解析几何课件(吕林根许子道第四版)(精).pptx

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1、解析几何课件(第四版)吕林根 许子道等编第四章第四章 柱面锥面旋转曲面与二次曲面柱面锥面旋转曲面与二次曲面第五章第五章 二次曲线的一般理论二次曲线的一般理论第一章第一章 向量与坐标向量与坐标第三章第三章 平面与空间直线平面与空间直线第二章第二章 轨迹与方程轨迹与方程 解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何,为将代数运算引导几何中,采用的最根本最有效的做法-有系统的把空间的几何结构代数化,数量化.第一章第一章 向量与坐标向量与坐标1.1 向量的概念向量的概念1.3 数乘向量数乘向量1.2 向量的加法向量的加法1.4 向量的线性关系与向量的分解向量的线性关系与向量的分解1.6 向量在轴上的射影

2、向量在轴上的射影 1.5 标架与坐标标架与坐标1.7 两向量的数性积两向量的数性积1.9 三向量的混合积三向量的混合积1.8 两向量两向量的向量积的向量积1.10 向量的双重向量积向量的双重向量积第二章第二章 轨迹与方程轨迹与方程2.1 平面曲线的方程平面曲线的方程 2.2 曲面的方程曲面的方程2.4 空间曲线的方程空间曲线的方程 2.3 母线平行于坐标轴的柱面方程母线平行于坐标轴的柱面方程第三章第三章 平面与空间直线平面与空间直线3.1 平面的方程平面的方程3.3 两平面的相关位置两平面的相关位置3.2 平面与点的相关位置平面与点的相关位置3.4 空间直线的方程空间直线的方程3.6 空间两直

3、线的相关位置空间两直线的相关位置3.5 直线与平面的相关位置直线与平面的相关位置3.7 空间直线与点的相关位置空间直线与点的相关位置第四章第四章 柱面锥面旋转曲面柱面锥面旋转曲面 与二次曲面与二次曲面4.1 柱面柱面4.3 旋转曲面旋转曲面4.2 锥面锥面 4.4 椭球面椭球面 4.5 双曲面双曲面第五章第五章 二次曲线的一般理论二次曲线的一般理论5.1 二次曲线与直线的相关位置二次曲线与直线的相关位置 5.3 二次曲线的切线二次曲线的切线5.2 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线二次曲线的渐近方向、中心、渐近线5.4 二次曲线的直径二次曲线的直径5.6 二次曲线方程的化简与分类二次曲线方程的化

4、简与分类 5.5 二次曲线的主直径和主方向二次曲线的主直径和主方向5.7 应用不变量化简二次曲线方程应用不变量化简二次曲线方程 定义定义1.1.1 既有大小又有方向的量叫做既有大小又有方向的量叫做向量向量，或称或称矢量矢量.向量向量(矢量矢量)既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量.向量的几何表示：向量的几何表示：|向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小.或或或或两类量两类量:数量数量(标量标量):可用一个数值来描述的量可用一个数值来描述的量;有向线段有向线段有向线段的方向表示有向线段的方向表示向量向量的方向的方向.有向线段的长度表示有向线段的长度表示向量向量的大小的大小,1.1 1.1

5、向量的概念向量的概念返回下一页第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.1 1.1 向量向量的的概念概念所有的零向量都相等所有的零向量都相等.模为模为1 1的向量的向量.零向量：零向量：模为模为0 0的向量的向量.单位向量：单位向量：或或 定义定义1.1.21.1.2 如果两个向量的模相等且方向如果两个向量的模相等且方向相同，那么叫做相同，那么叫做相等向量相等向量.记为记为 定义定义1.1.31.1.3 两个模相等，方向相反的向两个模相等，方向相反的向量叫做互为量叫做互为反向量反向量.上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.1 1.1 向量向量的的概念概念零向量与任何共线的向量组

6、共线零向量与任何共线的向量组共线.定义定义1.1.41.1.4 平行于同一直线的一组向量平行于同一直线的一组向量叫做叫做共线向量共线向量.定义定义1.1.5 1.1.5 平行于同一平面的一组向量平行于同一平面的一组向量叫做叫做共面向量共面向量.零向量与任何共面的向量组共面零向量与任何共面的向量组共面.上一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.1 1.1 向量向量的的概念概念OAB这种求两个向量和的方法叫这种求两个向量和的方法叫三角形法则三角形法则.定理定理1.2.11.2.1 如果把两个向量如果把两个向量 为邻边为邻边组成一个平行四边形组成一个平行四边形OACB，那么对角线向量，那么对

