三角形的证明复习课.pptx

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1、三角形的证明复习课三角形的证明复习课在本章中你学到了什么？在本章中你学到了什么？w角的平分线角的平分线w通过探通过探索索,猜想猜想,计算和证计算和证明得到定明得到定理理与等腰三角形与等腰三角形,等边三角形有关的结论等边三角形有关的结论与直角三角形有关的结论与直角三角形有关的结论w命题的逆命题及其真假命题的逆命题及其真假w线段的垂直平分线线段的垂直平分线 全等三角形全等三角形第1页/共28页学习目标学习目标：1 1 1 1、会判定两个三角形全等、会判定两个三角形全等、会判定两个三角形全等、会判定两个三角形全等2 2 2 2、会用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性、会用等腰三角形、等边三角形、

2、直角三角形的性、会用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性、会用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定进行证明。质和判定进行证明。质和判定进行证明。质和判定进行证明。3 3 3 3、会用反证法证明命题的成立、会用反证法证明命题的成立、会用反证法证明命题的成立、会用反证法证明命题的成立.4 4 4 4、会用线段垂直平分线、角平分线定理及其结论解、会用线段垂直平分线、角平分线定理及其结论解、会用线段垂直平分线、角平分线定理及其结论解、会用线段垂直平分线、角平分线定理及其结论解决问题。决问题。决问题。决问题。重点：重点：探索证明的思路和方法；探索证明的思路和方法；难点：难点：准确地表达推理证

3、明过程。准确地表达推理证明过程。第2页/共28页怎么证明几何怎么证明几何命题？命题？w证明命题的一般步骤证明命题的一般步骤:(1)理解题意理解题意:分清命题的条件分清命题的条件(已知已知),结论结论(求证求证);(2)根据题意根据题意,画出图形画出图形;(3)结合图形结合图形,用符号语言用符号语言写出写出“已知已知”和和“求证求证”;(4)分析题意分析题意,探索证明思路探索证明思路(可以可以由由“因因”导导“果果”综合综合 法或者由法或者由“果果”逆推逆推“因因”分析法分析法);(5)依据思路依据思路,运用数学符号和数学语言运用数学符号和数学语言条理清晰地条理清晰地 写出证明过程写出证明过程;

4、(6)检查表达过程检查表达过程是否正确是否正确,完善完善.第3页/共28页知识点一：全等三角形知识点一：全等三角形一般三角形一般三角形 全等的条件：全等的条件：1.1.定义（重合）法；定义（重合）法；2.SSS2.SSS；3.SAS3.SAS；4.ASA4.ASA；5.AAS.5.AAS.直角三角形直角三角形 全等全等特有特有的条件：的条件：HL.HL.包括直角三角形包括直角三角形不包括其它形状的三角形不包括其它形状的三角形解题解题中常中常用的用的4 4种种方法方法第4页/共28页分析：本题利用边角边公理证明两个三角形全分析：本题利用边角边公理证明两个三角形全等等.由题目已知只要证明由题目已知

5、只要证明AFCE，AC例例1如图如图2，AECF，AD BC，ADCB，求证：求证：ADF CBE说明：本题的解题关键是证明说明：本题的解题关键是证明AFCE，AC，易错点，易错点是将是将AE与与CF直接作为对应边，而错误地写为：直接作为对应边，而错误地写为：又因为又因为AD BC，（？）（？）第5页/共28页例例2已知：如图已知：如图3，ABCA1B1C1，AD、A1D1分别是分别是ABC和和A1B1C1的高的高.求证：求证：AD=A1D1图图3证明：证明：ABCA1B1C1（已知）（已知）AB=A1B1，B=B1（全等三角形的对应边、对应角（全等三角形的对应边、对应角相等）相等）AD、A1

6、D1分别是分别是ABC、A1B1C1的高（已知）的高（已知）ADB=A1D1B1=90.在在ABC和和A1B1C1中中B=B1（已证）（已证）ADB=A1D1B1（已证）（已证）AB=A1B（已证）（已证）ABCA1B1C（AAS）AD=A1D1（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）全等三角形对应边上的中线角平分线呢？第6页/共28页1第7页/共28页2、如图、如图6，已知：，已知：A90，AB=BD，ED BC于于D.求证：求证：AEED提示：找两个全等三角形，需连结提示：找两个全等三角形，需连结BE.图图6第8页/共28页知识点二：等腰三角形的性质定理知识点二：等腰三角形的性

