高考数学试题分项版解析专题15不等式理.doc

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1、1 / 22【2019【2019 最新最新】精选高考数学试题分项版解析专题精选高考数学试题分项版解析专题 1515 不等式理不等式理【2017【2017 年年】1.【20171.【2017 课标课标 IIII，理，理 5】5】设，满足约束条件，则的最小值是（设，满足约束条件，则的最小值是（ ）xy2330233030xyxyy 2zxyA B C D 159【答案】A【解析】试题分析：绘制不等式组表示的可行域，目标函数即：，其中表示斜率为的直线系与可行域有交点时直线的截距值，2yxz 2k 数形结合可得目标函数在点 处取得最小值 ，故选 A。6, 3B 12315z 【考点】 应用线性规划求最

2、值2.【2017 天津，理 2】设变量满足约束条件则目标函数的最大值为, x y20,220,0,3,xyxyxy zxy（A） （B）1（C） （D）32 33 22 / 22【答案】 D【解析】目标函数为四边形 ABCD 及其内部，其中，所以直线过点 B 时取最大值 3，选 D.32 4(0,1),(0,3),(,3),(, )23 3ABCDzxy【考点】线性规划【名师点睛】线性规划问题有三类:（1）简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；（2）线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；（3）线性规划的实际应用，本题就是第三

3、类实际应用问题.3.【2017 山东，理 4】已知 x,y 满足，则 z=x+2y 的最大值是xy3x y 30+5030x（A）0 （B） 2 （C） 5 （D）6【答案】C【解析】试题分析：由画出可行域及直线如图所示，平移发现，xy3x y 30+5030x20xy20xy当其经过直线与的交点时，最大为，选 C.3x + y 50+x-3( 3,4)2zxy32 45z 【考点】 简单的线性规划4.【2017 山东，理 7】若，且，则下列不等式成立的是0ab1ab （A） （B）21log2abaabb21log2ababab3 / 22（C） （D）21log2abaabb21log2a

4、babab【答案】B【解析】试题分析：因为，且，所以0ab1ab 221,01,1,log ()log 21,2abababab ，所以选 B.12112log ()abaabaabbb【考点】1.指数函数与对数函数的性质.2.基本不等式.5.【2017 课标 3，理 9】等差数列的首项为 1，公差不为 0若a2，a3，a6 成等比数列，则前 6 项的和为 na naA B C3D8243【答案】A【解析】试题分析：设等差数列的公差为 ，由 a2，a3，a6 成等比数列可得： ，d2 326aa a即： ，整理可得： ，公差不为 ，则 ，21211 5ddd220dd02d 数列的前 6 项和

5、为 .6166 166 166 122422Sad 故选 A.【考点】 等差数列求和公式；等差数列基本量的计算4 / 22【名师点睛】(1)等差数列的通项公式及前 n 项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.(2)数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而 a1 和 d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.6.【2017 北京，理 4】若 x，y 满足 则 x + 2y 的最大值为32xxyyx ，（A）1 （B）3（C）5 （D）9【答案】D【解析】试题分析：如图，画出可行域，2zxy表示斜率

6、为的一组平行线，当过点时，目标函数取得最大值，故选 D.1 23,3Cmax32 39z 【考点】线性规划7.【2017 浙江，4】若，满足约束条件，则的取值范围是y03020xxyxy yxz2A0，6 B0，4C6， D4，)5 / 22【答案】D【解析】试题分析：如图，可行域为一开放区域，所以直线过点时取最小值 4，无最大值，选 D(2,1)【考点】 简单线性规划8.【2017 天津，理 8】已知函数设，若关于 x 的不等式在 R 上恒成立，则 a 的取值范围是23,1, ( )2,1.xxx f xxxxaR( ) |2xf xa（A） （B） （C） （D）47,21647 39,1

