基底维数坐标.ppt

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1、第三节第三节 向量空间的结构向量空间的结构 一、向量组的秩与极大无关组一、向量组的秩与极大无关组 二、二、向量空间的基与维数向量空间的基与维数 三、向量空间的基与维数三、向量空间的基与维数 定义定义 一、向量组的秩与极大无关组一、向量组的秩与极大无关组 定理定理1 1 也等于它的行向量组的秩。也等于它的行向量组的秩。矩阵的秩等于它的列向量组的秩，矩阵的秩等于它的列向量组的秩，结论结论 说明说明 如阶梯形矩阵如阶梯形矩阵 定理定理2 2 推论推论1 1 推论推论2 2 定理定理3 3 说明说明:矩阵的矩阵的初等行变换初等行变换不改变不改变(部分或全部部分或全部)列列 向量向量之间的线性关系；之间

2、的线性关系；矩阵的矩阵的初等列变换初等列变换不改不改 变变(部分或全部部分或全部)行向量行向量之间的线性关系。之间的线性关系。事实上事实上 定理定理3 3 推论推论1 1 等价向量组有相同的秩，但反之不真。等价向量组有相同的秩，但反之不真。那末，向量组那末，向量组 就称为向量的一个基，就称为向量的一个基，称为向量空间称为向量空间 的维数，并称的维数，并称 为为 维向量空间维向量空间,记作记作 dimV=r。二、向量空间的基与维数二、向量空间的基与维数 定义定义3 3 设设 是向量空间，如果是向量空间，如果 个向量个向量 ，且满足，且满足 （1）只含有零向量的向量空间称为）只含有零向量的向量空间

3、称为0维向量空维向量空间，因此它没有基间，因此它没有基说明说明 （4）若向量组）若向量组 是向量空间是向量空间 的一的一个基，则个基，则 可表示为可表示为 （2）若把向量空间）若把向量空间 看作向量组，那末看作向量组，那末 的基的基就是向量组的极大无关组就是向量组的极大无关组,的维数就是向量组的的维数就是向量组的秩秩.（3）如果）如果V是向量空间，是向量空间，V的任何的任何r个线性无关个线性无关的向量都是的向量都是V的一个基的一个基 那么，同一个向量在不同的基下的坐标有什那么，同一个向量在不同的基下的坐标有什么关系呢？换句话说，随着基的改变，向量的坐么关系呢？换句话说，随着基的改变，向量的坐标

4、如何改变呢？标如何改变呢？问题：在问题：在 维线性空间维线性空间 中，任意中，任意 个线性个线性无关的向量都可以作为无关的向量都可以作为 的一组基对于不同的的一组基对于不同的基，同一个向量的坐标是不同的基，同一个向量的坐标是不同的二、基变换与坐标变换二、基变换与坐标变换 它们是等价向量组，故它们是等价向量组，故 其中其中P是是n阶矩阵，阶矩阵，的的过渡矩阵过渡矩阵，由上式可知由上式可知P可逆。可逆。(1)则由则由 由坐标的唯一性得：由坐标的唯一性得：(1)式式(2)式分别称为式分别称为基变换公式基变换公式和和坐标变换公式坐标变换公式。(2)例例5 见见P121例例3 解解教材教材P123 初等行变换初等行变换