高考数学大一轮复习第十二章概率随机变量及其分布12-6离散型随机变量的均值与方差教师用书理苏教.doc

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1、1 / 22【2019【2019 最新最新】精选高考数学大一轮复习第十二章概率随机变精选高考数学大一轮复习第十二章概率随机变量及其分布量及其分布 12-612-6 离散型随机变量的均值与方差教师用书理离散型随机变量的均值与方差教师用书理苏教苏教1离散型随机变量的均值与方差一般地，若离散型随机变量 X 的概率分布为Xx1x2xixnPp1p2pipn(1)均值称 E(X)x1p1x2p2xipixnpn 为随机变量 X 的均值或数学期望它反映了离散型随机变量取值的平均水平(2)方差称 V(X)(x1)2p1(x2)2p2(xn)2pnxpi2 为随机变量 X 的方差，它刻画了随机变量 X 与其均

2、值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根 为随机变量 X 的标准差2均值与方差的性质(1)E(aXb)aE(X)b.(2)V(aXb)a2V(X)(a，b 为常数)3两点分布与二项分布的均值、方差(1)若随机变量 X 服从两点分布，则 E(X)p，V(X)p(1p)(2)若 XB(n，p)，则 E(X)np，V(X)np(1p)2 / 22【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定( )(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小( )(3)若随机变量 X

3、 的取值中的某个值对应的概率增大时，均值也增大( )(4)均值是算术平均数概念的推广，与概率无关( )1(教材改编)某射手射击所得环数 的概率分布如下：78910Px0.10.3y已知 的均值 E()8.9，则 y 的值为_答案 0.4解析 由Error!可得 y0.4.2设随机变量 的概率分布为 P(k)(k2,4,6,8,10)，则V()_.答案 8解析 E()(246810)6，V()(4)2(2)20222428.3已知随机变量 X8，若 XB(10,0.6)，则随机变量 的均3 / 22值 E()及方差 V()分别是_答案 2 和 2.4解析 设随机变量 X 的均值及方差分别为 E(

4、X)，V(X)，因为 XB(10,0.6)，所以 E(X)100.66，V(X)100.6(10.6)2.4，故 E()E(8X)8E(X)2，V()V(8X)V(X)2.4.4设样本数据 x1，x2，x10 的均值和方差分别为 1 和 4，若yixia(a 为非零常数，i1,2，10)，则 y1，y2，y10的均值和方差分别为_答案 1a,4解析 因为1，yixia，所以 y1，y2，y10 的均值为 1a，方差不变仍为 4.5(教材改编)抛掷两枚骰子，当至少一枚 5 点或一枚 6 点出现时，就说这次试验成功，则在 10 次试验中成功次数的均值为_答案 50 9解析 抛掷两枚骰子，当两枚骰子

5、不出现 5 点和 6 点时的概率为，所以至少有一次出现 5 点或 6 点的概率为 1，用 X 表示 10次试验中成功的次数，则 XB(10，)，E(X)10.题型一 离散型随机变量的均值、方差命题点 1 求离散型随机变量的均值、方差例 1 (2016山东)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮4 / 22活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得 3 分；如果只有一个人猜对，则“星队”得 1 分；如果两人都没猜对，则“星队”得 0 分已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是，每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响假设“星队”参加两轮活动，求：(1)

6、“星队”至少猜对 3 个成语的概率；(2)“星队”两轮得分之和 X 的概率分布和均值 E()解 (1)记事件 A：“甲第一轮猜对” ，记事件 B：“乙第一轮猜对” ，记事件 C：“甲第二轮猜对” ，记事件 D：“乙第二轮猜对” ，记事件 E：“星队至少猜对 3 个成语” 由题意，EABCDBCDACDABDABC，由事件的独立性与互斥性，得P(E)P(ABCD)P(BCD)P(ACD)P(ABD)P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(D)P()P(B)P(C)P(D)P(A)P()P(C)P(D)P(A)P(B)P()P(D)P(A)P(B)P(C)P()2Error!Error!.所以“星

7、队”至少猜对 3 个成语的概率为.(2)由题意，得随机变量 X 可能的取值为 0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得P(X0)，P(X1)2，5 / 22P(X2)，P(X3)，P(X4)2，P(X6).可得随机变量 X 的概率分布为X012346P1 1445 7225 1441 125 121 4所以均值 E(X)012346.命题点 2 已知离散型随机变量的均值与方差，求参数值例 2 (2016扬州模拟)设袋子中装有 a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得 1 分，取出一个黄球得 2 分，取出一个蓝球得 3 分(1)当 a3，b2，c1 时，从该袋子中任取

