高考数学大一轮复习第七章立体几何第五节直线平面垂直的判定与性质教师用书理.doc

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1、- 1 -第五节第五节 直线、平面垂直的判定与性质直线、平面垂直的判定与性质2017 考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线、面垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题。2016，全国卷，18(1)，6 分(证明面面垂直)2016，全国卷，19(1)，6 分(证明线面垂直)2015，全国卷，18(1)，6 分(证明面面垂直)2013，全国卷，18(1)，6 分(证明线线垂直)1.直线、平面垂直的判定及其性质是高考中的重点考查内容，涉及线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定及其应用等内容

2、；2.题型主要以解答题的形式出现，解题要求有较强的推理论证能力，广泛应用转化与化归的思想。微知识 小题练自|主|排|查1直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义：直线l与平面内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面互相垂直。(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理：文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直- 2 -性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行Error!ab2平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直Error!性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与

3、另一个平面垂直微点提醒 1在空间中垂直于同一直线的两条直线不一定平行，还有可能异面、相交等。2使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面” 。3判断线面关系时最容易漏掉线在面内的情况。小|题|快|练一 、走进教材1(必修 2P73A 组 T1改编)下列命题中不正确的是( )A如果平面平面，且直线l平面，则直线l平面B如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面C如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面D如果平面平面，平面平面，l，那么l【解析】 根据面面垂直的性质，知 A 不正确，直线l可能平行平面，也可能在平面

4、内。故选 A。【答案】 A- 3 -2(必修 2P69练习题)如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，则在四面体SEFG中必有( )ASG平面EFG BSD平面EFGCGF平面SEF DGD平面SEF【解析】 解法一：在正方形SG1G2G3中，SG1G1E，SG3G3F，在四面体SEFG中，SGGE，SGGF，GEGFG，所以SG平面EFG。故选 A。解法二：GF即G3F不垂直于SF，所以可以排除 C；在GSD中，GSa(正方形边长)，GDa，SDa，所以

5、SG2SD2GD2，SDG90，从而排除 B 和 D。故选 A。243 24【答案】 A二、双基查验1(2016浙江高考)已知互相垂直的平面，交于直线l，若直线m，n满足m，n，则( )Aml BmnCnl Dmn【解析】 因为l，所以l，又n，所以nl。故选 C。【答案】 C2(2015浙江高考)设，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l，m( )A若l，则B若，则lmC若l，则D若，则lm【解析】 选项 A 中，由平面与平面垂直的判定，故正确；选项 B 中，当时，l，m可以垂直，也可以平行，也可以异面；选项 C 中，l时，可以相交；选项 D中，时，l，m也可以异面。故选 A。【答案

6、】 A3.(2016葫芦岛模拟)已知如图，六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，- 4 -PA平面ABCDEF。则下列结论不正确的是( )ACD平面PAFBDF平面PAFCCF平面PABDCF平面PAD【解析】 A 中，因为CDAF，AF平面PAF，CD平面PAF，所以CD平面PAF成立；B 中，因为ABCDEF为正六边形，所以DFAF。又因为PA平面ABCDEF，所以PADF，又因为PAAFA，所以DF平面PAF成立；C 中，因为CFAB，AB平面PAB，CF平面PAB，所以CF平面PAB；而 D 中CF与AD不垂直，故 D 结论不正确。故选 D。【答案】 D4已知P为ABC所在平面外一点，

7、且PA、PB、PC两两垂直，则下列命题：PABC；PBAC；PCAB；ABBC。其中正确的个数是_。【解析】 如图所示。PAPC，PAPB，PCPBP，PA平面PBC又BC平面PBC，PABC。同理PBAC，PCAB。但AB不一定垂直于BC。【答案】 35(2016天津模拟)已知不同直线m，n与不同平面，给出下列三个命题：若m，n，则mn；若m，n，则nm；若m，m，则。其中真命题的个数是_个。【解析】 平行于同一平面的两直线不一定平行，所以错误。根据线面垂直的性质可知正确。根据面面垂直的性质和判定定理可知正确，所以真命题的个数是 2 个。【答案】 2微考点 大课堂考点一 直线与平面垂直的判定

