25对数与对数函数.ppt

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1、 2.5 2.5 对数与对数函数对数与对数函数1.对数的概念（1）对数的定义 一般地，如果 ，那么数x叫做以a为底N 的对数，记作 ，其中 叫做对数的底数，叫做真数.（2）几种常见对数要点梳理要点梳理ax=N(a0且a1)x=logaNaN 对数形式 特点 记法 一般对数底数为a(a0且a1)常用对数底数为 自然对数底数为10e logaNlgNlnN2.对数的性质与运算法则 （1）对数的性质 alog N=;logaaN=(a0且a1).（2）对数的重要公式 换底公式：(a,b均大于零且不等于1)；logab=,推广logablogbclogcd=.(3)对数的运算法则 如果a0且a1,M0

2、,N0，nR,那么 loga(MN)=;loga=;logaMn=;logamMn=logaM.NNlogadlogbN=logaM+logaNlogaM-logaNnlogaMa3.对数函数的图象与性质 a10a1图象 （1）定义域：（2）值域：性质 （3）过点 ，即x=时，y=（4）当x1时，当0 x1时，(4)当x1时，当0 x1时，(5)是(0,+)上的 函数(5)是（0,+)上的 函数(0,+)R（1，0）10y0y 0y 0y0增减4.反函数 指数函数y=ax与对数函数 互为反函数，它们的图 象关于直线 对称.1.若x(e-1,1),a=lnx,b=2lnx,c=ln3x,则a,b

3、,c的大小关系为 .解析解析 x1,-1lnx0.令t=lnx,则-1t0.a-b=t-2t=-t 0.ab.c-a=t3-t=t(t2-1)=t(t+1)(t-1),又-1t0,0t+11,-2t-1-1,c-a0,ca.cab.y=logaxy=x 基础自测基础自测bac2.已知3a=5b=A,且 =2，则A的值是 .解析解析 3a=5b=A,a=log3A,b=log5A,=logA3+logA5=logA15=2,A2=15,A=或A=-（舍去）.3.已知log7log3(log2x)=0，那么x-=.解析解析 由条件知log3(log2x)=1,log2x=3,x=8,x-=.4.若

4、f(x)=logax在2，+）上恒有f(x)1,则实数a的取值 范围是 .解析解析 据题意a1,f(x)为增函数，当x2，+）时，f(x)loga2.故要使f(x)1恒成立，只需f(x)min=loga21,1a2.5.如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积 y(m2)与时间t(月）的关系：y=at,有以下叙 述：这个指数函数的底数为2；第5个月时，浮萍面积就会超过30 m2;浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过 1.5个月；浮萍每月增加的面积都相 等；若浮萍蔓延到2 m2、3 m2、6 m2所经过的时间分别为 t1、t2、t3,则t1+t2=t3.其中正确的是 （填序号）.（1，2）解析解析

5、 t=1时，y=2,则2=a1,所以a=2,正确.y=25=3230,故正确.2=2t t1=1;3=2t t2=log23;6=2t t3=log26;t1+t2=1+log23=log26=t3,故正确.123 计算：（1）log2+(2-);（2)2(lg )2+lg lg5+;（3）lg -lg +lg 【思维启迪思维启迪】（1）利用对数定义求值；（2）利用对数 的运算性质.题型一题型一 对数的运算对数的运算 解解 （1）方法一方法一 利用对数定义求值设log2+(2-)=x,则(2+)x=2-=(2+)-1,x=-1.方法二方法二 利用对数的运算性质求解log2+(2-)=log2+

6、=log2+(2+)-1=-1.(2)原式=lg （2lg +lg5）+=lg (lg2+lg5)+|lg -1|=lg +(1-lg )=1.（3）原式=（lg32-lg49）-lg8+lg=(5lg2-2lg7)-lg2+(2lg7+lg5)=lg2-lg7-2lg2+lg7+lg5=lg2+lg5=lg(25)=lg10=.探究拓展探究拓展 （1）在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底和指数与对数互化.（2）熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技

