第二章多项式优秀PPT.ppt

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1、第二章多项式第一页，本课件共有21页在多项式（1）中，叫做零次项零次项或者常数项常数项，叫做一次项一次项，一般，叫做i i次项次项，叫做i i次项的系数次项的系数.2.1 一元多项式的定义和运算一元多项式的定义和运算先讨论R上一元多项式.定义定义1 1数环R上一个文字x的多项式或一元多项式指的是形式表达式（1）第二页，本课件共有21页定义定义2 2 若是数环若是数环R上两个一元多项式上两个一元多项式 f(x)和和g(x)有完全相同的项，或者只差一有完全相同的项，或者只差一些系数为零的项，那么些系数为零的项，那么f(x)和和 g(x)说是说是相等相等：F(x)=G(x)定义定义3 3 叫做多项式

2、（叫做多项式（2）的）的最高次项最高次项，非负整数，非负整数n叫做多项式叫做多项式（2）的）的次数次数第三页，本课件共有21页多项式的加法和乘法满足以下运算规则多项式的加法和乘法满足以下运算规则：1.加法交换律：2.加法结合律：3.乘法交换律：4.乘法结合律：5.乘法对加法的分配律：第四页，本课件共有21页定理定理 2.1.1 2.1.1设设 和和 是数环是数环R上两个多项式，并且上两个多项式，并且 那么那么 f(x)g(x)=0必要且只要必要且只要f(x)和和g(x)中至少有一个是中至少有一个是零多项式零多项式.推论推论推论推论1 1 1 1若是若是f(x)g(x)=f(x)h(x),且且

3、，那么，那么f(x)=h(x).推论推论推论推论2 2 2 2第五页，本课件共有21页2.2 多项式的整除性多项式的整除性定义定义 令令f(x)f(x)和和g(x)g(x)是数域是数域F F上多项式环上多项式环FxFx的两个多项式的两个多项式.如果如果存在存在FxFx的多项式的多项式h(x),h(x),使使 g(x)=f(x)h(x)g(x)=f(x)h(x)我们就说，我们就说，f(x)f(x)整除（能除尽）整除（能除尽）g(x).g(x).由上面定义我们可以直接推出关于多项式整除性的一些基本性质基本性质：1)如果f(x)|g(x),g(x)|h(x),那么f(x)|h(x).2)如果h(x)

4、|f(x),h(x)|g(x),那么h(x)|(f(x)g(x).第六页，本课件共有21页3)如果h(x)|f(x),那么对于Fx中任意多项式g(x)来说，h(x)|f(x)g(x)4）如果 那么对F（X）中任意|5）零次多项式，也就是F中不等于零的数，整除任一多项式.6 6）每一个多项式f(x)都能被cf(x)整除，这里c是F中任一不等于零的数，事实上，7）如果f(x)|g(x),g(x)|f(x),那么f(x)=cg(x),这里c是F中一个不等于零 的数。第七页，本课件共有21页定理定理 2.2.1 2.2.1 设设f(x)f(x)和和g(x)g(x)是是FXFX的任意两个多项式，并且的任

5、意两个多项式，并且g(x)g(x)不等于零不等于零.那那么在么在FXFX中可以找到多项式中可以找到多项式q(x)q(x)和和r(x)r(x)，使，使 f(x)=g(x)q(x)+r(x),f(x)=g(x)q(x)+r(x),（3 3）这里或者这里或者r(x)=0,r(x)=0,或者或者r(x)r(x)的次数小于的次数小于g(x)g(x)的次数的次数.满足以上条件的满足以上条件的多项式多项式q(x)q(x)和和r(x)r(x)只有一对只有一对.注意：注意：如果（3）中q(x)和r(x)不是唯一的，那么我们不能如上的定义商式和余式的概念，也不能利用带余除法来判断一个多项式g(x)是否能够整除另一