7、角线向量 1.2 1.2 向量的加法向量的加法下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.2 1.2 向量的加法向量的加法OABC这种求两个向量和的方法叫做平行四边形法则定理1.2.2 向量的加法满足下面的运算规律：（1 1）交换律：）交换律：（2 2）结合律：）结合律：（3）上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.2 1.2 向量的加法向量的加法OA1A2A3A4An-1An 这种求和的方法叫做多边形法则上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.2 1.2 向量的加法向量的加法向量减法向量减法上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.2 1.

8、2 向量的加法向量的加法ABC上一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.2 1.2 向量的加法向量的加法上一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.2 1.2 向量的加法向量的加法上一页返回DABCM第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.2 1.2 向量的加法向量的加法1.3 1.3 数乘向量数乘向量下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.3 1.3 数乘向量数乘向量定理定理1.3.1 数与向量的乘积符合下列运算规律：数与向量的乘积符合下列运算规律：（1 1）结合律：）结合律：（2 2）第一分配律：）第一分配律：两个向量的平行关系两个向量的平行关系（3 3）第二分配律

9、：）第二分配律：上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.3 1.3 数乘向量数乘向量证证充分性显然；充分性显然；必要性必要性两式相减，得两式相减，得上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.3 1.3 数乘向量数乘向量按照向量与数的乘积的规定，按照向量与数的乘积的规定，上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量一个与原向量同方向的单位向量.上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.3 1.3 数乘向量数乘向量例例1 1设设AM是三角形是三角形ABC的中线，求证的中线，求证:证证 如图如

10、图 因为 所以 但 因而 即 ABCM上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.3 1.3 数乘向量数乘向量例例2 2 用向量方法证明：联结三角形两边中点用向量方法证明：联结三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半的线段平行于第三边且等于第三边的一半.证证 设设ABC两边两边AB，AC之中点分别为之中点分别为M，N，那么那么所以所以且且上一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.3 1.3 数乘向量数乘向量ABCMN1.4 1.4 向量的线性关系与向量的分解向量的线性关系与向量的分解下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.41.4向量的线性关系与向量的分

11、解向量的线性关系与向量的分解.,24.1,2.4.1212121212121唯一确定唯一确定被被并且系数并且系数）（的线性组合，即的线性组合，即可以分解成可以分解成或者说向量或者说向量线性表示，线性表示，可以用向量可以用向量共面的充要条件是共面的充要条件是与与不共线，那么向量不共线，那么向量如果向量如果向量定理定理reeyxeyexreereereeree+=.,)34.1(,3.4.1321321321321321唯一确定唯一确定被被并且其中系数并且其中系数的线性组合，即的线性组合，即可以分解成向量可以分解成向量任意向量任意向量线性表示，或说空间线性表示，或说空间可以由向量可以由向量任意向量

12、任意向量不共面，那么空间不共面，那么空间如果向量如果向量定理定理reeezyxezeyexreeereeereee-+=.,21叫做平面上向量的基底叫做平面上向量的基底这时这时ee上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.41.4向量的线性关系与向量的分解向量的线性关系与向量的分解 例例2 证明四面体对边中点的连线交于一点，且证明四面体对边中点的连线交于一点，且互相平分互相平分.ABCDEFP1e1e2e3.,321叫做空间向量的基底叫做空间向量的基底这时这时eee.,.,3211321321321关系式关系式线性表示的线性表示的，用用先求先求取不共面的三向量取不共面的三向量就可

13、以了就可以了三点重合三点重合下只需证下只需证两组对边中点分别为两组对边中点分别为其余其余它的中点为它的中点为线为线为的连的连的中点的中点对边对边一组一组设四面体设四面体证证eeeAPeADeACeABPPPPPPEFFECDABABCD=上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.41.4向量的线性关系与向量的分解向量的线性关系与向量的分解 连接连接AF，因为，因为AP1是是AEF AEF 的中线，所以有的中线，所以有 又因为又因为AF是是ACD ACD 的中线，所以又有的中线，所以又有上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.41.4向量的线性关系与向量的分解向量的