7、巧.245 比较下列各组数的大小.（1）log3 与log5 ;（2）log1.10.7与log1.20.7;（3）已知log blog alog c,比较2b,2a,2c的大小关系.【思维启迪思维启迪】（1）引入中间量比较；（2）利用对数函数图象或利用换底公式；（3）利用对数函数，指数函数的单调性求解.题型二题型二 利用对数函数的性质比较大小利用对数函数的性质比较大小解解 （1）log3log31=0,而log5log51=0,log3log5.（2）方法一方法一00.71,1.11.2,0log0.71.1log0.71.2,即由换底公式可得log1.10.7log1.20.7.方法二方法

8、二 作出y=log1.1x与y=log1.2x的图象.如图所示两图象与x=0.7相交可知log1.10.7log1.20.7.(3)y=logx为减函数，且log blog alog c,bac,而y=2x是增函数，2b2a2c.探究拓展探究拓展比较对数式的大小，或证明等式问题是对数中常见题型，解决此类问题的方法很多，当底数相同时可直接利用对数函数的单调性比较；若底数不同，真数相同，可转化为同底（利用换底公式）或利用对数函数图象，数形结合解得；若不同底，不同真数，则可利用中间量进行比较.（14分）已知函数f(x)=logax(a0,a1)，如果对于任意x3，+）都有|f(x)|1成立，试求a的

9、取值范围.【思维启迪思维启迪】当x3，+）时，必有|f(x)|1成立，可以理解为函数|f(x)|在区间3,+)上的最小值不小于1.解解当a1时，对于任意x3，+），都有f(x)0.所以，|f(x)|=f(x),而f(x)=logax在3，+)上为增函数 对于任意x3，+），有f(x)loga3.4分 因此，要使|f(x)|1对于任意x3，+）都成立.只要loga31=logaa即可，1a3.6分当0a1时，对于x3，+），有f(x)0,题型三题型三 对数函数的图象与性质对数函数的图象与性质|f(x)|=-f(x).8分f（x）=log ax在3，+）上为减函数，-f（x）在3，+）上为增函数.

10、对于任意x3，+）都有|f(x)|=-f(x)-loga3.10分因此，要使|f(x)|1对于任意x3，+）都成立，只要-loga31成立即可，loga3-1=loga ,即 3,a1.12分综上，使|f(x)|1对任意x3，+）都成立的a的取值范围是：(1，314分探究拓展探究拓展 本题属于函数恒成立问题，即在x3，+）时，函数f(x)的绝对值恒大于等于1.恒成立问题一般有两种思路：一是利用图象转化为最值问题；二是利用单调性转化为最值问题.这里函数的底数为字母a,因此需对参数a分类讨论.题型四题型四 对数函数的综合应用对数函数的综合应用 已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于

11、A、B两点，分别过A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图 象交于C、D两点.（1）证明点C、D和原点O在同一直线上；（2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标.【思维启迪思维启迪】（1）证明三点在同一条直线上只需证明 kOC=kOD;(2)解方程组得x1,x2，代入解析式即可求解.（1）证明证明 设点A、B的横坐标分别为x1、x2,由题设知 x11,x21,则点A、B的纵坐标分别为log8x1、log8x2.因为A、B在过点O的直线上，所以 点C、D的坐标分别为(x1,log2x1)、(x2,log2x2),由于log2x1=3log8x1,log2x2=3log8x2,OC的斜率为k1=,

12、OD的斜率为k2 ,由此可知k1=k2,即O、C、D在同一直线上.（2）解解 由于BC平行于x轴，知log2x1=log8x2，即得log2x1=log2x2,x2=,代入x2log8x1=x1log8x2，得 log8x1=3x1log8x1,由于x11,知log8x10,故 =3x1,又因x11,解得x1=,于是点A的坐标为（，log8 ).探究拓展探究拓展 本题是典型的在知识交汇点处的命题，若用传统方法设直线方程，解方程组求交点必然思路受阻，而充分利用函数图象和性质及解析几何的思想方法会使问题迎刃而解.333 方法与技巧方法与技巧1.指数式ab=N与对数式logaN=b的关系以及这两种形