8、(有放回，且每球取到的机会均等)2 个球，记随机变量 为取出此 2 球所得分数之和，求 的概率分布；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1 个球，记随机变量 为取出此球所得分数若 E()，V()，求 abc.解 (1)由题意得 2,3,4,5,6，故 P(2)，P(3)，P(4)，P(5)，P(6).所以 的概率分布为6 / 2223456P1 41 35 181 91 36(2)由题意知 的概率分布为123Pa abcb abcc abc所以 E()，V()222，化简得Error!解得 a3c，b2c，故 abc321.思维升华 离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略(1)求

9、离散型随机变量的均值与方差可依题设条件求出离散型随机变量的概率概率分布，然后利用均值、方差公式直接求解(2)由已知均值或方差求参数值可依据条件利用均值、方差公式得出含有参数的方程(组)，解方程(组)即可求出参数值(3)由已知条件，作出对两种方案的判断可依据均值、方差的意义，对实际问题作出判断(2015四川)某市 A，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了 3 名男生、2 名女生，B 中学推荐了 3 名男生、4 名女生，两校所推荐的学生一起参加集训由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取 3 人、女生中随机抽取 3 人组成代表队(1)求 A 中学至少有 1 名学生入选代表队的

10、概率；(2)某场比赛前，从代表队的 6 名队员中随机抽取 4 人参赛，设 X 表示参赛的男生人数，求 X 的概率分布和均值7 / 22解 (1)由题意，参加集训的男、女生各有 6 名，参赛学生全从 B 中学抽取(等价于 A 中学没有学生入选代表队)的概率为.因此，A 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率为1.(2)根据题意，X 的可能取值为 1,2,3，P(X1)，P(X2)，P(X3)，所以 X 的概率分布为X123P1 53 51 5因此，X 的均值为 E(X)1232.题型二 与二项分布有关的均值与方差例 3 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A 和B，系统 A 和系统

11、 B 在任意时刻发生故障的概率分别为和 p.(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求 p 的值；(2)设系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求 的概率分布及均值 E()解 (1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件 C，那么1P()1p，解得 p.(2)由题意，得 P(0)3，P(1)C2，8 / 22P(2)C2，P(3)3.所以，随机变量 的概率分布为0123P1 1 00027 1 000243 1 000729 1 000故随机变量 的均值E()0123.(或B(3，)，E()3.)思维升华 解决与二项分布有关的均值、方差问题关键有二点：一是准

12、确把握概率模型，确认要解决的问题是否属于二项分布问题二是正确套用概率公式(2016盐城模拟)甲、乙两人投篮命中的概率分别为与，各自相互独立现两人做投篮游戏，共比赛 3 局，每局每人各投一球(1)求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多 1 个的概率；(2)设 表示比赛结束后甲、乙两人进球的差的绝对值，求 的概率分布和均值 E()解 (1)比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多 1 个有以下几种情况：甲进 1 球，乙进 0 球；甲进 2 球，乙进 1 球；甲进 3 球，乙进 2 球所以比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多 1 个的概率为PC()2()3C()2C()3()3C()3.9 / 22(2) 的

13、取值为 0,1,2,3，则 P(0)()3()3C()2C()3C()2C()3()3()3，P(1)()3C()3C()2()3C()2C()3C()2C()3C()2()3()3C()3，P(2)()3C()3C()2()3C()2()3()3C()3，P(3)()3()3()3()3，所以 的概率分布为0123P7 2411 245 241 24所以均值 E()01231.题型三 均值与方差在决策中的应用例 4 (2016全国乙卷)某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元在机器使用期间，如果备件不

14、足再购买，则每个 500 元现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率，记 X 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件数10 / 22(1)求 X 的概率分布；(2)若要求 P(Xn)0.5，确定 n 的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的均值为决策依据，在 n19 与 n20之中选其一，应选用哪个？解 (1)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为

15、8,9,10,11 的概率分别为 0.2，0.4,0.2,0.2，从而P(X16)0.20.20.04，P(X17)20.20.40.16，P(X18)20.20.20.40.40.24，P(X19)20.20.220.40.20.24，P(X20)20.20.40.20.20.2，P(X21)20.20.20.08，P(X22)0.20.20.04.所以 X 的概率分布为X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(2)由(1)知 P(X18)0.44，P(X19)0.68，故 n 的最小值为 19.(3)记 Y 表示 2 台机器在购买易损零件上所需

16、的费用(单位：元)当 n19 时，E(Y)192000.68(19200500)0.2(192002500)0.08(192003500)0.044 040；当 n20 时，E(Y)202000.88(20200500)11 / 220.08(202002500)0.044 080.可知当 n19 时所需费用的均值小于 n20 时所需费用的均值，故应选 n19.思维升华 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定某投资公司在 2016 年年初准

