概率论与数理统计及其应用(第二版)习题解答.pdf

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1、概率论与数理统计及其应用习题解答1第 1 章 随机变量及其概率1，写出下列试验的样本空间：（1）连续投掷一颗骰子直至 6 个结果中有一个结果出现两次，记录投掷的次数。（2）连续投掷一颗骰子直至 6 个结果中有一个结果接连出现两次，记录投掷的次数。（3）连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。（4）抛一枚硬币，若出现 H 则再抛一次；若出现 T，则再抛一颗骰子，观察出现的各种结果。解解：（1）7,6,5,4,3,2=S；（2）,4,3,2=S；（3）,TTTHTTHTHHS=；（4）6,5,4,3,2,1,TTTTTTHTHHS=。2，设BA,是两个事件，已知,125.0)(,5.0

2、)(,25.0)(=ABPBPAP，求)(),(),(),(_ABBAPABPBAPBAP。解解：625.0)()()()(=+=ABPBPAPBAP，375.0)()()()(=ABPBPBASPBAP，875.0)(1)(_=ABPABP，5.0)(625.0)()()()(_=ABPABBAPBAPABSBAPABBAP3，在100，101，999 这 900 个 3 位数中，任取一个 3 位数，求不包含数字 1 个概率。概率论与数理统计及其应用习题解答2解解：在 100，101，999 这 900 个 3 位数中不包含数字 1 的 3 位数的个数为648998=，所以所求得概率为72.

3、0900648=4，在仅由数字0，1，2，3，4，5 组成且每个数字之多出现一次的全体三位数中，任取一个三位数。（1）求该数是奇数的概率；（2）求该数大于 330 的概率。解解：仅由数字0，1，2，3，4，5 组成且每个数字之多出现一次的全体三位数的个数有100455=个。（1）该数是奇数的可能个数为48344=个，所以出现奇数的概率为48.010048=（2）该数大于 330 的可能个数为48454542=+，所以该数大于330 的概率为48.010048=5，袋中有 5 只白球，4 只红球，3 只黑球，在其中任取 4 只，求下列事件的概率。（1）4 只中恰有 2 只白球，1 只红球，1 只

4、黑球。（2）4 只中至少有 2 只红球。（3）4 只中没有白球。解解:（1）所求概率为338412131425=CCCC；概率论与数理统计及其应用习题解答3（2）所求概率为165674952014124418342824=+CCCCCC；（3）所求概率为16574953541247=CC。6，一公司向M个销售点分发)(Mnn张提货单，设每张提货单分发给每一销售点是等可能的，每一销售点得到的提货单不限，求其中某一特定的销售点得到)(nkk张提货单的概率。解解：根据题意，)(MnnXPXPXPXPXP0611.0)0()1(=XPXP4，设有一由n个元件组成的系统，记为/Gnk，这一系统的运行方式

5、是当且仅当n个元件中至少有k)0(nk个元件正常工作时，系统正常工作。现有一5/3G系统，它由相互独立的元件组成，设每个元件的可靠性均为 0.9，求这一系统的可靠性。解解：对于5/3G系统，当至少有 3 个元件正常工作时，系统正常工作。而系统中正常工作的元件个数X服从二项分布 B(5,0.9)，所以系统正常工作的概率为99144.01.09.0)(535553=kkkkkCkXP5，某生产线生产玻璃制品，生产过程中玻璃制品常出现气泡，以至产品成为次品，设次品率为 0.001，现取 8000 件产品，用泊松近似，求其中次品数小于 7 的概率。（设各产品是否为次品相互独立）解解：根据题意，次品数

6、X 服从二项分布 B(8000,0.001)，所以=XP（2）已知随机变量 X)(，且有5.00=XP，求2XP。解解：（1）0487.09513.0115115=XPXP；概率论与数理统计及其应用习题解答14（2）根据5.01010=eXPXP，得到2ln=。所以1534.02/)2ln1(5.011012=eXPXPXP。7，一电话公司有 5 名讯息员，各人在 t 分钟内收到讯息的次数)2(tX（设各人收到讯息与否相互独立）。（1）求在一给定的一分钟内第一个讯息员未收到讯息的概率。（2）求在给定的一分钟内 5 个讯息员恰有 4 人未收到讯息的概率。（3）写出在一给定的一分钟内，所有 5 个