6、个多项式f(x).第八页，本课件共有21页2.3 多项式的最大公因式多项式的最大公因式定义定义1 1 令令f(x)f(x)和和g(x)g(x)是数域是数域F F上多项式环上多项式环FxFx的两个多项式的两个多项式.若是若是FxFx的一的一个多项式个多项式h(x)h(x)同时整除同时整除f(x)f(x)和和g(x),g(x),那么那么h(x)h(x)叫做叫做f(x)f(x)与与g(x)g(x)的一个公因的一个公因式式.定义定义2 2 设设d(x)d(x)是多项式是多项式f(x)f(x)与与g(x)g(x)的一个公因式的一个公因式.若是若是d(x)d(x)能被能被f(x)f(x)与与g(x)g(x

7、)的每一个公因式整除，那么的每一个公因式整除，那么d(x)d(x)叫做叫做f(x)f(x)与与g(x)g(x)的的一个最大公因式一个最大公因式.第九页，本课件共有21页定理定理 2.3.1 2.3.1 F(X)的任意两个多项式的任意两个多项式f(x)与与g(x)一定有最大公因式一定有最大公因式.除一个除一个零次因式外，零次因式外，f(x)与与g(x)的最大公因式是唯一确定的，这就是说，的最大公因式是唯一确定的，这就是说，若是若是d(x)是是f(x)与与g(x)的一个最大公因式，那么数域的一个最大公因式，那么数域F的任何一个不的任何一个不为零的数为零的数c与的乘积与的乘积cd(x)，而且只有这样

8、的乘积是，而且只有这样的乘积是f(x)与与g(x)最大最大公因式公因式.我们也看到，两个零多项式的最大公因式就是0，它是唯一确定的.两个不全为零的多项式的最大公因式总是非零解多项式，在这一情形我们约定，最大公因式指的是最高次项系数是1的那个.这样，两个多项式f(x)与g(x)的最大公因式就都唯一确定了.第十页，本课件共有21页定理定理 2.3.2 2.3.2若若d(x)是是F(X)的多项式的多项式f(x)与与g(x)的最大公因式，那么在的最大公因式，那么在F(X)里可以求得多项里可以求得多项式式u(x)与与v(x)，使以下等式成立：，使以下等式成立：f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x)

9、注意：注意：定理2.3.2的逆命题不成立.但是当（2）式成立，而d(x)是f(x)与g(x)的一个公因式时，d(x)一定是f(x)与g(x)的一个最大公因式.定义定义3 3 FX FX的两个多项式的两个多项式f(x)与与g(x)互素的充分必要条件是：在互素的充分必要条件是：在FX中中可以求得多项式可以求得多项式u(x)u(x)与与v(x)v(x)，使，使 f(x)u(x)+g(x)v(x)=1 f(x)u(x)+g(x)v(x)=1第十一页，本课件共有21页最大公因式的定义可以推广到n n（n2n2）个多项式的情形：若是多项式h(x)整除多项式中 的每一个，那么h(x)叫做这n个多项式的一个公

10、因式.若是 的公因式d(x)能被这n多个多项式的每一个公因式整除，那么d(x)叫做 的一个最大公因式。容易推出容易推出：若 是多项式 的一个最大公因式那么 与多项式f(x)的最大公因式也是多项式 的最大公因式。第十二页，本课件共有21页2.4 多项式的分解多项式的分解 我们知道，给了F(X)的任何一个多项式f(x)，那么的任何不为零的元素c都是f(x)的因式.另一方面，c与f(x)的成绩cf(x)也总是f(x)的因式.我们f(x)把的这样的因式叫做他的平凡因式平凡因式.定义定义 令令f(x)f(x)是是FXFX的一个次数大于零的多项式的一个次数大于零的多项式.若是若是f(x)f(x)在在FXF

11、X中只有平凡中只有平凡因式，因式，f(x)f(x)就是说在数域就是说在数域F F上不可约上不可约.若若f(x)f(x)除平凡饮食外，在除平凡饮食外，在FXFX中还有中还有其它因式，其它因式，f(x)f(x)就是说在就是说在F F上可约。上可约。对于零多项式与零次多项式我们既不能说它们是可约的，也不能说它们是不可约的。在任一多项式环FX中都存在不可约多项式，因为FX的任何一个一次多项式总是不可约的.注意：我们只能对给定的数域来谈论多项式可约或不可约注意：我们只能对给定的数域来谈论多项式可约或不可约第十三页，本课件共有21页定理定理 2.4.1 2.4.1定理定理 2.4.2 2.4.2Fx的每一

