2022-2023学年湖北省襄阳市高三年级期中考试数学试卷4505.pdf

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1、 第 1 页，共 14 页 2022-2023 学年湖北省襄阳市高三年级期中考试 数学试卷 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1.命题“0 x，220 xex”的否定为()A.0 x，22 0 xex B.0 x，22 0 xex C.0 x，22 0 xex D.0 x，22 0 xex 2.已知复数 z在复平面内对应的点为(1,2)，则zz()A.3455i B.3455i C.3455i D.3455i 3.已知集合2|20Ax xx，|0Bx xm，且|2ABx x，则m的取值范围为 A.1,2 B.(1

2、,2 C.2,1 D.2,1)4.随着社会的发展，人与人的交流变得便捷，信息的获取、传输和处理变得频繁，这对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟.已知电磁波在空间中自由传播时能损耗公式为32.420(lglg)LDF，其中 D 为传输距离(单位：)km，F为载波频率(单位：)MHz，L 为传输损耗(单位：).dB若载波频率变为原来的 100倍，传输损耗增加了 60 dB，则传输距离变为原来的()A.100 倍 B.50 倍 C.10倍 D.5 倍 5.已知函数()cosf xx，26()1xg xx，若函数()h x在,2 2 上的大致图象如图所示，则()h x的解析式可能是()

3、第 2 页，共 14 页 A.()()()h xf xg x B.()()()h xf xg x C.()()()f xh xg x D.()()()h xf x g x 6.某正方体的平面展开图如图所示，在这个正方体中，下列结论正确的是 A./AF平面 BCE B.AD 平面 BCE C./AEBC D.BFCE 7.已知数列na满足13a ，11nnna aa，则105a()A.14 B.43 C.1 D.53 8.某大学为了制作“迎新杯”篮球赛创意冠军奖杯，在全校学生中开展“迎新杯”篮球赛奖杯的创意设计征集活动.同学甲设计的创意奖杯如图 1所示，从其轴截面中抽象出来的平面图形如图 2所示

4、，若圆 O的半径为 10cm，ABBCCD，/BCAD，120.ABCBCD 甲在奖杯的设计与制作的过程中发现，当 OB越长时，该奖杯越美观，则当该奖杯最美观时，AD()A.10cm B.102cm C.10 3cm D.5 6cm 二、多选题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。）9.已知函数321()42f xxxx，则 A.1x 是()f x的极小值点 B.()f x有两个极值点 C.()f x的极小值为 1 D.()f x在0,2上的最大值为 2 第 3 页，共 14 页

5、 10.将函数()sin(2)3f xx的图象向左平移4个单位长度，得到函数()g x的图象，则下列结论正确的有()A.直线56x 是()g x图象的一条对称轴 B.()g x在(,)2 6 上单调递增 C.若()g x在(0,)上恰有 4个零点，则2329(,1212 D.()g x在,4 2 上的最大值为12 11.已知正三棱锥SABC的底面边长为 6，体积为6 3，A，B，C三点均在以 S 为球心的球 S的球面上，P 是该球面上任意一点，下列结论正确的有()A.三棱锥PABC体积的最大值为18 3 B.三棱锥PABC体积的最大值为27 3 C.若PA 平面 ABC，则三棱锥PABC的表面

6、积为249 33 43 D.若PA 平面 ABC，则异面直线 AB 与 PC 所成角的余弦值为3 1326 12.已知等差数列na的前 n 项和为nS，且117.SS若存在实数 a，b，使得3ab，且2171ln(21)abeSab，当nk时，nS取得最大值，则2kab的值可能为 A.13 B.12 C.11 D.10 三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13.若函数21()4,0,()21,0,xxf xxxx则(3)ff _.14.已知tan4，满足sin0，且sin1 cos，10tan(2)23 两个条件中的一个，则tan()的一个值可以为_.15.最早对勾股定

