初中数学突破中考压轴题几何模型之正方形的半角模型教案有答案.pdf

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1、初初中中数数学学突突破破中中考考压压轴轴题题几几何何模模型型之之正正方方形形的的半半角角模模型型教教案案有有答答案案 TTA standardization office【TTA 5AB-TTAK 08-TTA 2C】1.掌握正方形的定义，弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。2.掌握正方形的性质定理 1 和性质定理 2。3.正确运用正方形的性质解题。4.通过四边形的从属关系渗透集合思想。5.通过理解四种四边形内在联系，培养学生辩证观点。正方形的性质因为正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形，所以它具有这些图形性质的综合，因此正方形有以下性质（由学生 和老师一起总结）。正方形

2、性质定理 1：正方形的四个角都是直角，四条边相等。正方形性质定理 2：正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。说明：定理 2 包括了平行四边形，矩形，菱形对角线的性质，一个题设同时有四个结论，这是该定理的特点，在应用时需要哪个结论就用哪个结论，并非把结论写全。小结：（1）正方形与矩形，菱形，平行四边形的关系如上图（2）正方形的性质：正方形对边平行。正方形四边相等。正方形四个角都是直角。正方形对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。例例 1 1如图，折叠正方形纸片ABCD，先折出折痕BD，再折叠使AD边与对角线BD重合，得折痕DG，使AD 2，求AG【解析】：

3、作 GMBD，垂足为 M由题意可知ADG=GDM，则ADGMDGDM=DA=2 AC=GM又易知：GM=BM而 BM=BD-DM=22-2=2（2-1），AG=BM=2（2-1）例例 2 2 如图，P为正方形ABCD内一点，PA PB 10，并且P点到CD边的距离也等于10，求正方形ABCD的面积？【解析】：过P作EF AB于F交DC于E1设PF x，则EF 10 x，BF(10 x)2由PB2 PF2 BF21可得：102 x2(10 x)24故x 6SABCD162 256例例 3.3.如图，E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD上的一点，AM EF，垂足为M，AM AB，则有EF BE

4、 DF，为什么？【解析】：要说明 EF=BE+DF，只需说明 BE=EM，DF=FM 即连结 AE、AF只要能说明ABEAME，ADFAMF理由：连结 AE、AF由 AB=AM，ABBC，AMEF，AE 公用，ABEAMEBE=ME同理可得，ADFAMFDF=MFEF=ME+MF=BE+DF例例 4 4如下图E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且EAF 45，试说明可，而即可EF BE DF。【解析】：将ADF 旋转到ABC，则ADFABGAF=AG，ADF=BAG，DF=BGEAF=45且四边形是正方形，ADFBAE=45GABBAE=45即GAE=45AEFAEG（SAS）EF=E

5、G=EBBG=EBDF例例 5.5.如图，在正方形ABCD的BC、CD边上取E、F两点，使EAF 45，AG EF于G.求证：AG AB【解析】：欲证 AG=AB，就图形直观来看，应证 RtABE 与 RtAGE 全等，但条件不够.EAF=45怎么用呢显然12=45，若把它们拼在一起，问题就解决了.【证明】：把 AFD 绕 A 点旋转90至AHB.EAF=45，12=45.2=3，13=45.又由旋转所得 AH=AF，AE=AE.AEFAEH.例例 6.6.(1)如图 1,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,AE,BF交于点O,AOF 90.求证：BE CF.(2)如图 2,在正

6、方形ABCD中,点E,H,F,G分别在边AB,图 2BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,FOH 90,EF 4.求GH的长.1.已知点E,H,F,G分别在矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA上，EF,GH交于点O,FOH 90,EF 4.直接写出下列两题的答案：如图 3,矩形ABCD由2个全等的正方形组成,求GH的长；如图 4,矩形ABCD由n个全等的正方形组成,求GH的长(用n的代数式表示).【解析】图 3图 4(1)证明：如图 1，四边形ABCD为正方形，图 1AB=BC,ABC=BCD=90，EAB+AEB=90.EOB=AOF90,FBC+AEB=90，EAB=FBC，ABEBC