14、线性关系与向量的分解.,)44.1,0,)1(2.4.12122112121关的向量叫做线性无关关的向量叫做线性无关性相性相叫做线性相关，不是线叫做线性相关，不是线个向量个向量那么那么（使得使得个数个数在不全为零的在不全为零的，如果存，如果存个向量个向量对于对于定义定义nnnnnaaanaaanaaannLLLL-+l ll ll ll ll ll l.0=aa线性相关的充要条件为线性相关的充要条件为一个向量一个向量推论推论.线性相关线性相关量，那么这组向量必量，那么这组向量必一组向量如果含有零向一组向量如果含有零向推论推论.5.4.1相关相关那么这一组向量就线性那么这一组向量就线性分向量线性

15、相关分向量线性相关如果一组向量中的一部如果一组向量中的一部定理定理.,24.4.121组合组合向量是其余向量的线性向量是其余向量的线性充要条件是其中有一个充要条件是其中有一个线性相关的线性相关的时，向量时，向量在在定理定理naaanL 上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.41.4向量的线性关系与向量的分解向量的线性关系与向量的分解.6.4.1是它们线性相关是它们线性相关两向量共线的充要条件两向量共线的充要条件定理定理.7.4.1件是它们线性相关件是它们线性相关三个向量共面的充要条三个向量共面的充要条定理定理.8.4.1线性相关线性相关空间任何四个向量总是空间任何四个向量总是

16、定理定理上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.41.4向量的线性关系与向量的分解向量的线性关系与向量的分解横轴横轴纵轴纵轴竖轴竖轴定点定点空间直角坐标系空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向三个坐标轴的正方向符合符合右手系右手系.1.5 1.5 标架与坐标标架与坐标下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.5 1.5 标架与坐标标架与坐标面面面面面面空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限2、坐标面与卦限坐标面与卦限 上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.5 1.5 标架与坐标标架与坐标空间的点空间的点有序数组有序数组特殊点的表示特殊点的表示

17、:坐标轴上的点坐标轴上的点坐标面上的点坐标面上的点称为称为点点M的坐标的坐标，x称为横坐标称为横坐标,y称为纵坐标，称为纵坐标，z称为竖坐标称为竖坐标.3、空间点的直角坐标、空间点的直角坐标 上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.5 1.5 标架与坐标标架与坐标称为向量称为向量 的的坐标分解式坐标分解式.4 4、空间向量的坐标、空间向量的坐标 上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.5 1.5 标架与坐标标架与坐标显然，显然，向量的坐标向量的坐标：向径：向径：在三个坐标轴上的在三个坐标轴上的分向量分向量：(点点M关于原点关于原点O)上一页下一页返回),(Mzy

18、x既表示点既表示点第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.5 1.5 标架与坐标标架与坐标5、利用坐标作向量的线性运算、利用坐标作向量的线性运算向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.5 1.5 标架与坐标标架与坐标解解设设为直线上的点，为直线上的点，6、线段的定比分点坐标、线段的定比分点坐标上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.5 1.5 标架与坐标标架与坐标由题意知：由题意知：上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.5 1.5 标架与坐标标架与坐标定理定

19、理1.5.4 已知两个非零向量7、其它相关定理、其它相关定理则则共线的充要条件是共线的充要条件是 定理定理1.5.6 已知三个非零向量，则，则共面的充要条件是共面的充要条件是 上一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.5 1.5 标架与坐标标架与坐标空间一点在轴上的射影空间一点在轴上的射影 1.6 1.6 向量在轴上的射影向量在轴上的射影下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.61.6向量在轴上的射影向量在轴上的射影空间一向量在轴上的射影空间一向量在轴上的射影上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.61.6向量在轴上的射影向量在轴上的射影关于向量的关于向量的射

20、影定理（射影定理（1.6.11.6.1）证证由此定义，由此定义，上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.61.6向量在轴上的射影向量在轴上的射影定理定理1 1的说明：的说明：射影为正；射影为正；射影为负；射影为负；射影为零；射影为零；(4)相等向量在同一轴上射影相等；相等向量在同一轴上射影相等；上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.61.6向量在轴上的射影向量在轴上的射影关于向量的关于向量的射影定理（射影定理（1.6.21.6.2）（可推广到有限多个）（可推广到有限多个）上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.61.6向量在轴上的射影向量在轴上

