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1、1专题检测(二十三)专题检测(二十三) 第第 2121 题解答题题解答题“函数、导数与不等式函数、导数与不等式”专练专练1已知函数f(x)Error!(1)求f(x)在区间(,1)上的极小值和极大值点;(2)求f(x)在1,e(e 为自然对数的底数)上的最大值解:(1)当x0 时,f(x)在1,e上单调递增,则f(x)在1,e上的最大值为f(e)a.故当a2 时,f(x)在1,e上的最大值为a;当a0),1 xh(x) 21 x23 x2x23x1 x2,2x1x1 x22由h(x)0,得 0x 或x1,1 2故h(x)的单调递减区间是和(1,)(0,1 2)(2)问题等价于aln x 有唯一
2、的实根,1 x显然a0,则关于x的方程xln x 有唯一的实根,1 a构造函数(x)xln x,则(x)1ln x,由(x)1ln x0,得xe1,当 0xe1时,(x)0,(x)单调递减,当xe1时,(x)0,(x)单调递增,(x)的极小值为(e1)e1.作出函数(x)的大致图象如图所示,则要使方程xln x 有唯1 a一的实根,只需直线y 与曲线y(x)有唯一的交点,1 a则 e1或 0,1 a1 a解得ae 或a0,故实数a的取值范围是e(0,)3(2017沈阳质检)已知函数f(x)ex1xax2.(1)当a0 时,证明:f(x)0;(2)当x0 时,若不等式f(x)0 恒成立,求实数a
3、的取值范围;(3)若x0,证明:(ex1)ln(x1)x2.解:(1)证明:当a0 时,f(x)ex1x,f(x)ex1.当x(,0)时,f(x)0.故f(x)在(,0)上单调递减,在(0,)上单调递增,f(x)minf(0)0,f(x)0.(2)f(x)ex2ax1,令h(x)ex2ax1,则h(x)ex2a.当 2a1,即a 时,在0,)上,h(x)0,h(x)单调递增,h(x)h(0),1 2即f(x)f(0)0,f(x)在0,)上为增函数,f(x)f(0)0,3当a 时满足条件1 2当 2a1 时,令h(x)0,解得xln 2a,在0,ln 2a)上,h(x)0 时,ex1x,1 2x
4、2 2欲证不等式(ex1)ln(x1)x2,只需证 ln(x1).2x x2设F(x)ln(x1),2x x2则F(x).1 x14 x22x2 x1x22当x0 时,F(x)0 恒成立,且F(0)0,F(x)0 恒成立原不等式得证4(2017天津高考)设a,bR,|a|1.已知函数f(x)x36x23a(a4)xb,g(x)exf(x)(1)求f(x)的单调区间;(2)已知函数yg(x)和yex的图象在公共点(x0,y0)处有相同的切线,求证:f(x)在xx0处的导数等于 0;若关于x的不等式g(x)ex在区间x01,x01上恒成立,求b的取值范围解:(1)由f(x)x36x23a(a4)x
5、b,可得f(x)3x212x3a(a4)3(xa)x(4a)令f(x)0,解得xa,或x4a.由|a|1,得a4a.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(,a)(a,4a)(4a,)f(x)f(x)所以f(x)的单调递增区间为(,a),(4a,),单调递减区间为(a,4a)(2)证明:因为g(x)exf(x)f(x),4由题意知Error!所以Error!解得Error!所以f(x)在xx0处的导数等于 0.因为g(x)ex,xx01,x01,由 ex0,可得f(x)1.又因为f(x0)1,f(x0)0,所以x0为f(x)的极大值点,结合(1)知x0a.另一方面,由于|a|1,故a14a,由(1)知f(x)在(a1,a)内单调递增,在(a,a1)内单调递减,故当x0a时,f(x)f(a)1 在a1,a1上恒成立,从而g(x)ex在x01,x01上恒成立由f(a)a36a23a(a4)ab1,得b2a36a21,1a1.令t(x)2x36x21,x1,1,所以t(x)6x212x,令t(x)0,解得x2(舍去)或x0.因为t(1)7,t(1)3,t(0)1,因此t(x)的值域为7,1所以 b 的取值范围是7,1