概率论与数理统计教程答案(魏宗舒版)chapter01.pdf

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1、第一章第一章 事件与概率事件与概率1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。(1)10 件产品中有 1 件是不合格品，从中任取 2 件得 1 件不合格品。(2)一个口袋中有 2 个白球、3 个黑球、4 个红球，从中任取一球，()得白球，()得红球。解(1)记 9 个合格品分别为，记不合格为次，则921,正正正,)()()()(1913121次正正正正正正正=,)()()()(2924232次正正正正正正正,)()()(39343次正正正正正)()()(9898次正次正正正,=A)(1次正,)(2次正)(9次正,(2)记 2 个白球分别为，3 个黑球分别为，4 个红球分别12

2、1b2b3b为，。则，1r2r3r4r=121b2b3b1r2r3r4r()，()，=A12=B1r2r3r4r1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件 A 表示被选学生是男生，事件B 表示被选学生是三年级学生，事件 C 表示该生是运动员。(1)叙述的意义。CAB(2)在什么条件下成立？CABC=(3)什么时候关系式是正确的？BC(4)什么时候成立？BA=解(1)事件表示该是三年级男生，但不是运动员。CAB(2)等价于，表示全系运动员都有是三年级的男生。CABC=ABC(3)当全系运动员都是三年级学生时。(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时。1.3 一个工人生产了个零件，以事

3、件表示他生产的第 个零件是合格品niAi（）。用表示下列事件：ni1iA(1)没有一个零件是不合格品；(2)至少有一个零件是不合格品；(3)仅仅只有一个零件是不合格品；(4)至少有两个零件是不合格品。解(1);(2);(3);niiA1=niiniiAA11=ninijjjiAA11)(=课后答案网(4)原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为；njijijiAA=1,1.4 证明下列各式：(1);ABBA=(2)ABBA=(3);=CBA)()(CBA(4)=CBA)()(CBA(5)=CBA)()(CA)(CB(6)niiniiAA11=证明（1）（4）显然，（5）和（6）的证法分别类

4、似于课文第 1012 页（1.5）式和(1.6)式的证法。1.5 在分别写有 2、4、6、7、8、11、12、13 的八张卡片中任取两张，把卡片上的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分数的概率。解 样本点总数为。所得分数为既约分数必须分子分母或为 7、11、7828=A13 中的两个，或为 2、4、6、8、12 中的一个和 7、11、13 中的一个组合，所以事件“所得分数为既约分数”包含个样本点。于是A6322151323=+AAA。14978632)(=AP1.6 有五条线段，长度分别为 1、3、5、7、9。从这五条线段中任取三条，求所取三条线段能构成一个三角形的概率。解 样本点总数为。

5、所取三条线段能构成一个三角形，这三条线段必1035=须是 3、5、7 或 3、7、9 或多或 5、7、9。所以事件“所取三条线段能构成一A个三角形”包含 3 个样本点，于是。103)(=AP1.7 一个小孩用 13 个字母作组字游戏。如TTNMMIIHECAAA,果字母的各种排列是随机的（等可能的），问“恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率为多大？解 显然样本点总数为，事件“恰好组成“MATHEMATICIAN”包含!13A个样本点。所以!2!2!2!3!1348!13!2!2!2!3)(=AP1.8 在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车”，求它们正好可以相互吃掉的

6、概率。解 任意固定红“车”的位置，黑“车”可处于个不同位置，当891109=课后答案网它处于和红“车”同行或同列的个位置之一时正好相互“吃掉”。故所1789=+求概率为8917)(=AP1.9 一幢 10 层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上 7 位乘客。电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。解 每位乘客可在除底层外的 9 层中任意一层离开电梯，现有 7 位乘客，所以样本点总数为。事件“没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于79A“从 9 层中任取 7 层，各有一位乘客离开电梯”。所以包含个样本点，于是7

7、9A。7799)(AAP=1.10 某城市共有 10000 辆自行车，其牌照编号从 00001 到 10000。问 事 件“偶然遇到一辆自行车，其牌照号码中有数字 8”的概率为多大？解 用表示“牌照号码中有数字 8”，显然，所以A44109100009)(=AP-1)(=AP4410911000091)(=AP1.11 任取一个正数，求下列事件的概率：(1)该数的平方的末位数字是 1；(2)该数的四次方的末位数字是 1；(3)该数的立方的最后两位数字都是 1；解(1)答案为。51(2)当该数的末位数是 1、3、7、9 之一时，其四次方的末位数是 1，所以答案为52104=(3)一个正整数的立方

