2010年高考试题――数学理(全国卷1)解析版 甄选.pdf

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1、.2010 年高考试题数学理(全国卷 1)解析版（优选.)20102010 年高考大纲卷全国理科数学试题解析年高考大纲卷全国理科数学试题解析(必修必修+选修选修 II)II)第第 I I 卷卷参考公式：参考公式：如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式P(A B)P(A)P(B)S 4R2如果事件A、B相互独立，那么其中 R 表示球的半径P(A B)P(A)P(B)球的体积公式V 3R34如果事件 A 在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率kknkP(k 0,1,2,n)n(k)Cnp(1 p)其中 R 表示球的半径一、选择题一、选择题1.A2.B3.B4.A

2、5.C6.A7.D8.C9.B10.C11.D12.B(1)复数3 2i23i(A)i(B)i(C)12-13i(D)12+13i1A【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算,重点考查分母实数化的转化技巧.【解析 1】32i(32i)(23i)69i4i6 i.23i(23i)(23i)1332i3i22i i【解析 2】23i23i(2)记cos(80)k,那么tan100 A.1k2kB.-1k2kC.k1k2D.-k1k22.B【命题意图】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，并突出了弦切互化这一转化思想的应用.【解析 1】sin80 1cos280 1cos2(80

3、)1k2,sin801k2所以tan100 tan80 .cos80k【解析 2】cos(80)k cos(80)k，00sin1000sin180 80sin80o1k2tan100 con100ocon1800800con80oky 1,(3)若变量x,y满足约束条件x y 0,x y 2 0,yy xx y 01Al0:x2y 0则z x 2y的最大值为(A)4(B)3(C)2(D)13.B【命题意图】本小题主要考查线性及计算能力.【解析 1】画出可行域（如右图），由图时，z 最大，且最大值为zmax12(1)3.【解析 2】z x2y y zMax121311xz，画22L0OA2x规

4、划知识、作图、识图能力可知,当直线l经过点 A(1,-1)图 知 过 点1,1是 最 大，x y 2 02（4）已知各项均为正数的等比数列an，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=(A)5 2(B)7(C)6(D)4 21/11doc 格式 可编辑.4.A【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.【解 析 1】由 等 比 数 列 的 性 质 知a1a2a3(a1a3)a2 a 5，a7a8a9(a7a9)a8 a 10,所 以a2a8 50,所 以323813a4a5a6(a4a6)a5 a (a2a8)

5、(50)5 2353163(5)(12 x)3(13x)5的展开式中 x 的系数是(A)-4(B)-2(C)2(D)43【解析 2】a1a2a3=5 a25；36333a7a8a9=10 a810,a5 a2a850 a4a5a6 a55 2，5.C【解析】2124513(12 x)(1x)16x212x8x215x310 x310 x5x3 x3335x 的系数是-10+12=2(6)某校开设 A 类选修课 3 门，B 类选择课 4 门，一位同学从中共选 3 门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有(A)30 种(B)35 种(C)42 种(D)48 种6.A【命题意图】本小题主要

6、考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数学思想.12【解析 1】:可分以下 2 种情况:(1)A 类选修课选 1 门,B 类选修课选 2 门,有C3C4种不同的选法;(2)A 类选修课选112212 门,B 类选修课选 1 门,有C32C4种不同的选法.所以不同的选法共有C3C4+C3C41812 30种.【解析 2】C73C33C4330(7)正方体 ABCD-A1B1C1D1中，BB1与平面 ACD1所成角的余弦值为A23B33CD23637.D【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出 D 到平面 ACD1的距离是解决本题的关

7、键所在,这也是转化思想的具体体现.D1A1DAOCBB1【解析 1】因为 BB1/DD1,所以 BB1与平面 ACD1所平面 ACD1，由等体积法得VDACDVD ACD,11C1成角和 DD1与平面 ACD1所成角相等,设 DO即则11SACD1DO SACDDD1.设33DD1=a,1111332AC AD1sin60(2a)2a,SACDAD CD a2.222222SACDDD1a33a,记 DD1与平面 ACD1所成角为,所以DO 2SACD133aSACD1则sinDO3,所以cosDD136.3【解析 2】设上下底面的中心分别为O1,O；O1O与平面 ACD1所成角就是BB1与平

