人教版高中数学必修一集合与函数基础知识讲.pdf-得力文库

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1、集合与函数概念11 集合（一）集合的有关概念定义：一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集。2.表示方法：集合通常用大括号或大写的拉丁字母A,B,C,表示，而元素用小写的拉丁字母a,b,c,表示。3.集合相等：构成两个集合的元素完全一样。4.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于”及“不属于两种)若 a 是集合 A 中的元素，则称a 属于集合A，记作 aA；若 a 不是集合A 的元素，则称a 不属于集合A，记作 aA。5.常用的数集及记法：非负整数集（或自然数集），记作 N；正整数集，记作N*或 N+；N内排除 0 的集.整数集，记作Z；有理数集，记作

2、Q；实数集，记作R；6.关于集合的元素的特征确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）。“中国古代四大发明”（造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大的数”，“平面点P周围的点”一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的.互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。.如:方程(x-2)(x-1)2=0 的解集表示为1,-2,而不是1,1,-2无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。练 1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：大于 3 小于 11 的

3、偶数；我国的小河流；非负奇数；方程 x2+1=0的解；某校 2011 级新生；血压很高的人；著名的数学家；平面直角坐标系内所有第三象限的点7.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于”及“不属于”两种)若 a 是集合 A 中的元素，则称a 属于集合A，记作 aA；若 a 不是集合A 的元素，则称a 不属于集合A，记作 aA。例如，我们A表示“120 以内的所有质数”组成的集合，则有3 A，4A，等等。练：A=2，4，8，16，则 4A，8A，32A.（二）例题讲解：例 1用“”或“”符号填空：2 8 N；0 N；-3 Z；2 Q；设 A为所有亚洲国家组成的集合，则中国 A，美国 A，印度

4、A，英国 A。练：5 页题例 2已知集合P的元素为21,3m mm,若 2P且-1P，求实数m的值。练：考察下列对象是否能形成一个集合？身材高大的人所有的一元二次方程直角坐标平面上纵横坐标相等的点细长的矩形的全体比 2 大的几个数2的近似值的全体所有的小正数所有的数学难题给出下面四个关系:3R,0.7Q,00,0N,其中正确的个数是:()A4 个 B3 个 C2 个 D1 个下面有四个命题:若-a,则 a若 a,b,则 a+b 的最小值是2 集合 N中最小元素是1 x2+4=4x 的解集可表示为2,2 其中正确命题的个数是(由实数-a,a,a,a2,-5a5为元素组成的集合中,最多有几个元素?

5、分别为什么?求集合 2a,a2+a中元素应满足的条件?若t1t1t,求 t 的值.一、集合的表示方法列举法：把集合中的元素一一列举出来,并用花括号“”括起来表示集合的方法叫列举法。如：1，2，3，4，5，x2，3x+2，5y3-x，x2+y2，,；说明：书写时，元素与元素之间用逗号分开；一般不必考虑元素之间的顺序；在表示数列之类的特殊集合时,通常仍按惯用的次序；集合中的元素可以为数，点，代数式等；列举法可表示有限集，也可以表示无限集。当元素个数比较少时用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示。对于含有较多元素的集合，用列举法表示时

6、，必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号，象自然数集用列举法表示为1,2,3,4,5,.例 1用列举法表示下列集合：(1)小于 5 的正奇数组成的集合；(2)能被 3 整除而且大于4 小于 15 的自然数组成的集合；(3)从 51 到 100 的所有整数的集合；(4)小于 10 的所有自然数组成的集合；(5)方程2xx的所有实数根组成的集合；由 120 以内的所有质数组成的集合。描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法。方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。一般格式：()xA p x如