7、理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，他用数形结合的方法，给出了勾股定理的详细证明.如图，某数学探究小组仿照“勾股圆方图”，利用 6个全等的三角形和一个小的正六边形 ABCDEF，拼成一个 第 4 页，共 14 页 大的正六边形 GHMNPQ，若1ABAG，则BE GD_.16.已知实数 x，y满足22231xyxy，则2223xy的最小值为_.四、解答题（本大题共 6 题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知32(1)24()axaxaf xx是奇函数.(1)求 a的值;(2)求()f x的值域.18.在ABC中，内角 A，B，C的

8、对边分别为 a，b，c，已知3 sin()cos.bBCaBc(1)求角 A的大小;(2)若ABC为锐角三角形，且6b，求ABC面积的取值范围.19.如图，在四棱锥PABCD中，底面 ABCD 是正方形，PAD是等边三角形，平面PAD 平面 ABCD，E，F分别是 PC，AB的中点.(1)证明：PC 平面.DEF(2)求二面角BDEF的余弦值.20.已知函数()1.mxxf xm(1)若2m，求()f x的图象在1x 处的切线方程;第 5 页，共 14 页 (2)若01m，证明：()f x在(0,)上只有一个零点.21.已知数列na满足22112222222.nnnnaaan(1)求na的通项

9、公式;(2)设1212342nnnannnaba aa证明：1251.672120nbbb 22.已知函数()4(24)2ln(0).xf xaeae xx a(1)求()f x的单调区间;(2)证明：()(24)ln3.f xae xa 第 6 页，共 14 页 答案和解析 1.【答案】C 【解析】解：存在量词命题的否定为全称量词命题，所以该命题的否定为“0 x，22 0 xex”.2.【答案】A 【解析】解：由题意知12zi，12zi，则212(12)34.1 2(1 2)(12)55ziiiziii 3.【答案】B 【解析】解：因为|21Axx，|Bx xm，|2ABx x，所以21m，

10、即12.m 4.【答案】C 【解析】解：设L是变化后的传输损耗，F是变化后的载波频率，D是变化后的传输距离，则60LL，100FF，6020lg20lg20lg20lg20lg20lgDFLLDFDFDF，则20lg6020lg604020DFDF，即lg1DD，从而10DD，故传输距离变为原来的 10 倍.5.【答案】D 【解析】解：.由图象可知，该函数是奇函数，因为()f x是偶函数，()g x是奇函数，所以()()f xg x是非奇非偶函数，A，B不符合题意.因为当0 x 时，()()f xyg x无意义，所以C不符合题意.故选.D 6.【答案】B 【解析】解：如图，AF 与平面 BCE

11、 不平行，A错误.第 7 页，共 14 页 易知BCAFDE 平面，ADAFDE 平面，BCAD，同理ECAD，BCECC，且,BCBCE ECBCE平面平面，ADBCE 平面，B 正确.AEBC，C 错误.BF 与 CE 不垂直，D 错误.7.【答案】A 【解析】解：由11nnna aa可知0na，得111.nnaa 因为13a ，所以243a，314a，43a ，543a，所以na是以 3 为周期的数列，则1053 3 3431.4aaa 8.【答案】B 【解析】解：如图，过 O点作OEBC，分别交 BC，AD于 E，F 两点，设AOF，则10cosOF，20sinAD，由/BCAD，12

12、0ABCBCD，得110sin2ABBCCDAD，则15sin2BEBC，35 3sinEFBE，2222225sin(5 3sin10cos)10050 3sin 2OBOEBE，当22，即4时，OB取得最大值，此时20sin10 2.ADcm 9.【答案】ABD 【解析】解：因为321()42f xxxx，所以2()34(1)(34).fxxxxx当4(,)(1,)3x 时，()0;fx当4(,1)3x 时，()0.fx故()f x的单调递增区间为4(,)3 和(1,)，单调递减区间为4(,1)3，则()f x有两个极值点，B正确;且当 第 8 页，共 14 页 1x 时，()f x取得极