7、6 16 2 3,239 2 3,16【答案】A【解析】不等式为(*)，( )2xf xa( )( )2xf xaf x当时，(*)式即为， ，1x 22332xxxaxx2233322xxaxx又（时取等号） ，22147473()241616xxx 1 4x 223339393()241616xxx（时取等号） ，3 4x 所以，4739 1616a当时，(*)式为， ，1x 22 2xxaxxx 322 22xxaxx又（当时取等号） ，3232()2 322xxxx 2 3 3x 222222xx xx（当时取等号） ，2x 6 / 22所以，2 32a综上故选 A47216a【考点】

8、不等式、恒成立问题9.【2017 课标 3，理 13】若，满足约束条件，则的最小值为_.yy0200xxyy z34xy【答案】 1【解析】试题分析：绘制不等式组表示的可行域，目标函数即：，其中表示斜率为的直线系与可行域有交点时直线的截距值的 倍，31 44yxzz3 4k 1 4截距最大的时候目标函数取得最小值，数形结合可得目标函数在点 处取得最小值. 1,1A341zxy 【考点】应用线性规划求最值【名师点睛】求线性目标函数 zaxby(ab0)的最值，当 b0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z 值最大，在 y 轴截距最小时，z 值最小；当 b0 时，直线过可行域且在 y 轴上

9、截距最大时，z 值最小，在 y 轴上截距最小时，z 值最大.10.【2017 天津，理 12】若， ，则的最小值为_., a bR0ab 4441ab ab7 / 22【答案】 【解析】 ， （前一个等号成立条件是，后一个等号成立的条件是，两个等号可以同时取得，则当且仅当时取等号）.442241411142 44aba babababababab222ab1 2ab 2222,24ab【考点】均值不等式11.【2017 课标 1，理 13】设 x，y 满足约束条件，则的最小值为 .21210xyxyxy 32zxy【答案】5【解析】试题分析：不等式组表示的可行域如图所示，易求得，111 1(

10、1,1), (,),( , )333 3ABC由得在轴上的截距越大，就越小32zxy3 22zyxy所以，当直线直线过点时，取得最小值32zxyA所以取得最小值为3 ( 1)2 15 【考点】线性规划.【2016 年，2015 年】 1.【2016 高考新课标 1 卷】若,则( )101abc，（A） （B） （C） （D）ccabccabbaloglogbaacbcloglogabcc【答案】C8 / 22【解析】试题分析：用特殊值法,令,得,选项 A 错误,选项 B 错误,选项 C 正确,选项 D 错误,故选 C3a 2b 1 2c 11 223211 223 22 32313log2lo

11、g 223211loglog22考点：指数函数与对数函数的性质2.【2015 高考北京，理 2】若，满足则的最大值为（ ）010xyxyx ，2zxyA0B1CD23 2【答案】D【解析】如图，先画出可行域，由于，则，令，作直线，在可行域中作平行线，得最优解，此时直线的截距最大，取得最小值 2.2zxy11 22yxz 0Z1 2yx (0,1)Z考点定位：本题考点为线性规划的基本方法3.【2015 高考广东，理 6】若变量，满足约束条件则的最小值为（ ）y 2031854yxyxyxz23 A B. 6 C. D. 49 / 22531 523【答案】 C【解析】不等式所表示的可行域如下图所

12、示，由得，由上图结合题意可知当目标函数直线：经过时，取得最小值即，故选32zxy3 22zyx 3 22zyx 41,5Amin4233 1255z C【考点定位】二元一次不等式的线性规划4.【2016 高考浙江理数】在平面上，过点 P 作直线 l 的垂线所得的垂足称为点 P 在直线 l 上的投影由区域200340xxyxy 中的点在直线 x+y2=0 上的投影构成的线段记为 AB，则AB=（ ）A2 B4 C3 D 22【答案】C【解析】试题分析：如图为线性区域，区域内的点在直线上的投影构成了线段，即，而，由得，由得， 故选 CPQR20xy R QAB R QPQ340 0 xy xy(