7、讯息员收到相同次数的讯息的概率。解解：在给定的一分钟内，任意一个讯息员收到讯息的次数)2(X。（1）1353.002=eXP；（2）设在给定的一分钟内 5 个讯息员中没有收到讯息的讯息员人数用 Y 表示，则YB(5,0.1353)，所以00145.0)1353.01(1353.04445=CYP。（3）每个人收到的讯息次数相同的概率为()=0510052!32!2kkkkkeke8，一教授当下课铃打响时，他还不结束讲解。他常结束他的讲解在铃响后的一分钟以内，以 X表示铃响至结束讲解的时间。设 X的概率密度为=他其100)(2xkxxf，（1）确定k；（2）求31XP；（3）求2141XP；（4

8、）求32XP。解解：（1）根据3)(1102kdxkxdxxf=+，得到3=k；（2）2713133133/102=dxxXP；（3）647412132141332/14/12=dxxXP；（4）2719321332313/22=dxxXP。9，设随机变量 X的概率密度为=他其1000003.0)(2xxxf，求t 的方程04522=+XXtt有实根的概率。概率论与数理统计及其应用习题解答15解解：方程04522=+XXtt有实根表明0)45(442=XX，即0452+XX，从而要求4X或者1X。因为001.0003.01102=dxxXP，936.0003.041042=dxxXP所以方程有

9、实根的概率为 0.001+0.936=0.937.10，设产品的寿命 X（以周计）服从瑞利分布，其概率密度为=他其00100)(200/2xexxfx（1）求寿命不到一周的概率；（2）求寿命超过一年的概率；（3）已知它的寿命超过 20 周，求寿命超过 26 周的条件概率。解解：（1）00498.011001200/110200/2=+edxexXPx；（3）25158.010010020262026200/27620200/26200/22=+edxexdxexXPXPXXPxx。11，设实验室的温度 X（以C计）为随机变量，其概率密度为=他其210)4(91)(2xxxf（1）某种化学反应在

10、温度 X 1时才能发生，求在实验室中这种化学反应发生的概率。（2）在 10 个不同的实验室中，各实验室中这种化学反应是否会发生时相互独立的，以 Y 表示 10 个实验室中有这种化学反应的实验室的个数，求 Y 的分布律。（3）求2=YP，2XP。解解：（1）=212275)4(911dxxXP；（2）根据题意)275,10(BY，所以其分布律为概率论与数理统计及其应用习题解答1610,2,1,0,2722275)(1010=kCkYPkkk（3）2998.02722275)2(82210=CYP，5778.0)1()0(1)2(=YPYPYP。12，（1）设随机变量 Y 的概率密度为YYP。（2

11、）设随机变量 X 的概率密度为=他其422008/8/1)(xxxxf求分布函数)(xF，并求31xP，3|1XXP。解解：（1）根据24.0)2.0(2.0)(11001CdyCydydyyf+=+=+，得到2.1=C。110011)2.12.0(2.0)2.12.0(2.02.00)()(01100101+=yyyydyydydyydydydyyfyFyyy11001112.02.06.0)1(2.002=FFYPYPYPYPYYP（2）442200881881810)()(20422020+=xxxxdxxdxdxxdxdxdxxfxFxxx442200116/8/02=+他其，0,00

12、),()42(yxCeyxfyx试确定常数C，并求2XP，YXP，1yxdxdyyxf，可得8),(104020)42(00,0CdyedxeCdyCedxdxdyyxfyxyxyx=+，所以8=C。404220)42(22428),(2+=edyedxedyedxdxdyyxfXPyxyxx；32)1(2428),(04204020)42(0=+dxeedyedxedyedxdxdyyxfYXPxxxyxxyxyx2210410210)42(101)1(428),(1+=+edyedxedyedxdxdyyxfYXPxyxxyxyx。16，设随机变量（X，Y）在由曲线1,2/,22=xxyx

