基本不等式1公开课.ppt

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1、进进 入入 天 才 在 于 勤 奋，努 力 才 能 成 功！20022002年在北京举行的第年在北京举行的第2424届国际数学家大会会标届国际数学家大会会标天 才 在 于 勤 奋，努 力 才 能 成 功！思考：这会标中含有怎思考：这会标中含有怎样的几何图形？样的几何图形？思考：你能否在这个图思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系案中找出一些相等关系或不等关系？或不等关系？天 才 在 于 勤 奋，努 力 才 能 成 功！ab问问2 2：RtABF,RtBCG,RtCDH,RtADERtABF,RtBCG,RtCDH,RtADE是全等三角是全等三角形，它们的面积和是形，它们的面积和是S=S=问问

2、1 1：在正方形在正方形ABCDABCD中中,设设AF=AF=a,BFa,BF=b,=b,则正方形的面积则正方形的面积为为S=S=，问问3 3：S S与与SS有什么样的关系有什么样的关系？从图形中易得，从图形中易得，s s,s s,即即问题问题1 1：S S,S有相等的情况吗？有相等的情况吗？何时相等？何时相等？图片说明：当直角三角形图片说明：当直角三角形变为等腰直角三角形，即变为等腰直角三角形，即a=ba=b时，正方形时，正方形EFGHEFGH缩为一个点，缩为一个点，这时有这时有 u形的角度形的角度u数的角度数的角度 当当a=b时时a2+b22ab=(ab)2=0结论：结论：一般地，对于任意

3、实数一般地，对于任意实数a a、b b，我们有，我们有 当且仅当当且仅当a=ba=b时，等号成立时，等号成立此不等式称为此不等式称为基本不等式基本不等式1问题问题2 2：当当 a,ba,b为任意实数时，为任意实数时，成成 立吗？立吗？所以，当且仅当所以，当且仅当a=b时，等号成立时，等号成立 a2+b22ab该结论成立的条件是什么？若a,bR，那么u形的角度形的角度u数的角度数的角度 a2+b22ab=(ab)20a0,b0 a2+b22ab公式中等号成立的条件是什么？是否仅仅当a=b时等号才成立？若a,bR，那么（当且仅当a=b时，取“=”号）u形的角度形的角度u数的角度数的角度 当当a=b

4、时时a2+b22ab=(ab)2=0a=b 若a,bR，那么a2+b22ab（当且仅当a=b时，取“=”号）公式两边具有何种运算结构？u数的角度数的角度:平方和不小于积的平方和不小于积的2倍倍 a2+b22ab如果用 去替换a、b,前提是什么？能得到什么结论?若a,bR，那么a2+b22ab（当且仅当a=b时，取“=”号）以下不等式是否成立？a2+b22ab，a2+b22|ab|u换元法换元法 类类 比比 联联 想想 推推 理理 论论 证证（特别的）如果（特别的）如果 a0 ,b0,当且仅当当且仅当 a=b a=b 时时“”号成号成立立 此不等式称此不等式称基本不等式基本不等式2 也可写成也可

5、写成那么a2+b22 a b那么那么a+b 2（当且仅当a=b时，取“=”号）若aR,bR若若a0 b0算术平均数算术平均数几何平均数几何平均数两个正数的算术平均数两个正数的算术平均数不小于不小于它们的几何平均数它们的几何平均数.正数正数aboABPQ对基本不等式对基本不等式2的的几何意义几何意义作进作进一步探究一步探究:如图如图,AB,AB是圆是圆o o的的直径，直径，Q Q是是ABAB上任上任一点，一点，AQ=AQ=a a,BQ,BQ=b b,过点过点Q Q作垂直于作垂直于ABAB的弦的弦PQPQ，连，连AP,BPAP,BP,则则PQ=PQ=_,半径半径PO=PO=_几何意义：几何意义：圆

6、的半径不小于圆内半弦长圆的半径不小于圆内半弦长因为因为POPQ，所以，所以例例1 1：用用1616米米长长的的篱篱笆笆围围成成一一个个菜菜园园，可可分分别别围围成成长长方方形形，正正方方形形，圆圆。问问围围成成怎怎样样的的形形状状会会使使得得菜菜园园的的面面积最大？这个最大的面积是多少？积最大？这个最大的面积是多少？解：解：1 1）围成长方形时，设菜园的长为）围成长方形时，设菜园的长为6 6米，宽为米，宽为2 2米，米，则面积为则面积为1212平方米。平方米。结论：结论：1 1）周长相等的情况下，圆的面积最大。周长相等的情况下，圆的面积最大。2）围成正方形时，面积为）围成正方形时，面积为16平

7、方米平方米3）围成圆时，面积是多少？）围成圆时，面积是多少？由周长为由周长为16可求得半径为可求得半径为2 2）在周长相等的矩形中，正方形的面积最大。）在周长相等的矩形中，正方形的面积最大。求证：在周长相等的矩形中，正方形的面积最大。求证：在周长相等的矩形中，正方形的面积最大。证明：若假设矩形的两边长为证明：若假设矩形的两边长为a、b，则面积为，则面积为 相同的周长的条件下，对应的正方形的边长为相同的周长的条件下，对应的正方形的边长为面积为面积为基本不等式基本不等式2不等式的基本性质不等式的基本性质7发现运算结构发现运算结构,应用不等式应用不等式例例2试求证试求证如果将条件改如果将条件改为为“x0,所以所以发现运算结构发现运算结构,应用不等式应用不等式发现运算结构发现运算结构,应用不等式应用不等式发现运算结构发现运算结构,应用不等式应用不等式变式变式3.试判断试判断 与与 2 的的大小关系？大小关系？若将条件若将条件“a0,b0”改改为为“ab0”结论结论如何？如何？若将条件若将条件“a0,b0”改改为为“ab0，b0，那么，那么 构建和谐结构构建和谐结构绘制优美图形绘制优美图形感受文化内涵感受文化内涵体验实际应用体验实际应用