7、质定理性质性质：1、等腰三角形的、等腰三角形的相等，即等边对相等，即等边对2、等腰三角形的、等腰三角形的、互相重合；即互相重合；即“三线合一三线合一”3、等腰三角形两底角的平分线等腰三角形两底角的平分线，两腰上的中，两腰上的中线线,两腰上的高两腰上的高；判定判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形。即等角对：有两个角相等的三角形是等腰三角形。即等角对。两个底角两个底角等角等角顶角平分线顶角平分线底边上的中线底边上的中线底边上的高底边上的高等边等边相等相等相相等等相等相等第9页/共28页已知已知已知已知:如图如图如图如图,点点点点D,ED,ED,ED,E在在在在ABCABCABCABC的边的边的边

8、的边BCBCBCBC上，上，上，上，AD=AE,AB=AC.AD=AE,AB=AC.AD=AE,AB=AC.AD=AE,AB=AC.求证求证求证求证:BD=CE.:BD=CE.:BD=CE.:BD=CE.A AB BC CE ED DF第10页/共28页知识点二、等边三角形性质和判定定理知识点二、等边三角形性质和判定定理性质定理性质定理性质定理性质定理：等边三角形的等边三角形的 都相等，都相等，都相等，并且每个角都等于都相等，并且每个角都等于 ；判定定理判定定理判定定理判定定理：一个角等于一个角等于 的的 为等为等边三角形。边三角形。三个内角都为三个内角都为 的三角形是等边的三角形是等边三角形

9、。三角形。三条边三条边三个角三个角60等腰三角形等腰三角形6060第11页/共28页ABCDEF已知：如图，在等边三角形已知：如图，在等边三角形ABC的三边上的三边上分别取点分别取点D，E，F，使得，使得AD=BF=CE.求证：求证：DEF是等边三角形。是等边三角形。ABCDEF第12页/共28页知识点三、与直角三角形有关的定理知识点三、与直角三角形有关的定理1、直角三角形的、直角三角形的互余。互余。2、有两个锐角、有两个锐角的三角形是直角三角形。的三角形是直角三角形。3、在直角三角形中，如果一个锐角等于、在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它，那么它所对的直角边等于所对的直角边等于的的

10、；4、勾股定理：直角三角形、勾股定理：直角三角形的平方和等于的平方和等于的平方。的平方。5、和和对应相等的两个直角三角形全等。对应相等的两个直角三角形全等。()6、勾股定理的逆定理：、勾股定理的逆定理：两锐角两锐角互余互余斜边斜边一半一半斜边斜边一直角边一直角边HL两条两条直角边直角边斜边斜边如果三角形两边的平方和等于第如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。直角三角形。第13页/共28页1、如下图,在 ABC中，ACB=900，A=300，CD AB于点D,试着推导出BD与AD的数量关系。第14页/共28页ABCD2、如图，已知ACB=

11、BDA=900,要使ACBBDA，还需要添加什么条件？请你选择其中的一个加以证明。第15页/共28页知识点四、反证法知识点四、反证法反证法的步骤是什么？反证法的步骤是什么？第一步是假设命题结论不成立；第一步是假设命题结论不成立；第二步是推导，从假设出发，经过推理第二步是推导，从假设出发，经过推理得出与定义、基本事实、已有的定理或得出与定义、基本事实、已有的定理或者已知条件相矛盾的结果。者已知条件相矛盾的结果。第三步是下结论，得出假设命题不成立第三步是下结论，得出假设命题不成立是错误的，即所求证命题成立。是错误的，即所求证命题成立。第16页/共28页求证：等腰三角形的底角必为锐角。求证：等腰三角

12、形的底角必为锐角。A已知：ABC中，AB=AC。求证：B.C均为锐角BC 我思考我思考,我进步我进步第17页/共28页w定理定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等距离相等.wAC=BC,MNAB,PAC=BC,MNAB,P是是MNMN上任上任意一点意一点(已知已知),),wPA=PB(PA=PB(线段垂直平分线上线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离的点到这条线段两个端点距离相等相等).).ACBPMNw逆定理逆定理 到一条线段两个端点距离相等的点到一条线段两个端点距离相等的点,在这条在这条线段的垂直平分线上线段的垂直平分线上.w如上图如

