统计学第7讲参数估计.ppt

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1、第第第第7 7章章章章 参数估计参数估计参数估计参数估计补充：大数定律补充：大数定律 1.1.独立同分布大数定律独立同分布大数定律独立同分布大数定律独立同分布大数定律 2.2.贝努里大数定律贝努里大数定律贝努里大数定律贝努里大数定律 独立同分布大数定律独立同分布大数定律o大数定律是阐述大量同类随机现象的平均结果的稳定性的一系列定理的总称。o设X1,X2,是独立同分布的随机变量序列，且存在有限的数学期望E(Xi)和方差D(Xi)2（i=1,2,），则对任意小的正数,有：大数定律（续）大数定律（续）o该大数定律表明：当n充分大时，相互独立且服从同一分布的一系列随机变量取值的算术平均数，与其数学期望

2、的偏差小于任意小的正数概率接近于1。o该定理给出了平均值具有稳定性的科学描平均值具有稳定性的科学描述，从而为使用样本均值去估计总体均值述，从而为使用样本均值去估计总体均值（数学期望）提供了理论依据。贝努里大数定律贝努里大数定律o设m是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是每次试验中事件A发生的概率，则对任意的 0，有：o它表明，当重复试验次数n充分大时，事件A发生的频率m/n依概率收敛于每次事件A发生的概率n阐明了频率具有稳定性，提供了用频率估计概频率具有稳定性，提供了用频率估计概率的理论依据率的理论依据。案例一：案例一：参数估计在企业市场规划中应用参数估计在企业市场规划中应用例 张先生是台

3、湾某集团的企划部经理，在今年的规划中，集团准备在某地新建一家新的零售商店。张先生目前正在做这方面的准备工作。其中有一项便是进行市场调查。在众多考虑因素中，经过该地行人数量是要考虑的一个很重要的方面。张先生委托他人进行了两个星期的观察，得到每天经过该地人数如下：1544，1468，1399，1759，1526，1212，1256，1456，1553，1259，1469，1366，1197，1178将此数据作为样本，商店开张后经过该地的人数作为总体。在95%的置信度下，能否知道每天经过此地的人数？案例二：案例二：参数估计在品牌认知度中应用参数估计在品牌认知度中应用例 某食品厂准备上市一种新产品，并

4、配合以相应的广告宣传，企业想通过调查孩子们对其品牌的认知情况来评估广告的效用，以制定下一步的市场推广计划。他们在该地区随机抽取350个小孩作访问对象，进行儿童消费者行为与消费习惯调查，其中有一个问句是“你听说过这个牌子吗？”，在350个孩子中，有112个小孩的回答是“听说过”。根据这个问句，可以分析这一消费群体对该品牌的认知情况。食品厂市场部经理要求，根据这些样本，给定95的置信度，估计该地区孩子认知该品牌的比例。第第7章章 参数估计参数估计7.1 参数估计的一般问题参数估计的一般问题 7.2 一个总体参数的区间估计一个总体参数的区间估计 7.3 两个总体参数的区间估计两个总体参数的区间估计

5、7.4 样本容量的确定样本容量的确定7.1 参数估计的一般问题参数估计的一般问题7.1.1 估计量和估计值估计量和估计值7.1.2 点估计和区间估计点估计和区间估计7.1.3 评价估计量的标准评价估计量的标准7.1.1 估计量和估计值估计量和估计值1.估计量：估计量：用于估计总体参数的随机变量n如样本均值，样本比例、样本方差等n例如:样本均值x就是总体均值 的一个估计量2.估估计计值值：估计总体参数时计算出来的统计量的具体值n如果样本均值 x=80，则80就是的估计值7.1.2 点估计和区间估计点估计和区间估计点估计点估计 用样本的估计量直接直接作为总体参数的估计值例如：用样本均值直接作为总体