13、1,1)Q2 0 x xy(2, 2)R22( 1 2)(12)3 2 ABQR考点：线性规划【思路点睛】先根据不等式组画出可行域，再根据题目中的定义确定的值画不等式组所表示的平面区域时要注意通过特殊点验证，防止出现错误A5.【2015 高考山东，理 5】不等式的解集是（ ）152xx 10 / 22（A） （-，4） （B） （-，1） （C） （1，4） （D） （1，5）【答案】A【解析】原不等式同解于如下三个不等式解集的并集;解（I）得： ,解（II）得： ,解（III）得： ,1x 14xx所以，原不等式的解集为 .故选 A.4x x 【考点定位】含绝对值的不等式的解法.6.【201

14、5 高考山东，理 6】已知满足约束条件，若的最大值为 4，则 （ ）, x y020xyxyy zaxya （A）3 （B）2 （C）-2 （D）-3【答案】B【解析】不等式组 在直角坐标系中所表示的平面区域如下图中的阴影部分所示，020xyxyy 若的最大值为 4，则最优解可能为 或 ，经检验，是最优解，此时 ；不是最优解.故选 B.zaxy1,1xy2,0xy2,0xy2a 1,1xy【考点定位】简单的线性规划问题.【名师点睛】本题考查了简单的线性规划问题，通过确定参数的值，考查学生对线性规划的方法理解的深度以及应用的灵活性，意在考查学生利用线性规划的知识分析解决问题的能力. 11 / 2

15、27.【2016 年高考北京理数】若，满足，则的最大值为（ ）y2030xyxyx 2xyA.0 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】试题分析：作出如图可行域，则当经过点时，取最大值，而，所求最大值为 4，故选 C. yxz 2P)2 , 1 (P考点：线性规划.8.【2015 高考陕西，理 9】设，若， ， ，则下列关系式中正确的是（ ）( )ln ,0f xxab()pfab()2abqf1( ( )( )2rf af bA B C Dqrpqrpprqprq【答案】C【解析】 ， ， ，函数在上单调递增，因为，所以，所以，故选 C()lnpfabab()ln22ababqf11( (

16、 )( )lnln22rf af babab( )lnf xx0,2abab()()2abffabqpr【考点定位】1、基本不等式；2、基本初等函数的单调性【名师点晴】本题主要考查的是基本不等式和基本初等函数的单调性，属于容易题解题时一定要注意检验在使用基本不等式求最值中是否能够取得等号，否则很容易出现错误本题先判断和的大小关系，再利用基本初等函数的单调性即可比较大小2abab12 / 229.【2015 高考陕西，理 10】某企业生产甲、乙两种产品均需用 A，B两种原料已知生产 1 吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别为 3 万元、4 万元，则

17、该企业每天可获得最大利润为（ ）A12 万元 B16 万元 C17 万元 D18 万元甲乙原料限额A（吨）12（吨）【答案】D【解析】设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为、吨，则利润y34zxy由题意可列，其表示如图阴影部分区域：3212 28 0 0xy xy x y 当直线过点时，取得最大值，所以，故选 D340xyz(2,3)Amax3 24 318z 【考点定位】线性规划是平面区域必须作正确，且要有一定的精度；二是目标函数的几何意义必须理解正确才能正确作出答案.10. 【2016 高考浙江理数】已知实数 a，b，c（ ）A若|a2+b+c|+|a+b2+c|1，则 a2+b2+c210

18、0B若|a2+b+c|+|a2+bc|1，则 a2+b2+c2100C若|a+b+c2|+|a+bc2|1，则 a2+b2+c2100D若|a2+b+c|+|a+b2c|1，则 a2+b2+c210013 / 22【答案】D【解析】试题分析：举反例排除法：A.令，排除此选项，10,110 abcB.令，排除此选项，10,100,0 abcC.令，排除此选项，故选 D100,100,0 abc考点：不等式的性质11.【2015 高考四川，理 9】如果函数在区间上单调递减，则 mn 的最大值为（ ） 21281002f xmxnxmn，122 ，（A）16 （B）18 （C）25 （D）81 2【