13、上图,wPA=PB(PA=PB(已知已知),),w点点P P在在ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上(到一条线段两个端点距到一条线段两个端点距离相等的点离相等的点,在这条线段的垂直平分线上在这条线段的垂直平分线上).).知识点五：线段垂直平分线第18页/共28页定理定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并并且这一点到三个顶点的距离相等且这一点到三个顶点的距离相等.如图如图,在在ABCABC中中,c,a,bc,a,b分别是分别是AB,BC,ACAB,BC,AC的垂直平的垂直平分线分线,c,a,bc,a,b相交于一点相交于一点P,P,且且PA=PB=PC(PA

14、=PB=PC(三角形三条边的垂直平三角形三条边的垂直平分线相交于一点分线相交于一点,并且这一点到三并且这一点到三个顶点的距离相等个顶点的距离相等).).A AB BC CP Pa ab bc c第19页/共28页2.2.如图如图,在在ABCABC中中,已知已知AC=27,ABAC=27,AB的垂直平的垂直平分线交分线交ABAB于点于点D,D,交交ACAC于点于点E,BCEE,BCE的周长等的周长等于于50,50,求求BCBC的长的长.BAEDC3.3.如图所示，在如图所示，在ABCABC中，中，B B22.5,AB22.5,AB的垂直平的垂直平分线交分线交BCBC于点于点D D，DFACDFA

15、C于点于点F,F,并与并与BCBC边上的高边上的高AEAE交交于于G.G.求证：求证：EGEGEC.EC.1如如图图S11，在在ABC中中，DE垂垂直直 平平 分分 AC交交 AB于于 E，A 30，ACB80，则，则BCE_.5050 第20页/共28页知识点六：角平分线定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.OC是AOB的平分线,P是OC上任意一点,PDOA,PEOB,垂足分别是D,E.PD=PE.OCB1A2PDE逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.如图,PA=PB,PDOA,PEOB,垂足分别是D,E(已知),点P在AOB的平分线上.(在一个角的内

16、部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).第21页/共28页定理定理:三角形的三条角平分线相交于一点，且这点到三角形的三条角平分线相交于一点，且这点到三角形三边的距离相等。三角形三边的距离相等。如图,AN,CM,BO分别是ABC的角平分线PDAB,PEBC,PFAC,AN,BO,CM交于P点,PD=PE=PF.第22页/共28页1、如如图图S18，ADBC，点点E在在线线段段AB上上，ADECDE，DCEECB.求证：求证：CDADBC.图S18解解析析 结结论论是是CDADBC，可可考考虑虑用用“截截长长补补短短法法”中中的的“截截长长”，即即在在CD上上截截取取CFCB，只只要要

17、再再证证DFDA即即可可，这这就就转转化化为为证证明明两两线线段段相相等等的的问问题题，从从而而达达到到简简化化问题的目的问题的目的第23页/共28页图图S19证明：在证明：在CD上截取上截取CFBC，如图，如图S19，在在FCE与与BCE中，中，FCEBCE(SAS)，21.AD BC，ADC+BCD180.又又ADECDE，DCECDE90，2390，1490，34.在在FDE与与ADE中，中，FDEADE(ASA)，DFDA.CDDF+CF，CDAD+BC.第24页/共28页2、如图，在ABC中，AC=BC，C=900，AD是 ABC的角平分线，DEAB，垂足为E。（1）已知CD=4cm，求AC的长；（2）求证：AB=AC+CD。AAC CB BDDE E3、如图所示，ABCD，B=90，E是 BC的中点，DE平分ADC，求证：AE平分DAB。第25页/共28页1、等腰三角形的性质和判定定理2、等边三角形的性质和判定定理3、直角三角形的性质和判定定理4、反证法的步骤5、线段垂直平分线的性质定理及逆定理6、角平分线的性质定理及逆定理第26页/共28页 数学家苏步青说：学习数学要多做习题，边做边思索。先知其然，然后知其所以然。第27页/共28页感谢您的观看。感谢您的观看。第28页/共28页