13、y所围成的区域G均匀分布。（1）求（X，Y）的概率密度；（2）求边缘概率密度)(),(yfxfYX。解解：（1）根据题意，（X，Y）的概率密度),(yxf必定是一常数，故由),(61),(),(1222/10yxfdyyxfdxdxdyyxfxxG=，得到=他其，0),(,6),(Gyxyxf。概率论与数理统计及其应用习题解答19（2）=+他其，,01036),()(22/22xxdydyyxfxfxxX；=+他其，0,002),()1(3yxexyxfyx，（1）求),(YX关于X的边缘概率密度)(xfX；（2）求条件概率密度)|(|xyfXY，写出当5.0=x时的条件概率密度；（3）求条件

14、概率5.0|1=XYP。解解：（1）=+其他,00,22),()(02)1(3xexdyexdyyxfxfxyxX。（2）当0 x时，=其他,00,)(),()|(|yxexfyxfxyfxyXXY。特别地，当5.0=x时=其他,00,5.0)5.0|(5.0|yexyfyXY。（3）5.015.01|5.0)5.0|(5.0|1+=edyedyxyfXYPyXY。19，（1）在第 14 题中求在0=X的条件下Y的条件分布律；在1=Y的条件下X的条件分布律。（2）在 16 题中求条件概率密度)|(|xyfXY，)|(|yxfYX，)5.0|(|xfYX。概率论与数理统计及其应用习题解答20解解

15、：（1）根据公式00,0|=XPXiYPXiYP，得到在0=X的条件下Y的条件分布律为Y0120|=XYP5/121/31/4类似地，在1=Y的条件下X的条件分布律为X0121|=YXP4/1710/173/17（2）因为=他其，0),(,6),(Gyxyxf。=他其，,01036)(22/22xxdyxfxxX；=他其，015.0)1(65.00)2(6)(yyyyyyfY。所以，当10 x时，=其他,02/,2)(),()|(222|xyxxxfyxfxyfXXY；当5.00y时，=其他,02,21)(),()|(|yxyyyyfyxfyxfYYX；当15.0y时，=其他,01,11)()

16、,()|(|xyyyfyxfyxfYYX；当5.0=y时，=其他,015.0,5.011)|(|xyxfYX。20，设随机变量（X，Y）在由曲线xyxy=,2所围成的区域G均匀分布。（1）写出（X，Y）的概率密度；（2）求边缘概率密度)(),(yfxfYX；（3）求条件概率密度)|(|xyfXY，并写出当5.0=x时的条件概率密度。概率论与数理统计及其应用习题解答21解解：（1）根据题意，（X，Y）的概率密度),(yxf必定是一常数，故由),(31),(),(1210yxfdyyxfdxdxdyyxfxxG=，得到=他其，0),(,3),(Gyxyxf。（2）=+他其，,010)(33),()

17、(22xxxdydyyxfxfxxX；=+他其，他其，010)(30103),()(22yyyydxdxyxfyfyyY。（3）当10 x时，=其他,0,1)(),()|(22|xyxxxxfyxfxyfXXY。特别地，当5.0=x时的条件概率密度为=其他,02/24/1,1224)5.0|(|yyfXY。21，设),(YX是二维随机变量，X的概率密度为+=他其，,02062)(xxxfX且当)20(=xxX时Y的条件概率密度为+=其他,010,2/11)|(|yxxyxyfXY，（1）求),(YX联合概率密度；（2）求),(YX关于Y的边缘概率密度；（3）求在yY=的条件下X的条件概率密度)

18、|(|yxfYX。概率论与数理统计及其应用习题解答22Y解解：（1）他其10,20031)|()(),(|+=yxxyxyfxfyxfXYX；（2）+=+=+其他010)1(3231),()(20yydxxydxyxfyfY；（3）当10y时，+=其他,020,)1(21)(),()|(|xyxyyfyxfyxfYYX。22，（1）设一离散型随机变量的分布律为Y-101kp212又设21,YY是两个相互独立的随机变量，且21,YY都与Y有相同的分布律。求21,YY的联合分布律。并求21YYP=。（2）问在 14 题中YX,是否相互独立？解解：（1）由相互独立性，可得21,YY的联合分布律为,2