7、：x|x-32，(x,y)|y=x2+1，x|直角三角形，,；说明:描述法表示集合应注意集合的代表元素，如(x,y)|y=x2+3x+2 与 y|y=x2+3x+2 是不同的两个集合，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：整数，即代表整数集Z。辨析：这里的已包含“所有”的意思，所以不必写全体整数。写法实数集，R 也是错误的。用符号描述法表示集合时应注意：、弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么）是数还是点、还是集合、还是其他形式？、元素具有怎么的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑。例 2用描述法表示下列集合：(1)由适合

8、x2-x-20的所有解组成的集合;(2)到定点距离等于定长的点的集合;(3)方程220 x的所有实数根组成的集合(4)由大于 10 小于 20 的所有整数组成的集合。说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。练习：5 页 2 题1用适当的方法表示集合：大于0 的所有奇数2集合 Ax|43xZ，xN，则它的元素是。3.已知集合Ax|-3x3，xZ，B(x,y)|yx2+1，xA，则集合 B用列举法表示是.判断下列两组集合是否相等？（1）A=x|y=x+1与 B=y|y=x+1;(2)A=自然数与 B=正整数二

9、、集合的分类观察下列三个集合的元素个数1.4.8,7.3,3.1,-9;2.xR0 x3;3.xRx2+1=0由此可以得到集合的分类:()emptyset有限集含有有限个元素的集合无限集含有无限个元素的集合空集不含有任何元素的集合三、文氏图集合的表示除了上述两种方法以外，还有文氏图法，即画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合，如下图所示：A 3,9,27 4 典型例题【题型一】元素与集合的关系、设集合A，a,b,B=a,a,ab,且 A=B，求实数 a，b.、已知集合A a+2，（a+1)，a+3a+3若 1A,求实数 a 的值。【题型二】元素的特征、已知集合M=xNx16Z,求 M 已知

10、集合C=x16Zx N,求 C 点拔：要注意M 与 C 的区别，集合M 中的元素是自然数x，满足x16是整数，集合C 是的元素是整数x16，满足条件是xN 练习：.给出下列四个关系式：3R；Q；0N；0其中正确的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4.方程组的解组成的集合是()A.2,1B.-1,2C.（2,1）D.（2,1）3.把集合-3 x3,xN用列举法表示，正确的是()A.3,2,1B.3,2,1,0C.-2,-1,0,1,2D.-3,-2,-1,0,1,2,3 4.下列说法正确的是()A.0是空集B.xQx6Z是有限集C.xQx2+x+2=0是空集D.2,1与 1,2是不同的集合二

11、填空题：、以实数为元素构成的集合的元素最多有个；、以实数a，2-a.,4 为元素组成一个集合A，A 中含有个元素，则的a 值为.、集合M=yZ y=x38,x Z,用列举法表示是M。、已知集合A 2a,a2-a，则 a 的取值范围是。三、解答题：、设 A xx2+(b+2)x+b+1=0,b R求 A 的所有元素之和。10.已知集合A a,2b-1,a+2bB=x x3-11x2+30 x=0,若 A=B，求 a,b 的值。集合间的基本关系比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系：（1）1,2,3A，1,2,3,4,5B；（2）C北京一中高一一班全体女生，D北京一中高一一班全体学生；（3）|

12、Ex x是两条边相等的三角形，Fx x是等腰三角形观察可得：13yxyx表示任意一个集合A 表示 3，9，27 子集：对于两个集合A，B，如果集合A的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合 B 的子集（subset）。记作：()ABBA或读作：A 包含于 B，或 B 包含 A 当集合 A 不包含于集合B 时，记作A?B(或 B?A)用 Venn 图表示两个集合间的“包含”关系：集合相等定义：如果 A 是集合 B 的子集，且集合B 是集合 A 的子集，则集合A 与集合 B 中的元素是一样的，因此集合A 与集合 B 相等，即若ABBA且，则AB。如：A=x

