高考数学试题分项版解析专题06导数的几何意义理.doc

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1、1 / 19【2019【2019 最新最新】精选高考数学试题分项版解析专题精选高考数学试题分项版解析专题 0606 导数的几导数的几何意义理何意义理1. 【2016 高考山东理数】若函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称具有 T 性质.下列函数中具有 T 性质的是（ ）( )yf x( )yf x（A）（B）（C）（D）sinyxlnyxexy 3yx【答案】A【解析】试题分析：由函数的图象在两点处的切线互相垂直可知，存在两点处的切线斜率的积，即导函数值的乘积为负一.当时， ，有，所以在函数图象存在两点使条件成立，故 A 正确；函数的导数值均非负，不符合题意，故选

2、A.sinyxcosyx cos0 cos1 sinyx0,xx3ln ,xyx yeyx考点：1.导数的计算；2.导数的几何意义.2. 【2016 年高考四川理数】设直线 l1，l2 分别是函数 f(x)= 图象上点 P1，P2 处的切线，l1 与 l2 垂直相交于点 P，且 l1，l2 分别与 y 轴相交于点 A，B，则PAB 的面积的取值范围是( )ln ,01,ln ,1,xxx x 2 / 19（A）(0,1) （B）(0,2) （C）(0,+) （D）(1,+)【答案】A【解析】试题分析：设（不妨设） ，则由导数的几何意义易得切线的斜率分别为由已知得切线的方程分别为，切线的方程为，

3、即.分别令得又与的交点为， ， ， 故选 A111222,ln,lnP xxP xx121, 01xx12,ll12 1211,.kkxx 1 2122 111,1,.k kx xxx 11 11lnyxxxx2l22 21lnyxxxx 11 11lnyxxxx 0x 110,1ln,0,1ln.AxBx 2l2 11 122 1121, ln11xxPxxx11x 2 11 22 112111211PABABPxxSyyxxx01PABS 考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围.3.【2016 高考新课标 3 理数】已知为偶函数，当时， ，

4、则曲线 f x0x ( )ln()3f xxx yf x在点处的切线方程是_(1, 3)【答案】21yx 【解析】试题分析：当时， ，则又因为为偶函数，所以，所以，则切线斜率为，所以切线方程为，即0x 0x ()ln3fxxx( )f x( )()ln3f xfxxx1( )3fxx(1)2f 32(1)yx 21yx 考点：1、函数的奇偶性与解析式；2、导数的几何意义【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当时，函数，则当时，求函数的解析式” 有如下结论：若函数为偶函数，则当时，函数的解析式为；3 / 19若为奇函数，则函数的解析式为0x ( )yf x0x ( )f x0x ( )yf x (

5、)f x()yfx 4.【2014 广东理 10】曲线在点处的切线方程为 .25 xey0,3【答案】或.53yx 530xy【解析】 ，所求切线的斜率为，55xye 55ye 故所求切线的方程为，即或.35yx 53yx 530xy【考点定位】本题考查利用导数求函数图象的切线问题，属于容易题.【名师点晴】本题主要考查的是导数的几何意义和直线的方程，属于容易题解题时一定要抓住重要字眼“在点处” ，否则很容易出现错误解导数的几何意义问题时一定要抓住切点的三重作用：切点在曲线上；切点在切线上；切点处的导数值等于切线的斜率0,35.【2014 江苏理 11】在平面直角坐标系中，若曲线（为常数）过点，

6、且该曲线在点处的切线与直线平行，则 .xoy2byaxx, a b(2, 5)PP7230xyab【答案】3【解析】曲线过点，则，又，所以，由解得所以2byaxx(2, 5)P452ba 22byaxx7442ba 1,2,ab 3ab 【考点定位】导数与切线斜率4 / 196.【2017 山东，理 20】已知函数， ，其中是自然对数的底数. 22cosf xxx cossin22xg xexxx2.71828e （）求曲线在点处的切线方程； yf x , f（）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值. h xg xaf xaR h x【答案】 （）.222yx（）综上所述：当时，