19、121jYPiYPjYiYP=，1,0,1,=ji结果写成表格为2/)1(1012221212121+=+=+=YYPYYPYYPYYP。（2）14题中，求出边缘分布律为X012iXP=00.100.080.060.2410.040.200.140.3820.020.060.300.38jYP=0.160.340.501Y1Y2-101-14/22/)1(4/202/)1(2)1(2/)1(14/22/)1(4/2概率论与数理统计及其应用习题解答23很显然，000,0=YPXPYXP，所以YX,不是相互独立。23，设YX,是两个相互独立的随机变量，)1,0(UX，Y的概率密度为。解解：根据题意

20、，X的概率密度为=其他0101)(xxfX所以根据独立定，YX,的联合概率密度为其他2/10,1008)()(),(yyxydxdxdxdyyxfYXP24，设随机变量X具有分布律X-2-1013kp1/51/61/51/1511/30求12+=XY的分布律。解解：根据定义立刻得到分布律为Y12510kp1/57/301/511/3025，设随机变量)1,0(NX，求XU=的概率密度。解解：设UX,的概率密度分别为)(),(ufxfUX，U的分布函数为)(uFU。则当0u时，0)(=uXPuUPuFU，0)(=ufU；当0u时，1)(2)(=uuXuPuXPuUPuFU，概率论与数理统计及其应

21、用习题解答242/22)(2)()(uXUUeufuFuf=。所以，0002)(2/2=uueufuU。26，（1）设随机变量X的概率密度为=其他00)(xexfx求XY=的概率密度。（2）设随机变量)1,1(UX，求2/)1(+=XY的概率密度。（3）设随机变量)1,0(NX，求2XY=的概率密度。解解：设YX,的概率密度分别为)(),(yfxfYX，分布函数分别为)(),(yFxFYX。则（1）当0y时，0)(=yXPyYPyFY，0)(=yfY；当0y时，)()(22yFyXPyXPyYPyFXY=，22)(2)()(2yXYYyeyyfyFyf=。所以，0002)(2=yyyeyfyY

22、。（2）此时=其他0112/1)(xxfX。因为)12(122/)1()(=+=yFyXPyXPyYPyFXY，故，1121,1)12(2)()(=yyfyFyfXYY，所以，其他1001)(y时，)(2yXyPyXPyYPyFY=1)(2)()(=yyy，概率论与数理统计及其应用习题解答25故，2/2121)(2)()(yXYYeyyyfyFyf=。所以，其他0021)(2/=yeyyfyY。27，设一圆的半径 X 是随机变量，其概率密度为+=其他0208/)13()(xxxf求圆面积 A 的概率密度。解解：圆面积2XA=，设其概率密度和分布函数分别为)(),(yGyg。则)/(/)(2yF

23、yXPyXPyGX=，故2/0,1638321)/(21)()(+=+=yyyyyyfyyGyg所以，z时，)(222zYXPzZPzFZ+=2222222202220121),(zzrzyxerdreddxdyyxf+=，概率论与数理统计及其应用习题解答26故，其他00)()()2/(222=zezzFzfzZZ。29，设随机变量)1,1(UX，随机变量 Y 具有概率密度)1(1)(2yyfY+=，+y，设 X,Y相互独立，求YXZ+=的概率密度。解解：因为=其他00)(xexfxX，=其他00)(2yyeyfyY0，X,Y相互独立。求YXZ+=的概率密度。解解：根据卷积公式，得zzzXYZ

24、ezdyyedyyzfyfzf+=23032)()()(，0z。所以YXZ+=的概率密度为=其他002)(23zezyfzY。31，设随机变量 X,Y都在(0,1)上服从均匀分布，且 X,Y 相互独立，求YXZ+=的概率密度。解解：因为 X,Y都在(0,1)上服从均匀分布，所以=其他0101)(xxfX，=其他0101)(xyfY根据卷积公式，得dyyzfyfzfXYZ)()()(=+=他其，20,0023),(3yxeyxfx（1）求边缘概率密度)(),(yfxfYX。（2）求,maxYXZ=的分布函数。（3）求概率12/1=+他其，,0032/3),()(3203xedyedyyxfxfx