8、面 ACD1所成角，cosO1OD1O1OOD11/3632（8）设 a=log32,b=In2,c=5,则A abcBbcaCcabD cba8.C【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用.【解析 1】a=log32=c=5=121211,b=In2=,而log23 log2e 1,所以log23log2eab,1,而5 2 log24log23,所以5ca,综上 cab.2/11doc 格式 可编辑.【解析 2】a=log32=1,b=ln2=1,1 log2e log23 2log23log2e(B)6(C

9、)3(D)62，1111；2log23log2ec=5111，cab12542(9)已知F1、F2为双曲线 C:x2 y21的左、右焦点，点 p 在 C 上，F1pF2=600，则 P 到 x 轴的距离为(A)329.B【命题意图】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.【解析 1】不妨设点 P(x0,y0)在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得a2a2|PF1|ex0()aex012x0，|PF2|ex0)ex0a 2x01.cc由余弦定理得|PF1|2|PF2|2|F1F2|2cosF1PF2=2|PF1|P

10、F2|5232,即 cos600(12x0)2(2x01)2(2 2)22(12x0)(2x01),解得x02,所以y02 x021，故 P 到 x 轴的距离为|y0|【解析 2】由焦点三角形面积公式得：SF1PF2600116 b cot1 cot3 2c h 2 2 h h 222222622（10）已知函数 F(x)=|lgx|,若 0ab,且 f(a)=f(b),则 a+2b 的取值范围是(A)(2 2,)(B)2 2,)(C)(3,)(D)3,)10.A【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视 a 的取值范围，而利用均值不等式求得

11、a+2b a【解析 1】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以又 0ab,所以 0a1f(1)=1+=3,即 a+2b 的取值范围是(3,+).【解析 2】由 0ab,且0 a 10 x 11 bf(a)=f(b)得：，利用线性规划得：，求z x2y的取值范围问题，1 yab 1xy 11111z x2y y xz，y y 2 1过点1,1时22xxz 最小为 3,(C)(3,)（11）已知圆 O 的半径为 1，PA、PB 为该圆的两条切线，A、B 为俩切点，那么PAPB的最小值为(A)42(B)32(C)42 2(D)32 211.D【命题意图】本小题主要考查向量的数量积

12、运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力.【解析 1】如图所示：设|OP|x,APB 2,则|PA|PB|x21，,sin1x，OAcos2122sin12t2，则PAPB x21x21(12222)x 3 2 2 3x2x2当且仅当x 2时，取“=”，故PAPB的最小值【解析 2】法一：BP为2 2 3，故选 D.设APB,0 2，PAPB PAPBcos1/tancos22221sin12sincos222212sin222sinsin221 x12x12 2x3 2 2 3法二：换元：x sin,0 x 1，PAPB 2xx或

13、建系：园的方程为x2 y21，设A(x1,y1),B(x1,y1),P(x0,0)，2PAPB x1x0,y1x1x0,y1 x122x1x0 x0 y12AO PAx1,y1x1 x0,y1 0 x12 x1x0 y12 0 x1x013/11doc 格式 可编辑.222PAPB x122x1x0 x0 y12 x122 x01 x12 2x12 x03 2 2 3（12）已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点，若 AB=CD=2,则四面体 ABCD 的体积的最大值为(A)2 3(B)4 3(C)2 3(D)8 333312.B【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性

14、质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.【解析1】过CD作平面PCD，使AB平面PCD,交AB与P,设点P到CD的距离为h,则有V四面体ABCD当直径通过 AB 与 CD 的中点时,hmax2 22122 3,故Vmax11222h h,3234 3.311222h h，当直323【解析 2】过CD 作平面 PCD，AB平面 PCD,交 AB 于 P,设点 P 到 CD 的距离为 h,则有VABCD径通过 AB 与 CD 的中点时，最大hMax 2VMAX221 2 3，4 33二、填空题13.x|0 x 214.1715.5(1,)416.33(13)不等式2

15、x21 x 1的解集是.13.0,2【命题意图】本小题主要考查根式不等式的解法，利用平方去掉根号是解根式不等式的基本思路，也让转化与化归的数学思想体现得淋漓尽致.【解析2x21(x1)2,1】原不等式等价于解得x1 00 x2.【解析 2】222x 1 1 x2x21 x 12x21 1 x 0 x 2x 0 x 2，1 x 13(14)已知为第三象限的角，cos2,则tan(2).54114【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式,同时考7查了基本运算能力及等价变换的解题技能.【解 析1】因 为为 第 三 象 限 的 角,所 以2(2(2k 1),2(

