2019九年级数学下册 专题突破讲练 利用二次函数求最值试题 （新版）青岛版.doc

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1、1利用二次函数求最值利用二次函数求最值二次函数求最值的一般步骤：二次函数求最值的一般步骤：（1）找等量：分析题目中的数量关系，（2）列式：列出函数关系式，（3）求最值的方法：配方法，公式法。方法归纳：二次函数求最值的注意事项：若自变量的取值范围是全体实数，则函数在顶点处取得最值，即当x时，y最值；b 2a4acb2 4a若自变量的取值范围是x1xx2，当在x1xx2内时，有一个最值在x时取得，另一个最值在两端点处取得；b 2a4acb2 4ab 2a当不在x1xx2时，函数的最值在xx1和xx2时取得。b 2a总结：1. 能根据实际问题的情境建立二次函数模型。2. 会利用二次函数求实际问题的最

2、值。例题例题 1 1 在关于x，y的二元一次方程组中。x2ya2xy1)（1）若a3，求方程组的解；（2）若 Sa（3xy） ，当a为何值时，S 有最值。解解析析：（1）用加减消元法求解即可；（2）把方程组的两个方程相加得到 3xy，然后代入整理，再利用二次函数的最值问题解答。答答案案：（1）a3 时，方程组为，解得。x2y32xy1)x1y1)（2）方程组的两个方程 相加得，3xya1，所以 Sa（3xy）a（a1）a2a，所以，当a 时，S 有最小值。1 2 11 22点拨：点拨：本题考查了二次函数的最值问题，解二元一次方程组， （2）根据方程组的系数的特点，把两个方程相加得到 3xy的表

3、达式是解题的关键。例题例题 2 2 便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足y2x280x750，由于某种原因，售价只能满足 15x22，那么一周可获得的最大利润是多少？解解析析：先将二次函数变形，或利用公式求出此抛物线的顶点，再判断顶点是否在 15x22 范围内，最后根据二次函数的性质求出最大值。答答案案：y2x280x750，y2（x20）21550，a20，抛物线开口向下，函数有最大值，x20 时，y最大1550。x20 在 15x22 范围内，y的最大值为 1550。点拨：点拨：本题考查了二次函数的最值。求二次函数的最值可由图象直接得出

4、，或是用配方法、公式法求出。但要注意自变量的取值范围，特别要注意顶点横坐标是否在题目所给的自变量的取值范围内。在中考试题中，二次函数的应用问题中往往综合考查一次函数、一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程、不等式（组） 、等知识点，这些知识与二次函数关系较为密切，理解它们之间的联系是解决这类问题的关键。例：例：某公司在固定线路上运输，拟用运营指数 Q 量化考核司机的工作业绩。QW100，而 W的大小与运输次数n及平均速度x（km/h）有关（不考虑其他因素） ，W 由两部分的和组成：一部分与x的平方成正比，另一部分与x的n倍成正比。试行中得到了表中的数据。次数n21速度x4060指数 Q42

5、0100（1）用含x和n的式子表示 Q；（2）当x70，Q450 时，求n的值；（3）若n3，要使 Q 最大，确定x的值；（4）设n2，x40，能否在n增加m%（m0）同时x减少m%的情况下，而 Q 的值仍为420，若能，求出m的值；若不能，请说明理由。参考公式：抛物线yax2bxc（a0）的顶点坐标是（，）b 2a4acb2 4a解：解：（1）设 Wk1x2k2nx，Qk1x2k2nx100，由表中数据，得，解得，Qx26nx100。420402k12 40k2100100602k11 60k2100)k11 10 k26)1 103（2）由题意，得 450702670n100，n2。1 1

6、0（3）当n3 时，Qx218x100，由0 可知，要使 Q 最大，1 101 10x90。182 （1 10）（4）由题意，得 42040（1m%）262（1m%）40（1m%）100，即1 102（m%）2m%0，解得m% ，或m%0（舍去） 。m50。1 2解析：解析：这道题很复杂，各小题都是根据题目所给数量关系列 函数表达式或方程，解题思路较为清楚，关键是第（1）题，正确求出 Q 与x、n的关系式，才能保证正确解答后面的问题。一、选择题1. 已知二次函数的图象（0x3）如图所示。关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（ ）A. 有最小值 0，有最大值 3B. 有最小值1，有

7、最大值 0C. 有最小值1，有最大值 3D. 有最小值1，无最大值2. 向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为yax2bxc（a0）。若此炮弹在第 7 秒与第 13 秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ）A. 第 8 秒B. 第 10 秒C. 第 12 秒D. 第 15 秒3. 为搞好环保，某公司准备修建一个长方体的污水处理池，池底矩形的周长为 100m，则池底的最大面积是（ ）A. 600m2B. 625m2C. 650m2D. 675m2*4. 在矩形 ABCD 的各边 AB、BC、CD 和 DA 上分别选取点 E，F，G，H，使得 AEAHCFC

