高考数学大一轮复习第十二章概率随机变量及其分布12-5二项分布及其应用教师用书理新人教.doc

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1、1 / 18【2019【2019 最新最新】精选高考数学大一轮复习第十二章概率随机变精选高考数学大一轮复习第十二章概率随机变量及其分布量及其分布 12-512-5 二项分布及其应用教师用书理新人教二项分布及其应用教师用书理新人教1条件概率及其性质(1)一般地，设 A，B 为两个事件，且 P(A)0，称 P(B|A)为在事件A 发生的条件下，事件 B 发生的条件概率在古典概型中，若用 n(A)表示事件 A 中基本事件的个数，则 P(B|A).(2)条件概率具有的性质0P(B|A)1；如果 B 和 C 是两个互斥事件，则 P(BC|A)P(B|A)P(C|A)2相互独立事件(1)设 A，B 为两个

2、事件，若 P(AB)P(A)P(B)，则称事件 A 与事件 B相互独立(2)若 A 与 B 相互独立，则 P(B|A)P(B)，P(AB)P(A)P(B|A)P(A)P(B)(3)若 A 与 B 相互独立，则 A 与，与 B，与也都相互独立3二项分布(1)一般地，在相同条件下重复做的几次试验称为 n 次独立重复试验(2)一般地，在 n 次独立重复试验中，用 X 表示事件 A 发生的次数，设每次试验中事件 A 发生的概率为 p，则 P(Xk)Cpk(1p)nk，k0,1,2，n.此时称随机变量 X 服从二项分布，记为2 / 18XB(n，p)，并称 p 为成功概率【知识拓展】超几何分布与二项分布

3、的区别(1)超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；(2)超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取(独立重复)【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)条件概率一定不等于它的非条件概率( )(2)相互独立事件就是互斥事件( )(3)对于任意两个事件，公式 P(AB)P(A)P(B)都成立( )(4)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(ab)n 二项展开式的通项公式，其中 ap，b1p.( )(5)P(B|A)表示在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率，P(AB)表示事件 A，B 同时发生的概率( )1袋中有 3 红 5 黑 8 个大小形状相同的小球，

4、从中依次摸出两个小球，则在第一次摸得红球的条件下，第二次仍是红球的概率为( )A. B. C. D.3 7答案 B解析 第一次摸出红球，还剩 2 红 5 黑共 7 个小球，所以再摸到红球的概率为.2(教材改编)小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试 3 次，那么其中恰有 1 次获得通过的概率是( )A. B. C. D.2 27答案 A解析 所求概率 PC()1(1)31.3 / 183(2015课标全国)投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A0.648 B0.432 C0.

5、36 D0.312答案 A解析 3 次投篮投中 2 次的概率为P(k2)C0.62(10.6)，投中 3 次的概率为 P(k3)0.63，所以通过测试的概率为 P(k2)P(k3)C0.62(10.6)0.630.648.故选 A.4某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是 0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是_答案 0.8解析 已知连续两天为优良的概率是 0.6，那么在前一天空气质量为优良的前提下，要求随后一天的空气质量为优良的概率，可根据条件概率公式，得 P0.8.5(教材改编)国庆节放假，甲去北京旅游的概率为

6、，乙去北京旅游的概率为，假定二人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有 1 人去北京旅游的概率为_答案 1 2解析 记在国庆期间“甲去北京旅游”为事件 A， “乙去北京旅游”为事件 B，又 P()P()P()1P(A)1P(B)(1)(1)，“甲、乙二人至少有一人去北京旅游”的对立事件为“甲、乙二人都4 / 18不去北京旅游” ，故所求概率为 1P()1.题型一 条件概率例 1 (1)从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数，事件 A 为“取到的 2个数之和为偶数” ，事件 B 为“取到的 2 个数均为偶数” ，则 P(B|A)等于( )A. B. C. D.1 2(2)如图所示，

7、EFGH 是以 O 为圆心，半径为 1 的圆的内接正方形，将一粒豆子随机地扔到该圆内，用 A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内” ，B 表示事件“豆子落在扇形 OHE(阴影部分)内” ，则 P(B|A)_.答案 (1)B (2)1 4解析 (1)P(A)，P(AB)，P(B|A).(2)AB 表示事件“豆子落在OEH 内” ，P(B|A).引申探究1若将本例(1)中的事件 B：“取到的 2 个数均为偶数”改为“取到的 2 个数均为奇数” ，则结果如何？解 P(A)，P(B)，又 AB，则 P(AB)P(B)，所以 P(B|A).2在本例(2)的条件下，求 P(A|B)解 由题意知，EOH9

