高考数学大一轮复习第七章立体几何第六节空间向量及其运算教师用书理.doc

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1、- 1 -第六节第六节 空间向量及其运算空间向量及其运算2017 考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置；会推导空间两点间的距离公式；2.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；3.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；4.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直；5.理解直线的方向向量与平面的法向量；6.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系；7.能用向量方法证明有关直线和平面关系的一些定理。2016，全国卷，18,12 分(面面垂直、二

2、面角)2015，全国卷，18()，6分(求二面角)2015，全国卷，19()，6分(求线面角)2014，全国卷，18,12 分(平行、二面角问题)以解答题为主，主要考查空间直角坐标系的建立及空间向量坐标的运算能力及应用能力，有时也以探索论证题的形式出现。微知识 小题练自|主|排|查1空间向量及其有关概念(1)空间向量的有关概念空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量。相等向量：方向相同且模相等的向量。- 2 -共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量。共面向量：平行于同一个平面的向量。(2)空间向量中的有关定理共线向量定理：对空间任意两个向量a a，b b(b

3、b0)，a ab b存在唯一一个R R，使a ab b。共面向量定理：若两个向量a a、b b不共线，则向量p p与向量a a，b b共面存在唯一的有序实数对(x，y)，使p pxa ayb b。空间向量基本定理：如果三个向量a a、b b、c c不共面，那么对空间任一向量p p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z使得p pxa ayb bzc c。2两个向量的数量积(1)非零向量a a，b b的数量积a ab b|a a|b b|cosa a，b b 。(2)空间向量数量积的运算律结合律：(a a)b b(a ab b)；交换律：a ab bb ba a；分配律：a a(b bc c)a a

4、b ba ac c。3空间向量的坐标表示及其应用设a a(a1，a2，a3)，b b(b1，b2，b3)，向量表示坐标表示数量积a ab ba1b1a2b2a3b3共线a ab b(b b0)a1b1，a2b2，a3b3垂直a ab b0(a a0，b b0)a1b1a2b2a3b30模|a a|a2 1a2 2a2 3夹角a a，b b(a a0，b b0)cosa a，b ba1b1a2b2a3b3a2 1a2 2a2 3b2 1b2 2b2 34.向量法证明平行与垂直(1)两个重要向量直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有无数个。平面的法

5、向量直线l平面，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面的法向量。显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量。- 3 -(2)空间位置关系的向量表示位置关系向量表示l1l2n n1n n2n n1n n2直线l1，l2的方向向量分别为n n1，n n2l1l2n n1n n2n n1n n20ln nm mm mn n0直线l的方向向量为n n，平面的法向量为m mln nm mn nm mn nm mn nm m平面、的法向量分别为n n、m mn nm mn nm m0微点提醒 1用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理。如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的

6、一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线ab，只需证明向量a ab b(R R)即可。若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外。2用向量证明立体几何问题，写准点的坐标是关键，要充分利用中点、向量共线、向量相等来确定点的坐标。小|题|快|练一 、走进教材 1(选修 21P97A 组 T2改编)如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M，设a a，b b，c c，则下列向量中与相等的向量是( )ABADAA1C1MAa ab bc c1 21 2B.a ab bc c1 21 2- 4 -Ca ab bc c1 21 2Da a

7、b bc c1 21 2【解析】 C1MC1CCM ()AA11 2ACAA11 2ABADa ab bc c。故选 C。1 2AB1 2ADAA11 21 2【答案】 C2(选修 21P111练习 T3改编)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是_。【解析】 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设DA2，则A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，N(2,1,2)，所以(2,0,1)，AM(1,0,2)，2020，所以AMON。ONA

