对坐标的曲线积分(IV).ppt

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1、一、问题的提出引例引例:变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B,求移“分割”“近似”“求和”“取极限”变力沿直线所作的功解决办法解决办法:动过程中变力所作的功W.1)分割分割2)近似近似把L分成 n 个小弧段,有向小弧段近似代替,则有所做的功为F 沿用有向线段 上任取一点在(其中 为 n 个小弧段的最大长度)3）求和）求和4）取极限）取极限近似值近似值准确值准确值1.定义定义.设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向有向光滑光滑弧弧,若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧 L 上对坐标的曲线积分坐标

2、的曲线积分,则称此极限为函数或第二类曲线积分第二类曲线积分.其中,L 称为积分弧段积分弧段称为被积函数被积函数,在L 上定义了一个向量函数极限记作记作二、对坐标的曲线积分的概念二、对坐标的曲线积分的概念2.存在条件：存在条件：3.组合形式组合形式称为对 x 的曲线积分;称为对 y 的曲线积分.代数代数形式形式向量向量形式形式4.4.推广推广5.5.性质性质即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.定积分是第二类曲线积分的特例.说明说明:对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向方向!三、对坐标的曲线积分的计算定理定理:在有向光滑弧 L 上有定义且L 的参数方程为则曲线积

3、分连续,存在,且有其他情形其他情形解法解法1例1.计算计算其中L 为沿抛物线从点的一段.解法解法2例例2解解则注注：本题被积函数相同，起点和终点也相同，本题被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同但路径不同积分结果不同.例例3解解注注：本题被积函数相同，起点和终点也相同，本题被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同但路径不同而积分结果相同.四、四、两类曲线积分的关系：两类曲线积分的关系：例.将积分化为对弧长的积分,解：解：其中L 沿上半圆周五、小结五、小结1对坐标曲线积分的概念对坐标曲线积分的概念2对坐标曲线积分的计算对坐标曲线积分的计算3两类曲线积分之间的联系两类曲线积分之间的联系