6、均值的估计例如：用样本方差直接作为总体方差的估计例:某企业工人日产量进行抽样调查,样本人均日产量为35件,样本优质率为85%.按点估计,可推断该企业总体人均日产量为35件,总体优质品率为85%.优点：简单、具体明确 缺点：没有给出估计值接近总体参数的程度，也无法说明估计结果有多大的把握程度。(一)常用的点估计量1.总体均值点估计量（样本均值）2.总体方差与标准差点估计量（样本方差与标准差）3.总体比率（成数）点估计量（样本成数）（二）点估计的方法（1）极大似然估计（最大似然法）(2)矩法o矩就是随机变量的各阶数值特征。矩估计法的具体做法如下：区间估计区间估计1.区间估计：根据样本统计量的抽样分

7、布对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量2.实质是在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，不仅可说明样本统计量与总体参数的接近程度，而且能说明估计结果的把握程度。包括置信区间和置信水平两个要素。例如：某班级平均分数在7585之间，置信水平是95%样本统计量样本统计量样本统计量样本统计量 (点估计点估计点估计点估计)置信区间置信区间置信区间置信区间置信下限置信下限置信下限置信下限置信上限置信上限置信上限置信上限置信区间和置信水平置信区间和置信水平 1.由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间。最小值称为置信下限，最大值称为置信上限。2.，称为总体参数的置信区间。(1

8、-(1-称为置信水平，表示如果将构造置信区间的步骤将构造置信区间的步骤重复多次重复多次，置信区间中包含总体参数置信区间中包含总体参数 的次数所占的比率。的次数所占的比率。n 为显著性水平，是总体参数未在区间内的比例，也称风险值n 取值大小由实际问题确定。常用的 为0.01，0.05，0.10，相应的置信水平值有 99%,95%,90%1.由于 作为总体参数，是固定不变的常数，它或在给出的区间，内，或在该区间外，概率只能是0或1，不可能是1-，怎样解释这个概率的含义？2.用，去框，估计结论或者正确或者错误，但是如果多次重复估计的话，则平均100次估计中，只有100 次估计错误，有100（1-）估

9、计正确。3.1-表示将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含总体参数真值的次数所占的比例。如何理解如何理解1-？7.1.3 评价估计量的标准评价估计量的标准1.参数估计中，用来估计总体参数的统计量很多，到底选择哪个统计量作为总体参数的估计量呢？这涉及估计量的评价标准。2.评价标准：无偏性，有效性，一致性无偏性无偏性 估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数，也就是样本统计量的分布以总体参数真值为中心。P P()B BA A无偏无偏无偏无偏无偏无偏有偏有偏有偏有偏有偏有偏有效性有效性对同一总体参数的两个无偏点估计量，更小标准差的估计量更有效，如样本平均数的方差比样本中位数的方差要小，所以

10、作为估计量，样本平均数更有效 BA 的抽样分布的抽样分布 的抽样分布的抽样分布P P()一致性一致性 随着样本容量的增大，估计量的值越来越接近被估计的总体参数。一个大样本给出的估计量比一个小样本给出的估计量更接近总体参数。（大数定理）AB较小的样本容量较小的样本容量较小的样本容量较小的样本容量较大的样本容量较大的样本容量较大的样本容量较大的样本容量P P()第第7章章 参数估计参数估计 7.1 参数估计的一般问题参数估计的一般问题7.2 一个总体参数的区间估计一个总体参数的区间估计 7.3 两个总体参数的区间估计两个总体参数的区间估计 7.4 样本容量的确定样本容量的确定总体参数总体参数总体参

11、数总体参数 2已知已知 2未知未知大样本小样本，正态总体正态分布正态分布正态分布正态分布t 分布分布7.2 一个总体参数的区间估计一个总体参数的区间估计大样本 小样本正态总体总体均值的区间估计总体均值的区间估计(已知：正态总体，或非正态总体、大样本)1.假定条件n方差()已知n总体服从正态分布n总体如果不是正态分布，可由正态分布来近似(n 30)2.使用标准正态分布统计量3.总体均值 在1-置信水平下的置信区间为公式推导公式推导(例题分析)【例例】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产品质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了

