概率统计移动便携版.doc

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1、说明：此格式为7*29.7cm纸张大小，即将A4纸裁成三条，打印出来易携带一、填空题1已知P(A)=0.4，P(B)=0.3 (1)当A、B互不相容时，PAB=0.7 P(AB)=0,互不相容时AB=,PAB=PA+PB-PAB=0.4+0.3-0=0.7(2)当A、B相互独立时，PAB= 0.58 相互独立时P(AB)=P(A)*P(B) PAB=PA+PB-P(A)P(B)=0.4+0.3-0.12=0.58(3)当BA时，P(AB)= 0.3P(AB)=P(B)=0.32. 已知PA=0.5,PB=0.6,PBA=0.8, 则PAB=0.9PBA=P(AB)P(A) PAB=PA+PB-

2、PAB =1-P(A)+P(B)-P(B)-P(AB)=1-0.5+0.6-0.6+0.8*0.5=0.9AB3. 设A、B两个随机事件满足PAB=13，PAB=19,则P(B)7/9PAB=PA+PB-PAB=13 PAB=PA-B=PA-PAB=19上边两式相减得PB=13-19=29-1130.410.84. 设随机变量X的分布函数为x-113P0.40.40.2x=0, x-10.4, -1x10.8, 1x2=1-Px2=1-1215dx=1-15x|12 =4/511(X1,X2,X3)为N(0,4)的样本，若要求aX12+b(X2-X3)2服从2(2)，则(a,b)=(1/4,1

3、/8)xiN0,4 x12N0,1 x2-x3N0,8 x2-x38N(0,1)于是（x12）2+(x2-x38)2=14x12+18(x2-x3)222 a,b=(14,18)12 已知袋中有3个红球，2个白球，现将袋中之球逐一取出（不放回），则最后一次取得红球的概率为_3/5_.经典抽签题13 设总体的均值为 ，(X1,X2)为一样本，=aX1+bX2是的无偏估计，其中a,b为常数，则a+b= 1 E=Eax1+bx2=a+b=a+b= 则a+b=114. 设总体X服从N(,2),(X1,X2,Xn)为样本.X与S2是样本的均值和方差，则T=n(X-S)2服从的分布为 F(1,n-1) .

4、15. 在具有r个水平的单因素方差分析中，假定各水平独立且服从N(i,2).现第i个水平下做ni次实验，所得结果为Xij,i=1,r,j=1ni，则在平方和的分解式QT=QA+QE中，QA的表达式为 i=1rni(xi-x)2二、选择题1、设A、B为随机事件，若P(B|A)=1，则（D AB ）. PBA=P(AB)P(A)2、设二维随机变量(X,Y)的联合分布列为： 01200.10.20.110.30.10.12000.1则P(XY=0)=（ C ）.蓝色表格内数值和减去公共的0.1A、0.3； B、0.5； C、0.7； D、0.8；3、连续型随机变量X的概率密度为：PX1.5=01xd

5、x+11.52-xdx=12x2|01+(2x-x22|11.5)=0.875fx=x, 0x12-x,1x20, else，则PX1.5=（ D 0.875 ）44假设检验检验中，设H0为原假设，H1为备选假设，则称（A H1真，接受H0 ）为取伪错误与14题一样，从原假设角度出发5、设X、Y相互独立，XN(-1,2)，YN(1,3)，则X+2Y服从的分布为： B N(1,14)EX+2Y=EX+2EY=-1+21=1 VX+2Y=VX+4VY=2+43=146、 设随机变量(X,Y)的协方差为0，则X、Y之间关系为：B不相关 covX,Y=XYV(x)V(Y)7、 已知D(X)=25,D(