8、MON【答案】 垂直二、双基查验1(2016沈阳模拟)O为空间任意一点，若，则A，B，C，P四点( )OP3 4OA1 8OB1 8OCA一定不共面 B一定共面C不一定共面 D无法判断【解析】 由 1 知，A，B，C，P四点共面。故选 B。3 41 81 8【答案】 B- 5 -2(2017赤峰模拟)已知a a(3,2,5)，b b(1，x，1)，且a ab b2，则x的值为( )A3 B4C5 D6【解析】 因为a a(3,2,5)，b b(1，x，1)，所以a ab b32x52，解得x5。故选 C。【答案】 C3(2016重庆模拟)若A，B，C是平面内的三点，(0，2，19 8)(1，1

9、，5 8)(2，1，5 8)设平面的一个法向量a a(x，y，z)，则xyz( )A23(4) B111C 11 D3241 2【解析】 ，(3,2,0)，AB(1，3，7 4)BC因为平面的一个法向量为a a(x，y，z)，所以Error!取y3，则x2，z4。所以xyz23(4)。故选 A。【答案】 A4若直线l的方向向量为a a(1,0,2)，平面的法向量为n n(2,0，4)，则直线l与平面的位置关系为_。【解析】 a an n，l。1 2【答案】 l5已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果(2，1，4)，AB(4,2,0)，(1,2，1)。对于结论：APAB；APAD；是

10、平面ABCD的法ADAPAP向量；。其中正确的是_。APBD【解析】 0，0，ABAPADAPABAP，ADAP，则正确。又与不平行，ABAD是平面ABCD的法向量，则正确。AP- 6 -(2,3,4)，(1,2，1)，BDADABAP与不平行，故错误。BDAP【答案】 微考点 大课堂考点一 空间向量的线性运算【典例 1】 如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设a a，b b，c c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a a，b b，c c表示以下各向AA1ABAD量：(1)；(2)；(3)。APA1NMPNC1【解析】 (1)P是C1D1的中点，a aAPAA1

11、A1D1D1PAD1 2D1C1a ac ca ac cb b。1 2AB1 2(2)N是BC的中点，a ab bA1NA1AABBN1 2BCa ab ba ab bc c。1 2AD1 2- 7 -(3)M是AA1的中点，MPMAAP1 2A1AAPa aa ab bc c。1 2(a ac c1 2b b)1 21 2又NC1NCCC11 2BCAA1c ca a，1 2ADAA11 2MPNC1(1 2a a1 2b bc c) (a a1 2c c)a ab bc c。3 21 23 2【答案】 (1)a ac cb b (2)a ab bc c1 21 2(3)a ab bc c3

12、 21 23 2反思归纳 确定要表示的向量的终点是否是三角形边的中点，若是，利用平行四边形法则即可。若不是，利用封闭图形，寻找到所要表示的向量所对应的线段为其一边的一个封闭图形，利用这一图形中欲求向量与已知向量所在线段的联系，进行相应的向量运算是处理此类问题的基本技巧。一般地，可以找到的封闭图形不是唯一的，但无论哪一种途径结果应是唯一的。【变式训练】 在三棱锥OABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是ABC的重心，用基向量， ，表示， 。OAOBOCMGOG【解析】 MGMAAG- 8 -1 2OA2 3AN ()1 2OA2 3ONOA ()1 2OA2 31 2OBOCOA1 6OA1

13、 3OB1 3OCOGOMMG1 2OA1 6OA1 3OB1 3OC。1 3OA1 3OB1 3OC【答案】 ，MG1 6OA1 3OB1 3OCOG1 3OA1 3OB1 3OC考点二 共线、共面定理的应用【典例 2】 如图所示，已知斜三棱柱ABCA1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足k，k(0k1)。AMAC1BNBC(1)向量是否与向量，共面？MNABAA1(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行？【解析】 (1)k，k，AMAC1BNBCMNMAABBN- 9 -kkC1AABBCk()C1ABCABk()C1AB1C1ABkkB1AABABAB1k()ABAA1AB(1

