重修中值定理.pptx

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1、注意注意:1若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.例如,又例如,(3)若f(a)=f(b)=0,则a,b为f(x)的两个零点。结论：可导函数的两个零点之间至少有一个导函数的一个零点第1页/共39页2、拉格朗日中值定理、拉格朗日中值定理几何解释:第2页/共39页拉格朗日中值公式注意注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.注：1拉格朗日中值公式推论推论2个重要结论第3页/共39页3、柯西、柯西(Cauchy)中值定理中值定理几何解释:第4页/共39页二典型题型解解1.验证定理的正确性验证定理的正确性这就验证了命题的正确性.第5页/共3

2、9页2根（零点）的判别1f(x)=x(x-1)(x-2)，不解方程，问f (x)有几个零点，位于哪个区间。解：显然f(x)处处可导，f（0）=f（1）=f（2），由罗尔定理知，而f (x)是二次多项式，仅有两个根，所以f (x)有且仅有两个零点，分别位于区间（0，1）、（1，2）内。第6页/共39页第7页/共39页（1）分析：存在（0，a）使（1）成立证明：令由罗尔定理，存在（0，a），使3中值等式的证明第8页/共39页第9页/共39页小结：用罗尔定理证明微分中值等式的一般方法（1）将欲证等式写成g()=0的形式（2）观察分析能否将g()或g()h()(h()应是一非零因子)看成某函数F(x)

3、在x=点的导数.（3）检验辅助函数F(x)在所论区间上是否满足罗尔定理的条件，如满足则定理得证。常 用 辅 助 函 数：xk f(x)，ex f(x)，f(x)eg(x)，f(x)g(x)(xx0)k f(x)，第10页/共39页（3）在a,b上连续,在(a,b)内可导，由拉格朗日中值定理得即设f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导,证明证明第11页/共39页（4）证证分析:结论可变形为第12页/共39页4证明恒等式（1 1）证证第13页/共39页5不等式的证明（1 1）证证由上式得第14页/共39页二洛必达法则1、洛必达法则定义定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再这种在一定条件下

4、通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.第15页/共39页2洛必达法则II第16页/共39页3洛必达法则中的条件是充分而非必要的.第17页/共39页例例1 1解解例例2 2解解二例子所以当x 0时,(1+x)1 x(为实数）特别地第18页/共39页例例3 3解解例例4 4解解第19页/共39页例例5 5解解注:可以先化简并且极限不为0的因子的极限可以先求出.另解另解第20页/共39页注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好但与其它求极限方法结合使用

5、，效果更好.例例6 6解解第21页/共39页例7设f(x)二阶可导，求解：由f(x)二阶可导，知f(x)连续，但不可再用洛必达法则，是否存在无法判断。下一步应利用二阶导数定义：第22页/共39页例例1 1解解关键关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型.步骤:例2第23页/共39页例例1 1解解步骤:解：原式=第24页/共39页解：第25页/共39页步骤:例例1 1解解第26页/共39页例例2 2解解例例3 3解解第27页/共39页一、总结1三个中值定理及应用罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理第28页/共39页二、练习题二、练习题1、求极限第29页/共39页1、第30页/共39页

6、第31页/共39页3、第32页/共39页解法一：原极限解法二：先求:原极限第33页/共39页2对函数f(x)=x2+2，F(x)=x31在1,2上验证柯西定理的正确性。解：易知f(x)、F(x)在1,2上连续,(1,2)内可导，这样就验证了柯西定理的正确性。满足柯西中值定理的条件。在(1，2)内不为零，第34页/共39页第35页/共39页4中值等式的证明第36页/共39页证明第37页/共39页(3)设f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，证明：存在一点,(a,b)使证证在a，b上由拉格朗日中值定理得在a，b上由柯西中值定理得由(1),(2)得第38页/共39页感谢您的观看！第39页/共39页