8、的最后两位数字决定于该数的最后两位数字，所以样本空间包含个样本点。用事件表示“该数的立方的最后两位数字都是 1”，210A则该数的最后一位数字必须是 1，设最后第二位数字为，则该数的立方的最后a两位数字为 1 和 3的个位数，要使 3的个位数是 1，必须，因此所包aa7=aA含的样本点只有 71 这一点，于是。1.12 一个人把 6 根草掌握在手中，仅露出它们的头和尾。然后请另一个人把 6 个头两两相接，6 个尾也两两相接。求放开手以后 6 根草恰好连成一个环的概率。并把上述结果推广到根草的情形。n2解(1)6 根草的情形。取定一个头，它可以与其它的 5 个头之一相接，再取另一头，它又可以与其

9、它未接过的 3 个之一相接，最后将剩下的两个头相接，故课后答案网对头而言有种接法，同样对尾也有种接法，所以样本点总数为135135。用表示“6 根草恰好连成一个环”，这种连接，对头而言仍有2)135(A135种连接法，而对尾而言，任取一尾，它只能和未与它的头连接的另 4 根草的尾连接。再取另一尾，它只能和未与它的头连接的另 2 根草的尾连接，最后再将其余的尾连接成环，故尾的连接法为。所以包含的样本点数为，24A)24)(135(于是158)135()24)(135()(2=AP(2)根草的情形和(1)类似得n21.13 把个完全相同的球随机地放入个盒子中（即球放入盒子后，只能nN区别盒子中球的

10、个数，不能区别是哪个球进入某个盒子，这时也称球是不可辨的）。如果每一种放法都是等可能的，证明(1)某一个指定的盒子中恰好有个球k的概率为，+nnNknknN12nk0(2)恰好有个盒的概率为，m+nnNmNnmN1111NmnN(3)指定的个盒中正好有个球的概率为，mj+nnNjnjnmNmjm1111.0,1NjNm解 略。1.14 某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车到达，乘客到达汽车站的时刻是任意的，求一个乘客候车时间不超过 3 分钟的概率。解 所求概率为53)(=AP1.15 在中任取一点，证明的面积之比大于的概ABCPABCABP与nn1率为。21n解 截取，当且仅当点落入之内时的面

11、CDnDC1=PBACABCABP与积之比大于，因此所求概率为nn1。22)(CDDCABCCBAAP=的面积有面积2221CDDCn=21n=课后答案网1.16 两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达。设两船停靠泊位的时间分别为 1 小时与两小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率。解 分别用表示第一、二艘船到达泊位的时间。一艘船到达泊位时必须等yx,待 当且仅当。因此所求概率为10,20 xyyx121.0242221232124)(2222=AP1.17 在线段上任取三点，求：AB321,xxx(1)位于之间的概率。2x31xx与(2)能构成一个三角形的概率。

12、321,AxAxAx解(1)(2)31)(=AP211213131)(=BP1.18 在平面上画有间隔为的等距平行线，向平面任意地投掷一个三角形，d该三角形的边长为（均小于），求三角形与平行线相交的概率。cba,d解 分别用表示三角形的一个顶点与平行线相合，一条边与平行线321,AAA相合，两条边与平行线相交，显然所求概率为。分别用.0)()(21=APAP)(3AP表 示 边，二 边与 平 行 线 相 交，则bcacabcbaAAAAAA,cba,bcacab,显然，=)(3AP).(bcacabAAAP)(aAP)()(acabAPAP+=)(bAP)()(bcabAPAP+。所以=)(c

13、AP)()(bcacAPAP+21)(3=AP+)(aAP+)(bAP)(cAP)(22cbad+=)(1cbad+=（用例 1.12 的结果）1.19 己知不可能事件的概率为零，现在问概率为零的事件是否一定为不可能事件？试举例说明之。解 概率为零的事件不一定是不可能事件。例如向长度为 1 的线段内随机投点。则事件“该点命中的中点”的概率等于零，但不是不可能事件。AABA1.20甲、乙两人从装有个白球与个黑球的口袋中轮流摸取一球，甲先取，ab乙后取，每次取后都有不放回，直到两人中有一人取到白球时停止。试描述这一随机现象的概率空间，并求甲或乙先取到白球的概率。课后答案网解表示白，表示黑白，表示黑

14、黑白，123白黑黑表示个bb1+则样本空间，并且，=121+bbaaP+=)(1，1)(2+=baababP211)(3+=baababbabP)1()2()2(11)(+=ibaaibaibbabbabPiababaabPb)1)(!)(1+=+甲取胜的概率为+)(1P)(3P)(5P乙取胜的概率为+)(2P)(4P)(6P1.21 设事件及的概率分别为、及，求，BA,BApqr)(ABP)(BAP，)(BAP)(BAP解 由得)()()()(ABPBPAPBAP+=rqpBAPBPAPABP+=+=)()()()(，qrABPAPABAPBAP=)()()()(prBAP=)(rBAPBA