14、k)k，ABAA1由共面向量定理知向量与向量，共面。MNABAA1(2)当k0 时，点M、A重合，点N、B重合，MN在平面ABB1A1内，当 0k1 时，MN不在平面ABB1A1内，又由(1)知与、共面，MNABAA1所以MN平面ABB1A1。【答案】 (1)共面 (2)平行反思归纳 三点(P，A，B)共线空间四点(M，P，A，B)共面PAPBxyMPMAMB对空间任一点O，tOPOAAB对空间任一点O，xyOPOMMAMB对空间任一点O，x(1x)OPOAOB对空间任一点O，xy(1xy)OPOMOAOB【变式训练】 (2017抚州模拟)如图在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是

15、平行四边形，E，F，G分别是A1D1，D1D，D1C1的中点。- 10 -(1)试用向量， ，表示；ABADAA1AG(2)用向量方法证明平面EFG平面AB1C。【解析】 设a a，b b，c c，ABADAA1(1)由图得AGAA1A1D1D1Gc cb ba ab bc c。1 2DC1 21 2ABADAA1(2)证明：由题图得：a ab b，ACABBCb ba a，EGED1D1G1 21 21 2AC与无公共点。EGACEGAC，EG平面AB1C。又a ac c，AB1ABBB1c ca a，FGFD1D1G1 21 21 2AB1与无公共点，FGAB1FGAB1，FG平面AB1C

16、，又FGEGG，平面EFG平面AB1C。【答案】 (1) (2)见解析AG1 2ABADAA1- 11 -考点三 空间向量数量积的应用【典例 3】 如图所示，在平行四边形ABCD中，ABACCD1，ACD90，把ADC沿对角线AC折起，使AB与CD成 60角，求BD的长。【解析】 AB与CD成 60角， 60或 120。BACD又ABACCD1，ACCD，ACAB，| BDBD2 BAACCD2 BA2AC2CD22BAAC2ACCD2BACD 111002 1 1 cosBA，CD ，32cosBA，CD |2 或。BD2BD的长为 2 或。2【答案】 2 或2反思归纳 1.利用向量的数量积

17、可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置。2利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角。3可以通过|a a|，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解。a a2【变式训练】 已知空间四边形OABC各边及对角线长AC，OB都相等，E，F分别为AB，OC的中点，求异面直线OE与BF所成角的余弦值。【解析】 如图所示，设a a，b b，c c，OAOBOC- 12 -且设各棱长及对角线长均为 1，故|a a|b b|c c|1，a ab ba ac cb bc c ，且|。1 2OEBF32 ()()OEBF1 2OAOBOFOB(1 2a a1 2b

18、b) (1 2c cb b)a ac cb bc ca ab b |b b|2 ，1 41 41 21 21 2cos， 。OEBFOEBF|OE|BF|2 3异面直线所成角的范围为，(0， 2异面直线OE与BF所成角的余弦值为 。2 3【答案】 2 3考点四 利用空间向量解决平行与垂直问题【典例 4】 (2016昆明模拟)如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，E为CD的中点。- 13 -(1)求证：B1EAD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由。【解析】 以A为原点， ， ，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建

19、立如图所ABADAA1示的空间直角坐标系。设ABa。(1)证明：A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E，B1(a,0,1)，(a 2，1，0)故(0,1,1)，AD1，B1E(a 2，1，1)因为 011(1)10，B1EAD1a 2所以B1EAD1。(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)，- 14 -使得DP平面B1AE，此时(0，1，z0)，DP再设平面B1AE的一个法向量为n n(x，y，z)，(a,0,1)，。AB1AE(a 2，1，0)因为n n平面B1AE，所以n n，n n，AB1AE得Error!取x1，则y ，za，得平面B1AE的一个法向量n