12、25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布，且总体标准差为10g。试估计该批产品平均重量的置信区间，置信水平为95%。25袋食品的重量袋食品的重量 112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.5 95.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.6 95.4 97.8108.6105.0136.8102.8101.5 98.4 93.3例题分析解解解解：已知N(，102)，n=25,1-=95%，z/2=1.96。根据样本数据计算得：总体均值在1-置信水平下的置信区间为在置信水平95%下，该食品平均重量的置信区间为

13、101.44g109.28g总体均值的区间估计（未知、大样本）1.实际计算时，所研究总体的标准差通常未知，可以用以往调查的总体标准差来代替，大样本的时候也可以用样本标准差来代替。2.使用正态分布统计量 z 3.总体均值 在1-置信水平下的置信区间为(例题分析)【例例】一家保险公司收集到由36投保个人组成的随机样本，得到每个投保人的年龄(周岁)数据如下表。试建立投保人年龄90%的置信区间 36个投保人年龄的数据个投保人年龄的数据 233539273644364246433133425345544724342839364440394938344850343945484532(例题分析)解解解解：已

14、已知知n n=36,=36,1-1-=90%90%，z z/2/2=1.645=1.645。根根据据样样本本数数据计算得：据计算得：，总体均值总体均值 在在1-1-置信水平下的置信区间为置信水平下的置信区间为在在置置信信水水平平90%90%下下，投投保保人人平平均均年年龄龄的的置置信信区区间间为为37.3737.37岁岁41.6341.63岁岁总体均值的区间估计总体均值的区间估计（未知、正态总体、小样本）1.假定条件n若总体服从正态分布，但方差()未知则，样本均值经过标准化以后的随机变量服从自由度为（n-1）的t 分布。2.t 分布统计量，用样本标准差s代替总体标准差3.3.总体均值总体均值

15、在在1-1-置信水平下的置信水平下的置信区间为置信区间为(例题分析)【例例例例】已已知知某某种种灯灯泡泡的的寿寿命命服服从从正正态态分分布布，现现从从一一批批灯灯泡泡中中随随机机抽抽取取1616只只，测测得得其其使使用用寿寿命命(小小时时)如如下。建立该批灯泡平均使用寿命下。建立该批灯泡平均使用寿命95%95%的置信区间的置信区间16灯泡使用寿命的数据灯泡使用寿命的数据 1510152014801500145014801510152014801490153015101460146014701470(例题分析)解：解：解：解：已知已知 N N(，2 2)，n n=16,1-=16,1-=95%=

16、95%，t t/2/2=2.131=2.131 根据样本数据计算得：根据样本数据计算得：，总体均值总体均值 在在1-1-置信水平下的置信区间为置信水平下的置信区间为该该种种灯灯泡泡平平均均使使用用寿寿命命的的置置信信区区间间为为1476.81476.8小小时时1503.21503.2小时小时总体平均数的置信区间总体平均数的置信区间表表达达式式总体比率（成数）的区间估计总体比率（成数）的区间估计1.假定条件n总体服从二项分布n样本n足够大，一般大于30n可以由正态分布来近似2.使用正态分布统计量 z3.3.3.总体比例总体比例总体比例 P P P 在在在1-1-1-置信水平下置信水平下置信水平下

17、的置信区间为的置信区间为的置信区间为(例题分析)【例例例例】某某城城市市想想要要估估计计下下岗岗职职工工中中女女性性所所占占的的比比例例，随随机机地地抽抽取取了了100100名名下下岗岗职职工工，其其中中6565人人为为女女性性职职工工。试试以以95%95%的的置置信信水水平平估估计计该该城城市市下下岗岗职职工工中中女女性性比比例例的置信区间的置信区间解解解解：已已知知 n n=100=100，p p65%65%,1 1-=95%95%，z z/2/2=1.96=1.96该该城城市市下下岗岗职职工工中中女女性性比比例例的的置置信信区间为区间为55.65%74.35%55.65%74.35%总体

