凹凸性渐近线作.ppt

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1、函数的凹凸性、渐近线函数的凹凸性、渐近线与作图与作图若在某区间内若在某区间内,曲线上每一点的切线都位曲线上每一点的切线都位于该曲线的下方于该曲线的下方,则称曲线在该区间内是凹的；则称曲线在该区间内是凹的；若曲线上每一点的切线都位于该曲线的上方，若曲线上每一点的切线都位于该曲线的上方，则称曲线在该区间内是凸的则称曲线在该区间内是凸的一、函数的凹凸性一、函数的凹凸性(a)中曲线上任意两点的割线在曲线的上方中曲线上任意两点的割线在曲线的上方(b)中曲线上任意两点的割线在曲线的下方中曲线上任意两点的割线在曲线的下方（一）（一）凹凸性定义凹凸性定义凹曲线的一阶导数变化规律：凹曲线的一阶导数变化规律：凸曲

2、线的一阶导数变化规律：凸曲线的一阶导数变化规律：定理定理1：(用二阶导数判定函数的凹凸性用二阶导数判定函数的凹凸性)（二）凹凸性的判定（二）凹凸性的判定（三（三）拐点拐点定理定理1：（拐点必要条件）（拐点必要条件）定理定理2（拐点的充分条件）（拐点的充分条件）例例1.1.判断曲线判断曲线的凹凸性的凹凸性.解解:故曲线故曲线在在上是凹的上是凹的.说明：说明：若在某点二阶导数为若在某点二阶导数为0,在其两侧二在其两侧二阶导数不变号阶导数不变号,则曲线的凹凸性不变则曲线的凹凸性不变 .求拐点的一般步骤：求拐点的一般步骤：（2 2）求二阶导数；）求二阶导数；（5 5）求出拐点的纵坐标）求出拐点的纵坐标

3、（1 1）求函数的定义域；）求函数的定义域；（3 3）求定义域内使二阶导数等于零）求定义域内使二阶导数等于零 或二阶导数不存在的点；或二阶导数不存在的点；（4 4）检验各点两侧二阶导数的符号）检验各点两侧二阶导数的符号,如果如果 符号不同符号不同,该点就是拐点的横坐标；该点就是拐点的横坐标；凹、凸区间凹、凸区间解：函数的定义域为解：函数的定义域为令令得得是拐点是拐点 在在两侧两侧例例2.2.求曲线求曲线及拐点及拐点没有二阶导数不存在的点没有二阶导数不存在的点列表如下：列表如下：-0+凸凸 拐点拐点凹凹符号发生改变符号发生改变,则则解解:函数函数的定义域为的定义域为的拐点的拐点当当时，时，不存在

4、不存在 当当时，时，在在的两侧，的两侧，的符号发生改变的符号发生改变.点点是该曲线的拐点是该曲线的拐点 例例3.3.求曲线求曲线当当时，时，x=linspace(-10,10);y=nthroot(x,3);plot(x,y)的拐点的拐点解解 函数函数的定义域为的定义域为 由于由于在在处没有定义处没有定义,所以该曲线所以该曲线例例4.4.求曲线求曲线没有拐点没有拐点 ezplot(x*y=1,-10 10)预习：预习：P112115 P108 习题习题4 20(2)(3)21 作作 业业二、曲线的渐近线二、曲线的渐近线 曲线渐近线的分类曲线渐近线的分类例例5.5.求曲线求曲线的铅直渐近线的铅直渐近线解解 因为因为 所以所以和和是曲线的两条铅直渐近线是曲线的两条铅直渐近线 ezplot(x*(x-1)*y=1,-10 10)注意：注意：只有当函数的定义域是无穷区间时，只有当函数的定义域是无穷区间时，其曲线才有可能存在水平渐近线其曲线才有可能存在水平渐近线对于函数对于函数所以，所以，是曲线的一条水平渐近线是曲线的一条水平渐近线由于由于(3)(3)斜渐近线斜渐近线 如果曲线如果曲线是曲线是曲线的一条斜渐近线的一条斜渐近线则则或或有有 例子见书例子见书9898页例页例6 6三、函数作图三、函数作图解解极极大大凹凹凹凹凸凸凸凸拐拐点点拐拐点点