13、|x=2m+1，mZ，B=x|x=2n-1，nZ，此时有A=B。真子集定义：若集合AB，但存在元素,xBxA且，则称集合A 是集合 B 的真子集。记作：A B（或 BA）读作：A 真包含于 B（或 B 真包含 A）4.空集定义：不含有任何元素的集合称为空集。记作：用适当的符号填空：0；0；0 5.几个重要的结论：空集是任何集合的子集；对于任意一个集合A 都有A。空集是任何非空集合的真子集；任何一个集合是它本身的子集；对于集合A，B，C，如果 AB，且 BC，那么 AC。练习：填空：2 N；2N；A;已知集合Ax|x2 3x20，B1,2，Cx|x3，Bx|x3，Bx|x6，则 A B。3.一些

14、特殊结论A B A(B)A B B A B A（阴影部分即为A 与 B 的交集）若 AB,则 AB=A；若 BA,则 AB=A；若 A，B 两集合中，B=，,则 A=,A=A。【题型一】并集与交集的运算【例 1】设 A=x|-1x2,B=x|1x3,求 AB。解：AB=x|-1x2x|1x3=x|-1x-2，B=x|x-2x|x3=x|-2x3。【例 3】已知集合A y|y=x2-2x-3,x R,B=y|y=-x2+2x+13,x R求 AB、AB【题型二】并集、交集的应用例：设集合A a+1,3,5,B=2a+1,a2+2a,a2+2a-1，当 AB=，时，求 A B 解：a+1 2 a1

16、-1,那么 MN 等于（）A.B.NC.MD.R 7、若集合 A 1，3，x,B=1,x2,A B 1，3，x,则满足条件的实数x 的个数有（）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个8.满足条件M 1 1，2，3的集合M 的个数是。9.已知集合A x|-1x2,B=x|2axa+3,且满足 A B，则实数a的聚取值啊范围是。集合的基本运算思考 1 U=全班同学、A=全班参加足球队的同学、B=全班没有参加足球队的同学，则 U、A、B 有何关系？集合 B 是集合 U 中除去集合A 之后余下来的集合。（一）.全集、补集概念及性质：全集的定义：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，

17、那么就称这个集合为全集,记作 U，是相对于所研究问题而言的一个相对概念。补集的定义：对于一个集合A，由全集 U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合，叫作集合 A 相对于全集U 的补集,记作：UC A，读作：A 在 U 中的补集，即,UC Ax xUxA且Venn 图表示：（阴影部分即为A 在全集 U 中的补集）-2 3-1 1 2 3 8 AUCUA说明：补集的概念必须要有全集的限制讨论：集合A 与UC A之间有什么关系？借助Venn 图分析,()UUUUACAACAUCCAA,UUC UCU巩固练习（口答）：U=2,3,4，A=4,3，B=，则UC A=，UC B=；设 Ux|x8，且 x

18、N，Ax|(x-2)(x-4)(x-5)0，则UC A；设 U三角形，A 锐角三角形，则UC A。【题型 1】求补集【例 1】设全集,1 2 33 4 5 6UxABx是小于 9的正整数，求UC A，UC B【例 2】设全集4,23,33Ux xAxxBxx集合，求UC A，AB，,(),()(),()(),()UUUUUUAB CABC AC BC AC B CAB。（结论：()()(),()()()UUUUUUCABC AC B CABC AC B）【例 3】设全集U 为 R，22120,50Ax xpxBx xxq，若()2,()4UUC ABAC B，求AB。（答案：2,3,4）【例

19、4】设全集U x|-1x3,A=x|-1x3,B=x|x2-2x-3=0,求UC A，并且判断UC A和集合B 的关系。【题型 1】集合的混合运算已知全集为 R，集合 P=x|xa2+4a+1,aR,Q=y|y-b2+2b+3,bR求 PQ 和 PRQC。（III）课堂练习：若 S=2，3，4，A=4，3，则 CSA=2；若 S=三角形，B=锐角三角形，则 CSB=直角三角形或钝角三角形；若 S=1，2，4，8，A=?，则 CSA=S；若 U=1，3，a2+2a+1，A=1，3，CUA=5，则 a=；-15已知 A=0，2，4，CUA=-1，1，CUB=-1，0，2，求 B=1，4；设全集