16、2k 1)(kZ)，又42(2(2k 1),2(2k 1)(k Z),于是有sin 2,2541tantan2sin243 1.4tan2,所以tan(2)4cos23471tantan214333【解析 2】为第三象限的角，cos2，2k 2k524 4k 2 2 4k3 2在二象限，sin 25sin(2)sincos2cossin2cos2sin21444tan(2)47cos(2)coscos2sinsin2cos2sin2444cos2 350，所以a4a5a650 5 2.5.C 解析：本题考查了二项式定理.(12 x)展开式的通项为Tr1C(2 x)2 C x，(13x)5展开式

17、的通项为3r3rrr3r2Tr1C5r(3x)r(1)rC5rxr3，因此，(12 x)3(13x)5展开式的各项为(1)r2rC3rC5rxrr23，当rr1时有r 0且r 323或r 2且r 0两种情况，因此展开式中x的系数为（-10）+12=2，故选 C.6.A 解析：本题考查了排列组合知识.不同的选法分两类，A 类选修课 1 门，B 类选修课 2 门，或者A 类选修112课 2 门，B 类选修课 1 门，因此，共有C32C4C3C430种选法，故选 A.7.D 解析：本题考查了立体几何中线面角的求法.BB1与平面ACD1所成角等于DD1与平面ACD1所成角,在三棱锥由三条侧棱两两垂直得

18、点 D 在底面ACD1内的射影为等边ACD1的垂心即中心 H，则DD1H为DD1与D ACD1中，5/11doc 格式 可编辑.平面ACD1所成角,设正方体棱长为8.C6a6a,则cosDD1H 3a3，故选 D.1ln2111 ln2 b，又c 52解析：本题考查了代数式大小比较的方法.a log32，a log32 log33，ln3252因此c a b，故选 C.9.B 解 析：本 题 考 查 了 双 曲 线 中 有 关 焦 点 三 角 形 的 问 题.由 双 曲 线 焦 点 三 角 形 面 积 公 式 得SF1PF2 b2cot21cot30 3，设P 到 x 轴的距离为 h，则由SF

19、 PF12116F1F2h 2 2h 3，h 222，P 到 x 轴的距离为6，选2B.f(b)得22，由对勾函数性质知y xax10.C 解析：本题考查了对数函数、对数式的运算性质、对勾函数图像性质.由题意0 a 1 b，由f(a)lga lgb，lgalgb 0，ab 1，因此，a2b a 在(0,1)单调递减，因此a 2b 3，即a 2b的取值范围是(3,)，故选 C.11.D 解析：本题考查了向量数量积的定义运算，考查了最值的求法，考查了圆的切线性质.设|OP|x,APB 2,12xt22则PAPB x21x21(12)x223 2 2 3xx则|PA|PB|x21，,sin，cos2

20、122sin12，当且仅当x22时，取“=”，故PAPB的最小值为2 2 3，故选 D.12.B 解析：本题考查了球和多面体的组合体问题，考查了空间想象能力.如图，过OCD 三点作球的截面，交AB 于点 M，由条件知，OAB、OCD均为边长为 2 的等边三角形，设 M 到 CD 的距离为h，A 到面 MCD 的距离为h1，B 到面 MCD 的距离为h2，则VABCDVAMCDVBMCDMCD 时，VABCD22 3(11)1 13 24 3最大，故选311 1SMCD(h1h2)CDh(h1h2)，因此，当33 2AMBODAB面B.二、填空题二、填空题13.x|0 x 2解析：本题考查了不等

21、式的基本性质.由x1 0 x 1 0 x 2，不等式解2x21 x1222x 1(x1)0 x 2114.解析：本题考查了同角三角函数的关系，二倍角公式73数公式.由cos2 2cos21，且为5y x2 xa4ytan 2tan2 得，3a5151 a 解析：本题考查了利用数形42x21 x 1得集为.x|0 x 2.C以及两角和差的三角函第三象限角得cos 55，y x2 xa1 tan21tan(2).41tan27结合的思想解题的策略.x如图，作出y x2|x|a的图像，若要满足a 16.33151 a，解得1 a.44使y 1与其有四个交点，需解析：本题考查了椭圆离心率的1a 4求解