7、在上单调递减，在上单调递增，0a h x,00,函数有极小值，极小值是； h x 021ha 当时，函数在和和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，01a h x,lna0,lna0,ln ,0a h x极大值是2lnln2lnsin lncos ln2haaaaaa 极小值是； 021ha 当时，函数在上单调递增，无极值；1a h x, 当时，函数在和上单调递增，1a h x,0ln , a 在上单调递减，函数有极大值，也有极小值， 0,lna h x极大值是； 021ha 5 / 19极小值是.2lnln2lnsin lncos ln2haaaaaa 【解析】试题分析：（）求

8、导数得斜率，由点斜式写出直线方程. 2f试题解析：（）由题意 22f又， 22sinfxxx所以， 2f因此 曲线在点处的切线方程为 yf x , f222yx，即 .222yx（）由题意得 ，2( )(cossin22)(2cos )xh xexxxa xx因为 cossin22sincos222sinxxh xexxxexxaxx2sin2sinxexxa xx2sinxeaxx，令则所以在上单调递增.因为 sinm xxx 1cos0m xx m xR(0)0,m所以 当时，当时，0x ( )0,m x 0x 0m x 6 / 19(1)当时，当时， ，单调递减，当时， ，单调递增，0a

9、 xea00x 0h x h x0x 0h x h x所以 当时取得极小值，极小值是 ；0x h x 021ha (2)当时，由 得 ，0a ln2sinxah xeexx 0h x1lnxa2=0x当时， ，当时， ，单调递增；01aln0a ,lnxa ln0,0xaeeh x h x当时， ，单调递减；ln ,0xa ln0,0xaeeh x h x当时， ，单调递增.0,x ln0,0xaeeh x h x所以 当时取得极大值.lnxa h x当时，1a ln0a 所以 当时， ，单调递增；,0x ln0xaee 0,h xh x当时， ，单调递减；0,lnxaln0xaee 0,h

10、xh x当时， ，单调递增；ln ,xaln0xaee 0,h xh x所以 当时取得极大值，极大值是；0x h x 021ha 当时取得极小值.lnxa h x极小值是.2lnln2lnsin lncos ln2haaaaaa 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增，0a h x,00,7 / 19当时，函数在上单调递增，无极值；1a h x, 当时，函数在和上单调递增，1a h x,0ln , a 在上单调递减，函数有极大值，也有极小值， 0,lna h x极大值是； 021ha 极小值是.2lnln2lnsin lncos ln2haaaaaa 【考点】1.导数的几何意义.2.应用导

11、数研究函数的单调性、极值.3.分类讨论思想.7.【2017 北京，理 19】已知函数( )e cosxf xxx（）求曲线在点处的切线方程；( )yf x(0,(0)f（）求函数在区间上的最大值和最小值【答案】()；（）最大值 1；最小值.( )f x0,21y 2【解析】试题分析：（）根据导数的几何意义，求斜率再代入切线方程公式；（）设，求，根据确定函数的单调性，根据单调减求函数的最大值，可以知道恒成立，所以函数是单调递减函数，根据单调性求最值. 000yffx h xfx h x 0h x h x 00h 0h xfx f x8 / 19试题解析：（）因为，所以.( )e cosxf xx

12、x( )e (cossin ) 1,(0)0xfxxxf又因为，所以曲线在点处的切线方程为.(0)1f( )yf x(0,(0)f1y （）设，则.( )e (cossin ) 1xh xxx( )e (cossinsincos )2e sinxxh xxxxxx 当时， ，(0,)2x( )0h x所以在区间上单调递减.( )h x0,2所以对任意有，即.(0,2x( )(0)0h xh( )0fx所以函数在区间上单调递减.( )f x0,2因此在区间上的最大值为，最小值为.( )f x0,2(0)1f( )22f 【考点】1.导数的几何意义；2.利用导数求函数的最值.【名师点睛】这道导数题

13、并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点是需要求二阶导数，因为不能判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设 ，再求，一般这时就可求得函数的零点，或是恒成立，这样就能知道函数的单调性，根据单调性求最值，从而判断的单调性，求得最值. fx h xfx h x h x h x h x yf x8.【2016 年高考北京理数】 （本小题 13 分）设函数，曲线在点处的切线方程为，( )a xf xxebx( )yf x(2,(2)f(1)4yex（1）求，的值；9 / 19（2）求的单调区间.( )f x【答案】 （） ， ；（2）的单调递增区间为.2a be)(xf(,) 【解析】