25、xX；=+他其，他其，0202/10202/3),()(03yydxedxyxfyfxY。（2）,maxYXZ=的分布函数为)()(,max)(zFzFzYPzXPzYzXPzYXPzZPzFYXZ=因为=0,10,0)(3xexxFxX；220012/0)(=2,120,120,0)()()(33zezezzzFzFzFzzYXZ。（3）2/33412141)2/1()1(12/1+=eeFFZPZZ。33，（1）一条绳子长为l2，将它随机地分为两段，以X表示短的一段的长度，写出X的概率密度。（2）两条绳子长度均为l2，将它们独立地各自分成两段，以Y表示四段绳子中最短的一段的长度，验证Y的概

26、率密度为=他其，00/)(2)(2lylylyfY。概率论与数理统计及其应用习题解答28Y解解：（1）根据题意，随机变量),0(lUX，所以概率密度为=其他001)(lxlxfX。（2）设这两条绳子被分成两段以后较短的那一段分别记为21,XX，则它们都在),0(l上服从均匀分布。,min21XXY=，其分布函数为lylyyFyFyFXXY=0,)1(1)(1)(11)(221，所以密度函数为()=他其，00/)(2)()(2lylylyFyfYY。34，设随机变量 X 和 Y的联合分布律为（1）求),max(YXU=的分布律。（2）求),min(YXV=的分布律。（3）求YXW+=的分布律。X

27、01201/121/61/2411/41/41/4021/81/20031/12000解解：（1）),max(YXU=的分布律为3,2,1,0,),max(=+=kkXkYPkYkXPkYXPkUP如，2,22,22=+=kkXkYPkYkXPkYXPkVP如，2,22,22=+=XYPYXPVP000=+=，其余类似。结果写成表格形式为U01kp27/4013/40（3）YXW+=的分布律为5,4,3,2,1,0,0=+=kikYiXPkYXPkWPki如，12/58/14/124/12,220=+=iiYiXPWP，其余类似。结果写成表格形式为W0123kp1/125/125/121/12

28、（第 2 章习题解答完毕）第 3 章随机变量的数字特征1，解解：根据题意，有 1/5 的可能性取到 5 个单词中的任意一个。它们的字母数分别为4，5，6，7，7。所以分布律为X4567kp1/51/51/52/55/29)77654(51)(=+=XE.2，解解：个单词字母数还是，。这时，字母数更概率论与数理统计及其应用习题解答30多的单词更有可能被取到。分布律为Y4567kp4/295/296/2914/2929/175)147665544(291)(=+=YE.3，解解：根据古典概率公式，取到的电视机中包含的次品数分别为0，1，2 台的概率分别为1163123100=CCp，2293122

29、10121=CCCp，221312110222=CCCp。所以取到的电视机中包含的次品数的数学期望为)(21222112290116台=+=E。4，解解：根据题意，有 1/6 的概率得分超过6，而且得分为 7 的概率为两个 1/6 的乘积（第一次 6 点，第 2 次 1 点），其余类似；有 5/6 的概率得分小于6。分布律为Y12345789101112kp6161616161361361361361361361得分的数学期望为)(1249)121110987(361)54321(61点=+=E。5，解解：（1）根据)(X，可得6!6!5565=XPeeXP，因此计算得到6=，即)6(X。所以

30、)(XE=6。概率论与数理统计及其应用习题解答31（2）根据题意，按照数学期望的公式可得21121221112ln61)1(66)1()1()(=+=+=+=kkkkkkkkkkXkPXE，因此期望存在。（利用了11,1)1()1ln(0+=+=xnxxnnn）（不符书上答案）6，解解：（1）一天的平均耗水量为+=+=03/03/03/203/2)(2320)(39)()(xxxxexddxxeedxdxexdxxxfXE62003/=+=+dxex（百万升）。（2）这种动物的平均寿命为1050)251()()(5252=+dxxxxdxxdFXE（年）。7，解解：=+10621052)1(7

31、)1(42)()(xdxdxxxdxxxfXE+=+=1071071071061062)1(2)1(2)1(2)1(14)1(7dxxxxxxddxxxxx=1/4。8，解解：2ln23)ln2()/11(2)()(212212=+xxdxxxdxxxfXE。9，解解：+=+102012)1(23)1(23)()(dxxxdxxxdxxxfXE概率论与数理统计及其应用习题解答320)1(23)1(23102012=+=dxxxdxxx。（对第一个积分进行变量代换yx=）10，解：=4044)1(2sin)2(sinkkkkppCkXE)221)(1(4)1()1(213343114pppppp

