高考数学试题分项版解析专题19抛物线理.doc

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1、1 / 11【2019【2019 最新最新】精选高考数学试题分项版解析专题精选高考数学试题分项版解析专题 1919 抛物线理抛物线理1.【2017 课标 1，理 10】已知 F 为抛物线 C：y2=4x 的焦点，过 F作两条互相垂直的直线 l1，l2，直线 l1 与 C 交于 A、B 两点，直线 l2 与 C 交于 D、E 两点，则|AB|+|DE|的最小值为A16B14C12D10【答案】A【解析】试题分析：设，直线方程为11223344( ,), (,),(,),(,)A x yB xyD xyE xy1(1)yk x联立方程得214(1)yxyk x 2222 111240k xk xx

2、k2 1 122 124kxxk 2 1 2 124k k同理直线与抛物线的交点满足2 2 342 224kxxk由抛物线定义可知1234|2ABDExxxxp当且仅当（或）时，取得等号.121kk 1【考点】抛物线的简单性质2.【2016 年高考四川理数】设 O 为坐标原点，P 是以 F 为焦点的抛物线上任意一点，M 是线段 PF 上的点，且=2,则直线 OM 的斜率的最大值为( )22(p0)ypxPMMF（A） （B） （C） （D）13 32 32 2【答案】C【解析】试题分析：设（不妨设） ，则由已知得， ， ， ， ，故选 C.2 / 1122, 2,PptptM x y0t 22

3、, 2.2pFPptpt 1 3FMFP 22,236 2,3pppxtpty 22,33 2,3ppxtpty 22112 12121222OMtktttmax2 2OMk考点：抛物线的简单的几何性质，基本不等式的应用3.【2016 年高考四川理数】设 O 为坐标原点，P 是以 F 为焦点的抛物线上任意一点，M 是线段 PF 上的点，且=2,则直线 OM 的斜率的最大值为( )22(p0)ypxPMMF（A） （B） （C） （D）13 32 32 2【答案】C【解析】试题分析：设（不妨设） ，则由已知得， ， ， ， ，故选 C.22, 2,PptptM x y0t 22, 2.2pFPp

4、tpt 1 3FMFP 22,236 2,3pppxtpty 22,33 2,3ppxtpty 22112 12121222OMtktttmax2 2OMk考点：抛物线的简单的几何性质，基本不等式的应用【名师点睛】本题考查抛物线的性质，结合题意要求，利用抛物线的参数方程表示出抛物线上点的坐标，利用向量法求出点的坐标，是我们求点坐标的常用方法，由于要求最大值，因此我们把斜率用参数表示出后，可根据表达式形式选用函数，或不等式的知识求出最值，本3 / 11题采用基本不等式求出最值PMk4.【2016 高考新课标 1 卷】以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A、B两点,交 C 的准线于 D、E

5、两点.已知|AB|=,|DE|=,则 C 的焦点到准线的距离为4 22 5(A)2 (B)4 (C)6 (D)8【答案】B【解析】【名师点睛】本题主要考查抛物线的性质及运算,注意解析几何问题中最容易出现运算错误,所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因.5.【2015 高考四川，理 10】设直线 l 与抛物线相交于 A，B 两点，与圆相切于点 M，且 M 为线段 AB 的中点.若这样的直线 l 恰有 4 条，则 r的取值范围是（）24yx22250xyrr（A） （B） （C） （D）1 3，1 4，2 3，2 4，【答案】D【解析】显然当直

6、线的斜率不存在时，必有两条直线满足题设.当直线的斜率存在时，设斜率为.设，则，相减得.由于，所以，即.圆心为，由得，所以，即点 M 必在直线上.将代入得.因为点 M 在圆上，所以.又（由于斜率不存在，故，所以不取等号） ，所以.选 D.11221200( ,), (,),(,)A x yB xyxx M xy2 112 2244yxyx121212()()4()yyyyxx12xx12121222yyyy xx02ky (5,0)CCMAB0 00 001,55ykkyxx 0025,3x x3x 3x 24yx2 012,2 32 3yy22250xyrr22222 000(5),41241

7、6xyrry2 044y00y 2 04416,24yr4 / 116.【2015 高考浙江，理 5】如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点， ， ，其中点，在抛物线上，点在轴上，则与的面积之比是（ ）24yxFA BCA BCyBCFACFA. B. C. D. 1 1BF AF 2211BFAF1 1BF AF 2211BFAF【答案】A.【解析】 ，故选 A.11 AFBF xx ACBC SSABACFBCF【考点定位】抛物线的标准方程及其性质【名师点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其性质，属于中档题，解题时，需结合平面几何中同高的三角形面积比等于底边比这一性质，