8、与性质多维探究角度一：证明直线与平面垂直- 5 -【典例 1】 如图所示，直角ABC所在的平面外一点S，SASBSC，点D为斜边AC的中点。求证：直线SD平面ABC。【证明】 因为SASC，点D为斜边AC的中点，所以SDAC，连接BD，在RtABC中，则ADDCBD，所以ADSBDS，所以SDBD。又因为ACBDD，所以SD平面ABC。【母题变式】 在本典例中，若ABBC，其他条件不变，则BD与平面SAC的位置关系是什么？【解析】 因为ABBC，点D为斜边AC的中点，所以BDAC，又由例题知SDBD，于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线，故BD平面SAC。【答案】 BD平面SAC角度二：利

9、用线面垂直的性质证明线线垂直【典例 2】 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ACBC，BCCC1。设AB1的中点为D，B1CBC1E。求证：(1)DE平面AA1C1C；(2)BC1AB1。【证明】 (1)由题意知，点E是B1C的中点。在三角形AB1C中，点D是AB1的中点，所以DE是三角形AB1C的中位线，所以DEAC。又因为AC平面AA1C1C，DE平面AA1C1C，所以DE平面AA1C1C。(2)因为ABCA1B1C1是直三棱柱，且ACBC，所以AC平面BB1C1C，所以ACBC1。又因为BCCC1，所以四边形BB1C1C是正方形，所以BC1B1C。又因为B1CACC，所以BC1平

10、面AB1C，所以BC1AB1。反思归纳 1.证明直线和平面垂直的常用方法：(1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(ab，ab)；(3)面面平行的性质(a，a)；(4)面面垂直的性质。2证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质。因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想。3线面垂直的性质，常用来证明线线垂直。- 6 -考点二 平面与平面垂直的判定与性质【典例 3】 (2016江苏高考)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1DA1F，A1C1A1B1。求证：(1)直线DE平面A1C1F；(2)平面

11、B1DE平面A1C1F。【证明】 (1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1C1AC。在ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以DEAC，于是DEA1C1。又DE平面A1C1F，A1C1平面A1C1F，所以直线DE平面A1C1F。(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1A平面A1B1C1。因为A1C1平面A1B1C1，所以A1AA1C1。又A1C1A1B1，A1A平面ABB1A1，A1B1平面ABB1A1，A1AA1B1A1，所以A1C1平面ABB1A1。因为B1D平面ABB1A1，所以A1C1B1D。又B1DA1F，A1C1平面A1C1F，A1F平面A1C1F，A1C1A1FA1，

12、所以B1D平面A1C1F。因为直线B1D平面B1DE，所以平面B1DE平面A1C1F。反思归纳 1.判定面面垂直的方法：(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理(a，a)。2在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化。在一个平面内找或作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直。【变式训练】 如图，在三棱锥VABC中，平面VAB平面ABC，VAB为等边三角形，ACBC且ACBC，O，M分别为AB，VA的中点。2(1)求证：VB平面MOC；(2)求证：平面MOC平面VAB；(3)求三棱锥VABC的体积。【解析】 (1)证明：因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OMVB。又因为V

13、B平面MOC，OM平面MOC，- 7 -所以VB平面MOC。(2)证明：因为ACBC，O为AB的中点，所以OCAB。又因为平面VAB平面ABC，且OC平面ABC，所以OC平面VAB。又OC平面MOC，所以平面MOC平面VAB。(3)在等腰直角三角形ACB中，ACBC，2所以AB2，OC1。所以等边三角形VAB的面积SVAB。3又因为OC平面VAB，所以三棱锥CVAB的体积等于OCSVAB。1 333又因为三棱锥VABC的体积与三棱锥CVAB的体积相等，所以三棱锥VABC的体积为。33【答案】 (1)(2)见解析 (3)33考点三 垂直关系中的探索性问题【典例 4】 如图，在三棱台ABCDEF中

14、，CF平面DEF，ABBC。(1)设平面ACE平面DEFa，求证：DFa；(2)若EFCF2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG平面CDE？若存在，请确定G点的位置；若不存在，请说明理由。【解析】 (1)证明：在三棱台ABCDEF中，ACDF，AC平面ACE，DF平面ACE，DF平面ACE。又DF平面DEF，平面ACE平面DEFa，DFa。(2)线段BE上存在点G，且BGBE，使得平面DFG平面CDE。1 3证明如下：取CE的中点O，连接FO并延长交BE于点G，连接GD，CFEF，GFCE。在三棱台ABCDEF中，ABBCDEEF。- 8 -由CF平面DEFCFDE。又CFEFF