32、CppC+=+=。（不符书上答案）11，解解：R 的概率密度函数为=其他,00,/1)(axaxf，所以2416)(303adrarVEa=。12，解解：+=43.0403.023.0163.0)()()(dxedxexdxxfxgXgExx)584200(912.1=e（不符书上答案）13，解解：因为),2,1(niXi=的分布函数为=1,110,0,0)(xxxxxF，所以可以求出nYY,1的分布函数为=1,110,)1(10,0)(minyyyyyFn，=1,110,0,0)(maxyyyyyFn。nYY,1的密度函数为=其他,010,)1()(1minyynyfn，k时，11)()(=

33、+kkdxxkdxxkdxxxfXEkkkk。（2）当1=k时，+=+dxxXE1)(，即)(XE不存在。（3），当2k时，2)()(2122=+kkdxxkdxxfxXEkk，所以，)2()1()1(21)()()(222222=kkkkkkkXEXEXD。（4）当2=k时，+=+dxxdxxfxXE2222)()(，所以)(XD不存在。21，解解：（1）根据 14 题中结果，得到56/94/32/114/3)()()(),(=YEXEXYEYXCov；概率论与数理统计及其应用习题解答36Y因为7/4)(2022=kkXPkXE，28/27)(2022=kkYPkYE，所以28/9)()()

34、(22=XEXEXD，112/45)()()(22=YEYEYD，55)()(),(=YDXDYXCovXY。（2）根据 16 题结果可得：()75/25/215/2)()()(),(2=YEXEXYEYXCov；因为5/124),()(1031022=yRRydxxdydxdyyxfxXE，5/124),()(1031022=yRRxdxydydxdyyxfyYE，所以，25/1)()()(22=XEXEXD，25/1)()()(22=YEYEYD75/2),(2)()()(=+=+YXCovYDXDYXD，32)()(),(=YDXDYXCovXY。（3）在第 2 章 14 题中，由以下结

35、果X012kXP=00.100.080.060.2410.040.200.140.3820.020.060.300.38kYP=0.160.340.501得到，14.1)(=XE，34.1)(=YE，8.1)(=XYE，9.1)(2=XE，34.2)(2=YE，所以，2724.0)()()(),(=YEXEXYEYXCov；概率论与数理统计及其应用习题解答376004.0)()()(22=XEXEXD，5444.0)()()(22=YEYEYD,4765.05717.02724.0)()(),(=YDXDYXCovXY.22，解解：根据题意有),(2)()()(YXCovYDXDYXD+=+)

36、()(2)()(YDXDYDXDXY+=116)6/1(249=+=。)3,4(2)3()4()43(YXCovYDXDYXD+=+),(6)(9)(YXCovYDXD+=516)6/1(6369=+=。23，解解：（1）因为321,XXX相互独立，所以168)4()()4(2332222322123221XXXXEXXEXEXXXE+=168168233222233222XEXEXEXEXXXXE+=+=171601=+=。（2）根据题意，可得3/1)()()(,2/1)(22=+=iiiiXEXDXEXE，3,2,1=i。4244)2(2331212322212321XXXXXXXXXEX

37、XXE+=+4244233121232221XEXEXEXEXEXEXEXEXE+=211211313431=+=。24，解解：因为3/2),()(10=xxRRxdydxdxdyyxxfXE，0),()(10=xxRRydydxdxdyyxyfYE，0),()(10=xxRRxydydxdxdyyxxyfXYE，所以，0)()()(),(=YEXEXYEYXCov，即，验证了 X,Y 不相关。概率论与数理统计及其应用习题解答38又因为，=+他其，,01021),()(xxdydyyxfxfxxX；+=+他其，他其，015.015.0010101011),()(11yyyyydxydxdxyx