17、备将 1 000 万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利 30%，也可能亏损 15%，且这两种情况发生的概率分别为和；项目二：通信设备据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失 30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由解 若按“项目一”投资，设获利为 X1 万元，则 X1 的概率分布为X1300150P7 92 9E(X1)300(150)200.若按“项目二”投资，设获利为 X2 万元，则 X2 的概率分布为X25003000

18、12 / 22P3 51 31 15E(X2)500(300)0200.V(X1)(300200)2(150200)22 935 000，V(X2)(500200)2(300200)2(0200)2140 000.E(X1)E(X2)，V(X1)P(2)从回答对题数的均值考查，两人水平相当；从回答对题数的方差考查，甲较稳定；从至少正确回答 2 题的概率考查，甲获得通过的可能性大因此可以判断甲的通过能力较强16 分求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤第一步：确定随机变量的所有可能值；第二步：求每一个可能值所对应的概率；第三步：列出离散型随机变量的概率分布；第四步：求均值和方差；14 / 2

19、2第五步：根据均值、方差进行判断，并得出结论；(适用于均值、方差的应用问题)第六步：反思回顾查看关键点、易错点和答题规范1(2016常州一模)某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给 A 组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学若小组内同学甲猜对成语的概率是 0.4，同学乙猜对成语的概率是 0.5，且规定猜对得 1 分，猜不对得 0 分，则这两个同学各猜 1 次，得分之和 X(单位：分)的均值为_答案 0.9解析 由题意得 X0,1,2，则P(X0)0.60.50.3，P(X1)0.40.50.60.50.5，P(X2)0.40.50.2，E(X

20、)10.520.20.9.2(2017无锡月考)若 XB(n，p)，且 E(X)6，V(X)3，则P(X1)的值为_(用式子作答)答案 3210解析 由题意知 解得Error!P(X1)C(1)113210.3(2016徐州模拟)随机变量 的概率分布如下，其中 a、b、c 为等差数列，若 E()，则 V()的值为_.15 / 22101Pabc答案 5 9解析 由概率分布得 abc1，由均值 E()得ac，由 a、b、c 为等差数列得 2bac，由得 a，b，c，所以 V().4一射击测试中每人射击三次，每击中目标一次记 10 分，没有击中记 0 分某人每次击中目标的概率为，则此人得分的均值与

21、方差分别为_，_.答案 20 200 3解析 记此人三次射击击中目标次数为 X，得分为 Y，则 XB(3，)，Y10X，E(Y)10E(X)10320，V(Y)100V(X)1003.5(2016常州模拟)一个袋子中装有 6 个红球和 4 个白球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的从袋子中摸出 2 个球，其中白球的个数为 X，则 X 的均值是_答案 4 5解析 根据题意知 X0,1,2，而 P(X0)；P(X1)；16 / 22P(X2).故 E(X)012.6甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球，已知甲袋中共有 m个球，乙袋中共有 2m 个球，从甲袋中摸出 1 个球为红球的概率为，从乙袋中

22、摸出 1 个球为红球的概率为 P2.(1)若 m10，求甲袋中红球的个数；(2)若将甲、乙两袋中的球装在一起后，从中摸出 1 个红球的概率是，求 P2 的值；(3)设 P2，若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球，每次摸出 1 个球，并且从甲袋中摸 1 次，从乙袋中摸 2 次设 表示摸出红球的总次数，求 的概率分布和均值解 (1)设甲袋中红球的个数为 x，依题意得 x104.(2)由已知，得，解得 P2.(3) 的所有可能值为 0,1,2,3.P(0)，P(1)C，P(2)C2，P(3)2.所以 的概率分布为0123P48 12556 12519 1252 12517 / 22所以 E()0123.

23、7.乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域 A，B，乙被划分为两个不相交的区域 C，D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球规定：回球一次，落点在 C 上记3 分，在 D 上记 1 分，其他情况记 0 分对落点在 A 上的来球，队员小明回球的落点在 C 上的概率为，在 D 上的概率为；对落点在 B 上的来球，小明回球的落点在 C 上的概率为，在 D 上的概率为.假设共有两次来球且落在 A，B 上各一次，小明的两次回球互不影响求：(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；(2)两次回球结束后，小明得分之和 的概率分布与均值解 (1)记 Ai 为事件

24、“小明对落点在 A 上的来球回球的得分为 i 分”(i0,1,3)，则 P(A3)，P(A1)，P(A0)1.记 Bj 为事件“小明对落点在 B 上的来球回球的得分为 j 分”(j0,1,3)，则 P(B3)，P(B1)，P(B0)1.记 D 为事件“小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上” 由题意，DA3B0A1B0A0B1A0B3，由事件的独立性和互斥性，得P(D)P(A3B0A1B0A0B1A0B3)P(A3B0)P(A1B0)P(A0B1)P(A0B3)18 / 22P(A3)P(B0)P(A1)P(B0)P(A0)P(B1)P(A0)P(B3)，所以小明两次回球的落点中恰有一次的落

