大学物理(II)5刚体的定轴转动.ppt

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1、一一.刚体刚体FF无论多大外力作用，无论多大外力作用，体内任意两点距离不变体内任意两点距离不变二二.刚体的运动种类刚体的运动种类FF平动平动：可视为质点研究可视为质点研究vv5-1 刚体的运动刚体的运动转动转动：绕轴转动绕轴转动绕点转动绕点转动绕定轴，定轴转动必须掌握绕定轴，定轴转动必须掌握绕动轴绕动轴：多个绕轴转动的叠加：多个绕轴转动的叠加三三.角速度矢量角速度矢量FF方向：据右手方向：据右手定则判定定则判定对刚体上任意对刚体上任意对刚体上任意对刚体上任意P P点：点：点：点：圆周运动圆周运动刚体各点角量相同，但线量不同刚体各点角量相同，但线量不同刚体各点角量相同，但线量不同刚体各点角量相同

2、，但线量不同转动平面转动平面匀速：匀速：匀变速：匀变速：5-2 5-2 对转轴的力矩对转轴的力矩 转动定律转动定律一、对转轴的力矩一、对转轴的力矩1 1、力在转动平面内：、力在转动平面内：FrdMFFFr转动转动平面平面对转动无贡献。对转动无贡献。2 2、力不在转动平面内：力不在转动平面内：21外力对转轴外力对转轴z的力矩的力矩:方向方向(平行转轴向上平行转轴向上)：0二、二、转动定律转动定律外力外力:内力内力:质元质元仅考虑转动平面内受的力仅考虑转动平面内受的力:对对用牛二律：用牛二律：切向：切向：法向法向:分力垂直转轴分力垂直转轴-对转动无影响对转动无影响乘以乘以 ri外力矩外力矩内力矩内

3、力矩刚体定轴转动的转动定律。刚体定轴转动的转动定律。整个刚体：整个刚体：合外力矩合外力矩MZ合内力矩合内力矩=0转动惯量转动惯量I(形式同牛二律 F=ma)三、三、(刚体对转轴的)转动惯量：转动惯量：大小与刚体的总质量、质量分布以及转大小与刚体的总质量、质量分布以及转轴的位置有关。轴的位置有关。求法：求法：1、分离质量：、分离质量：是刚体转动惯性大小的量度是刚体转动惯性大小的量度 定义定义:质量线密度质量线密度 质量面分布：质量面分布：质量面密度质量面密度 质量体分布：质量体分布：质量体密度质量体密度 质量线分布：质量线分布：2、质量连续分布：、质量连续分布：例例求质量求质量m，长，长 l 的

4、均匀细棒对下列转轴的均匀细棒对下列转轴的的I:1.过过O并垂直棒的轴；并垂直棒的轴；2.过端点并垂直棒的轴；过端点并垂直棒的轴；3.距距O为为 h 并垂直棒的轴。并垂直棒的轴。m lo解：解：m lm lh平行轴定理平行轴定理对过质心的轴的转动惯量对过质心的轴的转动惯量例长例长a、宽、宽b的匀质矩形薄平板，质量为的匀质矩形薄平板，质量为m。求求:(1)对通过平板中心并与长边平行的轴的转动惯量对通过平板中心并与长边平行的轴的转动惯量;(2)对与平板一条长边重合的轴的转动惯量对与平板一条长边重合的轴的转动惯量解：解：建坐标系；(1)取取“直线型直线型”小面元小面元:长长a、宽、宽dy质量面密度:(

5、2)转轴与长边重合转轴与长边重合或由平行轴定理得：或由平行轴定理得：3 3.垂直轴定理垂直轴定理-垂直轴定理垂直轴定理设刚性设刚性薄板薄板(非薄板不行）在在 xOy平面平面（展开）解：解：细棒质量密度为细棒质量密度为在棒上取长为在棒上取长为dl的质量元的质量元例例 长长l、质量、质量m的均匀细棒放在的均匀细棒放在xoy平面内，棒平面内，棒与与x轴成角轴成角 其中心在其中心在O点。求它对点。求它对x、y和和z z轴的转动惯量轴的转动惯量例例 求半径为求半径为R质量为质量为m的均匀圆的均匀圆环环,对于沿直径转轴的转动惯量对于沿直径转轴的转动惯量.解：取质量元解：取质量元dm，方法二方法二:对过环心

