10初中几何证明题思路.docx

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1、学习总结：中考几何题证明思路总结几何证明题重点考察的是学生的逻辑思维能力，能通过严密的因为、所以逻辑将条 件一步步转化为所要证明的结论。这类题目出法相当灵活，不像代数计算类题目容易总结出 固定题型的固定解法，而更看重的是对重:要模型的总结、常见思路的总结。所以本文对中考 中最常出现的若干结论做了一个较为全面的思路总结。一、证明两线段相等1 .两全等三角形中对应边相等。2 .同一三角形中等角对等边。3 .等腰三角形顶角的平分线或底边的高平分底边。4 .平行四边形的对边或对角线被交点分成的两段相等。5 .直角三角形斜边的中点到三顶点距离相等。6 .线段垂直平分线上任意一点到线段两段距离相等。7 .

2、角平分线上任一点到角的两边距离相等。8 .过三角形一边的中点且平行于第三边的直线分第二边所成的线段相等。9 .同圆（或等圆）中等弧所对的弦或与圆心等距的两弦或等圆心角、圆周角所对的弦相等。10 .圆外一点引圆的两条切线的切线长相等或圆内垂直于直径的弦被直径分成的两段相等。11 .两前项（或两后项）相等的比例式中的两后项（或两前项）相等。12 .两圆的内（外）公切线的长相等。13 .等于同一线段的两条线段相等。二、证明两角相等1 .两全等三角形的对应角相等。2 .同一三角形中等边对等角。3 .等腰三角形中，底边上的中线（或高）平分顶角。4 .两条平行线的同位角、内错角或平行四边形的对角相等。5

3、.同角（或等角）的余角（或补角）相等。6 .同圆（或圆）中，等弦（或弧）所对的圆心角相等，圆周角相等，弦切角等于它所夹 的弧对的圆周角。7 .圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。8 .相似三角形的对应角相等。9 .圆的内接四边形的外角等于内对角。10.等于同一角的两个角相等三、证明两直线平行1 .垂直于同一直线的各直线平行。2 .同位角相等，内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。3 .平行四边形的对边平行。4 .三角形的中位线平行于第三边。5 .梯形的中位线平行于两底。6 .平行于同一直线的两直线平行。7 .一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的线段对应成比例，则这

4、条直线平行于 第三边。四、证明两直线互相垂直1 .等腰三角形的顶角平分线或底边的中线垂宜于底边。2 .三角形中一边的中线若等于这边一半，则这一边所对的角是直角。3 .在一个三角形中，若有两个角互余，则第三个角是直角。4 .邻补角的平分线互相垂直。5 . 一条直线垂直于平行线中的一条，则必垂直于另一条。6 .两条直线相交成直角则两直线垂直。7 .利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。8 .利用勾股定理的逆定理。9 .利用菱形的对角线互相垂直。10 .在圆中平分弦（或弧）的直径垂直于弦。11 .利用半圆上的圆周角是直角。五、证明线段的和、差、倍、分1 .作两条线段的和，证明与第三条线

5、段相等。2 .在第三条线段上截取一段等于第一条线段，证明余下部分等于第二条线段。3 .延长短线段为其二倍，再证明它与较长的线段相等。4 .取长线段的中点，再证其一半等于短线段。5 .利用一些定理（三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、 三角形的重心、相似三角形的性质等）。六、证明角的和、差、倍、分1 .作两个角的和，证明与第三角相等。2 .作两个角的差，证明余下部分等于第三角。3 .利用角平分线的定义。4 .三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。七、证明两线段不等1 .同一三角形中，大角对大边。2 .垂线段最短。3 .三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

6、。4 .在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等，则夹角大的第三边大。5 .同圆或等圆中，弧大弦大，弦心距小。6 .全量大于它的任何一部分。八、证明两角不等1 .同一三角形中，大边对大角。2 .三角形的外角大于和它不相邻的任一内角。3 .在两个三角形中有两边分别相等，第三边不等，第三边大的，两边的夹角也大。4 .同圆或等圆中，弧大则圆周角、圆心角大。5 .全量大于它的任何一部分。九、证明比例式或等积式1 .利用相似三角形对应线段成比例。2 .利用内外角平分线定理。3 .平行线截线段成比例。4 .直角三角形中的比例中项定理即射影定理。5 .与圆有关的比例定理一相交弦定理、切割线定理及其推论。6 .

