高考数学一轮复习第4章平面向量第3讲平面向量的数量积及应用学案.doc

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1、1 / 14【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第精选高考数学一轮复习第 4 4 章平面向量章平面向量第第 3 3 讲平面向量的数量积及应用学案讲平面向量的数量积及应用学案板块一 知识梳理自主学习必备知识考点 1 数量积的有关概念1两个非零向量 a 与 b，过 O 点作a，b，则AOB，叫做向量 a 与 b 的夹角；范围是 0180.2a 与 b 的夹角为 90 度时，叫 ab.3若 a 与 b 的夹角为 ，则 ab|a|b|cos.4若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 abx1x2y1y2.5a 在 b 的方向上的投影为|a|cos.6若 a(x1，y1)，b(x2，

2、y2)，夹角为 ，则|a|，cos.ababx1x2x1x2y1y2y1y20.0.ababx1y2x1y2x2y1x2y10.0.考点 2 数量积满足的运算律已知向量 a，b，c 和实数 ，则向量的数量积满足下列运算律：1abba.2(a)b(ab)a(b)3(ab)cacbc.必会结论1设 e 是单位向量，且 e 与 a 的夹角为 ，则eaae|a|cos；2当 a 与 b 同向时，ab|a|b|；当 a 与 b 反向时，ab|a|b|，特别地，aaa2 或|a|；3ab|a|b|.2 / 14考点自测1判断下列结论的正误(正确的打“” ，错误的打“”)(1)两个向量的数量积是一个向量(

3、)(2)向量在另一个向量方向上的投影也是向量( )(3)若 ab0，则 a 和 b 的夹角为锐角；若 ab0，则 a 和b 的夹角为钝角( )(4)若 ab0，则 a0 或 b0.( )(5)(ab)ca(bc)( )(6)若 abac(a0)，则 bc.( )答案 (1) (2) (3) (4) (5) (6)22018重庆模拟已知向量 a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，且(2a3b)c，则实数 k( )A B0 C3 D.15 2答案 C解析 因为 2a3b(2k3，6)，(2a3b)c，所以(2a3b)c2(2k3)60，解得 k3.选 C.32017全国卷已知向量 a，b 的夹

4、角为 60，|a|2, |b|1，则|a2b|_.答案 23解析 解法一：|a2b|a24ab4b2224 2 1 cos604 122.解法二：(数形结合法)由|a|2b|2，知以 a 与 2b 为邻边可作出边长为 2 的菱形 OACB，如图，则|a2b|.又AOB60，所以|a2b|2.42018济南模拟已知向量|b|3，ab12, 则向量 a在向量 b 方向上的投影是_答案 43 / 14解析 因为向量|b|3，ab12，则向量 a 在向量 b 方向上的投影是4.52016北京高考已知向量 a(1，)，b(，1)，则 a 与b 夹角的大小为_答案 6解析 ab2，cosa，b，又a，b0

5、，a，b.6课本改编已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点，则的值为_；的最大值为_答案 1 1解析 以 D 为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示则D(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)设 E(1，a)(0a1)，所以(1，a)(1,0)1，(1，a)(0,1)a1.故的最大值为 1.板块二 典例探究考向突破考向 平面向量数量积的运算例 1 (1)2016山东高考已知非零向量 m，n 满足4|m|3|n|，cosm，n.若 n(tmn)，则实数 t 的值为( )A4 B4 C. D9 4答案 B解析 因为 n(tmn)，所以 tmnn20，所以mn，

6、又 4|m|3|n|，所以 cosm，n，所以t4.故选 B.(2)2017北京高考已知点 P 在圆 x2y21 上，点 A 的坐标为(2,0)，O 为原点，则的最大值为_答案 6解析 解法一：根据题意作出图象，如图所示，A(2,0)，P(x，y)4 / 14由点 P 向 x 轴作垂线交 x 轴于点 Q，则点 Q 的坐标为(x,0)|cos，AO|2，|，cos，所以2(x2)2x4.点 P 在圆 x2y21 上，所以 x1,1所以的最大值为 246.解法二：如图所示，因为点 P 在圆 x2y21 上，所以可设 P(cos，sin)(02)，所以(2,0)，(cos2，sin)，2cos424

7、6，AO当且仅当 cos1，即 0，P(1,0)时“”号成立触类旁通向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即ab|a|b|cosa，b (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 abx1x2y1y2.【变式训练 1】 (1)2018湖北模拟已知点 A(1,1)，B(1,2)，C(2，1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影为( )A. B. C D3 152答案 A解析 (2,1)，(5,5)，由定义知在方向上的投影为.(2)已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 CD 的中点，则_.答案 2解析 解法一：()