21、的射影关于向量的关于向量的射影定理（射影定理（1.6.31.6.3）上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.61.6向量在轴上的射影向量在轴上的射影解解上一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.61.6向量在轴上的射影向量在轴上的射影启示启示实例实例两向量作这样的运算两向量作这样的运算,结果是一个数量结果是一个数量.M1M2 1.7 1.7 两向量的数量积两向量的数量积下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.7 1.7 两向量的数量积两向量的数量积数量积也称为数量积也称为“点积点积”、“内积内积”.结论结论 两向量的数量积等于其中一个向量的两向量的数量积等于其

22、中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的射影的模和另一个向量在这向量的方向上的射影的乘积乘积.定义定义上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.7 1.7 两向量的数量积两向量的数量积关于数量积的说明：关于数量积的说明：证证证证上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.7 1.7 两向量的数量积两向量的数量积数量积符合下列运算规律：数量积符合下列运算规律：（1 1）交换律）交换律：（2 2）分配律）分配律：若若 、为数为数：（3 3）若）若 为数为数：上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.7 1.7 两向量的数量积两向量的数量积设设数量积的坐标

23、表达式数量积的坐标表达式上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.7 1.7 两向量的数量积两向量的数量积由勾股定理由勾股定理向量模的坐标表示式向量模的坐标表示式向量的模与空间两点间距离公式向量的模与空间两点间距离公式上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.7 1.7 两向量的数量积两向量的数量积为空间两点为空间两点.空间两点间距离公式空间两点间距离公式上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.7 1.7 两向量的数量积两向量的数量积空间两向量的夹角的概念：空间两向量的夹角的概念：类似地，可定义类似地，可定义向量与一轴向量与一轴或或空间两轴空间两轴的

24、夹角的夹角.特殊地，当两个向量中有一个零向量时，特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在规定它们的夹角可在0与与 之间任意取值之间任意取值.方向角与方向余弦的坐标表示式上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.7 1.7 两向量的数量积两向量的数量积非零向量非零向量 的的方向角方向角：非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角方向角.上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.7 1.7 两向量的数量积两向量的数量积由图分析可知由图分析可知向向量量的的方方向向余余弦弦方向余弦通常用来表示向量的方向方向余弦通常用来表示向

25、量的方向.上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.7 1.7 两向量的数量积两向量的数量积当当 时，时，向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.7 1.7 两向量的数量积两向量的数量积方向余弦的特征方向余弦的特征上式表明，以向量上式表明，以向量 的方向余弦为坐标的向的方向余弦为坐标的向量就是与量就是与 同方向的单位向量同方向的单位向量 上一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.7 1.7 两向量的数量积两向量的数量积两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式由此可知两向量垂直的充要条件为：由此可知

26、两向量垂直的充要条件为：上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.7 1.7 两向量的数量积两向量的数量积解解上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.7 1.7 两向量的数量积两向量的数量积证证上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.7 1.7 两向量的数量积两向量的数量积 1.8 1.8 两向量两向量的向量积的向量积下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.8 1.8 两向量的向量积两向量的向量积上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.8 1.8 两向量的向量积两向量的向量积上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐

27、标 1.8 1.8 两向量的向量积两向量的向量积上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.8 1.8 两向量的向量积两向量的向量积上一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.8 1.8 两向量的向量积两向量的向量积定义定义设设混合积的坐标表达式混合积的坐标表达式 1.9 1.9 三向量的混合积三向量的混合积下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.9 1.9 三三向量的混合积向量的混合积（1）向量混合积的几何意义：）向量混合积的几何意义：关于混合积的说明：关于混合积的说明：上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.9 1.9 三三向量的混合积向量的混合

28、积解解例例1上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.9 1.9 三三向量的混合积向量的混合积解解上一页下一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.9 1.9 三三向量的混合积向量的混合积式中正负号的选择必须和行列式的符号一致式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.上一页返回第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.9 1.9 三三向量的混合积向量的混合积 1.10 1.10 三向量三向量的三重向量积的三重向量积返回上一页下一页第一章第一章 向量与向量与坐标坐标 1.10 1.10 三向量的三重向量积三向量的三重向量积 定义定义1.10.1 给定空间三向量给定空间三向量,先作