18、方差的区间估计总体方差的区间估计1.假定条件n总体服从正态分布2.使用 分布统计量3.3.3.总体方差总体方差总体方差 在在在1-1-1-置信水平下置信水平下置信水平下的置信区间为的置信区间为的置信区间为(例题分析)【例例】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产品质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布，且总体标准差为10g。试以95%的置信水平建立该种食品重量方差的知心区间。25袋食品的重量袋食品的重量 112.5101.0103.0102.0100.5102.6

19、107.5 95.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.6 95.4 97.8108.6105.0136.8102.8101.5 98.4 93.3解：区间估计的总结区间估计的总结1.总体均值的区间估计总体均值的区间估计 已知：正态总体，或非正态总体、大样本 未知：正态总体，或非正态总体、大样本2.总体比例的区间估计总体比例的区间估计3.总体方差的区间估计总体方差的区间估计第第7章章 参数估计参数估计 7.1 参数估计的一般问题参数估计的一般问题 7.2 一个总体参数的区间估计一个总体参数的区间估计7.3 两个总体参数的区间估计两个总体参数的区间估计

20、7.4 样本容量的确定样本容量的确定 7.3 两个总体参数的区间估计两个总体参数的区间估计7.3.1 两个总体均值之差的区间估计o7.3.2 两个总体比率之差的区间估计o7.3.3 两个总体方差比的区间估计7.3.1 两个总体均值之差的区间估计1.独立样本独立样本（1）大样本的估计方法）大样本的估计方法假定条件假定条件：两总体为正态分布或两个大样本：两总体为正态分布或两个大样本两个总体的方差两个总体的方差两个总体的方差两个总体的方差 和和和和 已知时已知时已知时已知时两总体均值之差两总体均值之差两总体均值之差两总体均值之差 在在在在1-1-置信水平下置信水平下置信水平下置信水平下的置信区间为的

21、置信区间为的置信区间为的置信区间为两个总体的方差两个总体的方差两个总体的方差两个总体的方差 和和和和 未知时未知时未知时未知时两总体均值之差两总体均值之差两总体均值之差两总体均值之差 在在在在1-1-置信水平下置信水平下置信水平下置信水平下的置信区间为的置信区间为的置信区间为的置信区间为两个样本有关数据例：某地区教育委员会想估计两所中学的学生高考时的英语平均分数之差，为此在两所中学独立地抽取两个随机样本，有关数据如表所示。建立两所中学高考英语平均分数之差在95%的置信区间。中学一中学二7.3.1 两个总体均值之差的区间估计（2）小样本的估计方法）小样本的估计方法假定条件假定条件：两总体均为正态

22、分布：两总体均为正态分布 两个随机样本独立的分别抽自两总体两个随机样本独立的分别抽自两总体两个总体的方差两个总体的方差两个总体的方差两个总体的方差 和和和和 已知时无论样本大小已知时无论样本大小已知时无论样本大小已知时无论样本大小两总体均值之差两总体均值之差两总体均值之差两总体均值之差 在在在在1-1-置信水平下置信水平下置信水平下置信水平下的置信区间为的置信区间为的置信区间为的置信区间为两个总体的方差两个总体的方差两个总体的方差两个总体的方差 和和和和 未知但相等时未知但相等时未知但相等时未知但相等时两总体均值之差两总体均值之差两总体均值之差两总体均值之差 在在在在1-1-置信水平下置信水平

23、下置信水平下置信水平下的置信区间为的置信区间为的置信区间为的置信区间为 两种方法组装产品所需时间例.为估计两种方法组装产品所需时间的差异，分别对两种不同的组装方法各随机安排12个工人，每个工人组装一件产品所需的时间（分）如下表。假定两种方法组装产品的时间服从正态分布，且方差相等。试以95%的置信水平建立两种方法组装产品所需平均时间差值的置信区间。方法一方法二28.327.630.122.229.031.037.633.832.120.028.830.236.031.737.226.538.532.034.431.228.033.430.026.5两个总体的方差两个总体的方差两个总体的方差两个总