20、U=2，3，m2+2m-3，A=|m+1|，2，CUA=5，求 m 的值；（m=-4 或 m=2）已知全集U=1，2，3，4，A=x|x2-5x+m=0，xU，求 CUA、m；（答案：CUA=2，3，m=4；CUA=1，4，m=6）已知全集U=R,集合 A=x|00,A=1,3,5,7,9,B=1,4,7,10，且,XAXBX，试求 p、q；集合 A=x|x2+px-2=0,B=x|x2-x+q=0,若 AB=-2，0，1，求 p、q；A=2，3，a2+4a+2，B=0，7，a2+4a-2，2-a，且 AB=3，7，求 B 22.某班举行数、理、化三科竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的

21、有27 人，参加物理竞赛的有25 人，参加化学竞赛的有27 人，其中参加数学、物理两科的有10 人，参加物理、化学两科的有7 人，参加数学、化学两科的有11 人，而参加数、理、化三科的有4人，求全班人数。集合中元素的个数在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题。我们把含有有限个元素的集合A 叫做有限集，用 card(A)表示集合 A 中元素的个数。例如：集合A=a,b,c 中有三个元素，我们记作card(A)=3.结论:已知两个有限集合A，B，有：card(AB)=card(A)+card(B)-card(A B).例 1 学校先举办了一次田径运动会，某班有8 名同学参赛，又举办了一次球

22、类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3 人，两次运动会中，这个班共有多少名同学参赛？解设 A=田径运动会参赛的学生，B=球类运动会参赛的学生，AB=两次运动会都参赛的学生,A B=所有参赛的学生因此 card(AB)=card(A)+card(B)-card(A B)=8+12-3=17.答：两次运动会中，这个班共有17名同学参赛.在某校高一(5)班的学生中参加物理课外小组的有20人参加数学课外小组的有 25人，既参加数学课外小组又参加物理课外小组的有10人，既未参加物理课外小组又未参加数学课外小组的有15人，则这个班的学生总人数是A.70B.55C.50D.无法确定.给出

23、下列命题：给出下列命题：若 card(A)=card(B)，则 A=B；若 card(A)=card(B)，则 card(A B)=card(AB),若 AB=则 card(AB)-card(A)=card(B)若 A=，则 card(A B)=card(A)若 A B，则 card(A B)=card(A)，其中正确的命题的序号是10 高一数学必修1 集合练习题1一选择题1下列说法正确的是（）A某个村子里的年青人组成一个集合B所有小正数组成的集合C集合，和，表示同一个集合D1 3 611,0.5,2 2 44这些数组成的集合有五个元素2下面有四个命题：（）集合中最小的数是否；（）是自然数；（

24、），是不大于的自然数组成的集合；（）,aN BNab则不小于 2其中正确的命题的个数是（）A个个个个3给出下列关系：（）;R12（）2;Q（）3;N（）3.Q其中正确的个数为（）个个个个4给出下列关系：（）是空集；（）,;aNaN若则（）集合2210AxR xx（）集合6BxQNx其中正确的个数为（）个个个个下列四个命题：（）空集没有了集；（）空集是任何一个集合的真子集；（）空集的元素个数为零；（）任何一个集合必有两个或两个以上的子集其中正确的有（）0 个 1 个 2 个 3 个已知集合5,1,AxR xBxR x那么AB等于（），15xRx已知全集0,1,2.3,4,I集合0,1,2,0,3