19、答案】B【解析】2m 时，抛物线的对称轴为.据题意，当时，即.由且得.当时，抛物线开口向下，据题意得，即.由且得，故应舍去.要使得取得最大值，应有.所以，所以最大值为 18.选 B.8 2nxm 2m 822n m212mn226,182mnm nmn2mn212mn3,6mn2m 81 22n m218mn28129,22nmn mmn2nm218mn92m mn218mn(2,8)mn(182 )(182 8) 816mnn n 【考点定位】函数与不等式的综合应用.【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到 m、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单

20、调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的14 / 22形式出现.12. 【2016 年高考四川理数】设 p：实数 x，y 满足，q：实数 x，y 满足 则 p 是 q 的( )22(1)(1)2xy1,1,1,yxyxy （A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：画出可行域（如图所示） ，可知命题中不等式组表示的平面区域在命题中不等式表示的圆盘内，故选 A.ABCp考点：1.充分条件、必要条件的判断；2.线性规划.13. 【2015 高考天津

21、，理 2】设变量 满足约束条件 ，则目标函数的最大值为( ), x y2030230xxyxy 6zxy（A）3 （B）4 （C）18 （D）40【答案】C【解析】不等式所表示的平面区域如下图所示，当所表示直线经过点时，有最大值2030230xxyxy 6zxy(0,3)B18.【考点定位】线性规划.14. 【2015 高考湖北，理 10】设，表示不超过的最大整数. 若存在实数，使得， ， 同时成立，则正整数的最大值是（ ）15 / 22xR x 1t 2 2t ntnA3 B4 C5 D6【答案】B【解析】因为表示不超过的最大整数.由得，由得，由得，所以，所以，由得，所以，由得，与矛盾，故正

22、整数的最大值是 4. x1t21 t22t322 t34t544 t522 t522 t33t433 t5465 t55t655 t5465 t【考点定位】函数的值域，不等式的性质.【名师点睛】这类问题一般有两种：表示不超过的最大整数；表示不小于的最大整数. 应注意区别. x x15.【2015 高考福建，理 5】若变量 满足约束条件 则 的最小值等于 ( ), x y20,0,220,xyxyxy 2zxyA B C D25 223 2【答案】A【解析】画出可行域，如图所示，目标函数变形为，当最小时，直线的纵截距最大，故将直线经过可行域，尽可能向上移到过点时，取到最小值，最小值为，故选 A2

23、yxz2yxz2yx1( 1, )2B 152 ( 1)22z 【考点定位】线性规划【名师点睛】本题考查线性规划，要正确作图，首先要对目标函数进行分析，什么时候目标函数取到最大值，解该类题目时候，往往还xyB OA16 / 22要将目标直线的斜率和可行域边界的斜率比较，否则很容易出错，属于基础题16. 【2015 湖南理 2】若变量，满足约束条件，则的最小值为（ ）y1211xyxyy 3zxyA.-7 B.-1 C.1 D.2【答案】A.【解析】试题分析：如下图所示，画出线性约束条件所表示的区域，即可行域，作直线：，平移，从30xy而可知当，时，的最小值是，故选 A.2x1ymin3 ( 2

24、) 17z 7【考点定位】线性规划.17.【2016 高考山东理数】若变量 x，y 满足则的最大值是（ ）2, 239, 0,xy xy x+- 22xy+（A）4 （B）9 （C）10 （D）12【答案】C【解析】试题分析：不等式组表示的可行域是以 A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)为顶点的三角形区域,表示点（x,y）到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值为,故选 C.22xy210OC17 / 22考点：简单线性规划【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目看，简单线性规划问题，是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直

25、线的斜率、两点间距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力.18.【2016 高考天津理数】设变量 x，y 满足约束条件则目标函数的最小值为（ ）20, 2360, 3290.xy xy xy 25zxy（A）（B）6（C）10（D）174【答案】B【解析】试题分析：可行域为一个三角形 ABC 及其内部，其中，直线过点 B 时取最小值 6，选 B.(0,2), (3,0),(1,3)ABCz25xy考点：线性规划19. 【2016 高考新课标 3 理数】若满足约束条件 则的最大值为_., x y1020220xyxyxy zxy【答案】3 2【解析】试题分析：作出不等式组