6、Y)=1且X、Y相关系数XY=0.4，则D(X-Y)为：B 22DX-Y=DX+DY-2covX,Y=DX+DY-2XYDXDY=25+1-20.4518、 随机变量(X,Y)N(0,0,1,1,0),(x)为标准正态分布函数，则不正确的为 C cov(x,y)=1二维正态分布(X,Y)N(1,2,12,22,) =0表示不相关，独立9、X服从N(0,2),(X1,X2,X3,X4)为样本，则统计量X1+X2X32+X42服从的分布为 T=XYdf 只有t检验有根号 ( C t(2) ). .F=X12df1x22df210、设总体XN(,2)，,2均未知，(X1,X2,Xn,)为其样本，X,

7、S2分别为总体的样本均值与样本方差，则的置信度为0.95的置信区间为B(X-Snt0.025n-1,X+Snt0.025n-1)置信区间构造统计量，考虑U或T，方差已知为U，未知为T.11. 已知离散型随机变量X的分布函数为F(X)，则PaXb= (D F(b)-F(a)+P(X=a) ).离散随机变量点值分布 Paxb=Pxb-Pxa=Fb-Pxa+Px=a=Fb-Fa+P(x=a)12.X与Y相互独立，且它们的分布函数分别为FXx,FY(Y)，则Z=max(X,Y)的分布函数为 C FZz=FX(z)FY(z) ）公式13.设总体X服从1,2上的均匀分布，其中12，则1与2的矩估计量(C)

8、. C 1=X-3S,2=X+3S. Ex=xVx=S21+22=x(2-1)212=S215. 收集16组合金钢中的碳含量x和强度Y的样本数据，计算得:x=0.125,y=45.7886,Sxx=i=116(xi-x)2=0.3024,Sxy=i=116xi-xyi-y=25.5218,Syy=i=116(y-y)2=2432.4566B 建立Y关于x的一元线性回归方程Y=a+bx为：B Y=84.3975+35.2389x b=S_xy/S_yy .a=y-bx三、计算题1.三个箱子中，第一个箱子中有4个黑球1个白球，第二个箱子中有3个黑球3个白球，第三个箱子中有3个黑球5个白球，现随机地

9、取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球.（1）求这个球为白球的概率；（2）已知取出的球是白球，求此球属于第二个箱子的概率.解：设Ai为取到第i个箱子，i=1,2,3. B为取到白球(1) P(B) = i=13PAiPAiB= 1315+1336+1358= 53120(2) P(A2|B) = P(A2)P(B|A2)P(B) = 20532. 在数字通讯中，信号是由数字0和1的长序列组成的，由于有随机干扰，发送的信号0或1各有可能错误接收为1或0现假定发送信号为0和1的概率都为0.5，又已知发送0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1

10、求：(P21 1.13)（1）收到信号1的概率；（2）已知收到信号0时，发送的信号是0的概率解：设A为发送编码为0，B为接收编码为0。P(B|A) = 0.8P(B|A) = 0.2P(B|A) = 0.1P(B|A) = 0.9(1) P(B) = P(A)P(B|A) + P(A)P(B|A) = 0.50.2+0.50.9 = 0.55(2) P(A|B) = P(B|A)P(A)1-P(B) = 0.50.80.45 = 893. 对飞机进行三次独立的射击，命中率分别为0.4，0.2，0.7，飞机被击中一次而被击落的概率为0.2，飞机被击中二次而被击落的概率为0.6，若被击中三次，飞机

11、必然被击落。求射击三次飞机被击落的概率.解：设Ai为第i次射击命中飞机；Bi为飞机被击中i次而被击落；C为射击三次击落飞机P(C) = P(B1)P(A1A2A3)+PA1 A2A3+P(A1A2A3) + P(B2)P(A1A2A3)+ P(A1A2A3)+ P(A1A2A3) + P(B3)P(A1A2A3)=0.2(0.40.80.3+0.60.20.3+0.60.80.7) +0.60.40.20.3+0.40.80.7+0.60.20.7+0.40.20.7= 0.0936 + 0.1992 + 0.056 = 0.34884. 已知(x,y)的联合概率密度为：fx,y=4x, 0x