8、结合抛物线的性质：抛物线上的点到准线的距离等于其到焦点的距离求解，在平面几何背景下考查圆锥曲线的标准方程及其性质，是高考中小题的热点，在复习时不能遗漏相应平面几何知识的复习.7.【20177.【2017 课标课标 IIII，理，理 16】16】已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点。若为的中点，则。交轴于点。若为的中点，则。FC:28yxMCFMyNMFNFN 【答案】6【解析】试题分析：【考点】抛物线的定义；梯形中位线在解析几何中的应用。【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的

9、距离)进行等量转化。如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题。因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化。5 / 118.【2016 高考天津理数】设抛物线， （t 为参数，p0）的焦点为 F，准线为 l.过抛物线上一点222xptypt A 作 l 的垂线，垂足为 B.设 C（p,0） ，AF 与 BC 相交于点 E.若|CF|=2|AF|，且ACE 的面积为，则 p7 23 2的值为_.【答案】6【解析】试题分析：抛物线的普通方程为， ， ，又，则，由抛物线的定义得，所以，则，由得

10、，即，所以， ，所以， 22ypx(,0)2pF7322pCFpp2CFAF3 2AFp3 2ABpAxp|2Ayp/CFABEFCF EAAB2EFCF EAAF26 2CEFCEASS9 2ACFAECCFESSS1329 22pp6p 考点：抛物线定义【名师点睛】1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理2若 P(x0，y0)为抛物线 y22px(p0)上一点，由定义易得|PF|x0；若过焦点的弦 AB 的端点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为|AB|x1x2p，x1x2 可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可

11、由数形结合的方法类似地得到9.【2016 高考浙江理数】若抛物线 y2=4x 上的点 M 到焦点的距离为10，则 M 到 y 轴的距离是_【答案】【解析】6 / 11试题分析：1 109MMxx 考点：抛物线的定义【思路点睛】当题目中出现抛物线上的点到焦点的距离时，一般会想到转化为抛物线上的点到准线的距离解答本题时转化为抛物线上的点到准线的距离，进而可得点到轴的距离y10.【2017 北京，理 18】已知抛物线 C：y2=2px 过点 P（1，1）.过点（0，）作直线 l 与抛物线 C 交于不同的两点 M，N，过点 M 作 x 轴的垂线分别与直线 OP，ON 交于点 A，B，其中 O 为原点.

12、1 2（）求抛物线 C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（）求证：A 为线段 BM 的中点.【答案】 （）方程为，抛物线 C 的焦点坐标为（，0） ，准线方程为.（）详见解析.2yx1 41 4x 【解析】试题分析：（）代入点求得抛物线的方程，根据方程表示焦点坐标和准线方程；（）设直线 l 的方程为（） ，与抛物线方程联立，得到根与系数的关系，直线 ON 的方程为，联立求得点的坐标，证明.P1 2ykx0k 22yyxxB21 1 2( ,)y yxx12 11 220y yyxx试题解析：解：（）由抛物线 C：过点 P（1，1） ，得.22ypx1 2p 所以抛物线 C 的方程为.2yx抛

13、物线 C 的焦点坐标为（，0） ，准线方程为.1 41 4x 122121(22)()2kx xxxx 22211(22)42kkkk x 0，所以.21 11 22y yyxx7 / 11故 A 为线段 BM 的中点.【考点】1.抛物线方程；2.直线与抛物线的位置关系【名师点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了转换与化归能力，当看到题目中出现直线与圆锥曲线时，不需要特殊技巧，只要联立直线与圆锥曲线的方程，借助根与系数关系，找准题设条件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来，有时不一定要把结果及时求出来，可能需要整体代换到后面的计算中去，从而减少计算量.11.【2016 高考

14、江苏卷】 （本小题满分 10 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线，抛物线:20l xy2:y2(0)Cpx p（1）若直线 l 过抛物线 C 的焦点，求抛物线 C 的方程；（2）已知抛物线 C 上存在关于直线 l 对称的相异两点 P 和 Q.求证：线段 PQ 的中点坐标为；(2,).pp求 p 的取值范围.【答案】 （1） （2）详见解析，xy82)34, 0(【解析】（2）设，线段 PQ 的中点1122(x ,y ),(x ,y )PQ00(x ,y )M8 / 11因为点 P 和 Q 关于直线对称，所以直线垂直平分线段 PQ,于是直线 PQ 的斜率为，则可设其方程为1.yxb

15、 由消去得22ypx yxb 2220(*)ypypb因为 P 和 Q 是抛物线 C 上的相异两点，所以12,yy从而，化简得.2(2 )4( 2)0ppb 20pb方程（*）的两根为，从而2 1,22ypppb 12 0.2yyyp 因为在直线上，所以00(x ,y )M02.xp因此，线段 PQ 的中点坐标为(2,).pp因为在直线上M(2,).ppyxb 所以，即(2)bpp 22 .bp由知，于是，所以20pb2(22 )0pp4. 3p 因此的取值范围为p4(0, ).3考点：直线与抛物线位置关系12.【2017 浙江，21】（本题满分 15 分）如图，已知抛物线，点A，抛物线上的点