25、,4,IMNMN则 e（）3,41,2二填空题方程的解集为22320,xRxx用列举法表示为_.用列举法表示不等式组27211,325312xxxxx的整数解集合为_.10已知菱形，正方形，平行四边形，那么，之间的关系是_.11已知全集，集合5AxR x，则AUe用列举法表示为_.三解答题12已知2230,2560,.Ax xxBx xxAB求13已知2246,218,Ay yxxyNBy yxxyNAB,求14若集合21,3,1,1,3,AxBxABx且则满足于条件的实数x的个数有（）个个个个15设集合23,0,1,1,ABttABA若，则实数t_12 16已知全集5,42,13,0

26、,2URAxxBxxPxxx或那么_,_ABABPUe17.220,20,1,.Ax xpxqBx xpxqABAB且求18设1,Ax xBx xa且AB,求 a 的取值范围19试用适当的符号把23236,abaR bR和连接起来20已知集合222430,10,10,Ax xxBx xaxaCx xmx,ABA ACCa m且求的值或取值范围第 1 讲 1.1.1 集合的含义与表示学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三

27、个特征.知识要点：1.把一些元素组成的总体叫作集合（set），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性.2.集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来，基本形式为123,na aaa，适用于有限集或元素间存在规律的无限集.描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为|()xA P x，既要关注代表元素x，也要把握其属性()P x，适用于无限集.3.通常用大写拉丁字母,A B C表示集合.要记住一些常见数集的表示，如自然数集N，正整数集*N或N，整数集Z，有理数集Q，实数集 R.4.元素与集合之间的关系是属于（belong to）与不属于（not

28、belong to），分别用符号、表示，例如3N，2N.例题精讲：【例 1】试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）由方程2(23)0 x xx的所有实数根组成的集合；（2）大于 2 且小于 7 的整数.解：（1）用描述法表示为：2|(23)0 xR x xx；用列举法表示为0,1,3.（2）用描述法表示为：|27xZx；用列举法表示为3,4,5,6.【例 2】用适当的符号填空：已知|32,Ax xkkZ，|61,Bx xmmZ，则有：17 A；5 A；17 B.解：由3217k，解得5kZ，所以17A；由325k，解得73kZ，所以5A；由6117m，解得3mZ，所以17B.【例 3】试选

29、择适当的方法表示下列集合：（教材 P6练习题 2，P13A 组题 4）（1）一次函数3yx与26yx的图象的交点组成的集合；（2）二次函数24yx的函数值组成的集合；（3）反比例函数2yx的自变量的值组成的集合.解：（1）3(,)|(1,4)26yxx yyx.（2）2|4|4y yxyy.（3）2|0 x yx xx.点评：以上代表元素，分别是点、函数值、自变量.在解题中不能把点的坐标混淆为1,4，也注意对比（2）与（3）中的两个集合，自变量的范围和函数值的范围，有着本质上不同，分析时一定要细心.*【例 4】已知集合2|12xaAax有唯一实数解，试用列举法表示集合A解：化方程212xax为

30、：2(2)0 xxa应分以下三种情况：方程有等根且不是2：由=0，得94a，此时的解为12x，合方程有一解为2，而另一解不是2：将2x代入得2a，此时另一解12x，合方程有一解为2，而另一解不是2：将2x代入得2a，此时另一解为21x，合综上可知，9,2,24A点评：运用分类讨论思想方法，研究出根的情况，从而列举法表示.注意分式方程易造成增根的现象.第 2 讲 1.1.2 集合间的基本关系学习目标：理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义；能利用Venn图表达集合间的关系.知识要点：1.一般地，对于两个集合A、B，如果集合A 中的任意一个元素都是集

31、合B 中的元素，则说两个集合有包含关系，其中集合A 是集合 B 的子集（subset），记作AB（或BA），读作“A 含于 B”（或“B 包含 A”）.2.如果集合A 是集合 B 的子集（AB），且集合B 是集合 A 的子集（BA），即集合A 与集合 B 的元素是一样的，因此集合A 与集合 B 相等，记作AB.3.如果集合AB，但存在元素xB，且xA，则称集合A 是集合 B 的真子集（proper subset），记作AB（或 BA）.4.不含任何元素的集合叫作空集（empty set），记作，并规定空集是任何集合的子集.5.性质：AA；若AB，BC，则AC；14 ABBAABABABCD若A