13、小值，A正确；且极小值为5(1)2f，C 错误.又(0)0f，(2)2f，所以()f x在0,2上的最大值为 2，D正确.10.【答案】AC 【解析】解：将函数()sin(2)3f xx的图象向左平移4个单位长度，得到函数()sin(2)6g xx的图象.当56x 时，3262x，故直线56x 是()g x图象的一条对称轴，A 正确.由(,)2 6x ，得52(,)662x ，则()g x在(,)2 6 上不单调，B 不正确.由(0,)x，得2(,2)666x，因为()g x在(0,)上恰有 4个零点，所以4256，解得23291212，C正确.由,4 2x，得272,636x，则()g x在

14、,4 2 的最大值为32，D 不正确.11.【答案】ACD 【解析】解：因为正三棱锥SABC的底面边长为 6，所以三棱锥SABC的底面面积为3669 34，底面外接圆的半径2 3.r 又三棱锥SABC的体积为6 3，则三棱锥SABC的高3 6 329 3h，所以球 S的半径224Rhr，则三棱锥PABC体积的最大值为19 3(42)18 3.3 A 正确，B不正确.若PA 平面 ABC，则根据对称性可知，4PA，2 13PBPC，2369 34ABCS，16 412.2PABPACSS 取 BC 的中点 D，连接 PD，则2243PDPBBD，16433 432PBCS，故三棱锥PABC的表面

15、积为249 33 43，C 正确.分别取 PA，PB，AC的中点 M，N，Q，连接 MN，MQ，NQ，第 9 页，共 14 页 则易得3MN，13MQNQ，NMQ为异面直线 AB与 PC所成角的大小，且3 13cos226MNNMQMQ，D正确.12.【答案】BC 【解析】解：1178910119102()0SSaaaaaa，即9100.aa而2171ln(21)abeSab，即有21 1171ln(21).abeSab 令21xab，则有1171lnxeSx，令函数()1xf xex，则()1.xfxe 当(,0)x 时，()0fx，()f x单调递减;当(0,)x时，()0fx，()f x

16、单调递增.故()(0)0f xf，从而有11(1)(1)10 xxf xexex，则有1xex，当且仅当1x 时，等号成立.同理(ln)ln1 0fxxx，即ln1x x，当且仅当1x 时，等号成立，则111 lnxexx，当且仅当1x 时，等号成立.又1171lnxeSx，所以11 lnxex，故有11lnxex，所以1x，179170Sa，则90.a 从而3,21 1,abab 解得2,1.ab又90a，9100aa，所以100.a故na是单调递减数列，当8n 或9n 时，nS取得最大值，所以211kab或12.13.【答案】13 【解析】解：因为31(3)()442f，所以2(3)(4)

17、44 113.f ff 14.【答案】14或6(答案只要是14与 6 中的一个即可)【解析】解：若满足条件，因为sin1 cos，所以222(1cos)cos12cos2cos1，解得cos0或cos1，则 第 10 页，共 14 页 sin1或sin0(舍去)，则22k，kZ，故11tan()tan().2tan4 若满足条件，则10423tan()tan(2)6.101()423 15.【答案】1 【解析】解：在正六边形 ABCDEF中，BEFD，则0BE FD，所以().BE GDBEGFFDBE GFBE FDBE GF 因为六边形 GHMNPQ 是正六边形，所以60PFQ，且 G，F

18、，E，P四点共线.又1ABAG，所以1GFFE，所以1|cos1 21.2BE GFBE FEBEFEPFQ 16.【答案】2 65 【解析】解：因为22231xyxy，所以(23)()1.xy xy令23mxy，nxy，则35mnx，25nmy，且1mn，所以22222222218123121262 623252555mnmnmnmnmnxy，当且仅当26m，266n 时，等号成立.17.【答案】解：(1)因为32(1)24()axaxaf xx，所以3232()(1)()24(1)24().axaxaaxaxafxxx 又()f x是奇函数，所以()()fxf x，即3232(1)24(1

19、)24axaxaaxaxaxx，则0.a (2)由(1)可知，244()xf xxxx，0 x，第 11 页，共 14 页 当0 x 时，4424xxxx，当且仅当2x 时，等号成立.又()f x是奇函数，所以()f x的值域为(,44,).18.【答案】解：(1)因为3 sin()cosbBCaBc，所以2223 sin2acbbAacac，则22222 3sin2bcAacbc，即2222 3sin.abcbcA 又2222cosabcbcA，所以3sincosAA，即3tan.3A 又(0,)A，所以.6A(2)因为sinsincbCB，所以6sinsinCcB，9sin()19sin9