29、其中两个向量的先作其中两个向量的向量积向量积,再作所得向量与第三个向量的向量积再作所得向量与第三个向量的向量积,那么最那么最后的结果仍然是一向量后的结果仍然是一向量,叫做所给三向量的双重向量叫做所给三向量的双重向量积积.例例:就是三向量就是三向量的一个双重向量积的一个双重向量积.空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程 曲线上的点都满足曲线上的点都满足方程，不在曲线上的点不方程，不在曲线上的点不能同时满足两个方程能同时满足两个方程.空间曲线空间曲线C可看作空间两曲面的交线可看作空间两曲面的交线.特点特点：2.1 2.1 平面曲线的方程平面曲线的方程下一页返回第二章第二章 轨迹与方程轨迹与方程2.1

30、 2.1 平面曲线的方程平面曲线的方程例例1 1 方程组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？解解表示圆柱面，表示圆柱面，表示平面，表示平面，交线为椭圆交线为椭圆.上一页下一页返回第二章第二章 轨迹与方程轨迹与方程2.1 2.1 平面曲线的方程平面曲线的方程例例2 2 方程组方程组解解上半球面上半球面,圆柱面圆柱面,交线如图交线如图.表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？上一页返回第二章第二章 轨迹与方程轨迹与方程2.1 2.1 平面曲线的方程平面曲线的方程水桶的表面、台灯的罩子面等水桶的表面、台灯的罩子面等曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面方程的

31、定义：曲面方程的定义：曲面的实例：曲面的实例：2.2 2.2 曲面的方程曲面的方程下一页返回第二章第二章 轨迹与方程轨迹与方程2.2 2.2 曲面的方程曲面的方程根据题意有根据题意有化简得所求方程化简得所求方程解解上一页下一页返回第二章第二章 轨迹与方程轨迹与方程2.2 2.2 曲面的方程曲面的方程解解根据题意有根据题意有所求方程为所求方程为上一页下一页返回第二章第二章 轨迹与方程轨迹与方程2.2 2.2 曲面的方程曲面的方程以下给出几例常见的曲面以下给出几例常见的曲面.解解根据题意有根据题意有所求方程为所求方程为特殊地：球心在原点时方程为特殊地：球心在原点时方程为上一页下一页返回第二章第二章

32、 轨迹与方程轨迹与方程2.2 2.2 曲面的方程曲面的方程得上、下半球面的方程分别是：得上、下半球面的方程分别是：当当 A2+B2+C2-4D 0 时时,是球面方程是球面方程.由由由上述方程可得球面的一般式方程为：由上述方程可得球面的一般式方程为：反之，由一般式方程（反之，由一般式方程（*），经过配方又可得到：），经过配方又可得到：x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0 （*）(x+A/2)2+(y+B/2)2+(z+C/2)2=(A2+B2+C2-4D)/4上一页下一页返回第二章第二章 轨迹与方程轨迹与方程2.2 2.2 曲面的方程曲面的方程例例4 4 方程方程 的图形是怎样的？的图形是

33、怎样的？根据题意有根据题意有图形上不封顶，下封底图形上不封顶，下封底解解以上方法称为以上方法称为截痕法截痕法.上一页下一页返回第二章第二章 轨迹与方程轨迹与方程2.2 2.2 曲面的方程曲面的方程以上几例表明研究空间曲面有以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题两个基本问题：（2 2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状）已知坐标间的关系式，研究曲面形状（讨论旋转曲面）（讨论旋转曲面）（讨论柱面、二次曲面）（讨论柱面、二次曲面）（1 1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程上一页返回第二章第二章 轨迹与方程轨迹与方程2.2 2.2 曲面的方程曲面的方程二、曲面的参数