7、利用比利式或等积式化得。以上九项是中考几何证明题中最常出现的内容，只要掌握了对应的方法，再根据题目中 的条件进行合理选择，攻克难题不再是梦想！几何证明中的解题策略解题是数学学习的核心内容.是真正发生数学教育的关键环节，解题是掌握数学，学会 “数学地思维”的基本途径.概念的掌握、技能的熟练、定理的理解、能力的培养、素质的 提高等都离不开解题实践活动，数学解题的思维过程是指从理解问题开始,从经过探索思路, 转换问题直至解决问题，进行回顾的全过程的思维活动。对于数学解题思维过程，G.波利亚提出了四个阶段，即弄清问题、拟定计划、实现计 划和问顾。这四个阶段的思维过程实质可以用下列八个字加以概括：理解、

8、转换、实施、反 思。第一阶段的理解问题是解题思维活动的开始。要充分理解题意，把问题从多余的叙述过 程中解脱出来，并用数学语言进行清晰的表述，对问题进行剖析，明确哪些是问题给出的条 件，哪些是解题的目标。把问题置于相关内容的数学知识背景之中，发现哪些已有知识有可 能利于建立起已知和未知间的联系。第二阶段的转换问题是解题思维活动的核心，是探索解题方向和途径的积极的尝试发现 过程，是思维策略的选择和调整过程。第三阶段的计划实施是解决问题过程的实现,它包含着系列基础知识和基本技能的灵 活运用和思维过程的具体表达，是解题思维活动的重要组成部分。第四阶段的反思问题往往容易为人们所忽视，它是发展数学思维的一

9、个重要方面，是一 个思维活动过程的结束包含另一个新的思维活动过程的开始。就探讨解题的思维过程，我们可以从一个初中的例子得出说明.定理等腰三角形的两个底角相等.已知在ABC中，AB=AC.求证ZB=ZC.分析欲证两个角相等，根据所学过的知识，我们可以设想其为全等三角形的对应角（全 等法的应用），再根据等腰三角形的特征，又可以将等腰三角形拿起来、作个空中的翻转, 使其与原来的位置重合（这正是全等形的定义，ABCg/ACB）,从而/B与/C重合（这正 是角相等的定义）.下来，只须将这一直觉思路用严密的数学语言表达出来（直觉发现、逻辑 证明）.这里的心理过程，已体现了问题表征对解题方向的确定和解题效率

10、的提而有促进作用. 证明：在AABC与AACB中，有AB=AC （已知），AC=AB （已知），ZA=ZA （公共角），（或BC=CB）（公共边），得 AABCAACB （SAS SSS）从而ZB=ZC从书写顺序看，这个定理的证明过程可以分成三步（解题过程的结构分析）：根据题意画出图形，根据图形写出已知、求证.这是一个认识自己所面临的问题、并 对问题进行心理表征的过程.寻找解题思路，沟通已知与求证的联系.这调动了全等三角形的知识，数形结合地运 用了直觉思维（空中翻转、图形重合、角重合）.这实际上是应用解题策略、并进行资源的提 取与分配的过程.给出证明.用到了三角形全等的判定定理与性质定理，这是

11、一个严格的推理过程. 这个分析表明，数学解题有形象思维、直觉思维和逻辑思维的综合作用.可见，数学解题的思维过程是这样一个“三位一体”的工作：有用捕捉.即通过观察从理解题意中捕捉有用的信息，主要是弄清条件是什么?结论 是什么?各有几个?如何建立条件与结论之间的逻辑联系?通过理解题意找出了 3条信息，一 条是符号信息AB=AC,由题目直接告诉我们；另两条是由图形显示出来的：两个三角形（ ABC与AACB）,公共角NA=NA （或公共边BC=CB）.知识经验是有用捕捉的基础.有关提取.即在“有用捕捉”的刺激下，通过联想而从解题者头脑中提取出解题依据 与解题方法，从记忆网络中检索出了 3条信息：等式的

12、对称性，全等三角形的判别定理，全 等三角形的性质定理.良好的认知构结和机智的策略选择是连续提取、不断捕捉的基础.有效组合.将上述两组信息资源，加工配置成一个和谐的逻辑结构.逻辑思维能力是 有效组合的基础.注重解题策略的研究已经构成中国解题教学的一个特色，它可以看成是对波利亚现代启 发性解题策略研究的继承与发展。（1）策略是指导行动的方针（战略性的），同时也是增强效果、提高效率的艺术，它区别于 具体的途径或方式（战术性的）.数学解题的策略是为了实现解题目标而采取的方针.解题策 略的思维基础是逻辑思维、形象思维、直觉思维的共同作用，离开逻辑是不行的，单靠逻辑 是不够的.在数学习题理论（戴再平，19

13、91年）中提出了八个解题策略：枚举法、模式识别、问 题转化、中途点、以退求进、推进到一般、从整体看问题、正难则反.在数学思维论（任樟辉，1990年）中提出了十个解胭策略：以简驭繁、进退互用、数 形迁移、化生为熟、正难则反、倒顺相通、动静转换、分合相辅、引参求变、以美启真.并 且认为数学思维策略的研究就是数学解题策略的研究.在数学解题学引论（罗增儒，1997年）中提出了十个解题策略：模式识别、映射化归、 差异分析、分合并用、进退互化、正反相辅、动静转化、数形结合、有效增设、以美启真.(2)解题策略介于具体的求解方法与抽象的解题思想之间，是思想转化为操作的桥梁， 作为方法，方面它是用来具体指导解题的方法，另方面它又是运用解题方法的方法、寻 找解题方法的方法、创造解题方法的方法.如果把解题策略理解为选择与组合的一系列规则，那么这些规则应该具有迅速找到较优 解题操作的基本功能,能够减少尝试或失败的次数,能够节省探索的时间和缩短解题的长度, 体现出选择的机智和组合的艺术。