16、过点 B 作直线 AP 的垂线，垂足为 Q2xy1 1()2 4，3 9()2 4B，)23 21)(,(xyxP（）求直线 AP 斜率的取值范围；（）求的最大值|PQPA 【答案】 （） ；（）) 1 , 1(27 16【解析】试题分析：（）由两点求斜率公式可得 AP 的斜率为，由，得 AP 斜率的取值范围；（）联立直线 AP 与 BQ 的方程，得 Q 的横坐标，进9 / 11而表达与的长度，通过函数求解的最大值21x13 22x| PA| PQ3) 1)(1()(kkkf|PQPA 试题解析：（）设直线 AP 的斜率为 k，则，直线 AP 斜率的取值范围是2121412 x xx k13

17、22x) 1 , 1(（）联立直线 AP 与 BQ 的方程解得点 Q 的横坐标是，因为|PA|=) 1(23422kkkxQ211()2kx) 1(12kk|PQ|= ，所以|PA|PQ|= 1) 1)(1()(1 22 2 kkkxxkQ3) 1)(1(kk令，因为，所以 f(k)在区间上单调递增，上单调递减，因此当 k=时，取得最大值3) 1)(1()(kkkf2) 1)(24()( kkkf)21, 1() 1 ,21(1 2|PQPA 27 16 13.【2016 高考新课标 3 理数】已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点C22yxFx12,l lC,A

18、 BCPQ，（I）若在线段上，是的中点，证明；FABRPQARFQA（II）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.PQFABFAB【答案】 （）见解析；（） 21yx【解析】试题分析：（）设出与轴垂直的两条直线，然后得出的坐标，然后通过证明直线与直线的斜率相等即可证明结果了；（）设直线与轴的交点坐标，利用面积可求得，设出的中点，根据与轴是否垂直分两10 / 11种情况结合求解x, , ,A B P Q RARFQx1( ,0)D x1xAB( , )E x yABxABDEkk试题解析：由题设.设，则，且)0 ,21(Fbylayl:,:210ab)2,21(),21(),21(),2()

19、,0 ,2(22baRbQaPbbBaA.记过两点的直线为，则的方程为. .3 分BA,0)(2abybax（）由于在线段上，故.FAB01ab记的斜率为，的斜率为，则，AR1kFQ2k22211 1kbaab aababa abak所以. .5 分ARFQA（）设与轴的交点为，x)0 ,(1xD则.2,21 21 21 1baSxabFDabSPQFABF由题设可得，所以（舍去） ，.221 21 1baxab01x11x设满足条件的的中点为.AB),(yxE当与轴不垂直时，由可得.ABxDEABkk) 1(12xxy ba而，所以.yba 2) 1( 12xxy当与轴垂直时，与重合，所以，

20、所求轨迹方程为. .12 分ABxED12 xy考点：1、抛物线定义与几何性质；2、直线与抛物线位置关系；3、轨迹求法14.【2015 高考新课标 1，理 20】在直角坐标系中，曲线 C：y=与直线(0)交与 M,N 两点，xoy24xykxa（）当 k=0 时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程；（）y 轴上是否存在点 P，使得当 k 变动时，总有OPM=OPN？说明理由.11 / 11【答案】 （）或（）存在0axya0axya【解析】试题分析：（）先求出 M,N 的坐标，再利用导数求出 M,N.（）先作出判定，再利用设而不求思想即将代入曲线 C 的方程整理成关于的一元二次方程，设

21、出 M,N 的坐标和 P 点坐标，利用设而不求思想，将直线 PM，PN 的斜率之和用表示出来，利用直线 PM，PN 的斜率为 0,即可求出关系，从而找出适合条件的 P 点坐标.ykxa, a b试题解析：（）由题设可得， ，或，.(2, )Ma a( 2 2, )Na( 2 2, )Ma(2, )Na a，故在=处的到数值为，C 在处的切线方程为1 2yx 24xy 2 2aa(2 2 , )a a(2)yaa xa，即.0axya故在=-处的到数值为-，C 在处的切线方程为24xy 2 2aa( 2 2 , )a a(2)yaa xa ，即.0axya故所求切线方程为或. 5 分0axya0axya（）存在符合题意的点，证明如下：设 P（0，b）为复合题意得点， ， ，直线 PM，PN 的斜率分别为.11( ,)M x y22(,)N xy12,k k将代入 C 得方程整理得.ykxa2440xkxa.12124 ,4xxk x xa =.12 12 12ybybkkxx1212122()()kx xab xx x x()k ab a当时，有=0，则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补，ba 12kk故OPM=OPN，所以符合题意. 12 分(0,)Pa