32、BA，则AB；若ABA，则BA.例题精讲：【例 1】用适当的符号填空：（1）菱形平行四边形；等腰三角形等边三角形.（2）2|20 xRx；0 0；0；N0.解：（1），；（2）=，.【例 2】设集合1,22|,|nnxnnAx xBxZZ，则下列图形能表示A 与 B 关系的是（）.解：简单列举两个集合的一些元素，3113,1,0,1,2222A，31 1 3,22 2 2B，易知 BA，故答案选A另解：由21,2|nxnBxZ，易知 BA，故答案选A【例 3】若集合2|60,|10Mx xxNx ax，且NM，求实数a的值.解：由26023xxx或，因此，2,3M.（i）若0a时，得N，

33、此时，NM；（ii）若0a时，得1Na.若NM,满足1123aa或，解得1123aa或.故所求实数a的值为0或12或13.点评：在考察“AB”这一关系时，不要忘记“”，因为A时存在AB.从而需要分情况讨论.题中讨论的主线是依据待定的元素进行.【例 4】已知集合A=a,a+b,a+2b，B=a,ax,ax2.若 A=B，求实数x 的值.解：若22abaxabaxa+ax2-2ax=0,所以 a(x-1)2=0，即 a=0 或 x=1.当 a=0 时，集合 B 中的元素均为0，故舍去；当 x=1 时，集合B 中的元素均相同，故舍去.若22abaxabax2ax2-ax-a=0.因为 a0，所以 2

34、x2-x-1=0,即(x-1)(2 x+1)=0.又 x1，所以只有12x.经检验，此时A=B 成立.综上所述12x.点评：抓住集合相等的定义，分情况进行讨论.融入方程组思想，结合元素的互异性确定集合.第 3 讲 1.1.3 集合的基本运算（一）学习目标：理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.知识要点：集合的基本运算有三种，即交、并、补，学习时先理解概念，并掌握符号等，再结合解题的训练，而达到掌握的层次.下面以表格的形式归纳三种基本运算如下

35、.并集交集补集概念由所有属于集合A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集（union set）由属于集合A 且属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的交集（intersection set）对于集合A,由全集 U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合，称为集合A 相对于全集U的补集（complementary set）记号AB（读作“A 并 B”）AB（读作“A 交 B”）UAe（读作“A 的补集”）符号|,ABx xAxB或|,ABx xAxB且|,UAx xUxA且e图形表示例题精讲：【例 1】设集合,|15,|39,()UUR AxxBxxA

36、BAB求e.解：在数轴上表示出集合A、B，如右图所示：|35ABxx，()|1,9UCABx xx或，【例 2】设|6AxZx，1,2,3,3,4,5,6BC，求：（1）()ABC；（2）()AABCe.解：6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6A.（1）又3BC，()ABC3；（2）又1,2,3,4,5,6BC，得()6,5,4,3,2,1,0ACBC.()AACBC6,5,4,3,2,1,0.【例 3】已知集合|24Axx，|Bx xm，且ABA，求实数m 的取值范围.解：由ABA，可得AB.在数轴上表示集合A 与集合 B，如右图所示：由图形可知，4m.点评：研究不等式所表示的

37、集合问题，常常由集合之间的关系，得到各端点之间的关系，特别要注意是否含端点的问题.【例 4】已知全集*|10,Ux xxN且，2,4,5,8A，1,3,5,8B，求()UCAB，()UCAB，()()UUC AC B，()()UUC AC B，并比较它们的关系.解：由1,2,3,4,5,8AB，则()6,7,9UCAB.由5,8AB，则()1,2,3,4,6,7,9UCAB由1,3,6,7,9UC A，2,4,6,7,9UC B，则()()6,7,9UUC AC B，()()1,2,3,4,6,7,9UUC AC B.由计算结果可以知道，()()()UUUC AC BCAB，()()()UUU