15、PBAP=1)(1)()(1.22 设、为两个随机事件，证明：1A2A(1);)()()(1)(212121AAPAPAPAAP+=(2).)()()()()()(121212121APAPAAPAAPAPAP+证明(1)=1)()(2121AAPAAP)(21AAP)()()(12121AAPAPAP+(2)由(1)和得第一个不等式，由概率的单调性和半可加性分别0)(21AAP得第二、三个不等式。1.23对 于 任 意 的 随 机 事 件、，证 明：ABC)()()()(APBCPACPABP+证明)()()()()(ABCPACPABPCBAPAP+=课后答案网)()()(BCPACPAB

16、P+1.24 在某城市中共发行三种报纸：甲、乙、丙。在这个城市的居民中，订甲报的有 45%，订乙报的有 35%，订丙报的有 30%，同时订甲、乙两报的有 10%，同时订甲、丙两报的有 8%，同时订乙、丙两报的有 5%，同时订三种报纸的有 3%，求下述百分比：(1)只订甲报的；(2)只订甲、乙两报的；(3)只订一种报纸的；(4)正好订两种报纸的；(5)至少订一种报纸的；(6)不订任何报纸的。解 事件表示订甲报，事件表示订乙报，事件表示订丙报。ABC(1)=30%)()(ACABAPCBAP=)()(ACABPAP(2)%7)()(=ABCABPCABP(3)%23)()()()()(=+=ABC

17、PBCPABPBPCABP%20)()()()()(=+=ABCPBCPACPCPBACP+=+=73%CBAP(CAB)BAC)(CBAP)(CABP)(BACP(4)=+)(ABCBACCABP%14)()()(=+ABCPBACPCABP(5)%90)(=+CBAP(6)%10%901)(1)(=+=CBAPCBAP1.26 某班有个学生参加口试，考签共 N 张，每人抽到的考签用后即放回，n在考试结束后，问至少有一张考没有被抽到的概率是多少？解 用表示“第 张考签没有被抽到”，。要求。iAiNi,2,1=)(1NiiAP=，niNNAP=1)(njiNNAAP=2)(0)(1=nNNNN

18、AAPnNiiNNNAP=11)(1nNNN=11)1(11，nNijiNNNAAP=22)(1nNNN=22)1(12所以nNiiNiiNiNAP=111)1()(课后答案网1.27 从阶行列式的一般展开式中任取一项，问这项包含主对角线元素的n概率是多少？解阶行列式的展开式中，任一项略去符号不计都可表示为，当nnniiiaaa2121且仅当的排列中存在使时这一项包含主对角线元素。n,2,1)(21niiikkik=用表示事件“排列中”即第个主对角线元素出现于展开式的某项中。kAkik=k则，ninnAPi=1!)!1()()1(!)!2()(njinnAAPjiekk鸡的概率为，证明：一个母

19、鸡恰有 个下一代（即小鸡）的概率为。prprerp!)(解 用表示“母鸡生个蛋”，表示“母鸡恰有 个下一代”，则kAkBr)|()()(krkkABPAPBP=rkrrkkpprkke=)1(!=rkrkrrkperp)!()1(!)()1(!)(preerp=prerp=!)(1.33 某射击小组共有 20 名射手，其中一级射手 4 人，二级射手 8 人，三级射手 7 人，四级射手一人，一、二、三、四级射手能通过选拔进入决赛的概率分别是 0.9、0.7、0.5、0.2，求在一组内任选一名射手，该射手能通过选拔进入决赛的概率。解 用表示“任选一名射手为级”，表示“任选一名射手kAk4,3,2,

20、1=kB能进入决赛”，则)|()()(41kkkABPAPBP=645.02.02015.02077.02089.0204=+=1.34 在某工厂里有甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉，它们的产量各占 25%，35%，40%，并在各自的产品里，不合格品各占有 5%，4%，2%。现在从产品中任课后答案网取一只恰是不合格品，问此不合格品是机器甲、乙、丙生产的概率分别等于多少？解 用表示“任取一只产品是甲台机器生产”1A表示“任取一只产品是乙台机器生产”2A表示“任取一只产品是丙台机器生产”3A表示“任取一只产品恰是不合格品”。B则由贝叶斯公式：6925)|()()|()()|(31111=kkkABPA