24、体的方差 和和和和 未知且不相等时未知且不相等时未知且不相等时未知且不相等时条件：两总体都是正态总体，而且条件：两总体都是正态总体，而且条件：两总体都是正态总体，而且条件：两总体都是正态总体，而且两总体均值之差两总体均值之差两总体均值之差两总体均值之差 在在在在1-1-置信水平下置信水平下置信水平下置信水平下的置信区间为的置信区间为的置信区间为的置信区间为（4 4）两个总体的方差）两个总体的方差）两个总体的方差）两个总体的方差 和和和和 未知且不相等时未知且不相等时未知且不相等时未知且不相等时条件：两总体都是正态总体，而且条件：两总体都是正态总体，而且条件：两总体都是正态总体，而且条件：两总体

25、都是正态总体，而且两总体均值之差两总体均值之差两总体均值之差两总体均值之差 在在在在1-1-置信水平下置信水平下置信水平下置信水平下的置信区间为的置信区间为的置信区间为的置信区间为 两种方法组装产品所需时间例.为估计两种方法组装产品所需时间的差异，对方法一随机安排12个工人，对方法二随机安排8个工人，组装一件产品所需的时间（分）如下表。假定两种方法组装产品的时间服从正态分布，方差不不相等。试以95%的置信水平建立两种方法组装产品所需平均时间差值的置信区间。方法一方法二28.327.630.122.229.031.037.633.832.120.028.830.236.031.737.226.5

26、38.534.428.030.07.3.1 两个总体均值之差的区间估计2.匹配样本（1）大样本的估计方法7.3.1 两个总体均值之差的区间估计2.匹配样本（2）小样本的估计方法 10名学生两套试卷的得分例.由10名学生组成一个随机样本，让他们分别采用A和B两套试卷进行测定，结果如表所示。试以95%的置信水平建立两种试卷平均分数差值的置信区间。试卷A 试卷B差值d17871726344193726111489845591741764951-27685516876601698577810553916 7.3 两个总体参数的区间估计两个总体参数的区间估计o7.3.1 两个总体均值之差的区间估计7.3

27、.2 两个总体比率之差的区间估计o7.3.3 两个总体方差比的区间估计7.3.2 两个总体比率之差的区间估计o独立样本：两总体比率之差两总体比率之差 在在1-1-置信水平下置信水平下的置信区间为的置信区间为【例例】在在某某个个电电视视节节目目的的收收视视率率的的调调查查中中，在在农农村村随随机机调调查查了了400人人，有有32%的的人人收收看看了了该该节节目目；在在城城市市随随机机调调查查了了500人人，有有45%的的人人收收看看了了该该节节目目。试以95%的置信水平估计城市与农村收视率差别的置信区间。7.3 两个总体参数的区间估计两个总体参数的区间估计o7.3.1 两个总体均值之差的区间估计

28、o7.3.2 两个总体比率之差的区间估计7.3.3 两个总体方差比的区间估计7.3.3 两个总体方差比的区间估计两个总体都为正态分布，由抽样分布知两个总体都为正态分布，由抽样分布知两总体方差之比两总体方差之比 在在1-1-置信水平下置信水平下的置信区间为的置信区间为参数估计方法小结第第7章章 参数估计参数估计 7.1 参数估计的一般问题参数估计的一般问题 7.2 一个总体参数的区间估计一个总体参数的区间估计 7.3 两个总体参数的区间估计两个总体参数的区间估计7.4 样本容量的确定样本容量的确定7.4 样本容量的确定样本容量的确定7.4.1确定样本容量的意义确定样本容量的意义7.4.2估计总体

29、均值时样本容量的确定估计总体均值时样本容量的确定7.4.3估计总体比率时样本容量的确定估计总体比率时样本容量的确定7.4.4必要样本容量的影响因素必要样本容量的影响因素样本容量样本容量调查误差调查误差调查费用调查费用小样本容量小样本容量节省费用但节省费用但调查误差大调查误差大大样本容量大样本容量调查精度高调查精度高但费用较大但费用较大找出在规定误差找出在规定误差范围内的最小样范围内的最小样本容量本容量7.4.1 确定样本容量的意义确定样本容量的意义找出在限定费用找出在限定费用范围内的最大样范围内的最大样本容量本容量确确定定方方法法7.4.2 估计总体均值时样本容量的确定估计总体均值时样本容量的