34、方程二、曲面的参数方程第二章第二章 轨迹与方程轨迹与方程2.2 2.2 曲面的方程曲面的方程二、曲面的参数方程二、曲面的参数方程例例例例7 7 7 7 求以求以求以求以z z 轴为对称轴，半径为轴为对称轴，半径为轴为对称轴，半径为轴为对称轴，半径为R R 的圆柱面的参数方程的圆柱面的参数方程的圆柱面的参数方程的圆柱面的参数方程.注意注意注意注意 空间曲面的参数方程的表达式不是惟一的空间曲面的参数方程的表达式不是惟一的空间曲面的参数方程的表达式不是惟一的空间曲面的参数方程的表达式不是惟一的.第二章第二章 轨迹与方程轨迹与方程2.2 2.2 曲面的方程曲面的方程抛物柱面抛物柱面平面平面抛物柱面抛物

35、柱面方程：方程：平面方程：平面方程：2.3 2.3 母线平行于坐标轴的柱面方程母线平行于坐标轴的柱面方程下一页返回第二章第二章 轨迹与方程轨迹与方程2.3 2.3 母线平行于坐标轴的柱面方程母线平行于坐标轴的柱面方程从柱面方程看从柱面方程看柱面的特征柱面的特征：（其他类推）（其他类推）实实 例例椭圆柱面，椭圆柱面，双曲柱面双曲柱面，抛物柱面，抛物柱面，母线母线/轴轴母线母线/轴轴母线母线/轴轴上一页下一页返回第二章第二章 轨迹与方程轨迹与方程2.3 2.3 母线平行于坐标轴的柱面方程母线平行于坐标轴的柱面方程abzxyo椭圆椭圆柱面柱面柱面柱面上一页下一页返回第二章第二章 轨迹与方程轨迹与方程

36、2.3 2.3 母线平行于坐标轴的柱面方程母线平行于坐标轴的柱面方程zxy=0yo 双曲双曲柱面柱面柱面柱面上一页下一页返回第二章第二章 轨迹与方程轨迹与方程2.3 2.3 母线平行于坐标轴的柱面方程母线平行于坐标轴的柱面方程zxyo抛物抛物柱面柱面柱面柱面上一页返回第二章第二章 轨迹与方程轨迹与方程2.3 2.3 母线平行于坐标轴的柱面方程母线平行于坐标轴的柱面方程空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程 曲线上的点都满足曲线上的点都满足方程，不在曲线上的点不方程，不在曲线上的点不能同时满足两个方程能同时满足两个方程.空间曲线空间曲线C可看作空间两曲面的交线可看作空间两曲面的交线.特点特点：下一

37、页返回2.4 2.4 空间曲线的方程空间曲线的方程第二章第二章 轨迹与方程轨迹与方程2.4 2.4 空间曲线的方程空间曲线的方程例例1 1 方程组方程组 表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？解解表示圆柱面，表示圆柱面，表示平面，表示平面，交线为椭圆交线为椭圆.上一页下一页返回第二章第二章 轨迹与方程轨迹与方程2.4 2.4 空间曲线的方程空间曲线的方程例例2 2 方程组方程组解解上半球面上半球面,圆柱面圆柱面,交线如图交线如图.表示怎样的曲线？表示怎样的曲线？上一页返回第二章第二章 轨迹与方程轨迹与方程2.4 2.4 空间曲线的方程空间曲线的方程空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程二、空间曲线的参

38、数方程下一页返回第二章第二章 轨迹与方程轨迹与方程2.4 2.4 空间曲线的方程空间曲线的方程 动点从动点从A点出发点出发，经过，经过t时间，运动到时间，运动到M点点 螺旋线的参数方程螺旋线的参数方程取时间取时间t为参数，为参数，解解上一页下一页返回第二章第二章 轨迹与方程轨迹与方程2.4 2.4 空间曲线的方程空间曲线的方程螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的重要螺旋线的重要性质性质：上升的高度与转过的角度成正比上升的高度与转过的角度成正比即即上升的高度上升的高度螺距螺距上一页返回第二章第二章 轨迹与方程轨迹与方程2.4 2.4 空间曲线的方程空间曲线的方程 如果一非

39、零向量垂直如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做于一平面，这向量就叫做该平面的该平面的法线向量法线向量法线向量的法线向量的特征特征：垂直于平面内的任一向量垂直于平面内的任一向量已知已知设平面上的任一点为设平面上的任一点为必有必有 一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程3.1 3.1 平面的方程平面的方程下一页返回第三章第三章 平面与空间直线平面与空间直线3.1 3.1 平面平面的方程的方程平面的点法式方程平面的点法式方程 平面上的点都满足上方程，不在平面上的平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形