8、0，故 P(B)，5 / 18又P(AB)，P(A|B).思维升华 条件概率的求法(1)定义法：先求 P(A)和 P(AB)，再由 P(B|A)求 P(B|A)(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件 A 包含的基本事件数 n(A)，再求事件 AB 所包含的基本事件数 n(AB)，得 P(B|A).(2016开封模拟)已知盒中装有 3 只螺口灯泡与 7 只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第 1 次抽到的是螺口灯泡的条件下，第 2 次抽到的是卡口灯泡的概率为( )B.A. 2 9D.C. 7 9答案 D解析

9、方法一 设事件 A 为“第 1 次抽到的是螺口灯泡” ，事件 B 为“第 2 次抽到的是卡口灯泡” ，则 P(A)，P(AB)，则所求概率为 P(B|A).方法二 第 1 次抽到螺口灯泡后还剩余 9 只灯泡，其中有 7 只卡口灯泡，故第 2 次抽到卡口灯泡的概率为.题型二 相互独立事件的概率例 2 设某校新、老校区之间开车单程所需时间为 T，T 只与道路畅通状况有关，对其容量为 100 的样本进行统计，结果如下：T(分钟)25303540频数(次)20304010(1)求 T 的分布列；(2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个 50 分钟的讲座，6 / 18结束后立即返回老校区，求刘教授

10、从离开老校区到返回老校区共用时间不超过 120 分钟的概率解 (1)由统计结果可得 T 的频率分布为T(分钟)25303540频率0.20.30.40.1以频率估计概率得 T 的分布列为T25303540P0.20.30.40.1(2)设 T1，T2 分别表示往、返所需时间，T1，T2 的取值相互独立，且与 T 的分布列相同，设事件 A 表示“刘教授共用时间不超过 120 分钟” ，由于讲座时间为50 分钟，所以事件 A 对应于“刘教授在路途中的时间不超过 70 分钟”方法一 P(A)P(T1T270)P(T125，T245)P(T130，T240)P(T135，T235)P(T140，T23

11、0)0.210.310.40.90.10.50.91.方法二 P()P(T1T270)P(T135，T240)P(T140，T235)P(T140，T240)0.40.10.10.40.10.10.09，故 P(A)1P()0.91.思维升华 求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)首先判断几个事件的发生是否相互独立(2)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有：利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算(2017青岛月考)为了分流地铁高峰的压力，某市发改委7 / 18通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度不超过 22 千米的地铁票价如下表：乘坐里程

12、x(单位：km)0x66x1212x22票价(单位：元)345现有甲、乙两位乘客，他们乘坐的里程都不超过 22 千米已知甲、乙乘车不超过 6 千米的概率分别为， ，甲、乙乘车超过 6 千米且不超过 12 千米的概率分别为，.(1)求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率；(2)设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量 ，求 的分布列解 (1)由题意可知，甲、乙乘车超过 12 千米且不超过 22 千米的概率分别为， ，则甲、乙两人所付乘车费用相同的概率P1，所以甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率 P1P11.(2)由题意可知，6,7,8,9,10，则 P(6)，P(7)，P(8)，P(9)，P(10)

13、.所以 的分布列为678910P1 121 41 31 41 12题型三 独立重复试验与二项分布命题点 1 根据独立重复试验求概率8 / 18例 3 甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜 3 局者获得比赛的胜利，比赛随即结束除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立(1)分别求甲队以 30,31,32 胜利的概率；(2)若比赛结果为 30 或 31，则胜利方得 3 分，对方得 0 分；若比赛结果为 32，则胜利方得 2 分，对方得 1 分求乙队得分 X 的分布列解 (1)设“甲队以 30,31,32 胜利”分别为事件 A，B，C，则P(A)，P(B)C2

14、，P(C)C22.(2)X 的可能取值为 0,1,2,3，则 P(X0)P(A)P(B)，P(X1)P(C)，P(X2)C22，P(X3)3C2.故 X 的分布列为X0123P16 274 274 271 9命题点 2 根据独立重复试验求二项分布例 4 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得 10 分，出现两次音乐获得 20 分，出现三次音乐获得100 分，没有出现音乐则扣除 200 分(即获得200 分)设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立9 / 18(1)设每盘游戏获得的分数为 X，求

15、 X 的分布列；(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？解 (1)X 可能的取值为 10,20,100，200.根据题意，有P(X10)C12，P(X20)C21，P(X100)C30，P(X200)C03.所以 X 的分布列为X1020100200P3 83 81 81 8(2)设“第 i 盘游戏没有出现音乐”为事件 Ai(i1,2,3)，则 P(A1)P(A2)P(A3)P(X200).所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1P(A1A2A3)131.因此，玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是.思维升华 独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略(1)在求 n 次独立

