方法 由(I)一()所获得的面 内

10、应力 相对于所 获 得 的横 向剪应力r是 比较准确 的，特别 是(1)式 为 高阶形式(M 3)的情况而由(I)一()所获得 的横 向剪应力 r不仅其 误差 较大，而且 也不满 足 层间的连续性条件 以及层合板上下表 面上为零的 条件 为了提高横向剪应力r的精度，文献 5】借助 简化后的三维应力平衡方程，通过直接 积分法得 到横 向剪应力 r的表示 式然 而对 一般铺设情 况 下的层合板壳结构，直接 积分法并不能保证 满足 上下表 面上剪应力为零 的条件为了保证横 向剪 应力同时满足层间连续 和表 面上为零 的条件，文 献6，9 对横向剪应力在厚度方向(即 方向)分层 进行L a g r a

11、 n g e 插值(每层 插值 节点 的个 数取 决 于 位移场的阶数)首先利用层间的连续性 以及表面 上为零 的条件可对所有节点进行压缩 合并，从而 得 到横 向剪应力在 厚度方 向的一般表示 形式(未 知量为节点值)然后借助三维应力平衡方程 和相 应节 点上面 内应力 的值，通过最小 二乘法求解 出节 点上横 向剪应力的值，进而获得沿厚度 方向 的横向剪应力(为 了区别于(3)式，记 为亍)1 3剪切修正 系数的计算 为 了改善和提高全 局响应 的精 度，在一 阶剪 切变形理论 中通常采用的方法是引人剪切修正系 数k，文献 1 8】研究了剪切修正系数在高阶剪切变 形理 论 中的作 用根 据

12、剪切修 正 系数 的概 念，剪 切修正 系数 是一个 事后才能确定 的值，而且 是位 置 的函数并依赖所研 究的具体 问题(如结 构形状、边界条件和载荷形式 等因素)目前通常采用的方 法是在整个 问题中引人一个统一 的剪切修正系数 值(例如k=5 6)，文献 1】的研究表明采用不同的 剪切修 正系数所求得 的最大挠度值之间有较大差 异，文献【7】利用迭代法计算了具体问题较精确的 剪切修正 系数值，但 仍然是 引人 一个统 一的剪切 修正系数值 在单元上计算剪切修正系数，一方面 剪切修正 系数值更加准 确，另一方面也不会带来 选择上 的盲 目性根据上面所 给 出的横 向剪应力 计算方法 和剪切修

13、正 系数 的定义，每个单元上 的 剪切修正系数 和单元修正刚度矩阵分别 为 r f h 2 一 f h 2 一 I k。=(，一v。7 d z)(亍 亍 d )，J t：-h l 2 -，2 1 J 筹 万 +钆 -L=1 J：-L 维普资讯 http:/ 兰州大学学报(自然科学版)第 4 1卷 在有限元分析 中，经过(4)式 以及重新组装和 整理 总体 刚度矩 阵而计算 获得 的全局 响应(如挠 度、频率和屈曲载荷等)称为修正值(C o r r e c t o r)，上 述 整个有限元分析过程 简称 为预测一修正法【0，为 了获 得更 为 精 确 的横 向剪 应力予以及剪 切 修 正 系数尼

14、 e，在横 向剪应 力 的计 算方 法 中，面 内应 力 不是 直接采 用(3)式来 获得，而是在单 元上对 面 内应力 进行 新 的插值，利用高斯积 分点上 的 面 内应力 盯值来 获得插值公 式例如，若 对(1)式 采 用 四边形 9 节 点L a g r a n g e 等 参元，则 对 面 内应 力 采 用 四边 形 4 节 点L a g r a n g e 等 参 元，面 内应 力 的插值 公式可 由单元 上4 个高斯积分 点上 的 面内应力 值(由(3)式计算)来确定 2算例和计 算结果 考虑矩形层合板矩形，如图 1 所示 图 1复合材料层合板 的几何和坐标示意图 Fi g 1 G

15、e o me t r y a n d c o o r d i n a t e s o f l a m i na t e d c o mp o s i t e pl a t e 其边界条件为 l=0，l l，0 Y 1 2，cr x=u=W=0；I Y=0，1 2，0 l l，C ry=U=W=0 层 合板为正交铺设，材料 的主轴 与坐 标轴一 致，每一层的材料参数为【1 3】l E L E T=2 5，G L T E T=0 5，G T T E T=0 2，I P L T U T T=0 2 5，T Q L=1 1 2 5，其 中“L”和“T”分别 指沿着 纤维 的方 向和 垂直纤 维的方 向