7、F，BE=CF(2)解：如图 2,过点A作AM如图 6，点A在线段BG上，四边形ABCD与DEFG都是正方形，其边长分别为3cm和MO图 2N5cm，则CDE的面积为_cm2 (6)(7)2你可以依次剪 6 张正方形纸片，拼成如图 7 所示图形 如果你所拼得的图形中正方形的面积为 1，且正方形与正方形的面积相等，那么正方形的面积为_3.如图 9，已知正方形ABCD的面积为 35 平方厘米，E、F分别为边AB、BC上的点AF、CE相交于G，并且ABF的面积为 14 平方厘米，BCE的面积为 5 平方厘米，那么四边形BEGF的面积是_4.如图，A、B、C三点在同一条直线上，AB 2BC。分别以AB

8、、BC为边作正方形ABEF和正方形BCMN，连接FN，EC。求证：FN EC。5.如图，ABCD是正方形G是BC上的一点，DE AG于E，BF AG于F（1）求证：ABF DAE；（2）求证：DE EF FB【纵向应用】【纵向应用】6.在正方形ABCD中，1 21求证：OF BE2AEBAE21FGDFGC7.在正方形ABCD中，1 2AE DF,求证：OG BDC1CE28.如图 13，点E为正方形ABCD对角线BD上一点,EF BC,EG CD求证：AE FG9.已知：点E、F分别正方形ABCD中AB和BC的中点，连接AF和AEDGDE相交于点G,GH AD于点H.一、求证：AF DE；B

9、 13FCAHDEGBFC二、三、如果AB 2,求GH的长；求证：CG CD【练习题答案】【练习题答案】16cm223634202cm（面积法）274.证明：FN=EC。证明：在正方形 ABEF 和正方形 BCMN 中，AB=BE=EF，BC=BN，FEN=EBC=90AB=2BCEN=BCFENEBCFN=EC。5.略6.提示：注意到基本图形中的 AE=AF.一.两次应用内角平分线定理和 CE=CF 可证二.过点 O 作 OGDE 和 CO=CG,CF=CE 可证.13，过点 O 作 OHBE,OF=OH=BE27.提示：一条线段的一半或 2 倍这两者的位置关系有哪两种8.提示：延长 AE

10、交 GF 于点 M，DC,使 CH=DG,连接 HF,证四边形对角互补,法 2：延长 FE，AE 证全等三角形9.（1)略（2）4（3）作 CMDG,证 DM=AG=5（1）定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。（2）特征：边：两组对边分别平行；四条边都相等；内角：四个角都是 90；对角线：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角。（3）主要识别方法：1：对角线相等的菱形是正方形2：对角线互相垂直的矩形是正方形3：四边相等，有一个角是直角的四边形是正方形4：一组邻边相等的平行四边形是正方形5：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 依次连接四

11、边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。正方形的中点四边形是正方形。例例 1.1.已知：如图，P是正方形ABCD内点，PAD PDA 15求证：PBC是正三角形【证明】：如下图做DGC使与ADP全等，可得PDG为等边，从而可得DGCAPDCGP,B得出 PC=AD=DC,和DCG=PCG150所以DCP=300，从而得出PBC 是正三角形CAPD例例 2.2.如图，分别以ABC的AC和BC为一边，在ABCD的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点P是EF的中点求证：点P到边AB的距离等于AB的一半A【证明】：过 E,C,F 点分别

12、作 AB 所在直线的高EG，CI，FH。可得 PQ=EG2FHGECPQBF。由EGAAIC，可得 EG=AI，由BFHCBI，可得 FH=BI。从而可得 PQ=从而得证。AI2BI=AB，2例例 4.4.如图，四边形ABCD为正方形，DEAC，AE AC，AE与CD相交于F求证：CE CF【证明】：顺时针旋转ADE，到ABG，连接 CG.由于ABG=ADE=900+450=1350从而可得 B，G，D在一条直线上，可得AGBCGB。推出 AE=AG=AC=GC，可得AGC为等边三角形。AGB=300，既得EAC=300，从而可得A EC=750。又EFC=DFA=450+300=750.AF