30、确定重复抽样条件下：重复抽样条件下：通常的做法是先确通常的做法是先确定置信度，然后限定置信度，然后限定抽样极限误差。定抽样极限误差。或或 S S通常未知。一般通常未知。一般按以下方法确定其估计按以下方法确定其估计值：值：过去的经验数据；过去的经验数据；试验调查样本的试验调查样本的S S。计算结果通常向上进位计算结果通常向上进位不重复抽样条件下：不重复抽样条件下：确确定定方方法法7.4.2 估计总体均值时样本容量的确定估计总体均值时样本容量的确定【例【例A A】某食品厂要检验本月生产】某食品厂要检验本月生产的的1000010000袋某产品的重量，根据上袋某产品的重量，根据上月资料，这种产品每袋重

31、量的标准月资料，这种产品每袋重量的标准差为差为2525克。要求在克。要求在95.4595.45的概率的概率保证程度下，平均每袋重量的误差保证程度下，平均每袋重量的误差范围不超过范围不超过5 5克，应抽查多少袋产克，应抽查多少袋产品？品？例例 题题解：解：(例题分析)【例例】拥有工商管理学士学位的大学毕业生年薪的标准差大约为2000元，假定想要估计年薪95%的置信区间，希望抽样极限误差为400元，应抽取多大的样本容量？(例题分析)解解解解:已知已知 =2000=2000，=400,=400,1-1-=95%=95%，z z/2/2=1.96=1.96 即应抽取即应抽取9797人作为样本人作为样本

32、 确确定定方方法法重复抽样条件下：重复抽样条件下：通常的做法是先确通常的做法是先确定置信度，然后限定置信度，然后限定抽样极限误差。定抽样极限误差。计算结果通常向上进位计算结果通常向上进位 通常未知。一般按以下通常未知。一般按以下方法确定其估计值：方法确定其估计值：过过去的经验数据；去的经验数据；试验调试验调查样本的查样本的 ；取方差的取方差的最大值最大值0.250.25（此时（此时p=0.5p=0.5）。）。7.4.3 估计总体比率时样本容量的确定估计总体比率时样本容量的确定不重复抽样条件下：不重复抽样条件下：确确定定方方法法7.4.3 估计总体比率时样本容量的确定估计总体比率时样本容量的确定

33、【例【例B】某企业对一批总数为某企业对一批总数为5000件的件的产品进行质量检查，过去几次同类调查产品进行质量检查，过去几次同类调查所得的产品合格率为所得的产品合格率为93、95、96，为了使合格率的允许误差不超过为了使合格率的允许误差不超过3，在，在99.73 的概率保证程度下，应抽查多少的概率保证程度下，应抽查多少件产品？件产品？【分析】【分析】因为共有三个过去的合格率的因为共有三个过去的合格率的资料，为保证推断的把握程度，应选其资料，为保证推断的把握程度，应选其中方差最大者，即中方差最大者，即P=93。解：解：(例题分析)【例例】根据以往的生产统计，某种产品的合格率约为90%，现要求抽样

34、允许误差为 5%，在 求95%的置信区间时，应抽取多少个产品作为样本？解解解解:已已 知知P P=90%=90%，=0.05=0.05，z z/2/2=1.96=1.96，=5%=5%应抽取的样本容量应抽取的样本容量为为 应抽取应抽取139139个产品作为样本个产品作为样本7.4.4 必要样本容量的影响因素必要样本容量的影响因素q总体方差的大小；总体方差的大小；q允许误差范围的大小；允许误差范围的大小；q置信水平；置信水平；q抽样方法；抽样方法；重复抽样条件下：重复抽样条件下：不重复抽样条件下：不重复抽样条件下：本章小结本章小结 第第7章章 参数估计参数估计 7.1 参数估计的一般问题参数估计的一般问题 7.2 一个总体参数的区间估计一个总体参数的区间估计 7.3 两个总体参数的区间估计两个总体参数的区间估计 7.4 样本容量的确定样本容量的确定