6、并与环垂直的转对过环心并与环垂直的转轴的轴的转动惯量转动惯量根据对称性有根据对称性有由垂直轴定理由垂直轴定理例例 物体物体A A、B B的质量分别为的质量分别为m m1 1和和m m2 2，用一轻绳，用一轻绳相连，绳子跨过质量为相连，绳子跨过质量为M M，半径为，半径为R R的匀质定的匀质定滑轮滑轮C C。如。如A A下降，下降，B B与水平桌面间的滑动摩擦与水平桌面间的滑动摩擦系数为系数为，绳与滑轮之间无相对滑动，求系，绳与滑轮之间无相对滑动，求系统的加速度及绳中的张力统的加速度及绳中的张力T T1 1和和T T2 2四、转动定律应用举例四、转动定律应用举例解：解：由牛二律由牛二律：转动定律

7、转动定律滑轮滑轮：线量与角量的关系线量与角量的关系解得解得例例 一轻绳跨过定滑轮，两端一轻绳跨过定滑轮，两端分别悬挂物体分别悬挂物体m1m2R2时，物时，物体运动方向与所设相体运动方向与所设相同，反之则相反同，反之则相反例例 一半经一半经R、质量、质量m的均质圆盘，平放在的均质圆盘，平放在粗糙水平面上，盘与水平面的摩擦系数粗糙水平面上，盘与水平面的摩擦系数，最初盘以，最初盘以 0绕过中心且垂直盘面的轴转绕过中心且垂直盘面的轴转动，问它需多少时间才能停止转动？动，问它需多少时间才能停止转动？解解:取质量元取质量元rdrdo受摩擦力受摩擦力摩擦力矩摩擦力矩圆盘受到的摩擦力矩圆盘受到的摩擦力矩由由有

8、：有：得得问题：问题：它转多少圈才停止转动？它转多少圈才停止转动？5-3 力矩的功力矩的功 转动的动能定理转动的动能定理一、力矩的功一、力矩的功00 外力矩使刚体由外力矩使刚体由 作功：作功：力矩在空间（角位移）上力矩在空间（角位移）上的积累。的积累。M 即为即为MZ二、转动动能二、转动动能质元质元的转动动能的转动动能:整个刚体：整个刚体：-转动动能转动动能三、转动的动能定理三、转动的动能定理-定轴转动动能定理定轴转动动能定理四、刚体的重力势能四、刚体的重力势能 可看作是将质量集中在质心的质点所具可看作是将质量集中在质心的质点所具有的重力势能有的重力势能质心高度质心高度:五、重力对刚体的力矩五

9、、重力对刚体的力矩 可看作是将全部重力集中作用于质可看作是将全部重力集中作用于质心所产生的力矩心所产生的力矩转轴例例 均质细杆均质细杆m、l，一端固定于光滑的水，一端固定于光滑的水平轴，求细杆其从水平位置静止开始转过平轴，求细杆其从水平位置静止开始转过 角时角时A端的端的 ,距距O点点2/3长度处长度处呢？呢？OAA 解解:刚体定轴转动动能定理刚体定轴转动动能定理即又AOlB得得解解:又例例 均质细杆均质细杆m、l，一端固定，求其从水平位置静，一端固定，求其从水平位置静止开始转过止开始转过 角时角时:细杆的细杆的刚体定轴转动转动定律刚体定轴转动转动定律只有保守力只有保守力(矩矩)做功做功,系统