16、重复试验中事件恰好发生 k 次的概率时，首先要确定好 n 和 k 的值，再准确利用公式求概率(2)在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数 n 和变量的概率，求得概率(2016沈阳模拟)某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖甲、乙、丙三名老师都有“获奖” 、 “待定” 、 “淘汰”三类票各一张，每个节目投票时，甲、10 / 18乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为，且三人投票相互没有影响若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖

17、(1)求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率；(2)求该节目投票结果中所含“获奖”和“待定”票票数之和 X 的分布列解 (1)设“某节目的投票结果是最终获一等奖”这一事件为 A，则事件 A 包括：该节目可以获两张“获奖”票，或者获三张“获奖”票甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为，且三人投票相互没有影响，P(A)C()2()1C()3.(2)所含“获奖”和“待定”票票数之和 X 的值为 0,1,2,3.P(X0)()3，P(X1)C()1()2，P(X2)C()2()1，P(X3)()3.因此 X 的分布列为X0123P1 272 94 98 2718独立

18、事件与互斥事件典例 (1)中国乒乓球队甲、乙两名运动员参加奥运乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率是，乙夺得冠军的概率是，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为_11 / 18(2)某射手每次射击击中目标的概率都是，这名射手射击 5 次，有 3次连续击中目标，另外两次未击中目标的概率是_错解展示解析 (1)设“甲夺得冠军”为事件 A， “乙夺得冠军”为事件 B，则 P(A)，P(B)，由 A、B 是相互独立事件，得所求概率为 P(A)P(B)P(AB).(2)所求概率 PC()3()2.答案 (1) (2)80 243现场纠错解析 (1)设“甲夺得冠军”为事件 A， “乙夺得冠军”为事件 B

19、，则P(A)，P(B).A、B 是互斥事件，P(AB)P(A)P(B).(2)设“第 i 次射击击中目标”为事件 Ai(i1,2,3,4,5)， “射手在5 次射击中，有 3 次连续击中目标，另外 2 次未击中目标”为事件A，则P(A)P(A1A2A345)P(1A2A3A45)P(12A3A4A5)32323.答案 (1) (2)8 81纠错心得 (1)搞清事件之间的关系，不要混淆“互斥”与“独立” (2)区分独立事件与 n 次独立重复试验.1把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件 A， “第二次出现正面”为事件 B，则 P(B|A)等于( )12 / 18A. B. C. D.1

20、 8答案 A解析 由古典概型知 P(A)，P(AB)，则由条件概率知 P(B|A).2(2016长春模拟)一袋中有 5 个白球，3 个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现 10 次时停止，设停止时共取了 X 次球，则 P(X12)等于( )AC()10()2 BC()9()2CC()9()2 DC()10()2答案 D解析 “X12”表示第 12 次取到红球，前 11 次有 9 次取到红球，2 次取到白球，因此 P(X12)C()9()2C()10()2.3已知 A，B 是两个相互独立事件，P(A)，P(B)分别表示它们发生的概率，则 1P(A)P(B)是下列哪个事

21、件的概率( )A事件 A，B 同时发生B事件 A，B 至少有一个发生C事件 A，B 至多有一个发生D事件 A，B 都不发生答案 C解析 P(A)P(B)是指 A，B 同时发生的概率，1P(A)P(B)是 A，B不同时发生的概率，即事件 A，B 至多有一个发生的概率4甲射击命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为( )A. B.2 313 / 18C. D.7 10答案 A解析 设“甲命中目标”为事件 A， “乙命中目标”为事件 B， “丙命中目标”为事件 C，则击中目标表示事件 A，B，C 中至少有一个发生又 P()P()P()P()

22、1P(A)1P(B)1P(C).故目标被击中的概率 P1P().5(2017南昌质检)设随机变量 X 服从二项分布 XB(5，)，则函数 f(x)x24xX 存在零点的概率是( )A. B. C. D.1 2答案 C解析 函数 f(x)x24xX 存在零点，164X0，X4.X 服从 XB(5，)，P(X4)1P(X5)1.6(2016安徽黄山屯溪一中月考)甲罐中有 5 个红球，2 个白球和3 个黑球，乙罐中有 4 个红球，3 个白球和 3 个黑球先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 A1，A2 和 A3 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以 B 表示由乙罐

23、取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是( )AP(B)2 5B事件 B 与事件 A1 相互独立CP(B|A1)5 11DP(B)的值不能确定，它与 A1，A2，A3 中哪一个发生都有关答案 C14 / 18解析 由题意 A1，A2，A3 是两两互斥的事件，P(A1)，P(A2)，P(A3)，P(B|A1)，由此知，C 正确；P(B|A2)，P(B|A3)，而 P(B)P(A1B)P(A2B)P(A3B)P(A1)P(B|A1)P(A2)P(B|A2)P(A3)P(B|A3).由此知 A，D 不正确故选 C.7设随机变量 XB(2，p)，随机变量 YB(3，p)，若 P(X1)，则 P(Y1