14、试题解析：（1）因为，所以.bxxexfxa)(bexxfxa)1 ()(依题设，即 , 1)2(, 22)2(efef, 1, 222222ebeebeaa解得；（2）由（）知.eba , 2exxexfx2)(由即知，与同号.)1 ()(12xxexexf02xe)(xf 11xex令，则.11)(xexxg11)(xexg所以，当时， ，在区间上单调递减；) 1 ,(x0)( xg)(xg) 1 ,(当时， ，在区间上单调递增.), 1 ( x0)( xg)(xg), 1 ( 故是在区间上的最小值，1) 1 (g)(xg),(从而.),(, 0)(xxg综上可知， ， ，故的单调递增区间

15、为.0)( xf),(x)(xf),(考点：导数的应用.【名师点睛】用导数判断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于 0 的点外，还要注意定义区间内的间断点9. 【2014 福建,理 20】 （本小题满分 14 分）已知函数（为常数）的图象与轴交于点，曲线在点处 axexfxyA xfy A10 / 19的切线斜率为-1.（I）求的值及函数的极值； xf（II）证明：当时， ；0xxex 2（III）证明：对任意给定的正数，总存在，使得当，恒有.0x，0xxxcex 2【答案】 （I）

16、,极值参考解析;（II）参考解析;（III）参考解析2a 【解析】试题分析：（I）由函数（为常数）的图象与轴交于点，曲线在点处 axexfxyA xfy A的切线斜率为-1.所以求函数的导数,即可求出的值.再根据函数的导数地正负,即可得函数的极值. xf xf xf试题解析：解法一:（I）由，得.又,得.所以.令,得.当时, 单调递减;当时, 单调递增.所以当时, 取得极小值,且极小值为无极大值.( )xf xeax( )xfxea(0)11fa 2a ( )2 ,( )2xxf xex fxe( )0fx ln2x ln2x ( )0,( )fxf xln2x ( )0,( )fxf xln

17、2x ( )f xln2(ln2)2ln22ln4,( )fef x（II）令,则.由（I）得,故在 R 上单调递增,又,因此,当时, ,即.2( )xg xex( )2xg xex( )( )(ln2)0g xf xf( )g x(0)10g 0x ( )(0)0g xg2xxe11 / 19（III）若,则.又由（II）知，当时, .所以当时, .取,当时，恒有.1c xxece0x 2xxe0x 2xxce00x 0(,)xx22xcx若,令,要使不等式成立，只要成立.而要使成立，则只要,只要成立.令,则.所以当时, 在内单调递增.取,所以在内单调递增.又.易知.所以.即存在,当时，恒有

18、.01c11kc2xxce2xekx2xekx2ln()xkx2lnlnxxk( )2lnlnh xxxk22( )1xh xxx 2x ( )0, ( )h xh x(2,)01616xk( )h x0(,)x 0()162ln(16 )ln8(ln2)3(ln )5h xkkkkkkkln ,ln2,50kk kk0()0h x016xc0(,)xx2xxce综上，对任意给定的正数 c，总存在,当时,恒有.0x0(,)xx2xxce解法二: （I）同解法一.（II）同解法一.（III）对任意给定的正数,取由（II）知,当时, ,所以当时, ,因此,对任意给定的正数,总存在,当时,恒有.04

19、,xc0x 2xex2222( )( ) ,22xx xxxeee0xx22222241( )( )( )222xx xxxxeeexcc0x0(,)xx2xxce解法三: （I）同解法一.注:对 c 的分类不同有不同的方式，只要解法正确，均相应给分.考点：1.函数的极值.2.构建新函数证明不等式.3.开放性题.4.导数的12 / 19综合应用.5.运算能力.6.分类讨论的数学思想.【名师点睛】本题把导数的几何意义、极值、不等式证明结合在一起考查，综合性强，难度大，后两问涉及到不等式证明，利用导数证明不等式是近几年高考的一个热点,解决此类问题的基本思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性