20、n。a 2(1，a 2，a)要使DP平面B1AE，只要n n，DP有 az00，a 2解得z0 。1 2又DP平面B1AE，所以存在点P，满足DP平面B1AE，此时AP 。1 2【答案】 (1)见解析 (2)存在点P，AP1 2反思归纳 向量法解决与垂直、平行有关的探索性问题的思维流程1根据题设条件中的垂直关系，建立适当的空间直角坐标系，将相关点、相关向量用坐标表示。2假设所求的点或参数存在，并用相关参数表示相关点，根据线、面满足的垂直、平行关系，构建方程(组)求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在。【变式训练】 (2016怀化模拟)如图是某直三棱柱被削去上底后的直观图与

21、三视图的侧视图、俯视图，在直观图中，点M是BD的中点，AECD，侧视图是直角梯形，俯视图是1 2等腰直角三角形，有关数据如图所示。- 15 -(1)求证：EM平面ABC；(2)求出该几何体的体积；(3)试问在棱CD上是否存在一点N，使MN平面BDE？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由。【解析】 (1)证明：因为M为DB的中点，取BC中点G，连接MG，AG，所以MGDC，且MGDC。1 2所以MGAE且MGAE，所以四边形AGME为平行四边形，所以EMAG。又AG平面ABC，ME平面ABC，所以ME平面ABC。(2)由题意知，EA平面ABC，DC平面ABC，AEDC，AE2，DC4，A

22、BAC，且ABAC2，因为EA平面ABC，所以EAAB。又ABAC，EAACA，所以AB平面ACDE，所以四棱锥BACDE的高hAB2，梯形ACDE的面积S6，所以VBACDE Sh4，即所求几何体的体积为 4。1 3(3)以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(2,0,0)，D(2,0,4)，E(0,0,2)，M(1,1,2)，(2,2，4)，(2,0，2)，(0,0，4)，DBDEDC(1,1，2)。假设在DC上存在一点N满足题意，设(0,0，4)，DMDNDC0,1，则(1,1，2)(0,0，4)(1,1，24)，所以Error!即NMDMDN

23、Error!- 16 -解得 0,1。所以棱DC上存在一点N，3 4满足DNDC时，NM平面BDE。3 4【答案】 (1)见解析 (2)4(3)存在一点N，DNDC3 4微考场 新提升1在空间四边形ABCD中，a a，b b，c c，则等于( )ABBCADCDAa ab bc c Bc ca ab bCa ab bc c Db ba ac c解析 如图所示，()b bc ca ac ca ab b。故选 B。CDCBBDCBADAB- 17 -答案 B2已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且使MG2GN，则用向量， ，表示向量正确的

24、是( )OAOBOCOGA.OGOA2 3OB2 3OCB.OG1 2OA2 3OB2 3OCC.OG1 6OA1 3OB1 3OCD.OG1 6OA1 3OB2 3OC解析 OGOMMG1 2OA2 3MN1 2OA- 18 -()。2 3ONOM1 2OA2 3(OBOC2OA2)1 6OA1 3OB1 3OC故选 C。答案 C3在空间四边形ABCD中，( )ABCDACDBADBCA1 B0C1 D不确定解析 如图所示，令a a，b b，c c，ABACAD则a a(c cb b)b b(a ac c)c c(b ba a)ABCDACDBADBCa ac ca ab bb ba ab

25、bc cc cb bc ca a0。故选 B。答案 B4已知点A(1,2,1)，B(1,3,4)，D(1,1,1)，若2，则|的值是_。APPBPD解析 设P(x，y，z)，(x1，y2，z1)。AP(1x,3y,4z)，由2得点P坐标为，又D(1,1,1)，PBAPPB(1 3，8 3，3)|。PD773答案 7735如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，E，F分别是棱BC，DD1上的点，如果- 19 -B1E平面ABF，则CE与DF的和为_。解析 以D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设CEx，DFy，则易知E(x,1,1)，B1(1,1,0)，所以(x1,0,1)，又F(0,0,1y)，B1EB(1,1,1)，所以(1,1，y)，由于ABB1E，故若B1E平面ABF，只FB需(1,1，y)(x1,0,1)0xy1。FBB1E答案 1