24、)_.答案 19 27解析 XB(2，p)，P(X1)1P(X0)1C(1p)2，解得 p.又 YB(3，p)，P(Y1)1P(Y0)1C(1p)3.8如图所示的电路有 a，b，c 三个开关，每个开关开或关的概率都是，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为_答案 1 8解析 灯泡甲亮满足的条件是 a，c 两个开关都开，b 开关必须断开，否则短路设“a 闭合”为事件 A， “b 闭合”为事件 B， “c 闭合”为事件 C，则甲灯亮应为事件 AC，且 A，B，C 之间彼此独立，且 P(A)P(B)P(C)，由独立事件概率公式知 P(AC)P(A)P()P(C).9(2017广州月考)设事件 A 在每次

25、试验中发生的概率相同，且在三次独立重复试验中，若事件 A 至少发生一次的概率为，则事件 A 恰15 / 18好发生一次的概率为_答案 9 64解析 设事件 A 发生的概率为 p，由题意知(1p)31，解得p，则事件 A 恰好发生一次的概率为 C()2.10(2016荆州质检)把一枚硬币任意抛掷三次，事件 A“至少一次出现反面” ，事件 B“恰有一次出现正面” ，则 P(B|A)_.答案 3 7解析 由题意知，P(AB)，P(A)1，所以 P(B|A).11现有 4 个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏

26、，掷出点数为 1 或 2 的人去参加甲游戏，掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏(1)求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率；(2)求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用 X，Y 分别表示这 4 个人中去参加甲，乙游戏的人数，记|XY|，求随机变量 的分布列解 (1)依题意知，这 4 个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为.设“这 4 个人中恰有 k 人去参加甲游戏”为事件Ak(k0,1,2,3,4)则 P(Ak)Ck4k.这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率为16 / 18P(A2)C22.(2)设“这 4 个人中去参加甲游戏

27、的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件 B，则 BA3A4.由于 A3 与 A4 互斥，故P(B)P(A3)P(A4)C3C4.所以，这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为.(3) 的所有可能取值为 0,2,4.由于 A1 与 A3 互斥，A0 与 A4 互斥，故P(0)P(A2)，P(2)P(A1)P(A3)，P(4)P(A0)P(A4).所以 的分布列是024P8 2740 8117 8112.(2016西安模拟)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1 000 元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：作物产量(kg)3005

28、00概率0.50.5作物市场价格(元/kg)610概率0.40.6(1)设 X 表示在这块地上种植 1 季此作物的利润，求 X 的分布列；(2)若在这块地上连续 3 季种植此作物，求这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2 000 元的概率解 (1)设 A 表示事件“作物产量为 300 kg” ，B 表示事件“作物市场17 / 18价格为 6 元/kg” ，由题设知 P(A)0.5，P(B)0.4，因为利润产量市场价格成本所以 X 所有可能的取值为500101 0004 000,50061 0002 000，300101 0002 000,30061 000800.P(X4 000)P()P

29、()(10.5)(10.4)0.3，P(X2 000)P()P(B)P(A)P()(10.5)0.40.5(10.4)0.5，P(X800)P(A)P(B)0.50.40.2，故 X 的分布列为X4 0002 000800P0.30.50.2(2)设 Ci 表示事件“第 i 季利润不少于 2 000 元”(i1,2,3)，由题意知 C1，C2，C3 相互独立，由(1)知，P(Ci)P(X4 000)P(X2 000)0.30.50.8(i1,2,3)，3 季的利润均不少于 2 000 元的概率为P(C1C2C3)P(C1)P(C2)P(C3)0.830.512；3 季中有 2 季的利润不少于

30、2 000 元的概率为P(1C2C3)P(C12C3)P(C1C23)30.82(10.8)0.384，所以，这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2 000 元的概率为0.5120.3840.896.*13.李明在 10 场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立)：场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数主场 12212客场 118818 / 18主场 21512客场 21312主场 3128客场 3217主场 4238客场 41815主场 52420客场 52512(1)从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过 0.6 的概率；(2)从上述比赛中随机选择一个

31、主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过 0.6，一场不超过 0.6 的概率解 (1)根据投篮统计数据，在 10 场比赛中，李明投篮命中率超过 0.6的场次有 5 场，分别是主场 2，主场 3，主场 5，客场 2，客场 4.所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过 0.6 的概率是0.5.(2)记事件 A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6” ，事件 B 为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过 0.6” ，事件 C 为“在随机选择的一个主场和一个客场比赛中，李明的投篮命中率一场超过 0.6，一场不超过 0.6” 则 CAB，A，B 独立根据投篮统计数据，P(A)0.6，P(B)0.4.P(C)P(A)P(B)0.60.60.40.40.52.所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过 0.6，一场不超过 0.6 的概率为 0.52.