微积分 不定积分 教案 ppt.ppt

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1、微积分微积分 不定不定积分积分 教案教案 pptppt例例微积分微积分 不定积分不定积分 教案教案 pptppt一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念定义定义不定积分又称不定积分又称反导数反导数,它是求导运算的逆运算它是求导运算的逆运算.本章所讲的内容就是导数的逆运算。本章所讲的内容就是导数的逆运算。原函数存在定理：原函数存在定理：简言之：连续函数一定有原函数简言之：连续函数一定有原函数.问题：问题：(1)原函数是否存在？原函数是否存在？(2)是否唯一？是否唯一？因此初等函数在其定义域内都有原函数因此初等函数在其定义域内都有原函数。(但原函数不一定是初等函数但原函数不一定是初等函

2、数)唯一性？唯一性？任任意意常常数数积积分分号号被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量记为记为定义定义 例例1 1 求求解解解解例例2 2 求求由不定积分的定义，可知由不定积分的定义，可知结论结论：微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是互逆互逆互逆互逆的的.或或或或实例实例启示启示能否根据求导公式得出积分公式？能否根据求导公式得出积分公式？微积分微积分 不定积分不定积分 教案教案 pptppt基基本本积积分分表表(k是常数是常数);说明：说明：基基本本积积分分表表(k是常数是常数);基基本本积积分分表表例例3 3 求积分求积分解解根据积分公式（根据积分公式（2）

3、例例4 4 设曲线通过点设曲线通过点(1,3),且其上任一点处的切线且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解解 设曲线方程为设曲线方程为根据题意知根据题意知由曲线通过点由曲线通过点(1,3)所求曲线方程为所求曲线方程为-2-1O12x-2-112 yyx2+2yx2(1,3)证证等式成立等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）微积分微积分 不定积分不定积分 教案教案 pptppt例例1 1例例2 2例例3 3直直接接积积分分法法例例4 4例例5 5例例8 8例例9 9例例1010问题问

4、题微积分微积分 不定积分不定积分 教教案案 pptppt一、第一类换元法一、第一类换元法(凑微分法凑微分法)凑微分凑微分 凑微分法的关键是凑微分法的关键是“凑凑”,凑的目的是把被积凑的目的是把被积函数的中间变量变得与积分变量相同函数的中间变量变得与积分变量相同.例例1例例2 运用运用 d(x+k)=dx例例3 运用运用 d(ax+b)=a dx例例4 运用运用 d(x2)=2x dx(1)(1)根据被积函数复合函数的特点和基本积分公式的形式根据被积函数复合函数的特点和基本积分公式的形式,依据恒等变形的原则依据恒等变形的原则,把把 d dx x凑成凑成d d(x x).).如如(2)(2)把被积

5、函数中的某一因子与把被积函数中的某一因子与d dx x凑成一个新的微分凑成一个新的微分d d(x x).).如如“凑微分凑微分”的方法有的方法有:方法方法1 1较简单较简单,而方法而方法2 2则需一定的技巧则需一定的技巧,请同学们请同学们务必记牢以下常见的凑微分公式！务必记牢以下常见的凑微分公式！常用凑微分公式：常用凑微分公式：等等等等.例例5 5例例6 6例例7 7例例7 7例例8 8例例9 9例例1010练练习习一一6.6.7.7.8.8.例例1111另：另：例例1212类似地，类似地，例例1313练练习习说明说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去

6、凑微分次项去凑微分.例例1414例例1515或解或解例例1616例例1717例例1818例例1919解法解法1解法解法2解法解法3例例2020解解例例2121 设设 求求 .令令第一类换元积分法在积分中是经常使用的第一类换元积分法在积分中是经常使用的方法，不过如何适当地选取代换却没有一方法，不过如何适当地选取代换却没有一般的规律可循，只能般的规律可循，只能具体问题具体分析具体问题具体分析。要掌握好这种方法，需要要掌握好这种方法，需要熟记熟记一些函数的一些函数的微分公式，并善于根据这些微分公式对被微分公式，并善于根据这些微分公式对被积表达式做积表达式做适当的微分变形适当的微分变形，拼凑出合适，拼

7、凑出合适的微分因子。的微分因子。微积分微积分 不定积分不定积分 教案教案 ppt回代回代,得得 问题问题解决解决方法方法“根式替换根式替换”称为称为第二换元法第二换元法回回 代代例例1 1解解“根式替换根式替换”例例2 2解解指数替换指数替换例例5 5 求求解解 令令注意：根式替换与指数替换可以结合使用注意：根式替换与指数替换可以结合使用例例4 4解解三角替换三角替换正弦替换正弦替换例例5 5解解正切替换正切替换例例6 6解解正割替换正割替换说明说明：以上几例所使用的均为以上几例所使用的均为三角代换三角代换,目的是化掉根式目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中

8、含有可令可令可令可令可令可令 但是否一定采用三角代换并不是绝对的但是否一定采用三角代换并不是绝对的,有时有时可灵活采用别的方法可灵活采用别的方法.注意：所作代换的单调性。对三角代换而言，注意：所作代换的单调性。对三角代换而言，掌握着取单调区间即可。掌握着取单调区间即可。例例7 7解解或解：或解：倒倒数数代代换换例例8 8解解或解：或解：（练习）（练习）若被积函数包含根式若被积函数包含根式可考虑如下替换：可考虑如下替换：基基本本积积分分表表例例9 9例例1010例例1111例例1212凑微分凑微分分分部部积积分分公公式式问题问题解决思路解决思路利用两个函数乘积的求导法则利用两个函数乘积的求导法则