13、DE可证：CE=CF。BC例例 6.6.设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF AP，CF平分DCE求证：PA PF【证明】：作 FGCD，FEBE，可以得出 GFEC为正方形。令 AB=Y，BP=X,CE=Z,可得 PC=Y-X。tanBAP=tanEPF=X=YYZXZ，可得YZ=XY-X2+XZ，X=Z，得出ABP即 Z(Y-X)=X(Y-X)，既得PEF，得到 PAPF，得证。DADF例例 7.7.已知：P是边长为 1的正方形ABCD内的一点，求PA PB PC的最小值0B【证明】：顺时针旋转BPC 60，可得PBE为等边三角形。PCEAPBD既得 PA+PB+PC=AP+PE+

14、EF要使最小只要 AP，PE，EF在一条直线上，即如下图：可得最小 PA+PB+PC=AF。既得 AF=C14(321)2=23=42 32(31)22 =(31)22 =622。例例 8.8.P为正方形ABCD内的一点，并且PA a，PB 2a，PC 3a，求正方形的边长【证明】顺时针旋转ABP 900，可得如下图：既得正方形边长 L=APDBC(222)2(22)a=522 2 a。【双基训练】【双基训练】1.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于O，四边形BEFD是菱形，若正方形的边长为 6，则菱形的面为_2.如图，ABCD是正方形，E为BF上一点，四边形AFEC 恰是一个

15、菱形，则积EAB=_【纵向应用】【纵向应用】3.如图，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB，BC的中点，AEF 90，且EF交正方形外角的平分线CF于点F（1）证明：BAE FEC；（2）证明：AGE ECF；（3）求AEF的面积【横向拓展】【横向拓展】4.如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接EN、AM、CM.求证：AMB ENB；当M点在何处时，AM CM的值最小；当M点在何处时，AM BM CM的值最小，并说明理由；当AM BM CM的最小值为3 1时，求正方形的边长.【练习题答案

16、】【练习题答案】1362【解析】连结 BD 交 AC 于点 O，作 EMAC 于点 MB CNEMA D设正方形边长为 a，则 AC=BD=AE=2a又ACBF，BOAC，EMAC，BO=EM=12BD=a22在 RtAEM 中，AE=2a，EM=CAE=30则EAB=152a23.（1）证明：AEF=90，FEC+AEB=90o在 RtABE中，AEB+BAE=90o，BAE=FEC；（2）证明：G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的中点，AG=GB=BE=EC，且AGE=180o45o=135o又CF是DCH的平分线，ECF=90o+45o=135o在AGE和ECF中，AGEECF；（

17、3）解：由AGEECF，得AE=EF又AEF=90o，AEF是等腰直角三角形由AB=a，BE=15a，知AE=a，22o5SAEF=a284.【解析】：ABE 是等边三角形，BABE，ABE60.MBN60，EA DMBNABNABEABN.即BMANBE.又MBNB，AMBENB（SAS）.5 分FNMB C当 M 点落在 BD 的中点时，AMCM 的值最小.如图，连接 CE，当 M 点位于 BD 与 CE 的交点处时，AMBMCM 的值最小.理由如下：连接 MN.由知，AMBENB，AMEN.MBN60，MBNB，BMN 是等边三角形.BMMN.AMBMCMENMNCM.根据“两点之间线段最短”，得 ENMNCMEC 最短当 M 点位于 BD 与 CE 的交点处时，AMBMCM 的值最小，即等于过 E 点作 EFBC 交 CB 的延长线于 F，EBF906030.设正方形的边长为 x，则 BF32x，EFx2.在 RtEFC 中，EF2FC2EC2，（x32）2（xx）223 12.解得，x2（舍去负值）.正方形的边长为2.EC 的长.