38、fyfyyY，显然，)()(),(yfxfyxfYX，所以验证了 X,Y 不是相互独立的。25，解解：引入随机变量定义如下=个盒子个球未落入第第个盒子个球落入第第iiiiXi01则总的配对数=niiXX1，而且因为nXPi11=，所以，)1,(nnNX。故所以，11)(=nnXE。第 4 章正态分布1，（1）设)1,0(NZ，求24.1ZP，37.224.1 ZP，24.137.2ZP；（2）设)1,0(NZ，且9147.0=aZP，0526.0=bZP，求ba,。解解：（1）8925.0)24.1(24.1=ZP，0986.08925.09911.0)24.1()37.2(24.137.23

39、7.224.1=ZPZPZP0986.0)37.2(1)24.1(1)37.2()24.1(24.137.2=ZP（2）)37.1(9147.0=aZP，所以37.1=a；概率论与数理统计及其应用习题解答3910526.0bZPbZP=，所以)62.1(9474.0=bZP，即62.1=b。2，设)16,3(NX，求84XP，50XP。解解：因为)16,3(NX，所以)1,0(43NX。2957.05987.08944.0)25.0()25.1(4384343484=CXP。解解：（1）因为1)6(2)6()6(2525=CCCCXCPCXP所以得到9772.0)6(=C,即0.26=C，0.

40、12=C。（2）因为)1,0(23NX，所以95.0)23(1=CCXP，即95.0)23(,05.0)23(CC或者，从而645.123C，29.0C。4，已知美国新生儿的体重（以 g 计）)575,3315(2NX。（1）求25.439075.2587XP；（2）在新生儿中独立地选 25 个，以 Y 表示 25 个新生儿的体重小于 2719 的个数，求4YP。解解：根据题意可得)1,0(5753315NX。（1）)575331575.2587()575331525.4390(25.439075.2587=XP8655.0)8962.01(9693.0)2648.1()87.1(=（或0.8

41、673）（2）1492.0)04.1(1)57533152719(2719=XP，概率论与数理统计及其应用习题解答40根据题意)1492.0,25(BY，所以6664.08508.01492.04254025=kkkkCYP。5，设洗衣机的寿命（以年计）)3.2,4.6(NX，一洗衣机已使用了5年，求其寿命至少为 8 年的条件概率。解解：所要求的概率为1761.08212.08554.01)92.0(1)06.1(1)3.24.65(1)3.24.68(1585|8=XPXPXXP6，一电路要求装两只设计值为 12 欧的电阻器，而实际上装的电阻器的电阻值（以欧计）服从均值为 11.9 欧，标准

42、差为 0.2 欧的正态分布。求（1）两只电阻器的电阻值都在 11.7 欧和 12.3 欧之间的概率；（2）至少有一只电阻器大于 12.4 欧的概率（设两电阻器的电阻值相互独立）解解：设 两 个 电 阻 器 的 电 阻 值 分 别 记 为 随 机 变 量,YX则)04.0,9.11(NX，)04.0,9.11(NY（1）3.127.113.127.113.127.11,3.127.11=YPXPYXP2)2.09.117.11()2.09.113.12(=6699.08185.0)1()2(22=；（2）至少有一只电阻器大于 12.4 欧的概率为2)2.09.114.12(14.124.1214

43、.12,4.121=YPXPYXP0124.09938.012=。概率论与数理统计及其应用习题解答417，一工厂生产的某种元件的寿命X（以小时计）服从均值160=，均方差为的正态分布，若要求80.0200120XP，允许最大为多少？解解：根据题意，)1,0(160NX。所以有80.01)40(2)160120()160200(200120=XP，即，)28.1(9.0)40(，从而25.31,28.140。故允许最大不超过 31.25。8，将一温度调节器放置在储存着某种液体的容器内，调节器整定在Cd，液体的温度X（以C计）是一个随机变量，且)5.0,(2dNX，（1）若90=d，求X小于 89

44、 的概率；（2）若要求保持液体的温度至少为 80 的概率不低于 0.99，问d至少为多少？解解：因为)5.0,(2dNX，所以)1,0(5.0NdX。（1）0228.0)2(1)2()5.09089(89=XP；（2）若要求99.080XP，那么就有99.0)5.080(180=dXP，即01.0)5.080(d或者)326.2(99.0)5.080(=d，从而326.25.080d，最后得到163.81d，即d至少应为 81.163。9，设YX,相互独立，且X服从数学期望为150，方差为 9 的正态分布，Y服从数学期望为 100，方差为 16 的正态分布。概率论与数理统计及其应用习题解答42