22、策略.不妨设椭圆 C 焦点在x轴上，中心在原点，B 点为椭圆上顶点，F 为右焦点，则由BF 2FD,得 D 点到右准线的距离是 B 点到右准线距离的一半，则 Da2点横坐标xD，由BF 2FD知，F2c分BD所成比为 2，由定比分点坐标公式得a2023a22c.c，得3c2 a2，得e 3123c三、解答题17.解：由a b acot Abcot B及正弦定理得6/11doc 格式 可编辑.sin Asin B cos AcosBsin Acos A cosBsin B从而sin Acos4cos Asin4 cosBsin4sin Bcos4sin(A)sin(B)44又0 A B 故A44

23、 BA B 2所以C 218.解：()记 A 表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；B 表示事件：稿件恰能通过一位初审专家的评审；C 表示事件：稿件能通过复审专家的评审；D 表示事件：稿件被录用.则D=A+BC,P(A)0.50.5 0.25,P(B)20.50.5 0.5,P(C)0.3,P(D)P(A B C)=P(A)P(B C)=P(A)P(B)P(C)=0.25+0.50.3=0.40.()X B(4,0.4)，其分布列为：P(X 0)(10.4)4 0.1296,1P(X 1)C40.4(10.4)3 0.3456,2P(X 2)C40.42(10.4)2 0.3456,3P(X

24、 3)C40.43(10.4)0.1536,P(X 4)0.44 0.0256.期望EX 40.4 1.6.19.解法一：()连接 BD,取 DC 的中点 G，连接 BG,由此知DG GC BG 1,即ABC为直角三角形，故BC BD.7/11doc 格式 可编辑.又SD 平面ABCD,故BC SD,所以，BC 平面BDS,BC DE.作BK EC,K为垂足，因平面EDC 平面SBC，故BK 平面EDC，BK DE,DE与平面 SBC 内DE平面 SBC，DEEC,DESBSB SD2DB26DE SD DB2SB3的两条相交直线 BK、BC 都垂直EB DB2-DE262 6,SE SB-E

25、B 33所以，SE=2EB()由SASD2 AD25,AB 1,SE 2EB,AB SA,知1 2AE SAAB1,又AD=1.3322故ADE为等腰三角形.取ED中点 F,连接AF,则AF DE,AF 连接FG，则FG/EC,FG DE.所以，AFG是二面角A DE C的平面角.连接 AG,AG=2,FG DG2 DF2AF2 FG2 AG21cosAFG ,2 AF FG2AD2DF26.36,3所以，二面角A DE C的大小为 120.解法二：以 D 为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系D xyz，设 A(1,0,0)，则 B(1,1,0),C(0,2,0),S(

26、0,0,2)（）SC (0,2,-2),BC (-1,1,0)设平面 SBC 的法向量为n=(a,b,c)由n SC,n BC，得n SC 0,n BC 0故 2b-2c=0,-a+b=0令 a=1，则 b=c,c=1,n=(1,1,1)又设SE EB(0)，则2E(,)1112DE (,),DC (0,2,0)111设平面 CDE 的法向量m=(x,y,z)由m DE,m DC,得m DE 0，m DC 0故xy2z 0,2y 0.1118/11doc 格式 可编辑.令x 2，则m (2,0,).由平面 DEC平面 SBC 得mn,m n 0,2 0,2故 SE=2EB（）由（）知E(2 2

27、 2,)，取3 3 3DE 的中点 F，则F(1 1 1211,),FA (,)，3 3 3333故FA DE 0，由此得FA DE又EC (2 42,)，故EC DE 0，由此得EC DE，3 33向量FA与EC的夹角等于二面角A DE C的平面角于是cos FA,EC FA EC 1|FA|EC|2所以，二面角A DE C的大小为12020.解：（）f(x)x11ln x1 ln x，xxf(x)xln x1,题设xf(x)x2ax1等价于ln x x a.令g(x)ln x x，则g(x)11x当0 x1，g(x)0；当x1时，g(x)0，x 1是g(x)的最大值点，g(x)g(1)1综