8、G，如果 AB60，BC40，四边形 EFGH 的最大面积是（ ）4A. 1350B. 1300C. 1250D. 1200*5. 如图，点 C 是线段 AB 上的一个动点，AB1，分别以 AC 和 CB 为一边作正方形，用 S 表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是（ ）A. 当 C 是 AB 的中点时 S 最小B. 当 C 是 AB 的中点时 S 最大C. 当 C 为 AB 的三等分点时 S 最小D. 当 C 为 AB 的三等分点时 S 最大*6. 已知m，n，k为非负实数，且mk12kn1，则代数式 2k28k6 的最小值为（ ）A. 2B. 0C. 2D. 2.5二、填空题7.

9、当m在可取值范围内取不同的值时，代数式的最小值是_。274m2m2*8. 某果园有 100 棵橘子树，平均每一棵树结 600 个橘子。根据经验估计，每多种一颗树，平均每棵树就会少结 5 个橘子。设果园增种x棵橘子树，果园橘子总个数为y个，则果园里增种_棵橘子树，橘子总个数最多。*9. 已知实数x、y满足x23xy30，则xy的最大值为_。*10. 设ab0，且函数f1（x）x22ax4b与f2（x）x24ax2b有相同的最小值u；函数f3（x）x22bx4a与f4（x）x24bx2a有相同的最大值v；则uv的值为_。三、解答题11. 已知二次函数yx22ax2a3，请你探求一下，当a满足什么条

10、件时，上述函数y的最小值为零。12. 某商场购进一批单价为 4 元的日用品。若按每件 5 元的价格销售，每月能卖出 3 万件；若按每件 6 元的价格销售，每月能卖出 2 万件，假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数关系。（1）试求y与x之间的函数关系式；（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？每月的最大利润是多少？*13. 科幻小说实验室的故事中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如下表）：温度x/420244.55植物每天高度增长量y/mm414949412519.75由这些数据，科学家推测

11、出植物每天高度增长量y是温度x的函数，且这种函数是一次函数和二次函数中的一种。（1）请你选择一种适当的函数，求出它的函数关系式，并简要说明不选择另外一种函数的理由；（2）温度为多少时，这种植物每天高度的增长量最大？（3）如果实验室温度保持不变，在 10 天内要使该植物高度增长量的总和超过 250mm，那么实验室的温度x应该在哪个范围内 选择？请直接写出结果。*14. 某蔬菜基地种植某种蔬菜，由市场行情分析知，1 月份至 6 月份这种蔬菜的上市时间x（月份）与市场售价p（元/千克）的关系如下表：上市时间x（月份）123456市场售价p（元/千克）10.597.564.53这种蔬菜每千克的种植成本

12、y（元/千克）与上市时间x（月份）满足一个函数关系，这个函数的图像是抛物线的一段（如图所示） 。 （1）写出上表中表示的市场售价p（元/千克）关于上市时间x（月份）的函数关系式；（2）若图中抛物线过 A、B、C 点，写出抛物线对应的函数关系式；（3）由以上信息分析，哪个月上市出售这种蔬菜每千克的收益最大？最大值为多少？（收益市场售价种植成本）*15. 我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售。当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润 P（x60）241（万元） 。当地政府拟在“十二五”1 100规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投

13、入 100 万元的销售投资，在实施规划 5 年的前两年中，每年都从 100 万元中拨出 50 万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的 3 年中，该特产既在本地销售，也在外地销售。在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润 Q（100x）2（100x）99 100294 5160（万元） 。（1）若不进行开发，求 5 年所获利润的最大值是多少？（2）若按规划实施，求 5 年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？（3）根据（1） 、 （2） ，该方案是否具有实施价值？6一、选择题1. C 解析：此抛物线开口向上，有最小值1；在 0x3 范围内，该二次函数的最大

14、值是3。2. B 解析：此炮弹在第 7 秒与第 13 秒时的高度相等，抛物线的对称轴是：x10，炮弹所在高度最高时的时间是第 10 秒，故选 B。3. B 解析：设矩形的一边长为x m，则其邻边为（50x）m，若面积为 S，则 Sx（50x）x250x（x25）2625。10，S 有最大值。当x25 时，最大值为 625。*4. C 解析：设 AEAHCFCGx，四边形 EFGH 的面积是 S。由题意，BEDG60x，BFDH40x，则 SAHESCGFx2，SDGHSBEF （60x） （40x） ，所以1 21 2四边形 EFGH 的面积为：S6040x2（60x） （40x）2x2（60