45、（1）求YXW+=1，YXW+=22，2/)(3YXW+=的分布；（2）求6.242+YXP。解解：根据题意)16,100(),9,150(NYNX。（1）根据正态分布的线性组合仍为正态分布（本书 101 页定理2）的性质，立刻得到)25,250(1NW，)52,200(2NW，)425,125(3NW（2）因为)25,250(1NW，)425,125(3NW，所以)1,0(5250NYX+，()1,0(2/51252/NYX+。因此0694.0)48.1(1)52506.242(6.242=+YXPYXP=)5.25()5.25(1)2(22=0456.0=10，（1）某工厂生产螺栓和垫圈。

46、螺栓直径（以mm计）)2.0,10(2NX，垫圈直径（以 mm 计）)2.0,5.10(2NY，YX,相互独立。随机地取一只螺栓，一只垫圈，求螺栓能装入垫圈的概率。（2）在（1）中若)2.0,10(2NX，),5.10(2NY，问控制至多为多少才能使螺栓能装入垫圈的概率不小于 0.90。解解：（1）根据题意可得)08.0,5.0(NYX。螺栓能装入垫圈的概率为9616.0)77.1(08.0)5.0(00=YXPYXP。（2）)04.0,5.0(2+NYX，所以若要控制概率论与数理统计及其应用习题解答43)282.1(90.004.0)5.0(002=+=YXPYXP，即要求282.104.0

47、5.02+，计算可得3348.0。表明至多为 0.3348才能使螺栓能装入垫圈的概率不小于 0.90。11,设某地区女子的身高（以 m 计）)025.0,63.1(2NW，男子身高（以m 计）)05.0,73.1(2NM。设各人身高相互独立。（1）在这一地区随机选一名女子，一名男子，求女子比男子高的概率；（2）在这一地区随机选 5 名女子，求至少有 4 名的身高大于 1.60 的概率；（3）在这一地区随机选 50 名女子，求这 50 名女子的平均身高达于 1.60的概率。解解：（1）因为)003125.0,1.0(NWM，所以0367.09633.01)79.1()003125.01.00(0

48、=WMPMWP；（2）随机选择的女子身高达于 1.60 的概率为8849.0)2.1()025.063.160.1(160.1=WP，随机选择的 5 名女子，身高大于 1.60 的人数服从二项分布)8849.0,5(B，所以至少有 4 名的身高大于 1.60 的概率为8955.08849.0)8849.01(8849.0555445=+CC（3）设 这 50 名女 子的身 高分别 记为随 机变量501,WW，=501501iiWW。则)50025.0,63.1(5012501NWWii=，所以这 50 名女子的平均身高达于 1.60 的概率为概率论与数理统计及其应用习题解答441)49.8()

49、50/025.063.160.1(160.1=WP12，（1）设 随 机 变 量),(2NX，已 知20.016=XP，90.020=XP，求和；（2）ZYX,相互独立且都服从标准正态分布，求7623+ZYXP。解解：（1）由)84.0(20.0)16(16=XP，得到84.016=；)282.1(90.0)20(20=XP，得到282.120=；联立84.016=和282.120=，计算得到8850.1,5834.17=。（2）由ZYX,相 互 独 立 且 都 服 从 标 准 正 态 分 布，得 到)49,0(623NZYX+。故所以1587.0)1(1)707(76237623=+=XPX

50、PXPii16，以1001,XX记 100 袋额定重量为25（kg）的袋装肥料的真实的净重，.100,2,1,1)(),(25)(=iXDkgXEii1001,XX服从同一分布，且相互独立。=10011001iiXX，求25.2575.24XP的近似值。解解：根据题意可得1001)(),(25)(=XDkgXE。由独立同分布的中心极限定理可得)5.2()5.2(1.02525.251.0251.02575.2425.2575.24=XPXP9876.01)5.2(2=17，有 400 个数据相加，在相加之前，每个数据被舍入到最接近它的 数，其 末 位 为10-7。设 舍入 误 差 相 互独 立