13、式的互化是对数运算法则的关键.2.在运算性质logaMn=nlogaM时，要特别注意条件，在无 M0的条件下应为logaMn=nloga|M|(nN*且n为偶数).3.注意对数恒等式、对数换底公式及等式 loga bn=logab，logab=在解题中的灵活应用.失误与防范失误与防范1.指数函数y=ax与对数函数y=logax（a0，且a1）互为反 函数，要能从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的 联系与区别.m2.在解决问题的思路和方法上，要注意与指数进行比较.3.比较两个幂值的大小是一种常见的题型，也是一类容易做错的题目.解决这类问题时，首先要分清是底数相同还是指数相同.如果底数相同，可

14、利用指数函数的单调性；如果指数相同，可利用图象（如下表）.同一坐标系下的图象关系 底的关系ab 1 图象 y=ax与y=bxy=logax 与 y=logbx当底大于1时，底越大，图象越靠近坐标轴；当底小于1大于0时，底越小，图象越靠近坐标轴，如果底数、指数都不同，则要利用中间变量.底的关系1ab0图象 y=ax与y=bxy=logax与y=logbx1.化简求值.（1）log2 +log212-log242-1;（2）(lg2)2+lg2lg50+lg25;（3）(log32+log92)(log43+log83).解解 (1)原式=log2 +log212-log2 -log22 =log

15、2 =log2 =log22-=-.(2)原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2(3)原式=2.已知0a1，b1,ab1,则loga ，logab,logb 的大小关系是 .解析解析 0a1,b1,logab0,logb =-1,loga 0,又ab1,b 1,logabloga =-1,logablogb loga .3.已知函数f（x）=log2(x2-ax-a)在区间（-,1-上是 单调递减函数.求实数a的取值范围.解解 令g(x)=x2-ax-a,则g(x)=由以上知g(x）的图象关于直线x=对称且此抛物线开口 向上.因为函数f(x)=log2g

16、(x)的底数21,在区间（-,1-上是减函数，所以g(x)=x2-ax-a在区间（-,1-上也是单调减函 数，且g(x)0.解得2-2 a2.故a的取值范围是a|2-2 a2.4.已知函数f(x)=log2 +log2(x-1)+log2(p-x).（1）求f(x)的定义域；（2）求f(x)的值域.由、得x1,由得xp,因为函数的定义域为非空数 集，故p1,f(x)的定义域是(1,p).（2）f(x)=log2(x+1)(p-x)解解当1 p，即p3时，0-当 1，即1p3时，综合可知：当p3时，f(x)的值域是（-,2log2(p+1)-2;当1p3时，函数f(x)的值域是(-,1+log2

17、(p-1).1.若函数y=loga(x+b)(a0,且a1)的图象过两点（-1，0）和（0，1），则a=,b=.2.43.已知点（m,n)在函数f(x)=ax的图象上，则点 一定在函数g(x)=-logax(a0,a1)的图象上(写出一个即可).解析解析f（x）=ax与y=logax互为反函数，又(m,n)在f(x)=ax的图象上，(n,m)在函数y=logax的图象上.又y=logax与g(x)=-logax关于x轴对称，（n,-m)在g(x)=-logax的图象上.22 解析解析(n,-m)4.5.方程log3（x2-10）=1+log3x的解是 .解析解析 log3（x2-10）=log

18、33x.x2-10=3x.x2-3x-10=0.x=-2或x=5.检验知x=5适合.6.7.8.9.（1）g（x）=-loga（1-x）（2）m010.已知函数y=loga(x2-2ax-3)在(-,-2)上是增函数，求a 的取值范围.解解 因为 (x)=x2-2ax-3在(-,a上是减函数，在a,+)上是增函数，要使y=loga(x2-2ax-3)在(-,-2)上是增函数，首先必有0a21,即0a1或-1a0,且有522综上，得-a0或0a1.11.（1）f（x）=-（2）12.已知函数f(x)=loga (a0,且a1，b0).（1）求f(x)的定义域；（2）讨论f(x)的奇偶性；（3）讨论f(x）的单调性.解解 （1）由 0 (x+b)(x-b)0.解得f(x)的定义域为（-,-b）(b,+).（2）f（-x）=loga=loga =loga =-f(x),f（x）为奇函数.（3）令u（x）=，则u(x)=1+.它在（-,-b）和(b,+)上是减函数.当0a1时，f(x)分别在（-,-b)和(b,+)上是增函数；当a1时，f(x)分别在(-,-b)和（b,+)上是减函数.返回