28、上，a的取值范围是1,.()由（）知，g(x)g(1)1即ln x x 10.当0 x1时，f(x)(x1)ln x x1 xln x(ln x x1)0；当x1时，f(x)ln x(xln x x1)ln x x(ln x11)x11 ln x x(ln1)xx0所以(x1)f(x)021.解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，D(x1,y1)，l的方程为x my 1(m 0).9/11doc 格式 可编辑.（）将x my 1代入y2 4x并整理得y24my4 0从而y1 y2 4m,y1y2 4直线 BDy2 y1y224的方程为y y2(x x2)，即y y2(x)x2 x1y2 y

29、14y1y214令y 0，得x 所以点 F(1,0)在直线 BD 上（）由（）知，x1 x2(my11)(my21)4m22x1x2(my11)(my21)1.因为FA(x11,y1),FB (x21,y2)，FAFB(x11)(x21)y1y2 x1x2(x1 x2)1484m2故84m28，解得9m 43所以l的方程为3x4y 3 0,3x4y 3 0又由（）知故直线 BD 的斜率y2 y1 (4m)244 47343 y2 y17，因而直线 BD 的方程为3x7y3 0,3x7y3 0.因为 KF 为BKD的平分线，故可设圆心M(t,0)(1 t 1)，M(t,0)到l及 BD 的距离分

30、别为由3 t 13 t 1543 t 1 3 t 1,.54得t，或t 9（舍去），3 t 12.53124)y2.9919故圆 M 的半径r 所以圆 M 的方程为(x22.解：（）an12 a 251，2 n2an2an2an142,即bn1 4bn2an12an2an2bn1221 4(bn),又a11,故b1 133a1221是首项为，公比为33所以bnbn4 的等比数列，21 4n13312bn 4n133（）a11,a2 c1,由a2 a1得c 2.用数学归纳法证明：当c 2时an an1.（）当n 1时，a2 c1 a1，命题成立；a1（）设当 n=k 时，ak ak1，则当 n=

31、k+1 时，ak2 c11 c ak1ak1ak10/11doc 格式 可编辑.故由（）（）知，当 c2 时an an1当 c2cc24时，令a，由an1 an11 c得an aanan210时,an a 33当2 c 当c 10时，a 3，且1 an a3111(aan)(aan)，aan1n(a1)3ana3于是aan1当n log3因此c a1时，aan1 a3,an13a310不符合要求310源3所以 c 的取值范围是(2,20102010 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试数学（全国卷数学（全国卷 I I）(理工农医类理工农医类)点评点评与去年数学试题相比，

32、今年高考数学试题在题型和题量上基本保持不变。但是，今年的数学试题能力立意型试题较多，运算量较大，难度较去年有所增加，主要体现在试题的思维量和运算量的增加。在选择题上，今年试题比往年更难。在 12 道选择题中，前边 7 题属于基础题，比较容易得分，但从第8 题开始，难度增大。如果考生答不出来，又不懂得放弃的话，容易在难题上绊住脚，进而影响后边答题的心态和时间。在解答题中，第 17 题仍为三角函数问题，但与往年相比有一定的新意，着重考查了正弦定理及三角公式的恒等变形，在思路上与往年试题有所不同。第 20 题导数问题，属于起点低、广入口、高结尾的问题。学生感觉题目容易，但是深入较难，不易得高分。第

33、21 题解析几何题，由于运算量大，容易使学生产生畏难情绪。第 22 题数列问题，考查简单的递推关系求通项和不等式证明。第一问较易，大多数学生应该能够顺利完成。但是，第二问难度较大，灵活性较强。第 20、21、22 题三道大题，虽然都是多问，但第一问都不好做，尤其是第 21 题解析几何题，虽然前几年也考过类似题型，但计算量没今年大，部分计算能力不强的同学，也会因此失分。就整个试卷来看，重点考察函数与导数、数列与不等式、概率统计、直线与圆锥曲线综合的相关内容，试题要求学生对知识点的灵活运用非常到位，这对于大多数学生来说是一个不小的挑战。头学子 http:/ 特级教师王新敞 赠人玫瑰，手留余香。感谢您使用本店文档您的满意是我们的永恒的追求！（本句可删）-11/11doc 格式 可编辑