16、 由于 问题 的对称性，在 有限元分 析 中仅考 虑 四分之一部分 计算 中采用 四边形 9 节点L a g r a n g e 等参元，区域 的网格划分 为8 x 8 有限元数值计算 实例情况(f 1=f 2=f)如下：1)层合板的层数：3 层(O O 9 o。o。)、4 层(O O 9 o。o。9 o。)、5 层(O O 9 o。o。9 o。o。)、6 层(O O 9 o。o。9 0。o。9 o。)、7 层(O O 9 o。o。9 o。o。9 o。o。)、8 层(O O 9 o。o。9 o。o。9 o。o。9 o。)和9 层(O O 9 o。o。9 0。o。9 o。o。9 o。o。)，纤维

17、同方向的分层厚度相等 2】层合板承受 的温度场形式 为 t=T o a o+a l(2 z h)+a 2(2 z h)】s i n(I r x )s i n(t r y 1)对于位移场模 型(1)，本 文有限元 的数值计算 主要 讨 论 了一 阶(M=I)和三 阶(M=3)两 种剪 切 变 形理论模 型考虑到篇幅，仅 给出横向剪应力的 部 分计算结果，见 图2,1 3 在 图2,1 3中有关量均 为 量 纲一 的量 (：，：)=(亍 z：，：)(E T O L L T o)，S=z h (7)图2,1 3 中量 纲一的横 向剪应力：的位置在(，Y，z)=(1 3 2，1 5 3 2，z)，量纲

18、一的横向剪应力：的位置在(，Y，z)=(1 5 1 3 2，1 3 2，z)，即分别在 两个 单元的 中心，非常接近于层合板两个边 的中 点在图2 7 中，温度场形式为(Q 0，Q 1，Q 2)=(0，1，0)，S=1 0(中等厚度层合板)考虑到上面两个 关 键点上：和：的关系(对于偶数层，：和：在 图形上关于z 轴镜面反射；对于奇数层，r x：=一 ：)，仅 给 出：沿厚 度方 向的变 化 图图8,1 0 以及 图 1 1,1 3 分别为(Q 0，O r 1，O r2，S)=(1，1，0，i 0)以及(O LO，Q 1，Q 2，S)=(1，1 2，1 4，1 0)两类情况横向剪 应力r x：

19、和 ：沿厚度方 向的变化图(仅给出3，5，7 层的情况)对于有 限元计算结果，通过与三维弹 性解的比较，有以下结论：1)层合板 的中心挠度预 测 值(P r e d i c t o r)和修 正值(Co r r e c t o r)均有 较高 的 精度，这一点有别于机械载荷作用下 的情况【引 对 于 S=1 0 的情况，中心挠度 的相对误差小于 5 7 1 三维弹性角j o 一阶理论 三阶理论 f；0 4 0 2 0 I!o 4 o 6 图 2 横向剪应力 7 x：(4 层)F i g 2 N o r m a l i z e d t r ans v e r s e s h e a r s t

20、r e s s 7 x 2(4-p l y)三维弹性解 0 论 一 一 一一 一一 图 3 横向剪应力：(5 层)F i g 3 N o r ma l i z e d t r ans v e r s e s h e a r s t r e s s 7 x 2(5 一 p l y)维普资讯 http:/ 第 6期 冯跃 中等：复合材料层合板的热应力分析 9 7 图 5横 向剪应力r x：(7 层)F i g 5 N o r ma l i z e d t r a n s v e r s e s h e ar s t r e s s 7 x：(7-p l y)当层合板越薄，即S越 大时，有 限元计算

21、值就越逼 近三维弹性解的值；2)从图8 1 3 可以看出，随着 层数 的增加，两个关键 点上 和 在变化 图上 0 三维弹性解、圈 o一阶理论 三阶理论 6 0 9 0 、L f IO O o 8 o O 三维弹。一阶理 三阶理 一 z o 8 0 4 o 0 4 I、图 9横 向剪应力：和：(5 层，S=I O，C o=l，0 I：-I，Q 2=0)F i g 9 N o r m a l i z e d t r a n s v e r s e s h e ar s t r e s s e s a n d ：(5-p l y，S=I O，C o=l，C l=l，Q 2=0)维普资讯 http:

22、/ 9 8 兰州大学学报(自然科 学版)第 4 1卷 相 当满意 的，这 也表明横 向剪应力 的计算 方法是 有效的 鞋弹 性 解”介理 论 介理 论 口 毫 _ r，l O 2 q r 2 O 4 O 6 0 8 、|a 矗 =I 一=o I 三 I 一 一 阶 理 论 三 阶 理 论 f】5 O 3 O 0 。一。4。O 2O 5 图 1 2 横 向剪应力 和(5 层，S=1 0，O(o=I，a l=l 2，a 2=1 4)F i g 1 2 N o r m al i z ed t r a n s v e r s e s h e ar s t r e s s e s and (5-p l

23、y，S=1 0，O(o=I，a l=l 2，a u=l 4)弹性解”理论 理论。o 。0 2 0 4 0 6 0 8 q 蕾 图 1 3 横 向剪应力 和(7 层，S=1 0，O(o=I，Q 1=1 2，a u=l 4)F i g 1 3 N o r mal i z ed t r a n s v e r s e s h e ar s t r e s s e s r x a n d (7-p l y，S=1 0，O(o=I，a l=l 2，a 2=1 4)3 结 论 本文基于Re i s s n e r Mi n d l i n 型全局位移场模型 和有限元预测 一修正分析过 程，数值计 算和分析

24、 性解 论 论 了复合材料层 合板在3 种热 载荷形式作用下 的横 向剪应力 对所获得有 限元计算结果，通过 与三维 弹性解的比较表 明横 向剪应 力的计算精度是满意 维普资讯 http:/ 第 6期 冯跃 中等：复合材料层合板的热应力分析 的以及计算方法是有效 的 参 考文 献 1 R e d d y J N M e c h a n i c s o f L a m i n a t e d C o m p o s it e P l a t e s：T h e o r y and A n a l y s i s M N e w Y o r k：C R C Pr e s s，1 9 9 7 【2】

25、D i S c iu v a M A n imp r o v e d s h e a r d e fo r m a t io n t h e-o r y f o r mo d e r a t e l y t h i c k mu l t i l a y e r e d an i sot r o p i c s h e l l s a n d p l a t e s J AS ME J A p p l i e d Me c h，1 9 8 7，5 4(3)：5 8 9 5 9 6 3 J in g H S，T z e n g K G R e fi n e d s h e ar d e fo r

26、m a t io n t h e o r y o f l a mi n a t e d s h e l l s J A I A A J，1 9 9 3，3 1(4)：7 6 5 7 7 3 4 I c ar d i U，R u o t o lo R L a m in a t ed s h e ll m o d e l w it h s e c o n d o r d e r e x pa n s i o n o f t h e r e c i p r o c a l s o f La m6 c o e ffic i e n t s Ha，H8 an d i n t e r l a y e r

27、c o n t i n u i t i e s f u l-fi l l me n t J C o m p o s i t e S t r u c t u r e s，2 0 0 2，5 6(3)：2 9 3-3 1 3 5 R o lf s R，N o o r A K，S p a r r H E v a lu a t io n o f t r a n s v e r s e t he r ma l s t r e s s e s i n c o mp o s i t e p l a t e s b a s e d o n fi r s t o r d e r s h e a r d e f

28、o r ma t i o n t h eor y J C o m p u t e r Me t h o d s i n Ap pl i e d Me c ha ni c s an d En g i n e e r i n g，1 9 9 8，1 6 7(3-4)：3 5 5 3 6 8 6 S z e K Y，H e L W，C h e u n g Y K P r e d ic t o r-c o r r e c t o r pr o c e d u r e s for an a l y s i s o f l a mi n a t e d p l a t e s u s i ng s t a

29、 n d a r d Mi n d l i n fi n i t e e l e me n t mo d e l s J C o m p o s-i t e S t r u c t u r e s，2 0 0 0，5 0(2)：1 7 1 1 8 2 7 C h o M，K im J S A p o s t p r o c e s s m e t h o d fo r la m i n a t e d s h e l l s wi t h a d o u bl y c u r v e d n i n e-n o d e d fi n i t e e l e me n t J C o mp o

30、s i t e s P a r t B：E n g i n e e r i n g，2 0 0 0，3 1(1)：6 5 7 4 8 P a r k J W，K im Y H R e-a n a ly s i s p r o c e d u r e f o r l a m i n a t e d p l a t e s u s i n g F S D T fi n i t e e l e me n t m e t h o d J C o m p u t a t i o n al Me c h a n i c s，2 0 0 2，2 9(3)：2 2 6-2 4 2 9 何录武，冯春 复合材料层