9、.微积分微积分 不定积分不定积分 教教案案 pptppt分部积分的过程：分部积分的过程：在两个被积函数中选择一个先积出来，使在两个被积函数中选择一个先积出来，使得原来的较难积出的不定积分转移为另一个比得原来的较难积出的不定积分转移为另一个比较容易积出的不定积分，这种新的积分技巧，较容易积出的不定积分，这种新的积分技巧，被称为被称为 “分部积分法分部积分法 ”。分部积分法中先积函数（分部积分法中先积函数（v(x)）的选择，一）的选择，一般可以遵照般可以遵照 “指三幂对反指三幂对反”的先积原则，也就的先积原则，也就是排在前面的函数，作为是排在前面的函数，作为v（与与dx凑微分后成凑微分后成dv）为

10、好。为好。例例1 1注注积分更难进行积分更难进行.例例2 2例例3 3例例4 4分部积分法可多次使用分部积分法可多次使用.练习练习总结总结 若被积函数是幂函数和正若被积函数是幂函数和正(余余)弦函数弦函数或幂函数和指数函数的乘积或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函就考虑设幂函数为数为 ,使其降幂一次使其降幂一次(假定幂指数是正整数假定幂指数是正整数)例例6 6例例7 7例例8 8例例9 9例例1010练习练习例例1111所以所以例例1212例例1313解解例例1313分部积分法与换元法结合分部积分法与换元法结合:解解例例1414解解例例1 15 5由题意由题意,微积分微积分 不定积不定积分分

11、 教案教案 ppt分部积分题目的类型:1)直接分部化简积分;2)分部产生循环式,由此解出积分式;(注意:两次分部选择的 u,v 函数类型不变,解出积分后加 C)微积分微积分 不定积不定积分分 教案教案 ppt1.下述运算错在哪里?应如何改正?得 0=1答答:不定积分是原函数族,相减不应为 0.求此积分的正确作法是用换元法.微积分微积分 不定积分不定积分 教案教案 pptppt一、有理函数的积分一、有理函数的积分假定分子与分母之间没有公因式假定分子与分母之间没有公因式有理函数是有理函数是真分式真分式；有理函数是有理函数是假分式假分式；利用多项式除法利用多项式除法,假分式可以化成一个假分式可以化成

12、一个多项式和一个真分式之和多项式和一个真分式之和.例例要点要点 将有理函数化为将有理函数化为部分分式之和部分分式之和.以下只考虑真分式的积分以下只考虑真分式的积分.將分母作因式分解，按照多项式的性质得知，得到的因式只可能出現下面四种可能 ：（1）分母分母中若有因式中若有因式 ，则分解后有，则分解后有有理函数化为部分分式之和的一般规律：有理函数化为部分分式之和的一般规律：特殊地：特殊地：分解后为分解后为（2）分母分母中若有因式中若有因式 ，其中，其中则分解后有则分解后有特殊地：特殊地：分解后为分解后为真分式化为部分分式之和的真分式化为部分分式之和的待定系数法待定系数法例例1 1代入特殊值来确定系

13、数代入特殊值来确定系数例例2 2例例3 3真分式可分为以下四种类型的分式之和：真分式可分为以下四种类型的分式之和：这四类分式均可积分这四类分式均可积分,且原函数为初等函数且原函数为初等函数.因此因此,有理函数的原函数都是初等函数有理函数的原函数都是初等函数.微积分微积分 不定积分不定积分 教案教案 pptppt变分子为 再分项积分 例例4 4例例5 5例例6 6例例7 7微积分微积分 不定积不定积分分 教案教案 ppt解解:原式思考思考:如何求提示提示:变形方法同例8,并利用 递推公式。注意注意 以上介绍的虽是有理函数积分的普遍方法，但对以上介绍的虽是有理函数积分的普遍方法，但对一个具体问题而

14、言，未必是最简捷的方法，应首先一个具体问题而言，未必是最简捷的方法，应首先考虑用其它的简便方法。考虑用其它的简便方法。如如使用凑微分法比较简单使用凑微分法比较简单基本思路基本思路尽量使分母简单尽量使分母简单降幂、拆项、同乘等降幂、拆项、同乘等化部分分式，写成分项积分化部分分式，写成分项积分可考虑引入变量代换可考虑引入变量代换例例8 8灵活运用其它方法：灵活运用其它方法：例例9 9微积分微积分 不定积分不定积分 教案教案 ppt万能代换公式：万能代换公式：化为有理函数的积分化为有理函数的积分.例例1010 求积分求积分解解或解或解所以所以万能代换不一定是最佳方法万能代换不一定是最佳方法,三角有理式积分的三角有理式积分的计算应先考虑其它手段计算应先考虑其它手段,不得已才用万能代换不得已才用万能代换.例例1111例例1212例例1313例例1414 对初等函数来说对初等函数来说,在其定义域内原函数一定存在其定义域内原函数一定存在在,但原函数不一定是初等函数但原函数不一定是初等函数,如如 等等均不是初等函数等等均不是初等函数.微积分 不定积分 教案 ppt