38、C AC BCAB.另解：作出Venn图，如右图所示，由图形可以直接观察出来结果.点评：可用 Venn 图研究()()()UUUC AC BCAB与()()()UUUC AC BCAB，在理解的基础记住此结论，有助于今后迅速解决一些集合问题.第 4 讲 1.1.3 集合的基本运算（二）学习目标：掌握集合、交集、并集、补集的有关性质，运行性质解决一些简单的问题；掌握集合运算中的一些数学思想方法.知识要点：1.含两个集合的Venn 图有四个区域，分别对应着这两个集合运算的结果.我们需通过Venn 图理解和掌握各区域的集合运算表示，解决一类可用列举法表示的集合运算.通过图形，我们还可以发现一些集合性

39、质：()()()UUUCABC AC B,()()()UUUCABC AC B.2.集合元素个数公式：()()()()n ABn An Bn AB.3.在研究集合问题时，常常用到分类讨论思想、数形结合思想等.也常由新的定义考查创新思维.例题精讲：U A-2 4 m xBAA B-1 3 5 9 x 16【例 1】设集合24,21,9,5,1AaaBaa，若9AB，求实数a的值.解：由于24,21,9,5,1AaaBaa，且9AB，则有：当21 9a 时，解得5a，此时=4,9,25=9,0,4AB，不合题意，故舍去；当29a 时，解得33a 或.3=4,5,9=9,2,2aAB 时，不合题意，

40、故舍去；3=4,7 9=9,8,4aAB，合题意.所以，3a.【例 2】设集合|(3)()0,AxxxaaR，|(4)(1)0Bxxx，求AB,AB.（教材 P14B 组题 2）解：1,4B.当3a时，3A，则1,3,4AB，AB；当1a时，1,3A，则1,3,4AB，1AB；当4a时，3,4A，则1,3,4AB，4AB；当3a且1a且4a时，3,Aa，则1,3,4,ABa，AB.点评：集合 A 含有参数a，需要对参数a 进行分情况讨论.罗列参数a 的各种情况时，需依据集合的性质和影响运算结果的可能而进行分析，不多不少是分类的原则.【例 3】设集合A=x|240 xx，B=x|222(1)10

41、 xaxa，aR，若 AB=B，求实数a的值解：先化简集合A=4,0.由 AB=B，则 BA，可知集合B 可为，或为 0，或 4，或 4,0.(i)若 B=，则224(1)4(1)0aa，解得a1；(ii)若0B，代入得2a1=0a=1 或a=1，当a=1 时，B=A，符合题意；当a=1时，B=0A，也符合题意(iii)若 4B，代入得2870aaa=7 或a=1，当a=1 时，已经讨论，符合题意；当a=7 时，B=12，4，不符合题意综上可得，a=1 或a1点评：此题考查分类讨论的思想，以及集合间的关系的应用.通过深刻理解集合表示法的转换，及集合之间的关系，可以把相关问题化归为解方程的问题，

42、这是数学中的化归思想，是重要数学思想方法解该题时，特别容易出现的错误是遗漏了A=B 和 B=的情形，从而造成错误这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题.【例4】对集合A 与B，若定义|,ABx xAxB且，当集合*|8,Ax xxN，集合|(2)(5)(6)0Bx x xxx时，有AB=.（由教材P12补集定义“集合A 相对于全集U 的补集为|,UC Ax xxA且”而拓展）解：根据题意可知，1,2,3,4,5,6,7,8A，0,2,5,6B由定义|,ABx xAxB且，则1,3,4,7,8AB.点评：运用新定义解题是学习能力的发展，也是一种创新思维的训练，关键是理解定义的实