10、系统(杆、地球杆、地球)机械能守恒机械能守恒:重力势能零点重力势能零点:(杆的水平初位置杆的水平初位置)例例 长长 ，质量，质量m m的均的均匀细杆匀细杆OAOA，绕过其一端，绕过其一端点点O O的水平轴在铅垂面内的水平轴在铅垂面内自由转动。已知另一端自由转动。已知另一端A A过最低点时速率为过最低点时速率为v v0 0。求。求杆摆动时杆摆动时A A点升高的最大点升高的最大高度高度(不计空气阻力和轴不计空气阻力和轴的摩擦力的摩擦力)解：解：机械能守恒机械能守恒最低点处最低点处:最高点处最高点处:转动动能转动动能重力势能重力势能转动动能转动动能重力势能重力势能势能零点势能零点 5-4 刚体定轴转

11、动的动量矩和刚体定轴转动的动量矩和 动量矩守恒定律动量矩守恒定律一、刚体定轴转动的动量矩一、刚体定轴转动的动量矩方向：方向：,对对O动量矩：动量矩：取质元取质元刚体绕定轴刚体绕定轴 z 的动量矩：的动量矩：方向：方向：右手法则判断右手法则判断讨论：讨论：(2)动量与动量矩是两个单位不同的物理动量与动量矩是两个单位不同的物理量量，不可混用不可混用(1)与质点动量与质点动量 相比，可看出动相比，可看出动量矩量矩 与之对应与之对应二、刚体定轴转动的动量矩定理二、刚体定轴转动的动量矩定理-刚体的动量矩定理的微分形式刚体的动量矩定理的微分形式 IZ 可变化可变化,刚体或非刚体的定轴转动均适用。刚体或非刚

12、体的定轴转动均适用。积分形式积分形式 冲量矩冲量矩当当MZ=0时，时，三、刚体定轴转动的动量矩守恒定律三、刚体定轴转动的动量矩守恒定律=常量常量当F=0时，=常量类比动量守恒定律:例例 人和转盘的转动惯量人和转盘的转动惯量I0，哑铃的质量，哑铃的质量m，整体初始转速整体初始转速 0。求：双臂收缩由求：双臂收缩由 r1r2时的角速度时的角速度.rr12mmI0对轴的合外力矩为零，动量矩守恒：对轴的合外力矩为零，动量矩守恒：例例 均匀棒质量均匀棒质量 M,长长 ,可在竖直面内绕水平的质可在竖直面内绕水平的质心轴心轴O转动。开始时棒静止在水平位置。有质量转动。开始时棒静止在水平位置。有质量m的小球的

13、小球(Mm)以速度以速度u垂直落到棒的端点。设小垂直落到棒的端点。设小球与棒作完全弹性碰撞，求碰后小球的反弹速度和球与棒作完全弹性碰撞，求碰后小球的反弹速度和棒的角速度。棒的角速度。解解碰撞过程碰撞过程,合外力对转轴的力矩合外力对转轴的力矩机械能守恒机械能守恒:动量矩守恒：动量矩守恒：小球重力与冲击力相比可忽略小球重力与冲击力相比可忽略解得解得碰后棒：碰后棒：碰后球：碰后球：例例 两摩擦轮对接两摩擦轮对接,若对接前两轮的角速度若对接前两轮的角速度分别为分别为 1,2。求求:(1)对接后共同的角速对接后共同的角速度度;(2)对接过程中的机械能损失对接过程中的机械能损失1I1解：解：系统动量矩守恒

14、系统动量矩守恒2I21I12I2机械能增量：机械能增量：例例 质量质量M，半径，半径R 的转台，可绕通过中心的的转台，可绕通过中心的竖直轴转动，阻力忽略。质量竖直轴转动，阻力忽略。质量m的人，站在的人，站在台的边沿，台和人最初静止。若人沿台的边台的边沿，台和人最初静止。若人沿台的边沿跑一周，人和转台相对于地面各转了多少沿跑一周，人和转台相对于地面各转了多少角度？角度？RMm设：设：人、转台的转动惯量。人、转台的转动惯量。对轴的合外力矩对轴的合外力矩=0，动量矩守恒：，动量矩守恒：人、转台对地面的角速度。人、转台对地面的角速度。解解则：则：人相对台：人相对台：人相对地面转过：人相对地面转过：台相对地面转过：台相对地面转过：人在台上跑一周人在台上跑一周(人相对台人相对台)需需 t：