21、PABPAPBAP6928)|()()|()()|(31222=kkkABPAPABPAPBAP6916)|()()|()()|(31333=kkkABPAPABPAPBAP1.35 某工厂的车床、钻床、磨床、刨床的台数之比为 9:3:2:1，它们在一定时间内需要修理的概率之比为 1:2:3:1。当有一台机床需要修理时，问这台机床是车床的概率是多少？解 则，159)(1=AP153)(2=AP152)(3=AP151)(4=AP，71)|(1=ABP72)|(2=ABP73)|(3=ABP71)|(4=ABP由贝时叶斯公式得229)|()()|()()|(41111=kkkABPAPABPAP

22、BAP1.36 有朋友自远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是 0.3、0.2、0.1、0.4。如果他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别是、4131，而乘飞机不会迟到。结果他迟到了，试问他是乘火车来的概率是多少？121解 用表示“朋友乘火车来”，表示“朋友乘轮船来”，表示“朋友乘1A2A3A汽车来”，表示“朋友乘飞机来”，表示“朋友迟到了”。4AB则21)|()()|()()|(41111=kkkABPAPABPAPBAP1.37 证明：若三个事件、独立，则、及都与独ABCBAABBAC立。证明（1）)()()()(ABCPBCPACPCBAP+=)()(CPBAP（2）)(

23、)()()()()CPABPCPBPAPPABC=课后答案网（3）=)()()(ABCACPCABAPCBAP=)()(CPBAP1.38 试举例说明由不能推出一)()()()(CPBPAPABCP=)()()(BPAPABP=定成立。解 设，,54321=641)(1=P6418)(5=P，=)(2P=)(3P6415)(4=P,21=A,31=A则，,41=A416415641)()()(=+=CPBPAP)()()(641)()(1CPBPAPPABCP=但是)()(641)()(1BPAPPABP=1.39 设为个相互独立的事件，且，求下nAAA,21n)1()(nkpAPkk=列事件

24、的概率：(1)个事件全不发生；n(2)个事件中至少发生一件；n(3)个事件中恰好发生一件。n解(1)=nkkkknkkpAPAPn111)1()()(2)=nkknkknkkpAPAP111)1(1)(1)(3).)1()()(111111nkjjjnkjjnkkjnkknknkjjjkppAAAAP=1.40 已知事件相互独立且互不相容，求（注：BA,)(),(min(BPAP表示中小的一个数）。),min(yxyx,解 一方面，另一方面，即0)(),(BPAP0)()()(=ABPBPAP)(),(BPAP中至少有一个等于 0，所以.0)(),(min(=BPAP1.41 一个人的血型为型

25、的概率分别为 0.46、0.40、0.11、0.03，ABBAO,现在任意挑选五个人，求下列事件的概率(1)两个人为型，其它三个人分别为其它三种血型；O(2)三个人为型，两个人为型；OA(3)没有一人为。AB课后答案网解(1)从 5 个人任选 2 人为型，共有种可能，在其余 3 人中任选一人O25为型，共有三种可能，在余下的 2 人中任选一人为型，共有 2 种可能，另一AB人为型，顺此所求概率为：AB0168.013.011.040.046.023252(2)1557.040.046.03522(3)8587.0)03.01(51.42 设有两门高射炮，每一门击中目标的概率都是 0.6，求同时

26、发射一发炮弹而击中飞机的概率是多少？又若有一架敌机入侵领空，欲以 99%以上的概率击中它，问至少需要多少门高射炮。解 用表示“第门高射炮发射一发炮弹而击中飞机”，表kAk,2,1=kB示“击中飞机”。则，。6.0)(=kAP,2,1=k(1)84.04.01)(1)(22121=AAPAAP(2),99.04.01)(1)(11=nnkknAPAAP026.54.0lg01.0lgn取。至少需要 6 门高射炮，同时发射一发炮弹，可保证 99%的概率击中6=n飞机。1.43 做一系列独立的试验，每次试验中成功的概率为，求在成功次之前pn已失败了次的概率。m解 用表示“在成功次之前已失败了次”，表

27、示“在前次试AnmB1+mn验中失败了次”，表示“第次试验成功”mCmn+则pppmmnCPBPBCPAPmn+=)1(1)()()()(1mnppmmn)1(1+=1.45 某数学家有两盒火柴，每盒都有根火柴，每次用火柴时他在两盒中任n取一盒并从中抽出一根。求他用完一盒时另一盒中还有 根火柴（）的rnr1概率。解 用表示“甲盒中尚余 根火柴”，用表示“乙盒中尚余根火柴”，iAijBj分别表示“第次在甲盒取”，“第次在乙盒取”，表示取DC,rn2rn2CBA课后答案网了次火柴，且第次是从甲盒中取的，即在前在甲盒中取了rn2rn212rn，其余在乙盒中取。所以1n212121112)(10=rnnrnrnCBAP由对称性知，所求概率为：)()(00DBAPCBAPrr=)(00DBACBAPrr12021112)(2=rnrnrnCBAP课后答案网