8、2222222.解法二：以 A 为原点建立平面直角坐标系(如图)，可得 A(0,0)，5 / 14E(1,2)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，(1,2)，(2,2)，则(1,2)(2,2)1(2)222.考向 平面向量数量积的性质命题角度 1 平面向量的垂直例 2 (1)如图所示，在ABC 中，ADAB，|1，则( )A2 B. C. D.3答案 D解析 ()|cosBDA|2.(2)2017全国卷已知向量 a(1,2)，b(m,1)若向量 ab 与 a 垂直，则 m_.答案 7解析 a(1,2)，b(m,1)，ab(1m,21)(m1,3)又 ab 与 a 垂直，(ab)a0，即

9、(m1)(1)320，解得 m7.命题角度 2 平面向量的模例 3 (1)2018济南模拟设向量 a，b 满足|a|1，|ab|，a(ab)0，则|2ab|( )A2 B2 C4 D43答案 B解析 a(ab)0，a2ab1，|ab|2a22abb23，b24，|2ab|2.故选 B.(2)已知向量 a 与 b 的夹角为 120，|a|3，|ab|，则|b|等于( )A5 B4 C3 D1答案 B6 / 14解析 |ab|2(ab)2a22abb2|a|22|a|b|cos120|b|23223|b|b|293|b|b|213，即|b|23|b|40，解得|b|4 或|b|1(舍去)命题角度

10、3 平面向量的夹角例 4 (1)已知平面向量 a，b，|a|1，|b|，且|2ab|，则向量 a 与向量 ab 的夹角为( )A. B. C. D答案 B解析 由题意，得|2ab|244ab37，所以ab0，所以 a(ab)1，且|ab|2，故 cosa，ab，所以a，ab.故选 B.(2)2017山东高考已知 e1，e2 是互相垂直的单位向量若e1e2 与 e1e2 的夹角为 60，则实数 的值是_答案 33解析 由题意知|e1|e2|1，e1e20，|e1e2| 3e2 12 3e1e2e2 22.同理|e1e2|.所以 cos60，解得 .触类旁通平面向量数量积求解问题的策略(1)求两向

11、量的夹角：cos，要注意 0，(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：7 / 14abab0|ab|ab|.(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：a2aa|a|2 或|a|；|ab|；若 a(x，y)，则|a|.考向 向量运算的最值或取值范围例 5 2018福建质检平行四边形 ABCD 中，AB4，AD2，4，点 P 在边 CD 上，则的取值范围是( )B1，)A1,8 D1,0C0,8 答案 A解析 由题意得|cosBAD4，解得BAD.以 A为原点，AB 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系，则 A(0，0)，B(4,0)，C(5，)，D(1，)，因为点 P

12、在边 CD 上，所以不妨设点 P 的坐标为(a，)(1a5)，则(a，)(4a，)a24a3(a2)21，则当 a2 时，取得最小值1，当a5 时，取得最大值 8.故选 A.触类旁通求向量的最值或范围问题求最值或取值范围必须有函数或不等式，因此，对于题目中给出的条件，要结合要求的夹角或长度或其他量，得出相应的不等式或函数(包括自变量的范围)，然后利用相关知识求出最值或取值范围【变式训练 2】 在平行四边形 ABCD 中，A，边 AB，AD 的长分别为 2,1，若 M，N 分别是边 BC，CD 上的点，且满足，则的取值范围是_答案 2,5解析 设(01)，则，8 / 14(1)(1)，DN则()

13、()()(1)(1)22(1).又21cos1，24，21，225(1)26.01，25，即的取值范围是2,5核心规律1计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用2求向量模的常用方法：利用公式|a|2a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算3利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧满分策略1数量积运算律要准确理解、应用，例如，abac(a0)不能得出 bc，两边不能约去一个向量2向量夹角的概念要领会，比如正三角形 ABC 中，与的夹角应为 120，而不是 60.3两个向量的夹角为锐角，则有 ab0

14、，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有 ab0)，则 B(m,0)，C，因为 E 是 CD 的中点，所以 E.10 / 14所以，.AC由1 可得1，(m1 2)(1 21 2m)即 2m2m0，所以 m0(舍去)或 m.故 AB 的长为.板块四 模拟演练提能增分A 级 基础达标12018许昌模拟设 x，yR，向量 a(x,1)，b(1，y)，c(2，4)，且 ac，bc，则|ab|( )A. B. C2 D10答案 B解析 由 ac，得 ac2x40，解得 x2.由 bc，得，解得 y2.所以 a(2,1)，b(1，2)，ab(3，1)，|ab|.故选 B.22015广东高考在平面直角坐标系

