曲面及其方程0910.pptx

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1、会计学1曲面及其方程曲面及其方程0910以下给出几例常见的曲面.解根据题意有所求方程为特殊地：球心在原点时方程为球面的标准方程第1页/共31页根据题意有化简得所求方程解第2页/共31页原方程可变形为1）球面的一般方程为2）给出球面的一般方程可经过配方化为标准方程以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题：2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状（讨论旋转曲面）（讨论柱面、二次曲面）1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程第3页/共31页二、旋转曲面定义：定义：定义：定义：以一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一以一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一以一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一以一条平

2、面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一 周所成的曲面叫做周所成的曲面叫做周所成的曲面叫做周所成的曲面叫做旋转曲面旋转曲面旋转曲面旋转曲面，这条定直线叫做旋，这条定直线叫做旋，这条定直线叫做旋，这条定直线叫做旋 转曲面的轴。转曲面的轴。转曲面的轴。转曲面的轴。旋转曲面的方程设在yOz坐标面上有一已知曲线C，它的方程为f(y,z)=0，把这曲线绕z轴旋转一周，就得到一个以z轴为轴的旋转曲面，它的方程为？第4页/共31页旋转过程中的特征：如图将 代入第5页/共31页将 代入得方程 平面曲线绕某轴旋转，轴坐标变量不变，而将曲线方程中的另一变量改写成该变量与第三个变量的平方和的正负平方根。第6页/共31页解

3、 圆锥面方程第7页/共31页(1)在yOz坐标面上有一已知曲线C，它的方程为f(y,z)=0，把这曲线绕z轴旋转一周，就得到一个以z轴为轴的旋转曲面，它的方程为：(2)在xOy坐标面上有一已知曲线C，它的方程为g(x,y)=0，把这曲线绕x轴旋转一周，就得到一个以x轴为轴的旋转曲面，它的方程为：同样绕y轴旋转一周,它的方程为：(3)在xOz坐标面上有一已知曲线C，它的方程为h(x,z)=0，把这曲线绕x轴旋转一周，就得到一个以x轴为轴的旋转曲面，它的方程为：同样绕z轴旋转一周,它的方程为：同样绕y轴旋转一周,它的方程为：第8页/共31页例5 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方

4、程旋转双曲面双叶单叶第9页/共31页旋转椭球面旋转抛物面 给一个方程要会辩认是球面、锥面还是旋转曲面第10页/共31页三、柱面定义平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.观察方程:表示怎样的曲面？第11页/共31页抛物柱面平面画出下列曲面的图形第12页/共31页结论：方程F(x,y)=0.（只含x,y，不含z），在空间直 角坐标系中表示母线平行于z轴的柱面.方程G(x,z)=0:（只含x,z，不含y），在空间直 角坐标系中表示母线平行于y轴的柱面.方程H(y,z)=0:（只含y,z，不含x），在空间直 角坐标系中表示母线平行于x

5、轴的柱面第13页/共31页几种常见的柱面指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？椭圆柱面 /轴双曲柱面 /轴抛物柱面 /轴第14页/共31页平面解析几何中空间解析几何中斜率为1的直线方程第15页/共31页 练习画出下列曲面的图形1.3.5.2.4.6.7.第16页/共31页二次曲面的定义：三元二次方程所表示的曲面称之二次曲面相应地平面被称为一次曲面讨论二次曲面形状的截痕法：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌以下用截痕法讨论几种二次曲面四、二次曲面第17页/共31页（一）椭球面 椭球面与三个坐标面的交线：第1

6、8页/共31页椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.椭球面与平面 的交线为椭圆同理与平面 和 的交线也是椭圆.第19页/共31页椭球面的几种特殊情况：旋转椭球面由椭圆 绕 轴旋转而成旋转椭球面与椭球面的区别：方程可写为与平面 的交线为圆.第20页/共31页球面截面上圆的方程方程可写为第21页/共31页（二）抛物面（与 同号）椭圆抛物面用截痕法讨论：（1）用坐标面 与曲面相截截得一点，即坐标原点设原点也叫椭圆抛物面的顶点.第22页/共31页zxyoxyzo椭圆抛物面的图形如下：第23页/共31页特殊地：当 时，方程变为旋转抛物面（由 面上的抛物线 绕它的轴旋转而成的）与平面 的交线为圆.当 变动

7、时，这种圆的中心都在 轴上.第24页/共31页（与 同号）双曲抛物面（马鞍面）用截痕法讨论：设图形如下：xyzo第25页/共31页另外，还可以用伸缩变形方法来研究曲面的形状：在xoy平面上，把 变成 ，从而把M的轨迹C变成点 的轨迹 ，则称为把图形C沿y轴方向伸缩 倍变成图形 。对平面曲线 进行以上做法，曲线会变成什么样？沿y轴方向伸缩 倍。例：第26页/共31页（三）双曲面单叶双曲面单叶双曲面图形 xyoz第27页/共31页双叶双曲面yzo第28页/共31页（四）椭圆锥面（四）椭圆锥面（四）椭圆锥面（四）椭圆锥面椭圆在平面 x0 或 y0 上的截痕为过原点的两直线.(椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换得到,见书)第29页/共31页曲面方程的概念1、旋转曲面的概念及求法.2、柱面的概念(母线、准线).小结3、椭球面、抛物面、双曲面、椭圆锥面、截痕法,伸缩变形.（熟知这几个常见曲面的特性）第30页/共31页