12、1,0y0.25)，P(X0.5,Y0.25)解：(1)fxx= -+f(x,y)dy= 0x24xdy=4x3 0x10 其他fYy= -+f(x,y)dx= y14xdx 0y10 其他= 2-2y 0y10 其他(2)在0x1 0y1时，fXxfYy=81-yx34x=fx,y 故X-5Y不独立(3)P(Y0.25)=0.251dyy14xdx= 0.251(2-2y)dy=0.56255 设随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为：(P136 5.5) fx,y=k6-x-y 0x2,2y40 else（1）确定常数k;（2） 求边缘密度函数.解：(1)02dx24k6-x-ydy=1

13、k=18 (2)fXx=-+fx,ydy= 24186-x-ydy 0x20 其他= 3-x4 0x20 其他fYy=-+fx,ydx=02186-x-ydx 2y40 其他=5-y4 2y40 其他6. 已知随机变量X的概率密度函数为(P68 3.1) fx=ax2 x100 x10（1）求a； （2）求分布函数F(x)； （3）求P5X10 =0 x101-10x x10 (3)P(5x00 else，fYy=2e-2x y00 else，10,20,12，试用下面三种不同的组成方式，求出系统L的寿命Z的概率密度.（1）串联； （2）并联；（3）一个工作，一个备用.(P122 5.6.7)

14、解;(1)串联，此时L的寿命Z = min(X,Y).X，Y的分布函数分别为Fx(x) = 1- e-1x x00 x0 FY(y) = 1- e-2y y00 y0由FN(z) = 1 1 F(z)n得(视n = 2)Z的分布函数为：FZ(x) = 1- e-(1+2)z z00 z0Z的概率密度函数为fZz=Fzz= 1+2e-1+2z z00 z0(2)并联 此时L的寿命Z = max(X,Y).由FM(z) = F(z)n 得(视n = 2)Z的分布函数为Fzz= 1- e-1z1- e-2z z 00 z 0Z的概率密度函数为fZz=Fzz= 1e-1z+ 2e-2z-(1+2)e-

15、1+2z z00 z0(3)备用情况 子系统L1损坏时，系统L2即开始工作，整个系统L的寿命Z为两子系统寿命之和，即Z = X + Y由卷积公式知，当z 0 时fzz= -+fx(x)fY(z-x)dx= 0z1e-1x2e-2z-xdx =12e-2z0ze-(1-2)zdx= 121-2(e-1z- e-2z)当z 00 z 08. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分钟计）服从指数分布，其概率密度为fxx=15e-x5 x00 else某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开。他一个月要到银行5次。用Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，求Y的分布，并计算P(Y1).解

16、：首先先求任一次愤然离去的概率，依题意p = P(T 10) = 10+15e-t5dt=-e-t5|+10= e-1050.1353设5次中愤然离去的次数为Y，则YB(5,p),即服从n = 5，p = 0.1353的二项分布：PY = k = C5kpk(1-p)5-k, k = 0,1,2,3,4,5.P(Y 1) = 1-P(Y260)（2）要使P(W260)不超过10%，问要收到多少这样的信号才行？解：(1)因为WiU(0,10),即服从(0,10)上的均匀分布，所以E(Wi)= 10/2=5V(Wi) = 10212= 253 ,又W = i=150Wi，且Wi之间相互独立，所以E

17、(W) = 50 * 5 = 250V(W) = 50 253= 12503 ,这里n = 50，较大，可以应用中心极限定理，所以有PW 260 = 1 PW 260 = 1 PW-25012503 260-25012503 1 P(W* 0.4899)1 (0.4899) 1 0.6879 = 0.3121(2)设收到的信号为n个，W = i=1nWi ,E(W) = 5n,V(W) = 253n,n应该是较大的，可应用中心极限定理据题意，PW 260 0.1 , 现有PW 260 = 1 PW 260 = 1 P(W-5n25n3 260-5n25n3) = 1 P(W 52-nn3) 1