20、 396sin.2sinsin22tanABCBCSbcABBB 因为ABC为锐角三角形，所以0,250,62BB解得32B，则tan3.B 故9 39 396 3222tan B，即ABC面积的取值范围为9 3(,6 3).2 19.【答案】解：(1)证明：取 AD 的中点 O，连接 OP，因为PAD是等边三角形，所以.POAD 又平面PAD 平面 ABCD，平面PAD 平面ABCDAD，PO 平面 PAD，所以PO 平面 ABCD，因为底面 ABCD是正方形，不妨令2AB，连接 OF，PF，CF，因为 F 是 AB 的中点，所以3OP，2OF，5PF，5.CF 又 E 是 PC 的中点，P

21、DCD，所以DEPC，.EFPC 因为DEEFE，且 DE、EF 平面 DEF，所以PC 平面.DEF 第 12 页，共 14 页 (2)解：以 O 为坐标原点，OA的方向为 x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则由(1)可得，(1,0,0)D，(1,2,0)B，(1,1,0)F，13(,1,)22E，(0,0,3)P，(1,2,0).(2,2,0)CDB，13(,1,).22DE 设平面 BDE 的法向量111(,)mx y z，则11111220,130,22xyxyz 令11x，得3(1,1,).3m 由(1)知(1,2,3)nCP是平面 DEF 的一个法向量，所以442cos.

22、|772 23m nm n 由图可知，二面角BDEF为锐角，故二面角BDEF的余弦值为42.7 20.【答案】解：因为2m，所以2()12xxf x，22ln 2().2xxxfx 又1(1)2f，2ln2(1)2f，所以()f x的图象在1x 处的切线方程为12ln2(1)22yx，即(2ln2)2ln230.xy 第 13 页，共 14 页 (2)证明：当01m时，0 xm，则函数()1mxxf xm只有一个零点等价于函数()mxg xxm只有一个零点.因为01m，所以函数myx在(0,)上单调递增，函数xym在(0,)上单调递减，所以函数()g x在(0,)上单调递增.又()0g m，所

23、以函数()g x在(0,)上只有一个零点，即函数()f x在(0,)上只有一个零点.21.【答案】解：(1)当1n 时，32122226a，则13.a 当2n时，则2112222(1)222(21)2nnnnnnnannn，则21.nan 又12 1 1a ，所以na的通项公式为21.nan(2)证明：由(1)可知，23212361911(21)(23)(25)2(21)(23)2(23)(25)2nnnnnbnnnnnnn，所以12355711113 5 25 7 25 7 27 9 2nbbb 21232311111.(21)(23)2(23)(25)2120(23)(25)2120nnn

24、nnnnnn 又0nb，所以1215672nbbbb，故1251.672120nbbb 22.【答案】解：(1)因为()4(24)2lnxf xaeae xx，所以2()424.xfxaeaex 令函数2()424xg xaeaex，则22()40 xg xaex，所以()g x即()fx在(0,)上单调递增.又(1)0f，所以当(0,1)x时，()0;fx当(1,)x时，()0.fx 故()f x的单调递增区间为(1,)，单调递减区间为(0,1).(2)证明：要证()(24)ln3f xae xa，即证42lnln3 0.xaexa 令函数()4ln2ln3xh ae aax，0a，则1()4xh aea，第 14 页，共 14 页 当1(0,)4xae时，()0h a，()h a单调递减;当1(,)4xae时，()0h a，()h a单调递增.故min1()()2ln2ln22.4xh ahxxe 令函数()2ln2ln22xxx，0 x，则22()1.xxxx 当(0,2)x时，()0 x，()x单调递减;当(2,)x时，()0 x，()x单调递增.故min()(2)0.x 故2ln2ln 22 0 xx，则42lnln3 0 xaexa，即()(24)ln3.f xae xa