15、 xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，(1，2)，(2,1)，则( )A5 B4 C3 D2答案 A解析 (1，2)(2,1)(3，1)，所以(2,1)(3，1)231(1)5.故选 A.32016全国卷已知向量，则ABC( )A30 B45 C60 D120答案 A解析 cosABC，所以ABC30.故选 A.4已知|a|2|b|0，且关于 x 的方程 x2|a|xab0 有实根，则 a 与 b 的夹角的取值范围是( )B.A. 3，11 / 14D.C. 6，答案 B解析 由于|a|2|b|0，且关于 x 的方程x2|a|xab0 有实根，则|a|24ab0，即 ab|a|2.设

16、向量 a 与 b 的夹角为 ，则 cos，.故选 B.5在ABC 中，C90，且 CACB3，点 M 满足2，则( )A18 B3 C15 D12答案 A解析 由题意可得ABC 是等腰直角三角形，AB3，故()29()9299018.故选A.62018济宁模拟平面四边形 ABCD 中，0，()0，则四边形 ABCD 是( )B正方形A矩形 D梯形C菱形 答案 C解析 因为0，所以，所以四边形 ABCD 是平行四边形又()0，所以四边形对角线互相垂直，所以四边形ABCD 是菱形故选 C.72018重庆模拟已知非零向量 a，b 满足|b|4|a|，且a(2ab)，则 a 与 b 的夹角为( )A.

17、 B. C. D.5 6答案 C解析 a(2ab)，a(2ab)0，2|a|2ab0，即 2|a|2|a|b|cosa，b0.|b|4|a|，2|a|24|a|2cosa，b0，12 / 14cosa，b，a，b.故选 C.82018南宁模拟已知平面向量 ，且|1，|2，(2)，则|2|_.答案 10解析 由 (2)得 (2)220，所以 ，所以(2)2422441222410，所以|2|.92018北京东城检测已知平面向量 a(2,4)，b(1，2)，若 ca(ab)b，则|c|_.答案 82解析 由题意可得 ab214(2)6，ca(ab)ba6b(2,4)6(1，2)(8，8)，|c|8

18、.10如图，在ABC 中，AB3，AC2，D 是边 BC 的中点，则_.答案 5 2解析 利用向量的加减法法则可知()()(22).ADB 级 知能提升12018石家庄模拟在ABC 中，AB4，AC3，1，则 BC( )A. B. C2 D3答案 D解析 设A，因为，AB4，AC3，所以291.8.cos，AC所以 BC3.故选 D.13 / 142在平面直角坐标系 xOy 中，已知(3，1)，(0,2)若0，则实数 的值为_答案 2解析 由已知得(3,3)，设 C(x，y)，则3x3y0，所以 xy.(x3，y1)AC又，即(x3，y1)(0,2)，所以由 xy 得，y3，所以 2.3201

19、8东营模拟若两个非零向量 a，b 满足|ab|ab|2|a|，则向量 ab 与 a 的夹角为_答案 3解析 由|ab|ab|，得a2a22ab2abb2b2a2a22ab2abb2b2，即，即 abab0 0，所以(ab)aa2ab|a|2.故向量 ab 与 a 的夹角 的余弦值为cos.又 0，所以 .4已知 a(1,2)，b(1,1)，且 a 与 ab 的夹角为锐角，求实数 的取值范围解 a 与 ab 均为非零向量，且夹角为锐角，a(ab)0，即(1,2)(1，2)0.(1)2(2)0.当 a 与 ab 共线时，存在实数 m，使 abma，即(1，2)m(1,2)，解得 0.即当 0 时，a 与 ab 共线，14 / 14综上可知，且 0.52017全国卷改编已知ABC 是边长为 2 的等边三角形，P 为平面 ABC 内一点，求()的最小值解 解法一：设 BC 的中点为 D，AD 的中点为 E，则有2，则()2PD2()()2(22)而 22，当 P 与 E 重合时，2 有最小值 0，故此时()取最小值，最小值为222.解法二：以 AB 所在直线为 x 轴，AB 的中点为原点建立平面直角坐标系，如图，则 A(1,0)，B(1,0)，C(0，)，设 P(x，y)，取 BC 的中点 D，则D.()22(1x，y)22.因此，当 x，y时，()取得最小值，为 2.