43、质性内涵，这里新定义的含义是从A 中排除 B 的元素.如果再给定全集U，则AB也相当于()UAC B.第 5 讲 1.2.1 函数的概念学习目标：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.知识要点：1.设 A、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：AB 为从集合 A到集合 B的一个函数（function），记作y=()f x，xA其中，x 叫自变量，

45、以，函数|1|24|yxx的图象如右图所示.点评：含有绝对值的函数式，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数，然后根据定义域的分段情况，选择相应的解析式作出函数图象.【例 4】函数()f xx的函数值表示不超过x 的最大整数，例如 3.54，2.12，当(2.5,3x时，写出()f x的解析式，并作出函数的图象.解：3,2.522,211,10()0,011,122,233,3xxxf xxxxx.函数图象如右：点评：解题关键是理解符号m的概念，抓住分段函数的对应函数式.第 7 讲 1.3.1 函数的单调性学习目标：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；

46、学会运用函数图像理解和研究函数的性质.理解增区间、减区间等概念，掌握增（减）函数的证明和判别.知识要点：1.增函数：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量x1，x2，当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在区间 D 上是增函数（increasing function）.仿照增函数的定义可定义减函数.2.如果函数 f(x)在某个区间D 上是增函数或减函数，就说f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫 f(x)的单调区间.在单调区间上，增函数的图象是从左向右是上升的（如右图1），减函数的图象从左向右是下降的（如右图2

47、）.由此，可以直观观察函数图象上升与下降的变化趋势，得到函数的单调区间及单调性.3.判断单调性的步骤：设x1、x2给定区间，且x1x2；计算f(x1)f(x2)判断符号下结论.例题精讲：【例 1】试用函数单调性的定义判断函数2()1xf xx在区间（0，1）上的单调性.解：任取12,x x(0,1)，且12xx.则1221121212222()()()11(1)(1)xxxxf xf xxxxx.由于1201xx，110 x，210 x，210 xx，故12()()0f xf x，即12()()f xf x.所以，函数2()1xf xx在（0，1）上是减函数.【例 2】求二次函数2()(0)f

48、 xaxbxca的单调区间及单调性.解：设任意12,x xR，且12xx.则22121122()()()()f xf xaxbxcaxbxc221212()()a xxb xx1212()()xxa xxb.若0a，当122bxxa时，有120 xx，12bxxa，即12()0a xxb，从而12()()0f xf x，即12()()f xf x，所以()f x在(,2ba上单调递增.同理可得()f x在,)2ba上单调递减.【例 3】求下列函数的单调区间：（1）|1|24|yxx；（2）22|3yxx.解：（1）33,1|1|24|5,2133,2xxyxxxxxx，其图象如右.由图可知，函

49、数在 2,)上是增函数，在(,2上是减函数.（2）22223,02|323,0 xxxyxxxxx，其图象如右.由图可知，函数在(,1、0,1上是增函数，在 1,0、1,)上是减函数.点评：函数式中含有绝对值，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数.第 2 小题也可以由偶函数的对称性，先作y 轴右侧的图象，并把y 轴右侧的图象对折到左侧，得到(|)fx的图象.由图象研究单调性，关键在于正确作出函数图象.【例 4】已知31()2xf xx，指出()f x的单调区间.解：3(2)55()322xf xxx，把5()g xx的图象沿x 轴方向向左平移2 个单位，再沿y 轴向上平移3

50、个单位，得到()f x的图象，如图所示.由图象得()f x在(,2)单调递增，在(2,)上单调递增.点评：变形后结合平移知识，由平移变换得到一类分式函数的图象.需知()f xab平移变换规律.第 8 讲 1.3.1 函数最大（小）值学习目标：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的最大（小）值及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质.能利用单调性求函数的最大（小）值.知识要点：20 1.定义最大值：设函数()yfx的定义域为I，如果存在实数M 满足：对于任意的xI，都有()f x M；存在 x0I，使得0()f x=M.那么，称 M 是函数()yf x的最大值（Maximum Va

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