26、满足的平面区域，如图所示，由图知，当目标函数经过点时取得最大值，即zxy1(1, )2Amax13122z 18 / 22考点：简单的线性规划问题20.【2016 高考新课标 1 卷】某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料生产一件产品 A 需要甲材料 1.5kg,乙材料 1kg,用 5个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg,乙材料 0.3kg,用 3 个工时生产一件产品 A 的利润为 2100 元,生产一件产品 B 的利润为 900元该企业现有甲材料 150kg,乙材料 90kg,则在不超过 600 个工时的条件下,生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为

27、元【答案】216000【解析】试题分析：设生产产品、产品分别为、件,利润之和为元,那么A By1.50.5150,0.390,53600,0,0.xyxyxyxy 目标函数.2100900zxy二元一次不等式组等价于3300,103900,53600,0,0.xyxyxyxy 3作出二元一次不等式组表示的平面区域（如图）,即可行域.将变形,得,平行直线,当直线经过点时, 取得最大值.2100900zxy7 3900zyx 7 3yx 7 3900zyx M19 / 22解方程组,得的坐标.103900 53600xy xy M(60,100)所以当,时,.60x 100y max2100 60

28、900 100216000z故生产产品、产品的利润之和的最大值为元.A B216000考点：线性规划的应用21.【2015 高考新课标 2，理 14】若 x，y 满足约束条件，则的最大值为_1020,220,xyxyxy ， zxy【答案】3 2【解析】画出可行域，如图所示，将目标函数变形为，当取到最大时，直线的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到，则的最大值为yxz yxz 1(1, )2Dzxy3 2【考点定位】线性规划【名师点睛】本题考查线性规划，要正确作图，首先要对目标函数进行分析，什么时候目标函数取到最大值，解该类题目时候，往往还要将目标直线的斜率和可行域边界的斜率比较，否则很容易

29、出错，属于基础题22.【2015 高考新课标 1，理 15】若满足约束条件，则的最大值为 ., x y10040xxyxy y x【答案】3【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点 A（1,3）与原点连线的斜20 / 22率最大，故的最大值为 3.y xy x【考点定位】线性规划解法23.【2016 高考江苏卷】 已知实数满足 ，则的取值范围是 ., x y240220330xyxyxy 22xy【答案】4 ,135【解析】由图知原点到直线距离平方为最小值，为，原点到点距离平方为最大值，为，因此取值范围为220xy22xy224()55

30、(2,3)22xy1322xy4 ,135考点：线性规划【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.24. 【2015 高考浙江，理 14】若实数满足，则的最小值是 , x y221xy2263xyxy【答案】.【解析】表示圆及其内部，易得直线与圆相离，故122 yx122 yxyx36yxyx36|36|，当时， ，022 yx2263=24xyxyxy如下图所示，可行域为小的弓形内部，目标函数，则可知当

31、，时，42 yxz53x54y21 / 223minz，当时， ，可行域为大的弓形022 yx2263=834xyxyxy内部，目标函数，同理可知当，时， ，综上所述，yxz43853x54y3minz|36|22|yxyx.【考点定位】1.线性规划的运用；2.分类讨论的数学思想；3.直线与圆的位置关系25. 【2015 高考江苏，7】不等式的解集为_.224xx【答案】( 1,2).【解析】由题意得：，解集为2212xxx ( 1,2).【考点定位】解指数不等式与一元二次不等式【名师点晴】指数不等式按指数与 1 的大小判断其单调性，决定其不等号是否变号；对于一元二次方程的解集，先研究，按照， ，三种情况分别处理，具体可结合二次函数图像直观写出解集.20(0)axbxcaacb4200026.【2017 江苏，10】某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买吨，运费为 6 万元/次，一年的总存储费用为万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则的值是 .4x【答案】30【解析】总费用，当且仅当，即时等号成立.22 / 22600900464()42 900240xxxx900xx30x 【考点】基本不等式求最值