20、和极值破解.10.【2014 高考重庆理第 20 题】 （本小题满分 12 分， （）小问 4 分，（）小问 3 分， （）小问 5 分）已知函数的导函数为偶函数，且曲线在点处的切线的斜率为.22( )( , ,)xxf xaebecx a b cR( )fx( )yf x(0,(0)f4c（）确定的值； , a b（）若，判断的单调性；3c ( )f x（）若有极值，求的取值范围.( )f x【答案】 （） ；（）增函数；（）.1,1ab4,【解析】（）由（） ， ，当时，利用的符号判断的单调性； 22xxfxeec3c fx( )f x（）要使函数有极值，必须有零点，由于，所以可以对的取值

21、分类讨论，得到时满足条件的的取值范围.( )f x fx224xxee试题解析：解：（）对求导得，由为偶函数，知， f x 2222xxfxaebec fx fxfx13 / 19即，因，所以2220xxabee220xxeeab又，故. 022fabc1,1ab（）当时， ，那么3c 223xxf xeex故在上为增函数.( )f xR（）由（）知，而，当时等号成立. 2222xxfxeec2222222 24xxxxeeee0x 下面分三种情况进行讨论.当时，对任意，此时无极值；4c 22,220xxxR fxeec f x当时，对任意，此时无极值；4c 0,x 222240xxfxee

22、f x当时，令，注意到方程有两根，4c 2xet220tct21,2160,4cct即有两个根或. 0fx111ln2xt221ln2xt当时， ；又当时，从而在处取得极小值.12xxx 0fx2xx 0fx f x2xx综上，若有极值，则的取值范围为. f x4,考点：1、导数的几何意义及导数在研究函数性质中的应用；2、分类讨论的思想.11.【2015 北京理 18】 （本小题 13 分）已知函数 1ln1xf xx（）求曲线在点处的切线方程； yf x 00f，（）求证：当时， ；0 1x， 3 23xf xx（）设实数使得对恒成立，求的最大值 33xf xk x0 1x，14 / 19【

23、答案】 （） ， （）证明见解析， （）的最大值为 2.20xy【解析】试题分析：利用导数的几何意义，求出函数在处的函数值及导数值，再用直线方程的点斜式写出直线方程；第二步要证明不等式在成立，可用作差法构造函数，利用导数研究函数在区间（0，1）上的单调性，由于，在（0，1）上为增函数，则，问题得证；第三步与第二步方法类似，构造函数研究函数单调性，但需要对参数作讨论，首先符合题意，其次当时，不满足题意舍去，得出的最大值为 2.0x 3 23xf xx0 1x，1( )l n1xF xx3 2 ()3xxF(x)( )0F x( )F x( )(0)0F xFk0, 2k2k试题解析：（） ，曲线

24、在点处的切线方程为；212( )l n,( 1,1),( ),(0)2, (0)011xf xxfxffxx yf x 00f，20xy（）当时， ，即不等式，对成立，设，则，当时， ，故在（0，1）上为增函数，则，因此对，成立；0 1x， 3 23xf xx3 ( )2 ()03xf xx(0,1)x331( )l n2 ()l n(1)l n(1)2 ()133xxxF xxxxxx422( )1xF xx0 1x，( )0F x( )F x( )(0)0F xF(0,1)x3 ( )2 ()3xf xx15 / 19当时， ，函数在（0，1）上位增函数， ，符合题意；0, 2k( )0F

25、 x( )(0)0F xF当时，令，2k4 02( )0,(0,1)kF xxkx 0(0,)x0x0(,1)x( )F x-0+( )F xA极小值A()(0)F xF，显然不成立，综上所述可知：的最大值为 2.考点：1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的单调性，证明不等式；3.含参问题讨论.【名师点睛】本题考查导数的几何意义和利用导数研究函数性质问题，本题第一步为基础，第二、三步属于中等略偏难问题，首先利用导数的几何意义求出切线斜率和切点坐标，写出切线方程，其次用作差法构造函数，利用导数研究函数的单调性，证明不等式，最后一步对参数进行分类讨论研究.k12.【2015 课标 1 理 21

26、】 （本小题满分 12 分）已知函数 f（x）=.31, ( )ln4xaxg xx ()当 a 为何值时，x 轴为曲线 的切线；( )yf x（）用 表示 m,n 中的最小值，设函数 ，讨论 h（x）零点的个数.min,m n( )min( ), ( )(0)h xf x g xx16 / 19【答案】 （） ；（）当或时，由一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点.3 4a 3 4a 5 4a ( )h x3 4a 5 4a ( )h x53 44a ( )h x【解析】试题分析：（）先利用导数的几何意义列出关于切点的方程组，解出切点坐标与对应的值；（）根据对数函数的图像与性质将分为