40、平面称为方程的图形其中法向量其中法向量已知点已知点上一页下一页返回第三章第三章 平面与空间直线平面与空间直线3.1 3.1 平面平面的方程的方程解解取取所求平面方程为所求平面方程为化简得化简得上一页下一页返回第三章第三章 平面与空间直线平面与空间直线3.1 3.1 平面平面的方程的方程取法向量取法向量化简得化简得所求平面方程为所求平面方程为解解上一页下一页返回第三章第三章 平面与空间直线平面与空间直线3.1 3.1 平面平面的方程的方程由平面的点法式方程由平面的点法式方程平面的一般方程平面的一般方程法向量法向量二、平面的一般式方程二、平面的一般式方程？即即 任一平面任一平面表示表示（A,B,C

41、不同时为零）不同时为零）不妨设不妨设，则，则，为一平面，为一平面.上一页下一页返回第三章第三章 平面与空间直线平面与空间直线3.1 3.1 平面平面的方程的方程平面一般式方程的几种特殊情况：平面一般式方程的几种特殊情况：平面通过坐标原点；平面通过坐标原点；平面通过平面通过 轴；轴；平面平行于平面平行于 轴；轴；平面平行于平面平行于 坐标面；坐标面；类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.平面的一般方程平面的一般方程上一页下一页返回第三章第三章 平面与空间直线平面与空间直线3.1 3.1 平面平面的方程的方程设平面为设平面为由平面过原点知由平面过原点知所求平面方程

42、为所求平面方程为解解上一页下一页返回第三章第三章 平面与空间直线平面与空间直线3.1 3.1 平面平面的方程的方程设平面为设平面为将三点坐标代入得将三点坐标代入得解解上一页下一页返回第三章第三章 平面与空间直线平面与空间直线3.1 3.1 平面平面的方程的方程将将代入所设方程得代入所设方程得平面的截距式方程平面的截距式方程上一页下一页返回第三章第三章 平面与空间直线平面与空间直线3.1 3.1 平面平面的方程的方程设平面为设平面为由所求平面与已知平面平行得由所求平面与已知平面平行得（向量平行的充要条件）（向量平行的充要条件）解解上一页下一页返回第三章第三章 平面与空间直线平面与空间直线3.1

43、3.1 平面平面的方程的方程化简得化简得令令代入体积式代入体积式所求平面方程为所求平面方程为或或上一页返回第三章第三章 平面与空间直线平面与空间直线3.1 3.1 平面平面的方程的方程解解3.2 3.2 平面与点的相关位置平面与点的相关位置下一页返回第三章第三章 平面与空间直线平面与空间直线3.2 3.2 平面与点的相关位置平面与点的相关位置上一页下一页返回第三章第三章 平面与空间直线平面与空间直线3.2 3.2 平面与点的相关位置平面与点的相关位置点到平面距离公式点到平面距离公式上一页下一页返回第三章第三章 平面与空间直线平面与空间直线3.2 3.2 平面与点的相关位置平面与点的相关位置在第

44、一个平面内任取一点，比如（在第一个平面内任取一点，比如（0，0，1），），上一页返回第三章第三章 平面与空间直线平面与空间直线3.2 3.2 平面与点的相关位置平面与点的相关位置定义定义（通常取锐角）（通常取锐角）两平面法向量之间的夹角称为两平面的两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角夹角.3.3 3.3 两平面的相关位置两平面的相关位置下一页返回第三章第三章 平面与空间直线平面与空间直线3.3 3.3 两平面的相关位置两平面的相关位置按照两向量夹角余弦公式有按照两向量夹角余弦公式有两平面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式两平面位置特征：两平面位置特征：/上一页下一页返回第三章第三章 平面与空间直