15、，DE平面CBEF，DEGF。Error!GF平面CDE。又GF平面DFG，平面DFG平面CDE。此时，如平面图所示，O为CE的中点，EFCF2BC，由平面几何知识易证HOCFOE，HBBCEF。1 2由HGBFGE可知 ，即BGBE。BG GE1 21 3【答案】 (1)见解析(2)线段BE上存在点G，且BGBE1 3反思归纳 同“平行关系中的探索性问题”的规律方法一样，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明。【变式训练】 (2017郑州模拟)如图，已知三棱柱ABCABC的侧棱垂直于底面，ABAC，BAC90，点M，N分别为AB和BC的中点。(1)证明：M

16、N平面AACC；(2)设ABAA，当为何值时，CN平面AMN，试证明你的结论。【解析】 (1)证明：如图，取AB的中点E，连接ME，NE。因为M，N分别为AB和BC的中点，所以NEAC，MEAA。又AC平面AACC，AA平面AACC，所以ME平面AACC，NE平面AACC，因为NEMEE，所以平面MNE平面AACC，因为MN平面MNE，所以MN平面AACC。(2)连接BN，设AAa，则ABAAa，由题意知BCa，CNBN ，2a2122a2因为三棱柱ABCABC的侧棱垂直于底面，所以平面ABC平面BBCC，因为ABAC，点N是BC的中点，BAC90，所以AN平面BBCC，所以- 9 -CNAN

17、，要使CN平面AMN，只需CNBN即可，所以CN2BN2BC2，即 222a2，(a21 22a2)解得，故当时，CN平面AMN。22【答案】 (1)见解析 (2)，证明见解析2微考场 新提升1设a，b，c是三条不同的直线，是两个不同的平面，则ab的一个充分不必要条件是( )Aac，bc B，a，bCa，b Da，b解析 对于 C，在平面内存在cb，因为a，所以ac，故ab；A，B 中，直线a，b可能是平行直线，相交直线，也可能是异面直线；D 中一定推出ab。故选 C。答案 C2(2016成都一诊)设，是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，给出下列四个命题，其中真命题是( )A若a，b，则

18、abB若a，b，ab，则C若a，b，ab，则D若a，b在平面内的射影互相垂直，则ab解析 与同一平面平行的两条直线不一定平行，所以 A 错误；与两条平行直线分别平行的两个平面未必平行，所以 B 错误；如图(1)，设OAa，OBb，直线OA，OB确定的平面分别交，于AC，BC，则OAAC，OBBC，所以四边形OACB为矩形，ACB为二面角l的平面角，所以，C 正确；如图(2)，直线a，b在平面内的射影分别为m，n，显然mn，但a，b不垂直，所以 D 错误。故选 C。- 10 -答案 C3.如图，O是正方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是( )AA1D B

19、AA1CA1D1 DA1C1解析 连接B1D1，则A1C1B1D1，根据正方体特征可得BB1A1C1，故A1C1平面BB1D1D，B1O平面BB1D1D，所以B1OA1C1。答案 D4.如图所示，PA圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的正投影，给出下列结论：AFPB；EFPB；AFBC；AE平面PBC。其中正确结论的序号是_。解析 由题意知PA平面ABC，PABC。又ACBC，PAACA，BC平面PAC。BCAF。AFPC，BCPCC，AF平面PBC。AFPB，又AEPB，AEAFA，PB平面AEF。PBEF。故正确。答案 5.如图所示，在三棱柱

20、ABCA1B1C1中，侧棱垂直底面，ACB90，ACBCAA1，D是棱AA1的中点。1 2(1)证明：平面BDC1平面BDC；(2)平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比。解析 (1)证明：由题设知BCCC1，BCAC，CC1ACC，所以BC平面ACC1A1。又DC1平面ACC1A1，所以DC1BC。由题设知A1DC1ADC45，- 11 -所以CDC190，即DC1DC。又DCBCC，所以DC1平面BDC。又DC1平面BDC1，故平面BDC1平面BDC。(2)设棱锥BDACC1的体积为V1，AC1。由题意得V1 11 。1 312 21 2又三棱柱ABCA1B1C1的体积V1，所以(VV1)V111。故平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为 11。答案 (1)见解析 (2)11