31、合壳有限元分析的预 测一修正法【J 力学季刊，2 0 0 4，2 5(3)：3 1 7 3 2 1 i 0 K a n t T，S w a m i n a t h a n K E s t i m a t io n o f t r a n s v e r s e i n t e r l a mi na r s t r e s s e s i n l a mi n a t e d c o mpo s i t e s a s e l e c t i v e r e v i e w an d s u r v e y o f c u r r e n t d e v e l o p me n t s J

32、C o m p osi t e S t r u c t u r e s，2 0 0 0，4 9(1)：6 5 7 5 1 1 T u n g i k a r V B，R a o K M T h r e e d i m e n s io n a l e x a c t s o l u t i o n o f t h e r mal s t r e s s e s i n r e c t a n g u l ar c o mpo s i t e l a mi n a t e J C o m p o s i t e S t r u c t u r e s，1 9 9 4，2 7(4)：4 1 9 4

33、 3 0 1 2 S a v o i a M，R e d d y J N T h r e e-d im e n s io n a l t h e r m a l a n al y s i s o f l a mi n a t e d c o mp o s i t e p l a t e s J I n t J S o l i d s a n d S t r u c t u r e s，1 9 9 5，3 2(5)：5 9 3-6 0 8 1 3 B h as k a r K，V a r a d an T K，A l i J S M T h e r m o e l as t i c sol u

34、t i o n s for o r t h o t r o p i c a n d a n i s o t r o p i c c o mpo s-i t e l a m i n a t e s J C o mp o s i t e s P art B：E n g i n e e r i n g 1 9 9 6，2 7(5)：4 1 5 4 2 0 1 4 许飞，许晓鸣，王元淳 正交各向异性厚层压板的 热弹性响应分析【J】计算力学学报，1 9 9 8，1 5(4)：3 0 6-3 1 5 1 5 范家让 强厚度叠层板壳的精确理论【M】北京：科 学 出版社。1 9 9 8 1 6 K h d e

35、 ir A A，R e d d y J N T h e r m a l s t r e s s e s a n d d e-fl e c t i o n s o f c r o s s-p l y l a mi n a t e d p l a t e s u s i n g r e fi n e d p l a t e t h e o r i e s J J T h e r mal S t r e s s e s，1 9 9 1，1 4(4)：4 1 9 4 3 8 1 7 R o h w e r K，R o l f s R，S p a r r H H ig h e r o r d e r t

36、 h e o r ie s for t h e r mal s t r e s s e s i n l a y e r e d p l a t e s J 1 I n t J S o l i d s a n d S t r u c t u r e s，2 0 0 1，3 8(2 1)：3 6 7 3 3 6 8 7 1 8 H u a n g N N I n fl u e n c e o f s h e a r c o r r e c t io n fact o r s i n t h e h i g h e r o r d e r s h e a d e f o r ma t i o n l

37、 a mi n a t e d s h e l l t h e o r y J I n t J o f S o l i d s a n d S t r u c t u r e s，1 9 9 4，3 1(9 1：1 2 6 3 1 2 7 7 The r m a l s t r e s s a na l ys i s f or l a m i n a t e d c om po s i t e pl a t e s F ENG Y u e z h o n g HE L u wu (S c h o o l o f Me c h a n i c a l a n d P o w e r E n g

38、i n e e r i n g，E ast C h i n a U n i v e r s i t y o f S c i e n c e a n d T e c h n o l o g y，S h ang h a i，2 0 0 2 3 7，C h i n a)A bs t r a c t：Ba s e d o n t he Re i s s n e r M i nd l i n t y pe g l o ba l d i s p l a c e me n t fie l d a nd pr e di c t o r c o r r e c t o r me t h od，t h e t r

39、 a n s v e r s e s h e a r s t r e s s e s a r e i n v e s t i g a t e d f o r l a mi n a t e d c o mp o s i t e p l a t e s s u b j e c t e d t o t h e r ma l l o a d T h e nu me r i c a l r e s ul t s a r e c o m p a r e d wi t h t h o s e o f t h e 3-D s o l u t i o n s o f e l as t i c i t y a n

40、d t h e a c c u r a c y o f t h e t r a n s v e r s e s he a r s t r e s s i s f o und t o b e s a t i s f a c t o r y K e y wor ds：l a mi na t e d c o m p o s i t e pl a t e；fin i t e e l e me n t；p r e d i c t o r c o r r e c t o r me t ho d；t r a n s ve r s e s h e a r s t r e s s；3 一 D s o l u t i o n s o f e l as t i c i t y 维普资讯 http:/