重极限与累次极限.pptx

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1、1二元函数极限的定义第1页/共24页2例例例例1 1 1 1 讨论函数等值图解解当点(x,y)沿任何直线趋于原点时，但是，当点(x,y)沿抛物线 y=k x2(0k1)趋于点(0,0)时，当 时的极限.总有有 第2页/共24页3例例例例2 2 2 2 设图像证证作极坐标变换 x=rcos,y=rsin.由于什么值都有|f(x,y)-0|,不论 取因此，对 第3页/共24页4例例例例3 3 3 3 讨论函数函数图像等值图分析：则有f(x,y)=f(rcos,rsin)当 =0,/2,3/2 时，上式的值为0；当 取任一给定的且不等于k/2(k=0,1,2,3)的值时，总有：作极坐标变换 x=rc

2、os,y=rsin(),当 时的极限.第4页/共24页5|f(rcos,rsin)|下面我们对例2和例3中的过程作一个比较.|f(rcos,rsin)|0,对任意 x U0(x0;),存在极限也存在，且则累次极限第14页/共24页15在(*)式中令yy0,这就说明了=A.证明证明点(x0,y0)记为P0,由定义，对 当 时，有取 (*)由条件，对 存在极限则当 时,第15页/共24页16定理定理定理定理16.616.616.616.6若 f(x,y)在点(x0,y0)存在重极限与累次极限则它们必相等.第16页/共24页17如果重极限和两个累次极限都存在，它们是否相等？如果两个累次极限存在但不相等，重极限可能存在吗？第17页/共24页18推论推论推论推论1 1 1 1若累次极限 和重极限都存在，则三者相等.推论推论推论推论2 2 2 2若累次极限 存在但不相等，则重极限第18页/共24页19例例例例6 6 6 6 函数在点(0,0)的两个累次极限分别为=1=-1与因此，根据上面的推论2，重极限不存在.第19页/共24页20作业：P129 2(2)(3)(5)(7),6,8第20页/共24页21第21页/共24页22y=x2f=1f=0Oxy第22页/共24页23第23页/共24页24感谢您的观看！第24页/共24页