27、研究的零点个数，若零点不容易求解，则对再分类讨论.1,1,01xxx( )h x试题解析：（）设曲线与轴相切于点，则， ，即，解得.( )yf x0(,0)x0()0f x0()0fx3 002 0104 30xaxxa 013,24xa因此，当时，轴是曲线的切线. 5 分3 4a ( )yf x()若或，则在（0,1）无零点，故在（0,1）单调，而， ，所以当时，在（0，1）有一个零点；当 0 时，在（0，1）无零点.3a 0a 2( )3fxxa( )f x1(0)4f5(1)4fa3a ( )f xa ( )f x()若，则在（0， ）单调递减，在（，1）单调递增，故当=时，取的最小值，

28、最小值为=.30a ( )f x3a3a3a( )f x()3af21 334aa若0，即0，在（0,1）无零点.()3af3 4( )f x若=0，即，则在（0,1）有唯一零点；()3af3 4a ( )f x17 / 19若0，即，由于， ，所以当时，在（0,1）有两个零点；当时，在（0,1）有一个零点.10 分()3af334a 1(0)4f5(1)4fa53 44a ( )f x534a ( )f x综上，当或时，由一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点. 12 分3 4a 5 4a ( )h x3 4a 5 4a ( )h x53 44a ( )h x【考点定位】利用导数研究

29、曲线的切线；对新概念的理解；分段函数的零点；分类整合思想13.【2015 天津理 20】 （本小题满分 14 分）已知函数，其中.( )n,nf xxxxR*n,n2N(I)讨论的单调性；( )f x(II)设曲线与轴正半轴的交点为 P，曲线在点 P 处的切线方程为,求证：对于任意的正实数，都有；( )yf x=( )yg x=( )( )f xg x(III)若关于的方程有两个正实根，求证： ( )=a(a)f x为实数12xx，21|-|21ax xn+-【答案】(I) 当为奇数时，在，上单调递减，在内单调递增；当为偶数时，在上单调递增，在上单调递减. (II)见解析； (III)见解析.

30、( )f x(, 1) (1,)( 1,1)( )f x(, 1) ( )f x(1,)【解析】(I)由，可得，其中且，( )nf xnxx*nN2n 下面分两种情况讨论：（1）当为奇数时：18 / 19令，解得或，( )0fx1x 1x 当变化时，的变化情况如下表：( ),( )fxf x(, 1) ( 1,1)(1,)( )fx( )f xAAA所以，在，上单调递减，在内单调递增.( )f x(, 1) (1,)( 1,1)(2)当为偶数时，当，即时，函数单调递增；( )0fx1x ( )f x当，即时，函数单调递减.( )0fx1x ( )f x所以，在上单调递增，在上单调递减.( )f

31、 x(, 1) ( )f x(1,)由于在上单调递减，故在上单调递减，又因为，所以当时， ，当时， ，所以在内单调递增，在内单调递减，所以对任意的正实数都有，即对任意的正实数，都有.1( )nfxnxn 0,( )F x0,0()0F x0(0,)xx0()0F x0(,)xx0()0F x( )F x0(0,)x0(,)x 0( )()0F xF x( )( )f xg x(III)证明：不妨设，由(II)知，设方程的根为，可得12xx2 0( )g xnnxx( )g xa2x202.axxnn，当时，在上单调递减，又由(II)知可得.2n ( )g x, 222()()(),g xf xag x22xx类似的，设曲线在原点处的切线方程为，可得，当，( )yf x( )yh x( )h xnx(0,)x19 / 19( )( )0nf xh xx ，即对任意，(0,)x( )( ).f xh x设方程的根为，可得，因为在上单调递增，且，因此.( )h xa1x1axn( )h xnx, 111()()()h xaf xh x11xx由此可得.212101axxxxxn因为，所以，故，2n 111 12(1 1)111nn nCnn 1 1 02nnx所以.2121axxn【考点定位】1.导数的运算；2.导数的几何意义；3.利用导数研究函数性质、证明不等式.