18、 (52-nn3)要使P(W 260) 0.1,只要1 (52-nn3) 0.1 ,即(52-nn3) 0.9反查表，只要52-nn3 1.281，解不等式得出n 57.6，取n = 58，即至少要收到58个新号。12. 设总体X的概率密度为： fx,=xa-1e-x x00 x0其中0未知，0是常数(X1,X2,Xn)是来自总体X的样本，求的极大似然估计量 解：L=i=1nxi-1e-xi=nn(i=1nxi)-1e-i=1nxiLn=nln+nlnX+-1lni=1nxi-i=1nxi=nln+nln+(-1)i=1nlnxi-i=1nxidln()d=n-i=1nxi=0=ni=1nxi

19、=1x13.设总体X的密度函数为fx=x-1e-2x-102 x100 x10 是未知参数.(P185 8.3 应为x-10)X1,X2,X3,X4为简单样本，27，25，35，29为一组样本值.求（1）的极大似然估计量；（2）根据样本值，求出的极大似然估计值；（3）在（2）的情况下，求P(X30)解：(1)似然函数L=i=141xi-10e-2xi-102=4i=14e-2i=14(xi-10)2lnL()=4ln+i=14lnxi-1-2(xi-10)2dln()d=4+i=14lnXi-10-12i=14(Xi-10)2=0 =842(Xi-10)2(2) =0.0053(3)Px30=

20、1030(x-1)e-2(x-10)2dx 令x-10=t =020te-2t2dt=020-e-2t2d(-t22)=-e-2t2|020=1-e-20014.设对某正态总体XN(,2)的均值进行假设检验.(P216 9.10)H0:=0,H1:0，已知=300，取样本容量n=25， 取H0的接受域为(-,995)（1）若0=900，求犯第一类错误（弃真）的概率；（2）若1=1070，问此时犯第二类错误（取伪）的概率.解：本题是在2已知的情况下，对进行单侧(右侧)假设检验的问题，且H0 : = 0 ; H1 : 1 2 ; = 300(1) 0 = 900 , n = 25, H0 的拒绝域

21、为X (995,+)= P拒绝H0 | H0正确 = PX 995 | = 0=900 = PX-90030025 995-90030025 = X* 1.58 = 1- 1.58 1-0.943=0.057(2) = 1=1070, n=25, H0的接受域为X (-,995)= P接受H0|H0不正确，=0=1070正确= PX 995| = 0=1070=PX-90030025 995-107030025=PX* -1.25= -1.25=1-1.251-0.8944=0.1056(3) 若要1995=0=900=PX-900300n 995-900300n=PX*0.3167n=1-0

22、.3167n0.0285即0.3167n1-0.0285=0.9715 反查表得0.3167n 1.9 n1.90.31672 35.99 取n3615. 某厂生产的螺杆直径服从正态分布N(,2)，现从中抽取5件，测其直径为：（单位mm）22.3,21.5,22.0,21.8,21.4，若2未知，在显著性水平=0.05下，可否认为这批螺杆直径为21mm？解：H0:=21 H1:21由于未知，H0成立时，用t检验法t=x-21s5 其中x=21.8 s=0.3674代入t=4.869 拒绝域=|t|t0.025(4)=|t|2.776因为4.8692.776故不能认为这批螺杆直径为21mm16.

23、 某车间用一台包装机包装精盐.额定标准每袋净重500克，设包装机包装出的盐每袋重服从正态分布的极大似然估计，某天随机地抽取9袋，称得净重为（单位克）497 ， 506， 518， 524， 488， 511， 510， 515， 512. 问包装机工作是否正常？(a=0.05) 解：(1)原假设 H0， = 0 = 500g；对立假设 H1 ：0. (2)选统计量 T = X- 0Sn t(n-1) (3)给出= 0.05， P|T| t12(n-1) = (4)x=509,s2=118.75,s=10.9,n-1=8,t=2.477,查出t0.0258=2.306 (5)判断：这里t= 2.4772.306=t0.025(8),小概率事件发生，故接受原假设H0,接受H1，认为包装机工作不正常。4