15、40）x2（x25）21250（0x40） ；当x25 时，S最大值1250，故选 C。*5. A 解析：设 ACx，则 CB1x，Sx2（1x）22x22x1，所以当x2 2 2时，S 最小。此时，C 是 AB 的中点。故选 A。1 2*6. D 解析：m，n，k为非负实数，且mk12kn1，m，n，k最小为 0，当n0时，k最大为 ，0k ，2k28k62（k2）22，k2 时，代数式 2k28k6 的值随1 21 2x的增大而减小，k 时，代数式 2k28k6 的最小值为 2（ ）28 62.5，故选：D。1 21 21 2二、填空题7. 5 解析：，当m1 时，取得最小值为 5。274

16、m2m22（m1）225*8. 10 解析：假设果园增种x棵橘子树，那么果园共有（x100）棵橘子树，每多种一棵树，平均每棵树就会少结 5 个橘子，这时平均每棵树就会少结 5x个橘子，则平均每棵树结（6005x）个橘子。果园橘子的总产量为y，则y（x100） （6005x）5x2100x60000，当x10（棵）时，橘子总个数最多。b 2a100 2 （5）*9. 4 解析：原式可变形为xyx22x3（x1）24，所以当x1 时xy的最大值是 4。*10. 0 解析：f1（x）x22ax4b（xa）24ba24ba2，f2（x）x24ax2b（x2a）22b4a22b4a2，已知 4ba2u2

17、b4a2，得2b3a2，ab0，b0，又f3（x）（xb）24ab24ab2，f4（x）7（x2b）22a4b22a4b2；已知 4ab2v2a4b2，得2a3b2，ab0，a0，又b0，3a3b20，得，2（ab）3（b2a2） ，解得ab0 或 3a3b20（舍去） 。当ab0 时，由 4ba2u2b4a2得 2u6b5a2；由 4ab2v2a4b2得 2v6a5b2，2（uv）（6b5a2）（6a5b2）（ab）65（ba）0，uv0。三、解答题11. 解：二次函数yx22ax2a3 开口向上，该二次函数有最小值，y的最小值是2a3a2。由题意知 2a3a20，解得4 1 （2a3）（2

18、a）2 4 1a13，a21，当a3 或a1 时，二次函数yx22ax2a3 的最小值为零。12. 解：（1）由题意，可设ykxb，把（5，30000） ， （6，20000）代入得：，解得：，所以y与x之间的关系式为：y10000x80000；300005kb200006kb)k10000b80000)（2）设利润为 W，则 W（x4） （10000x80000）10000（x4） （x8）10000（x212x32）10000（x6）2410000（x6）240000。所以当x6 时，W 取得最大值，最大值为 40000 元。答：当销售价格定为 6 元时，每月的利润最大，每月的最大利润为

19、40000 元。*13. 解：（1）选择二次函数，设yax2bxc，得，解得。yc49 4a2bc49 4a2bc41)a1 b2 c49)关于x的函数关系式是yx22x49。不选另外一种函数的理由：点（4，41） ， （2，49） ，（2，41）不在同一直线上，所以y不是x的一次函数。（2）由（1） ，得yx22x49，y（x1）250，10，当x1 时，y有最大值为 50。即当温度为1时，这种植物每天高度增长量最大。（3）6x4。注：可根据表格中的数据确定x的范围。*14. 解：（1）根据表中数据可知，p与x之间符合一次函数，所以设市场售价p关于上市时间x的函数关系式为pkxb（k0） 。

20、由题意得，解得，故市场售价pkb10.5 2kb9)k1.5 b12)关于上市时间x的关系式为p1.5x12。（2）设图中抛物线解析式为yax2bxc（a0） ，由题意得，解得4a2bc6 16a4bc3 36a6bc2)。所以抛物线对应的函数关系式为yx23x11。a14 b3 c11)1 4（3）设每千克的收益为w元，则由题意知wpy1.5x12（x23x11）1 48x21.5x1，由二次函数的性质知，当x3 时有最大收益，最大收益为 3.25 元。所1 4b 2a以，3 月份上市出售这种蔬菜每千克收益最大，最大值为 3.25 元。1 2 3 4 5 6 7 8 9 1012345678

21、A AB BC CO Oxy*15. 解：（1）当x60 时，P 最大且为 41，故五年获利最大值是 415205 万元。（2）前两年：0x50，此时因为 P 随x增大而增大，所以x50 时，P 值最大，P最大（5060）24140（万元） ，所以这两年获利最大为 40280 万元。后三年：设每年获利1 100为y，设用于当地销售的投资额为x，则用于外地销售的投资额为 100x，所以yPQ（x60）241（100x）2（100x）1601 10099 100294 5x260x165（x30）21065，表明x30 时，y最大且为 1065，那么三年获利最大为106533195 万元，故五年获利最大值为 8031955023175 万元。（3）比较规划前后的最大利润可知该方案有极大的实施价值。