自由电子气的能量状态.ppt

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1、首都师范大学物理系第五章第五章 金属电子论金属电子论(自由电子费米气自由电子费米气)上世纪初上世纪初DrudeDrude和和LorentzLorentz在经典理论的基础上提出在经典理论的基础上提出了金属中自由电子气模型，成功地说明了欧姆定律、了金属中自由电子气模型，成功地说明了欧姆定律、热导和电导之间的联系等。热导和电导之间的联系等。问题：问题：按照经典理论，自由电子气应服从玻尔兹曼统计，则按照经典理论，自由电子气应服从玻尔兹曼统计，则自由电子对热容量的贡献应和晶格振动的贡献相当，自由电子对热容量的贡献应和晶格振动的贡献相当，但实验结果是电子的贡献相对很小。但实验结果是电子的贡献相对很小。原因

2、：原因：自由电子气应服从费米量子统计。自由电子气应服从费米量子统计。借助于自由电子模型，可以理解金属（特别是简单金借助于自由电子模型，可以理解金属（特别是简单金属如碱金属）的许多物理性质。属如碱金属）的许多物理性质。首都师范大学物理系第第 一一 节节自由电子气的能量状态自由电子气的能量状态一、金属中自由电子的运动方程和解一、金属中自由电子的运动方程和解二、波矢空间和能态密度二、波矢空间和能态密度 三、自由电子气的费米能量三、自由电子气的费米能量本节主要内容：本节主要内容：首都师范大学物理系一、金属中自由电子的运动方程和解(1)(1)金属中的价电子彼此之间无相互作用；金属中的价电子彼此之间无相互

3、作用；1.模型(索末菲)自由电子气自由电子气(自由电子费米气体自由电子费米气体)：自由的：自由的、无相互作用的无相互作用的 、遵从泡利原理的电子气。遵从泡利原理的电子气。(2)(2)金属内部势场为恒定势场金属内部势场为恒定势场(价电子各自在势能等于平价电子各自在势能等于平均势能的势场中运动均势能的势场中运动)；(3)(3)价电子速度服从费米价电子速度服从费米狄拉克分布。狄拉克分布。首都师范大学物理系 为计算方便，设金属是边长为为计算方便，设金属是边长为L L的立方体，又设势阱的深的立方体，又设势阱的深度是无限的。粒子势能为度是无限的。粒子势能为2.薛定谔方程及其解每个电子都可以建立一个独立的薛

4、定谔方程：每个电子都可以建立一个独立的薛定谔方程：E-电子的能量电子的能量-电子的波函数电子的波函数(是电子位矢是电子位矢 的函数的函数)首都师范大学物理系常用边界条件：常用边界条件：周期性边界条件 波函数为行波，表示当一个电子运动到表面时并不被反射波函数为行波，表示当一个电子运动到表面时并不被反射回来，而是离开金属，同时必有一个同态电子从相对表面的对回来，而是离开金属，同时必有一个同态电子从相对表面的对应点进入金属中来。应点进入金属中来。首都师范大学物理系波矢，波矢，为电子的德布罗意波长。为电子的德布罗意波长。电子的动量：电子的动量：电子的速度：电子的速度：由正交归一化条件：由正交归一化条件

5、：由周期性边界条件：由周期性边界条件：(其中其中 为整数为整数)首都师范大学物理系二、波矢空间和能态密度 1.波矢空间 以波矢以波矢 的三个分量的三个分量 为坐标轴的空间称为波矢为坐标轴的空间称为波矢空间或空间或 空间。空间。金属中自由电子波矢：金属中自由电子波矢：(1)(1)在波矢空间每个在波矢空间每个(波矢波矢)状态代表点占有的体积为：状态代表点占有的体积为：(2)(2)波矢空间状态密度波矢空间状态密度(单位体积中的状态代表点数单位体积中的状态代表点数):):(3)(3)体积元体积元 中的中的(波矢波矢)状态数为状态数为:(4)(4)体积元体积元 中的电子状态数为中的电子状态数为:首都师范