25、点在乙上的概率为.(2)由题意，随机变量 可能的取值为 0,1,2,3,4,6，由事件的独立性和互斥性，得P(0)P(A0B0)，P(1)P(A1B0A0B1)P(A1B0)P(A0B1)，P(2)P(A1B1)，P(3)P(A3B0A0B3)P(A3B0)P(A0B3)，P(4)P(A3B1A1B3)P(A3B1)P(A1B3)，P(6)P(A3B3).可得随机变量 的概率分布为012346P1 301 61 52 1511 301 10所以均值 E()012346.8(2016南京模拟)假定某射手射击一次命中目标的概率为.现有 4发子弹，该射手一旦射中目标，就停止射击，否则就一直独立地射击

26、到子弹用完设耗用子弹数为 X，求：(1)X 的概率分布；19 / 22(2)均值 E(X)解 (1)耗用子弹数 X 的所有可能取值为 1,2,3,4.当 X1 时，表示射击一次，命中目标，则 P(X1)；当 X2 时，表示射击两次，第一次未中，第二次射中目标，则 P(X2)(1)；当 X3 时，表示射击三次，第一次、第二次均未击中，第三次击中，则 P(X3)(1)(1)；当 X4 时，表示射击四次，前三次均未击中，则 P(X4)(1)(1)(1).故 X 的概率分布为X1234P2 32 92 271 27(2)E(X)1234.9(2016宿迁模拟)已知甲箱中装有 3 个红球、3 个黑球，乙

27、箱中装有 2 个红球、2 个黑球，这些球除颜色外完全相同某商场举行有奖促销活动，设奖规则如下：每次分别从以上两个箱中各随机摸出 2个球，共 4 个球若摸出 4 个球都是红球，则获得一等奖；摸出的球中有 3 个红球，则获得二等奖；摸出的球中有 2 个红球，则获得三等奖；其他情况不获奖每次摸球结束后将球放回原箱中(1)求在 1 次摸奖中，获得二等奖的概率；(2)若连续摸奖 2 次，求获奖次数 X 的概率分布及均值 E(X)20 / 22解 (1)设“在 1 次摸奖中，获得二等奖”为事件 A，则 P(A).(2)设“在 1 次摸奖中，获奖”为事件 B，则获得一等奖的概率为 P1，获得三等奖的概率为

28、P3，所以 P(B).由题意可知 X 的所有可能取值为 0,1,2.P(X0)(1)2，P(X1)C(1)，P(X2)()2，所以 X 的概率分布是X012P16 22588 225121 225所以 E(X)012.*10.为回馈顾客，某商场拟通过模拟兑奖的方式对 1 000 位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有 4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2 个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额(1)若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元，其余 3 个均为10 元，求：顾客所获的奖励额为 60 元的概率；顾客所获的奖励额的概率分布及均值；(2)商场对奖励总额的预算

29、是 60 000 元，并规定袋中的 4 个球只能由21 / 22标有面值 10 元和 50 元的两种球组成，或标有面值 20 元和 40 元的两种球组成为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的 4 个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由解 (1)设顾客所获的奖励额为 X.依题意，得 P(X60)，即顾客所获的奖励额为 60 元的概率为.依题意，得 X 的所有可能取值为 20,60.P(X60)，P(X20)，故 X 的概率分布为X2060P1 21 2所以顾客所获的奖励额的均值为E(X)206040.(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为

30、60 元，所以，先寻找均值为 60 元的可能方案对于面值由 10 元和 50 元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，因为 60 元是面值之和的最大值，所以均值不可能为 60 元；如果选择(50,50,50,10)的方案，因为 60 元是面值之和的最小值，22 / 22所以均值也不可能为 60 元因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案 1.对于面值由 20 元和 40 元组成的情况，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案 2.以下是对两个方案的分析对于方案 1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励额为 X1，则 X1 的概率分布为X12060100P1 62 31 6X1 的均值为 E(X1)206010060，X1 的方差为 V(X1)(2060)2(6060)2(10060)2.对于方案 2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励额为 X2，则 X2 的概率分布为X2406080P1 62 31 6X2 的均值为 E(X2)40608060，X2 的方差为 V(X2)(4060)2(6060)2(8060)2.由于两种方案的奖励额的均值都符合要求，但方案 2 奖励额的方差比方案 1 的小，所以应该选择方案 2.