自然数序数理论与基数理论.pptx

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1、第一讲 自然数的基数理论与序数理论、自然数的基数理论一、自然数的概念1、集合的对等自然数的基数理论以集合论的基本概念为基础。在集合论中，如果集合A和B的元素之间可以建立一一对应关系，就称集合A与B对等，记作AB集合的对等是一种等价关系，即对等关系满足（1）反身性：AA；（2）对称性：AB，则BA；（3）传递性：若AB，BC，那么AC定义1：如果一个集合能与自己的一个真子集对等，这样的集合叫无限集；否则叫做有限集第1页/共19页2、集合的基数定义2：如果两个集合A、B对等，我们称这两个集合具有相同的基数，集合A的基数记为若则规定集合A的基数不小于集合B的基数即定义3：有限集的基数叫做自然数3、冯

2、诺伊曼的自然数体系定义4：设表示空集，规定集合的基数为0，即其余的自然数按下列规则构造：第2页/共19页依照上述规则，全体自然数就构造出来：0，1，2，n，4、自然数的大小定义5：设A、B是两个集合，C是集合A的真子集，如果BC，则称按照这个定义，自然数有下列大小关系全体自然数作成的集合叫做自然数集，用N表示即第3页/共19页二、自然数的四则运算定义6：设A、B是两个有限集，并且(由所有不属于C但属于A的元素作成的集合）则称集合 的基数是集合A与B的基数的和，记为1、自然数的加减法定义7：设A、B是两个有限集，并且集合C是集合A中与B对等的子集，用符号表示集合C在集合A中的余集则称集合 的基数

3、是 与 的差，记为第4页/共19页定理1：自然数的加法满足结合律和交换律，即对于任意有（1）(a+b)+c=a+(b+c)（2）a+b=b+a（证明略）2、自然数的乘除法定义8：设A、B是两个有限集，由集合A、B作成的的基数笛卡尔直积叫做 与 的乘积，记为第5页/共19页定理2：自然数的乘法满足下列算律，即对于任意有结合律交换律乘法对加法的分配率证明略定义9：对于两个自然数a、b，如果存在自然数c使则称c是a除以b的商，记为第6页/共19页、自然数的序数理论一、自然数的皮亚诺公理定义10：设N是非空集合，集合N的元素间有一个基本关系叫“后继”（用符号“”表示），并且这个集合以及这个关系满足下面

4、五条公理:（1）（2）对任意（3）对任意有且仅有唯一的后继元即（4）除1外，N的任何一个元素只能是一个元素的后继，（5）（归纳公理）对于N的任何一个子集M，如果满足那么这个集合的元素叫做自然数。即第7页/共19页二、序数理论下的自然数四则运算定义11：设定义对于定义其中的叫做加数，叫做它们的和。1、加法这个定义实质上给出了加法的具体步骤。例1：求3+7解：按定义11 如此一步一步做下去，直到第8页/共19页定理3：自然数的加法满足结合律和交换律，即对于任意有（1）(a+b)+c=a+(b+c)（2）a+b=b+a（证明略）2、自然数的大小则称a小于b，记为也称b大于a，记为在这个定义下，任何两

5、个自然数都可以比较大小（顺序）。如果存在使定义12：对于也就是说，自然数的大小关系具有三歧性：第9页/共19页证明从略定理4：任意两个自然数a、b，下面三个关系成立且只成立一个：除了三歧性之外，这种顺序还有反对称性和传递性的特点；则若若（或），则（或）。在这种大小顺序下，自然数的加法满足加法单调律：定理5：设是三个自然数，（2）若那么（3）若那么那么（1）若第10页/共19页推论：设是四个自然数，并且定理6：设是三个自然数，（2）若那么（或），那么（或）。自然数的加法还满足加法消去律：那么（1）若（3）若那么使 成立的自然数c叫做a减b的差3、减法当时，必存在自然数c，使记为定理7：对于任意两

6、个自然数定义12对于任意两个自然数并且第11页/共19页4、乘法（2）设定义定义定义13：（1）设例2：求 解 跟基数理论一样，可以证明，自然数的乘法满足结合律、交换律、乘法对加法的分配率，限于时限，这里不再累述第12页/共19页、定义14：对于任意两个自然数如果存在自然数c，使那么c叫做a被b除得的商，记作5、除法三、自然数集的性质性质8：自然数集是全序集。这条性质是说，任何两个自然数都可以在运算的意义下比较大小。性质9：自然数集具有阿基米德性质（即对任何两个自然数a，b，一定存在自然数 c，使 性质10：自然数集具有离散性（即对任何两个相邻自然数 之间都不存在第三个自然数）。第13页/共1

7、9页性质11：(最小数原理)自然数集的任何非空子集都存在一个最小数。三、数学归纳法设 是一个与自然数有关的命题，那么，对一切不小于的自然数命题都成立。定理12：（第一归纳法原理）：（2）假设命题对自然数成立时，如果：（1）命题对某个自然数成立；对也成立。命题)(np第14页/共19页设 是一个与自然数有关的命题，定理13：（第二归纳法原理）：如果：（1）命题对某个自然数成立；假设命题成立，此时如果命题（2）对满足条件的一切自然数对也成立。那么，对一切不小于的自然数命题都成立。第15页/共19页定理14（第三归纳法）：设 是一个与自然数有关的命题，如果：（1）命题 对无穷多个自然数成立（2）假设

8、命题对自然数成立时，命题对也成立。那么，对一切自然数不小于n0的自然数n，命题 都成立 第三归纳法也叫柯西归纳法第16页/共19页证明：用反证法：如果命题不能对一切不小于n0的自然数都成立那么将所有使命题不成立的自然数作成一个集合M，那么这个集合必有一个最小数k，则比k小的数至多只有有限个，按条件（1），应该有rk,使命题在r时成立，反复应用条件（2），那么命题必然在这些自然数处成立，由于rk，故上面的自然数必有一个等于k，从而导致矛盾第17页/共19页思考与练习1、在自然数的基数理论中，证明自然数的乘法满足交换律2、利用最小数原理证明定理13.3、用数学归纳法证明：平面上的n条直线至多可以把平面分割成个互不相通的平面区域第18页/共19页感谢您的观看！第19页/共19页