12、个的每一个n（n0）次多项式）次多项式f(x)都可以分解成都可以分解成Fx的不可约多项的不可约多项式的乘积。式的乘积。令是的一个次数大于零的多项式，并且此处Ci是F的不为零的元素.换句话说，如果不计零次因式的差异，多项式f(x)分解成不可约饮食乘积的分解式是唯一的.第十四页，本课件共有21页根据定理2.4.2，我们可以得到f(x)的一个唯一确定的分解：分解式（5）中的不可约多项式，不一定都不相同.若是在分解式（5）中不可约因式p(x)出现K次并且只出现 k次，那么p(x)叫做的f(x)一个 k k重因式重因式.一重因式叫做单因式单因式.重数大于1的因式叫做重因式重因式.若不可约因式在p(x)在

13、f(x)的分解式（5）中不出现，我们就说p(x)是f(x)的一个零重因式零重因式。(5)将（5）改写成以下形状：（6）等式（6）叫做多项式f(x)的典型分解式典型分解式.每一个多项式的典型分解式都是唯一确定的.第十五页，本课件共有21页一阶导数 的导数叫二阶导数，记作，,f(x)的 k阶导数也记作2.5 重因式重因式判断一个多项式有没有重因式，就要用到多项式的导数这个概念.定义定义F（x）的多项式的导数或一阶导数指的是F（x）的多项式第十六页，本课件共有21页定理定理 2.5.1 2.5.1 设设p(x)是多项式是多项式f(x)的一个的一个 k(k1)重因式。那么重因式。那么p(x)是是f(x

14、)的导数的的导数的一个一个 k-1 重因式重因式.特别，多项式特别，多项式f(x)的单因式不是的单因式不是f(x)的导数的因式。的导数的因式。定理定理 2.5.1 2.5.1 多项式多项式f(x)没有重因式的充分且必要条件是没有重因式的充分且必要条件是f(x)与它的导数与它的导数 互素互素.由定理2.5.2我们还得出以下结论结论：若是多项式f(x)在Fx中没有重因式，那么f(x)把看成含F的某一数域上的多项式时,f(x)也没有重因式.第十七页，本课件共有21页2.6 多项式函数多项式函数 多项式的根多项式的根设给Rx定的一个多项式和一个数c，那么在f(x)的表示式里，把x用c来代替，就得到R的

15、一个数这个数叫做当 x=c 时f(x)的值，并且用f(c)来表示.这样，对于R的每一个数 c，R中唯一确定的数f(c)与它对应，于是就得到R到R的一个映射，这个映射是由多项式f(x)所确定，叫做上一个多项式函数多项式函数。第十八页，本课件共有21页定理定理 2.6.1 2.6.1我们把方程f(x)=0的根叫做多项式的根，确切的说，有以下定义：令f(x)是RX的一个多项式而 c是R的一个数，若是当 x=c时F(x)=0，那么c叫作f(x)在数环R中的一个根.定理定理 2.6.2 2.6.2数数 c是多项式是多项式f(x)的根的充分必要条件是的根的充分必要条件是f(x)能被能被 x-c 整除整除.

16、由余式定理我们立刻得到重要的第十九页，本课件共有21页定理定理 2.6.3 2.6.3设f(x)是Rx中一个 次多项式.那么f(x)在R中至多有 n个不同的根。这一定理对零多项式不能应用，因为零多项式没有次数.事实上，数环R的每一个数都是零多项式的根.由定理2.6.3可以得出定理定理 2.6.4 2.6.4设f(x)与g(x)是Rx的两个多项式，它们的次数都不大于 n.若是以R中 n+1个或更多的不同的数来代替 x时，每次所得f(x)与g(x)的值都相等，那么f(x)=g(x).第二十页，本课件共有21页由定理2.6.3还可以得出下面的重要定理.定理定理 2.6.5 2.6.5Rx的两个多项式f(x)和g(x)相等，当且仅当它们所定义的R上多项式函数相等。拉格朗日（拉格朗日（lagrange）插值公式）插值公式第二十一页，本课件共有21页