6、大学物理系2.能态密度(1)(1)定义定义:(2)(2)计算计算:波矢密波矢密度度两个等能面间两个等能面间的波矢状态数的波矢状态数两等能面间的两等能面间的电子状态数电子状态数能态能态密度密度 两等能面间的波矢状态数：两等能面间的波矢状态数：首都师范大学物理系考虑到每个波矢状态代表点可容纳自旋相反的两个电子，考虑到每个波矢状态代表点可容纳自旋相反的两个电子，kykx能态密度能态密度:首都师范大学物理系例例1 1：求金属自由电子气的能态密度：求金属自由电子气的能态密度金属中自由电子的能量金属中自由电子的能量法1.首都师范大学物理系E法2.金属中自由电子的能量金属中自由电子的能量首都师范大学物理系k

7、ykx其中其中首都师范大学物理系在半径为在半径为k的球体积内电子的状态数为：的球体积内电子的状态数为：自由电子气的能态密度：自由电子气的能态密度：法3.其中其中在在k空间自由电子的等能面是半径空间自由电子的等能面是半径的球面，的球面，首都师范大学物理系三、自由电子气的费米能量费米统计：在温度费米统计：在温度T T处于热平衡时，能量为处于热平衡时，能量为E的状态被电子的状态被电子占据的概率是占据的概率是1.费米能量 EF-费米能级费米能级(等于这个系统中电子的化学势等于这个系统中电子的化学势)，它的意，它的意义是在体积不变的条件下，系统增加一个电子所需的自由能。义是在体积不变的条件下，系统增加一

8、个电子所需的自由能。它是温度它是温度T和晶体自由电子总数和晶体自由电子总数N的函数。的函数。首都师范大学物理系 随着随着T的增加，的增加，f(E)发生变化的能量范围变宽，但在任何情发生变化的能量范围变宽，但在任何情况下，此能量范围约在况下，此能量范围约在EF附近附近 kBT范围内范围内。2.2.图象图象首都师范大学物理系3.费米面E=EF的等能面称为费米面费米面。(a)a)T=0K 在绝对零度时，费米面以内在绝对零度时，费米面以内的状态都被电子占据，球外没有的状态都被电子占据，球外没有电子。电子。费米能级费米能级(b)b)T 0K时，费米面以内能量时，费米面以内能量离离EF约约kBT范围的能级

9、上的电子范围的能级上的电子被激发到被激发到EF之上约之上约kBT范围的能范围的能级。级。EF首都师范大学物理系4.求EF的表达式分两种情况讨论：分两种情况讨论：E E+d+dE间的电子状态数：间的电子状态数：E E+d+dE间的电子数：间的电子数：系统总系统总的电子数：的电子数：(1)(1)在在T=0K=0K时，上式变成：时，上式变成：将自由电子密度将自由电子密度N(E)=CE1/2代入得：代入得：其中其中首都师范大学物理系令令n=N/V，代表系统的价电子浓度，则有代表系统的价电子浓度，则有自由电子气系统中每个电子的平均能量由下式计算自由电子气系统中每个电子的平均能量由下式计算金属中一般金属中

10、一般 n 10102828m m-3-3，电子质量电子质量m=910=910-31-31kgkg，几个电子伏。几个电子伏。由上式可以看出即使在绝对零度时，电子仍有相当大的平由上式可以看出即使在绝对零度时，电子仍有相当大的平均能量，这与经典的结果是截然不同的。均能量，这与经典的结果是截然不同的。首都师范大学物理系(分步积分得来分步积分得来)(2)(2)=0则上式化简为则上式化简为首都师范大学物理系因此一方面，因此一方面，另一方面，将另一方面，将g(E)在在EF附近展开为泰勒级数：附近展开为泰勒级数：函数的特点具有类似于函数的特点具有类似于 函函数的性质，仅在数的性质，仅在EF附近附近kBT的范围内才的范围内才有显著的值，且是有显著的值，且是EEF的偶函数。的偶函数。只考虑到二次方项，略去三次方以上的高次项，可得到只考虑到二次方项，略去三次方以上的高次项，可得到首都师范大学物理系由于由于 为为(E-EF)的偶函数，因此的偶函数，因此I1 1=0=0。令令(E-EF)/)/kBT=，则则因为因为 ，I0等于，等于，首都师范大学物理系首都师范大学物理系得得:=1=0由于系统的电子数由于系统的电子数首都师范大学物理系利用利用kBTEF，最后得最后得当温度升高时，当温度升高时，EF比比小。小。stop首都师范大学物理系