45、线平面与空间直线3.3 3.3 两平面的相关位置两平面的相关位置例例1 1 研究以下各组里两平面的位置关系：研究以下各组里两平面的位置关系：解解两平面相交，夹角两平面相交，夹角上一页下一页返回第三章第三章 平面与空间直线平面与空间直线3.3 3.3 两平面的相关位置两平面的相关位置两平面平行两平面平行两平面平行但不重合两平面平行但不重合两平面平行两平面平行两平面重合两平面重合.上一页返回第三章第三章 平面与空间直线平面与空间直线3.3 3.3 两平面的相关位置两平面的相关位置定义定义空间直线可看成两平面的交线空间直线可看成两平面的交线空间直线的一般方程空间直线的一般方程（注：两平面不平行）（注

46、：两平面不平行）一一、空间直线的一般方程、空间直线的一般方程3.4 3.4 空间直线的方程空间直线的方程下一页返回第三章第三章 平面与空间直线平面与空间直线3.4 3.4 空间直线的方程空间直线的方程方向向量的定义：方向向量的定义：如果一非零向量平行于如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称一条已知直线，这个向量称为这条直线的为这条直线的方向向量方向向量/二、空间直线的对称式方程二、空间直线的对称式方程直线的对称式方程直线的对称式方程（点向式方程）（点向式方程）上一页下一页返回第三章第三章 平面与空间直线平面与空间直线3.4 3.4 空间直线的方程空间直线的方程上一页下一页返回第三章第三章

47、 平面与空间直线平面与空间直线3.4 3.4 空间直线的方程空间直线的方程因此因此,所求直线方程为所求直线方程为 例例1 1 求过点求过点(1,0,-2)且与平面且与平面3x+4y-z+6=0平行平行,又与直又与直线线 垂直的直线方程垂直的直线方程.解解:设所求线的方向向量为设所求线的方向向量为已知平面的法向量已知平面的法向量已知直线的方向向量已知直线的方向向量取取上一页下一页返回第三章第三章 平面与空间直线平面与空间直线3.4 3.4 空间直线的方程空间直线的方程三、空间直线的参数式方程三、空间直线的参数式方程直线的一组直线的一组方向数方向数令令方向向量的余弦称为直方向向量的余弦称为直线的线

48、的方向余弦方向余弦.直线的参数方程直线的参数方程由由直线的对称式方程直线的对称式方程上一页下一页返回第三章第三章 平面与空间直线平面与空间直线3.4 3.4 空间直线的方程空间直线的方程例例2 2 用对称式方程及参数方程表示直线用对称式方程及参数方程表示直线解解在直线上任取一点在直线上任取一点取取解得解得点坐标点坐标上一页下一页返回第三章第三章 平面与空间直线平面与空间直线3.4 3.4 空间直线的方程空间直线的方程因所求直线与两平面的法向量都垂直因所求直线与两平面的法向量都垂直取取对称式方程对称式方程得参数方程得参数方程令令上一页下一页返回第三章第三章 平面与空间直线平面与空间直线3.4 3

49、.4 空间直线的方程空间直线的方程解解所以交点为所以交点为取取所求直线方程所求直线方程上一页返回第三章第三章 平面与空间直线平面与空间直线3.4 3.4 空间直线的方程空间直线的方程定义定义直线和它在平面上的射影直线的夹直线和它在平面上的射影直线的夹角角 称为直线与平面的夹角称为直线与平面的夹角3.5 3.5 直线与平面的相关位置直线与平面的相关位置下一页返回第三章第三章 平面与空间直线平面与空间直线3.5 3.5 直线与平面的相关位置直线与平面的相关位置直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式直线与平面的直线与平面的位置关系：位置关系：/上一页下一页返回第三章第三章 平面与空间直线平面与空间

50、直线3.5 3.5 直线与平面的相关位置直线与平面的相关位置解解为所求夹角为所求夹角上一页下一页返回第三章第三章 平面与空间直线平面与空间直线3.5 3.5 直线与平面的相关位置直线与平面的相关位置直线与平面的交点直线与平面的交点上一页下一页返回第三章第三章 平面与空间直线平面与空间直线3.5 3.5 直线与平面的相关位置直线与平面的相关位置分析分析:关键是求得直线上另外关键是求得直线上另外一个点一个点 M M1 1.M.M1 1在过在过M M且平行且平行于于 平面平面 P P 的一个平面的一个平面P P1 1上上,待求直线又与已知直线相交待求直线又与已知直线相交,交点既在交点既在P P1 1